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Disco rueda ecuaciones movimiento
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA (Facultad de Ingeniería Civil)
Yarleque Yovera Christian Joel Ciclo: V
5.72. Un disco de radio 𝑹 rueda con una velocidad constante 𝒗 𝟎 a lo largo de un plano
horizontal. Demostrar que la posición de cualquier punto sobre su borde está dado por
las ecuaciones 𝒙( 𝒕) = 𝑹(𝒘𝒕 − 𝒔𝒆𝒏(𝒘𝒕))e 𝒚( 𝒕) = 𝑹(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔( 𝒘𝒕)), donde 𝒘 = 𝒗 𝟎/𝑹
es la velocidad angular del disco y 𝒕 se mide desde el instante en que el punto se
encuentra en contacto con el plano. Encontrar también las componentes de la
velocidad y la aceleración del punto.
Dejemos que la rueda ruede un poco y veamos dónde va a parar el punto P de la
circunferencia. Cuando el centro del círculo C ha pasado a C´, el punto P ha pasado a P´.
Este es el punto cuya ecuación queremos. Llamamos a sus coordenadas (𝑥, 𝑦). Como la
rueda no resbala sobre el suelo, lo que sabemos es que la longitud del arco 𝑃′𝐷 sobre la
circunferencia es igual a la longitud del segmento rectilíneo 𝑃𝐷. Si llamamos a al ángulo
𝑃′
𝐶′
𝐷 = 𝛼 medido en radianes, resulta 𝑃′
𝐷 = 𝑃𝐷 = 𝑅𝛼.
Además ya que el punto 𝐶 se mueve a velocidad constante 𝒗0
𝐶𝐶′
= 𝑃𝐷 = 𝑣0 ∗ 𝑡 = 𝑅 ∗ 𝛼
Por otra parte, las coordenadas de 𝑃′ en nuestro sistema son:
𝑥 = 𝑃𝐷 − 𝑃′𝐿
𝑥 = 𝑅 ∗ 𝛼 − 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑦 = 𝐶′
𝐷 − 𝐶′𝐿
𝑦 = 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝛼)
Pero sabemos que:
𝑤 = 𝛼/𝑡
𝛼 = 𝑤𝑡
Entonces:
𝑥(𝑡) = 𝑅𝑤𝑡 − 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
3. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA (Facultad de Ingeniería Civil)
Yarleque Yovera Christian Joel Ciclo: V
5.73. Un disco de radio 𝑹 rueda a lo largo del plano horizontal. Demostrar que en cada
instante la velocidad de cada punto es perpendicular a la línea que une el punto con el
punto de contacto del disco y el plano. Si 𝝆 es la distancia entre estos puntos,
demostrar que la magnitud de la velocidad del punto que se mueve es 𝒘𝝆. ¿Qué
conclusiones obtiene de estos resultados?
Para que la velocidad en cada punto sea perpendicular a la línea que une el punto con
el de contacto debe cumplirse:
𝐷𝑃′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 𝑣⃗ = 0
Sea el vector: 𝐷𝑃′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= P’- D
P’= ( 𝑅𝑤𝑡− 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡), 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡))y D= (𝑅𝑤𝑡; 0)
El vector 𝐷𝑃′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃′
− 𝐷 = ( 𝑅𝑤𝑡− 𝑅𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡), 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡))− (𝑅𝑤𝑡; 0)
𝐷𝑃′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝑅𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡), 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡))
Y 𝑣⃗ = (𝑅𝑤 − 𝑅𝑤𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡); 𝑅𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡))
𝐷𝑃′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 𝑣⃗ = 0
(−𝑅𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡), 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡)).(𝑅𝑤 − 𝑅𝑤𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡); 𝑅𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡)) = 0
−𝑅2 𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡) + 𝑅2 𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡) 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡)+ 𝑅2 𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡) − 𝑅2 𝑤𝑠𝑒𝑛( 𝑤𝑡) 𝑐𝑜𝑠( 𝑤𝑡) = 0
0 = 0
∴ 𝑺𝒆𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂𝒒𝒖𝒆 𝑫𝑷′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒚𝒗⃗⃗⃗𝒔𝒐𝒏𝒑𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒔𝒊.
𝑣⃗