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“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
1
Colegios “Innova Schools”
Inicial – Primaria - Secundaria
www.innovaschools.
edu.pe
Del Colegio a laUniversidad
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
2
Veamos:
Jeremy
76 kg.
Como te darás cuenta las joyas van agrupadas de
3 en 3, de ahora en adelante lo representaremos:
= 2 2 1 (3)
Me indica de
cuanto en
cuanto se
agrupan
Pero también existen muchas formas de agrupar,
ahora bien intenta agrupar todos los rubíes de 4
en 4:
= 2 2 1 (3) = (4)
Me
indica de cuanto
en cuanto se
agrupan, a este
número se le
llama “Base”
Base
Nombre del
sistema
Cifra que se usan
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario
Heptanario
Octanario
Nonario
Decimal
Undecimal
Duodecimal
0, 1
0, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
0, 1, …………………………………...
0, 1, 2, 3, …………………………..
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
Por ejemplo:
1. Los meses del año se agrupan en
____________ meses, que es lo mismo que
usar el sistema ____________
2. Los días de la semana se agrupan en
________ 7 días, que equivale a usar el
sistema ____________
3. Cuando compras plátanos los venden por
manos lo que equivale a usar el sistema
__________
Menciona 3 ejemplos de otro sistema de
numeración:
1. _______________________________
2. _______________________________
3. _______________________________
Jotar y su alumno luego de tantas travesías se
quedaron sin dinero y muy hambrientos vagando por
el desierto a punto de morir, pero por suerte para
ellos encontraron una lámpara mágica en la cual vivía
un genio que les concedió el siguiente deseo: “Podrás
pedir la cantidad de monedas de oro que desees pero
ten en cuenta que 3 monedas se convertirán en una
jarra de agua más pura, asimismo 3 jarras de agua se
convertirán en un suculento plato de exquisitos
manjares y por último
ARITMÉTICA
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 PRIMER GRADO
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2 2 1
=
2 2 1
ASISTEMAS DE NUMERACIÓN
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
3
3 platos de exquisitos manjares se convertirán en
cenizas, usa sabiamente tu deseo” y diciendo
estas palabras desapareció. ¿Cuál es la mayor
cantidad de jarras y platos de manjares que
podrán obtener Jotar y su alumno sin que se
conviertan en cenizas?
Alumno Jotar
¿Qué base se ha utilizado?
_____________
¿Cuál es la mayor cifra?
_____________
¿Y la menor cifra?
_____________
EENN GGEENNEERRAALL:
 Si la base es n:
 Mayor cifra a utilizar: ______
 Menor cifra a utilizar:
_____________
 “n” tiene que ser un _____________
entero y mayor ______________
 Las cifras son ______________ que la
base.
Ejemplo:
- Si la base es 4:
La mayor cifra será: ____________
La menor cifra será: ____________
El mayor número de 2 cifras es : _________
El menor número de 2 cifras es : _________
- Si la base es 8:
La mayor cifra será: ____________
La menor cifra será: ____________
El mayor número de 3 cifras es : _________
El menor número de 3 cifras es : _________
- Base 12:
Mayor cifra: _____________
Menor cifra: _____________
Mayor número de 3 cifras:
_____________
Menor número de 3 cifras:
_____________
OOBBSSEERRVVAACCIIÓÓNN
 Todo número entre paréntesis representa
una sola cifra excepto la base:
4 (12) 8 (13)
Tiene 3 cifras y no 4
1 cifra
1 cifra
1 cifra
7 (16) (13) 6 (20)
Tiene 4 cifras y no 6
1 cifra
1 cifra
1 cifra
1 cifra
 Cuando se quiere representar un número y
no se conocen las cifras se utilizan letras del
alfabeto y una barra encima de las cifras.
Ejemplo:
Un número de 3 cifras: abc
Un número de 4 cifras en base 5 )5(abcd
abc  abc
abc es un número de 3 cifras
abc = a x b x c
 CCOONNVVEERRSSIIÓÓNN DDEE UUNN NNÚÚMMEERROO EENN
BBAASSEE ““nn”” AA BBAASSEE 1100
Nos encontramos nuevamente en la cueva del
espíritu avaro y Jotar ha logrado salir sano y
salvo con 2 rubíes y 2 lingotes de oro que era
lo máximo que podía cargar sin que muriera en
la cueva. También ingresó a la cueva el alumno
de Jotar y salió de la cueva cargando 2 rubíes,
2 estrellas y 2 lingotes que también era lo
máximo que podía cargar sin que muriera.
¿Cuántos kg. de joyas cargó Jotar y su
alumno?
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
4
Jotar
= 2 x 3 x 3 + 2 = 20 = 2 x 32
+ 0 x 31
+ 2 x 1
Alumno
= 2 x 3 x 3 + 2 x 3 + 2 = 26 = 2 x 32
+ 2 x 31
+ 2 x
1
A este proceso se le llama “Descomposición
polinómica”
Descomponer polinómicamente:
- 53(6)
= 5 x 61
+ 6 x 1
- 123(4)
= 1 x 42
+ 2 x 41
+ 3
11212(4) = 1 x + 1 x + 2 x + 1 x + 2
)n(abc = a x n2
+ b x n + c
)n(abcd = ____ + ____ + ____ + ____
AAPPLLIICCAACCIIÓÓNN
Hallar “a” si )4(3a = 11
RREESSOOLLUUCCIIÓÓNN
Se utiliza la descomposición polinómica:
11 = )4(3a = a x 4 + 3
11 = a x 4 + 3
11 – 3 = 4 x a
8 = 4a
4
8
= a  a = 2
La descomposición polinómica sirve para
pasar un número en base “n” a la base 10.
 OOTTRRAA FFOORRMMAA DDEE CCOONNVVEERRTTIIRR UUNN
NNÚÚMMEERROO EENN BBAASSEE ““nn”” AA BBAASSEE 1100
123(4)
1 2 3
4 4 24
6 27
1
Método de Ruffini
123(4) = 27
Este método es más práctico cuando el
número tiene más de 2 cifras.
La numeración es una parte
______________ que se encarga del estudio
de la ___________ lectura y
_______________ de los números.
2 0 2
=
2 0 2(3)
32 31 1
2 2 2
=
2 2 2(3)
32 31 1
5 3(6)
61 1
1 2 3(4)
42 41 1
x
x
+ +
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
5
1.Completar la siguiente oración de manera
correcta:
 La base de un sistema de numeración es un
número __________________________ mayor
que __________
2. ¿Cuál es la mayor cifra que se puede utilizar en
un sistema de:
A.
 Base 6? _________________
 Base 13? _________________
 Base M? _________________
 Base (M - 2)? _________________
B.
 Base 7? _________________
 Base 16? _________________
 Base (N + 1)? _________________
 Base (6 - N)? _________________
3. Contesta las siguientes preguntas:
A.
 El número 28(3) está mal escrito porque
_________________________________
__________________________________
 El número 387(-4) está mal escrito
porque_______________________________
___________________________________
B.
 El número 4(-8)(12) está mal escrito porque
________________________
_____________________________
 El número )1(abc está mal escrito porque
_________________________________
4. Escribir:
A.
 El mayor número de 3 cifras de la
base 7: ________
 El mayor número de 4 cifras
diferentes de la base 8: _____________
B.
 El mayor número de 4 cifras de la
base 8: _____________
 El mayor número de 3 cifras de la
base (N + 2): _____________
5. Escribir:
A.
 El menor número de 4 cifras de la
base 6: _______________
 El menor número de 3 cifras
diferentes de la N _______________
B.
 El menor número de 3 cifras de la
base 4: _______________
 El menor número de 5 cifras de la
base N: _______________
6. Indique que números están mal escritos:
A)
I) 104(3) II) 806(9) III) )1b(aba 
(b > a > 0) (a, b enteros)
a) I b) II c) III
d) I y II e) I y III
B)
I) )6(34c II) 483(9) III) 12345(4)
(c > 6)
a) I b) II c) III
d) I y II e) I y III
7. ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números,
si están bien escritos?
A)
I) )8(2ab tiene: _____________
II) (10) (11) 84(13) tiene: _____________
III) )7(c)1a(a  tiene: _____________
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
6
1. Colocar > ; < ó = según corresponda:
A)
24(5) …………………… 23(6)
30(9) …………………… 27
B)
17(9) …………………… 18(9)
13(4) …………………… 12(5)
2. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de
“a” en?
A)
I) )9(86a II) )4()2a)(1a(a 
B)
I) )6(3a II) )6()1a)(3a(a 
3. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”
en?
A)
I) )6()a2(a2 II)
)6(3
a
2
a
1 











B)
I) )7()a3(a2 II) )a2(
2
a
8 





4. Hallar los valores de “a”, “b”, “c” y “d”, si los
siguientes números están bien escritos. Dar
como respuesta la suma de cifras.
A) )5()c()d()b( 1c;3d2;1b;1a
a) 3 b) 4 c) 8
d) 10 e) 12
5. Hallar los valores de “a” y “b” si los siguientes
números están bien escritos. Dar como
respuesta la suma de “a + b”












2
b
3
b
a;8b )a(
a) 10 b) 12 c) 13
d) 15 e) 18
6. Hallar el valor de “a” si:
)7(6a = 41
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
TALLER Nº 01
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
7
1. ¿Cuál es la mayor cifra que se puede utilizar
en un sistema de:
 Base (N + 3)? ____________
 Base 14? ____________
2. Contesta las siguientes preguntas:
 El número 2(13)(12) está mal
escrito porque ____________________
 El número 13(-2)(3) está mal
escrito porque ____________________
3. Escribir:
 El mayor número de 3 cifras
diferentes de la base 8.
 El mayor número de 3 cifras
diferentes de la base 5.
4. Escribir:
 El menor número de 3 cifras
diferentes de la base 7.
 El menor número de 4 cifras
diferentes de la base 6.
5. Indicar que números están mal escritos:
I) 348(12) II) 776(7) III) )1(abc
a) I b) II c) III
d) I y II e) II y III
6. ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números,
si están bien escritos?
I) )8(34ab II) )9(xy7 III) )11(ab)ab(12
a) 4; 3; 3 b) 4; 3; 4 c) 4; 3; 5
d) 4; 4; 4 e) 4; 4; 5
7. Colocar > ; < ó = según corresponda:
 231(6) 130(9)
 396 1234(5)
8. ¿Cuánto suman los posibles valores de “a” en:
? (a  0)
I) )a10(376  II) )a12(02a 
a) 2 ; 10 b) 2 ; 15 c) 3 ; 15
d) 3 ; 10 e) 4 ; 15
9. ¿Cuánto suman los posibles valores de “a” en?
)12(2
a
)a2)(1a( 





a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
10. Hallar los valores de “a” y “b”, si los siguientes
números consecutivos están ordenados de
manera ascendente.
Dar como respuesta “(a + b)”
)9(a2 ; 35(6) ; 30(b)
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
11. Hallar el valor de “a”; si: )9(7a3 = 286
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
12. Calcular el valor de “a”, si: )5(2a + 13(4) = 19
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
13. Calcular el valor de “a”, si: )7()8( 4a1a 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
14. Ordenar de mayor a menor los siguientes
números:
34(8) ; 45(6) ; 1101(2)
15. Hallar “x” si: 21(x) + 35(x) = 36
a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
TAREA DOMICILIARIA Nº 01
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
8
¿Cómo se lleva un número en la base 10 a otra
base?
20 2
20 10 2
0 10 5 2
0 4 2 2
1 2 1
0
20 = 10100(2)
A este método se le llama “Método de divisiones
sucesivas”
¿En que consiste?
Consiste en ……………………………………… sucesivamente
hasta que el último ………………………………………… sea
menor que el ………………………………………………
IINNTTEENNTTEEMMOOSSLLOO NNUUEEVVAAMMEENNTTEE:
Expresar 45 en base binaria.
45 2
44 22
22 11 2
0 10 2
1 4 2 2
2 1
0
45 = ………………. (2)
Pero también se puede expresar en otra base
expresar 45 en base cuaternaria.
45 4
44 11 4
1 8 2
3
45 = ……………(4) = ………………… (2)
 TTUU TTUURRNNOO
Convierte:
1. 347 a base 6
2. 624 a base 7
3. 438 a base 5
4. 488 a base 12
5. 678 a base 14
Ahora convierte los siguientes números a la
base 10.
1. 288(9) =
2. 555(6) =
Exprésalos luego en la base 4.
288(9) = …………………… (10) = …………..………… (4)
555(6) = …………………..…(10) = …………..………… (4)
Expresar:
322(5) a base 7
¿Qué hago?
Método:
322(5)
se lleva a base 10 y luego a base 7
EENN GGEENNEERRAALL
Convertir )n(abc a base m (n  m  10)
Método:
)n(abc
Se lleva a base 10 y luego a base m
(Descomposición (Divisiones
Polinómica) Sucesivas)
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 PRIMER GRADO
(7)
(m)
CAMBIO DE BASE.
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
9
1. El método de divisiones sucesivas consiste en
…………………………………………… sucesivamente hasta
que el ……………………………………………… sea menor
que el ………………………………………………
2. Relacionar ambas columnas adecuadamente:
I) 23(5) ( ) 15
II) 15(7) ( ) 13
III) 33(4) ( ) 12
3. Convertir:
 123 a base 6: …………………………………..
254 a base 7: ……………………………………
4. Convertir:
 432(5) a base 7: ……………………………
 202(3) a base 8: ……………………………
5. Colocar “V” o “F” según corresponda:
I. 27 = 102(5) ( )
II. 57 = 321(6) ( )
III. 10 = 1010(2) ( )
IV. 22 = 113(4) ( )
6. Colocar > ; < ó = según corresponda:
 16(7) 15(8)

 23(5) 23(6)

 28(9) 121(4)
7.
A. ¿Cómo se expresa en base 5 el menor
número de 3 cifras de la base 6?
a) 122(5) b) 102(5) c) 121(5)
d) 111(5) e) 100(5)
B. ¿Cómo se expresa en base 4 el mayor
número de 2 cifras de la base 7?
a) 302(4) b) 330(4) c) 300(4)
d) 320(4) e) 303(4)
8. ¿Cómo se expresa en base 6 el menor número
de 3 cifras diferentes de la base 8?
a) 150(6) b) 151(6) c) 115(6)
d) 125(6) e) 152(6)
9.
A. Expresar el menor número de la base 10,
cuya suma de cifras es 23, en el sistema
heptal. Dar como respuesta la suma de sus
cifras.
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
B. Expresar el menor número, cuya suma de
cifras es 19, en el sistema senario. Dar
como respuesta la suma de sus cifras.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
10. Si: )8(mnp = 312(7)
Hallar: m + n + p
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
11. Si: )9(abc = 175
Hallar: a + b + c
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 11
12. Hallar “x” si:
xxx = 4210(5)
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
13. Convertir:
A. 1023(5) a base 25
a) 513(25) b) 5(13) (25) c) 6(13) (25)
d) 512(25) e) 5(12) (25)
B. 11102(3) a base 9
a) 442(9) b) 142(9) c) 332(9)
d) 342(9) e) 742(9)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
10
1. Relacionar ambas columnas adecuadamente
I) 21(6) ( ) 13
II) 32(4) ( ) 19
III) 201(3) ( ) 14
2. Convertir:
 178 a base 9 : ……………………………………………
 125 a base 4 : ……………………………………………
3. Convertir:
 23(6) a base 8 : …………………………………………
 17(9) a base 3 : …………………………………………
4. Colocar “V” o “F” según corresponda:
I. 29 = 45(6) ( )
II. 35 = 50(7) ( )
III. 19 = 17(8) ( )
IV. 63 = 70(9) ( )
5. Colocar > ; < ó = según corresponda:
 28(11) 43(9)
 37(9) 41(8)
6. Expresar )9(abc en la base 10, si )9(abc es
el menor número posible.
a) 9 b) 81 c) 729
d) 18 e) 27
7. Expresar )6(abc a base 8, si )6(abc es el
mayor número posible.
a) 321(8) b) 323(8) c) 325(8)
d) 327(8) e) 329(8)
8. Expresar el menor número de la base 10,
cuya suma de cifras es 12, en el sistema
octal.
a) 36(8) b) 47(8) c) 43(8)
d) 51(8) e) 56(8)
9. Si: a  b  c  d
Sumar: )4(a1 ; )4(b1 ; )4(c1 ; )4(d1
en la base 10.
a) 18 b) 20 c) 22
d) 24 e) 26
10. Si: N = 7 x 123
+ 8 x 122
+ 9 x 12 + 18
Convertir N a base 12.
a) 789(15)12 d) 7996(12)
b) 7896(12) e) 789(10)(12)
c) 78(10)6(12)
11. Convertir:
23112(4) a base 16
12. Calcular “a” si:
)3(1a = 100(2)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
TAREA DOMICILIARIA Nº 02
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
11
1. Hallar “a + b”, si:
)9(ab = 143(5)
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
2. Hallar “a” si:
)4(aaa = 132(5)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 4 e) 3
3. Hallar “a” si:
)6(aa = 111(4)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Convertir:
11102(3) a base 9
a) 442(9) b) 142(9) c) 332(9)
d) 342(9) e) 742(9)
5. Si: N = 73
x 5 + 72
x 4 + 7 x 3 + 9
Convertir N a base 7
a) 5439(7) b) 5432(7) c) 5442(7)
d) 5437(7) e) 5449(7)
6. Si: N = 83
x 7 + 82
x 5 + 8x 4 + 20
Convertir N a base 8.
a) 7542(8) b) 5472(8) c) 754(20)(8)
d) 7564(8) e) 8564(8)
TALLER Nº 02.
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
12
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD
 IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN
La suma, diferencia y producto de dos
números enteros resulta siempre enteros. Es
lo que suele llamarse a veces “Conjunto
cerrado” de números enteros, refiriéndose a
las operaciones de adición, sustracción y
multiplicación.
Pero referido a la operación de división,
este conjunto deja de ser cerrado: hablando
en general, el cociente de la división de un
entero por otro puede no ser entero. Al
expresar “número” vamos a entender siempre,
si no se dice lo contrario, que es entero.
En la lectura “La Herencia” el número de
camellos ¿se podía dividir exactamente entre
2?
Rpta.: _____________
 DDIIVVIISSIIÓÓNN
Si un número A se puede dividir
exactamente entre otro B se dice que: “A es
divisible por B”. Ejemplo:
¿Entre qué números se puede dividir
exactamente 24 aparte del 1?
24 2 24 3 24 4 24 6
24 12 24 8 24 6 24 4
0 0 0 0
24 8 24 12 24 24
24 3 24 3 24 1
0 0 0
24 se puede dividir entre 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
24 es divisible por 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Los divisores de 24 son 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
¿Entre que números es divisible 16?
16 es divisible por ____ , ____, ____ , ____
 CCRRIITTEERRIIOOSS DDEE DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD
II.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD PPOORR 22
 DDiivviissiibbiilliiddaadd ppoorr 22 == ((2211
))
Calcula el residuo de las siguientes divisiones:
47  2 = _______ resto ________
24  2 = _______ resto ________
320  2 = _______ resto ________
Un número es divisible por 2 si termina en
_____________ o en número _____
Ejm:
46 es divisible por 2
46 es múltiplo de 2
46 =

2
87 no es divisible por 2 porque resta
_______________
87 se puede dividir entre 2 con resto
_______________
87 es múltiplo de 2 con resto
_______________
87 =

2 + resto
_______ divisible por 2 porque resta
___________
59 =

2 +
63 ________ divisible por 2 porque resta
____________
63 =

2 +
 DDiivviissiibbiilliiddaadd ppoorr 44 == ((22 22
))
Un número es divisible por 4 si sus _____
últimas ________ son ___________ o
múltiplo de ___________.
Ejm:
¿ 844abc es divisible por 4?
Si, porque: 84 es múltiplo de 4
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 03 PRIMER GRADO
DIVISIBILIDAD.
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
13

4484abc 
¿231 25 es divisible por 4?
No, porque 25 no es múltiplo de 4
25 =

4 con resto _____
23125 =

4 con resto _____
23125 =

4 + _____
 DDiivviissiibbiilliiddaadd ppoorr 88 == ((22 33
))
Es divisible por 8 cuando sus _________
últimas cifras son ____________ o múltiplo
de _______________
¿ 128ab35ab48 es divisible por 8?
Si, porque 128  8 = ________, residuo _______
¿36894 211 es divisible por 8?
______, porque 211  8 = _____resto ________
36894211 =

8 + _______
IIII.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD PPOORR 55nn
 DDiivviissiibbiilliiddaadd ppoorr 55 == ((5511
))
¿En qué cifra debe terminar un número para
que sea divisible por 5?
Veamos:
120  5 resto ____________
241  5 resto ____________
Para que un número sea divisible por 5 su última
_________ debe ser _________ o ________
120 =

5
241 =

5 + 1
633 =

5 +
684 =

5 +
482 =

5 +
905 =

5 +
 DDiivviissiibbiilliiddaadd ppoorr 2255 == (( 55 22
))
Un número es divisible por 25 cuando sus
_______________ cifras son ________ o
múltiplos de ___________. Ejem:
00abc es divisible por 25 porque sus 2 últimas
cifras son ___________
¿48575 es divisible por 25?
________ porque 75 ________ múltiplo de 25.
¿Cuál es el resto en:

2528abc48  + resto?
Rpta.: _____________
¿Cuándo un número será divisible por 125 = 53
?
Rpta.: _____________
IIIIII.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD PPOORR 33 YY 99
 Un número es divisible por 3 si la ______ de sus
________ es ___________ de 3.
Ejm:
¿48651 es divisible por 3?
Solución:
4 + 8 + 6 + 5 + 1 = 24
24 es múltiplo de 3
48651 es divisible por 3
48651 =

3
¿352164 es divisible por 3?
3 + 5 + 2 + 1 + 6 + 4 =
______ múltiplo de 3
352164 __________ divisible por 3.
¿368851 es divisible por 3?
No, porque 3 + 6 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31
31  3 = ______ resto _____
=
“Innova Schools”
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Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
14
31 =

3 +
368851 =

3 +
 Un número es divisible por 9 si la __________
de sus ________ es ________ de 9.
Ejm:
¿4329918 es divisible por 9?
Si, porque 4 + 3 + 2 + 9 + 9 + 1 + 8 = 36
36  9 = 4
4329918 =

9
¿72652 es divisible por 9?
No, porque 7 + 2 + 6 + 5 + 2 = 22
22  9 = ______ resto ______
22 =

9 +
72652 =

9 +
IIVV.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD PPOORR 1111
¿84436 es divisible por 11?
¿Cómo saberlo?
PASO 1.-
Empezando por la cifra de la derecha (6) se
suman de manera intercalada las cifras.
8 4 4 3 6
6 + 4 + 8
PASO 2.-
A este resultado se le resta la suma de las
cifras que quedaron.
8 4 4 3 6
= (6 + 4 + 8) – (4 + 3)
= 18 – 7 = 11 =

11
 84436 es divisible por 11
Si el resultado fuera cero también será divisible
por 11.
¿51030507 es divisible por 11?
5 1 0 3 0 5 0 7
(7 + 5 + 3 + 1) – (0 + 0 + 0 + 5)
16 – 5 = 11 =

11
 51030507 es divisible por 11
¿Cuál es el valor de “a”?
Si: 548429 =

11 + a
5 4 8 4 2 9
(9 + 4 + 4) – (2 + 8 + 5)
17 – 15 = 2
2  11 = ____ resto
548429 =

11 +
a =
1. Completar en los espacios en blanco
adecuadamente
 Si un número termina en cero o cifra par
entonces será siempre divisible por
_____
 Si un número termina en cero o cifra 5
entonces será siempre divisible por
_____
2. Relacione ambas columnas:
I. 4125 ( )

2
II. 81423 ( )

3
III. 26132 ( )

5
3. Colocar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
 El número 46ab es divisible por 4 ( )
 El número abba es divisible por 11 ( )
=
=
=
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
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15
 El número 25ab es divisible por 25 ( )
4. Hallar “a”, si:
825a483 

a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
5. Hallar “a”, si:
29a36482a 

a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
6. Hallar el valor de “a” si:

36a7  y

5bca4 
a) 0 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Hallar el valor de “a” si:

11a3b  y

5b4 
a) 7 b) 5 c) 9
d) 8 e) 0
8. Si:

5b43b 
Calcular el residuo de dividir: b437 entre 9.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Si:

11a864 
Calcular el residuo de dividir: 8dba entre 4.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
10. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en:
1; 2; 3; 4; 5; … ; 300?
a) 30 b) 33 c) 34
d) 37 e) 38
11. ¿Cuántos múltiplos de 7 hay en:
1; 2; 3; 4; 5; … ; 564?
a) 60 b) 70 c) 80
d) 90 e) 100
1. ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en:
21; 22; 23; … ; 287?
a) 29 b) 28 c) 30
d) 31 e) 32
2. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en:
4; 5; 6; 7; … ; 787?
a) 70 b) 71 c) 72
d) 73 e) 74
3. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay en:
21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)?
a) 66 b) 65 c) 64
d) 63 e) 62
4. ¿Cuántos múltiplos de 15 hay en:
21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
5. Hallar “a” si:

9a8672a  + 4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Hallar “a” si:

93a8 

255a78 
a) 5 b) 2 c) 7
d) 0 e) 6
7. Hallar el valor de “b” si:

9a2b 

8a63aa 
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 5
8. Si:

4a431 
¿Cuánto suman todos los posibles valores de
“a”?
a) 4 b) 2 c) 6
d) 8 e) 10
9. Si:

117a64 
Calcular el residuo de dividir: a8db entre 4.
a) 0 b) 1 c) 2
TAREA DOMICILIARIA Nº 03
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16
d) 3 e) 4
1. Calcular “b”
86325 =

9 + b
a) 0 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
2. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en:
1; 2; 3; 4; … ; 264?
a) 30 b) 31 c) 32
d) 33 e) 34
3. ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en:
18; 19; 20; 21; … ; 364?
a) 40 b) 39 c) 38
d) 37 e) 36
4. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en:
32; 33; 34;…; 1624?
a) 147 b) 146 c) 145
d) 144 e) 143
5. ¿Cuántos múltiplos de 5 hay en:
12(4); 13(4); 20(4);…; 313(4)?
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
6. ¿Cuántos múltiplos de 13 hay en:
12(4); 13(4); 20(4);…; 313(4)?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
TALLER Nº 03.
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17
El Álgebra, como toda ciencia, es un conjunto de conceptos y definiciones que se relacionan mutuamente.
Para su mejor comprensión es necesario conocer los conceptos básicos como: constante, variable y término
algebraico; de esta manera los temas que continúan se harán mas entendibles y familiares.
1. CONSTANTE
Concepto. Es todo aquello que no cambia de valor.
EEjjeemmpplloo::
El ancho de esta hoja.
El número de departamentos del Perú.
La cantidad de dedos de tu mano derecha.
Las vocales.
Cada uno de los ejemplos anteriores se puede expresar con número. Así:
El ancho de esta hoja es.
Los departamentos del Perú son 24.
La cantidad de dedos en tu mano derecha es 5.
Las vocales son 5.
AAhhoorraa ttuu::
Escribe cuatro ejemplos de constante y expresarlos con números.
El largo de ___________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
2. VARIABLE
Concepto. Todo aquello que cambia de valor o que no es constante.
EEjjeemmpplloo::
La edad de una persona en el transcurso de su vida.
El número de campanadas que da un reloj cada vez que indica una hora.
La cantidad de personas en el Perú.
El número de peces en el mar.
Los ejemplos anteriores se pueden expresar mediante letras así:
RReepprreesseennttaacciióónn
LLiitteerraall
La edad de una persona x
El número de campanadas que da un y
reloj en una hora cualquiera.
La cantidad de personas en el Perú. z
El número de peces en el mar. W
ÁLGEBRA.
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01
ELEMENTOS ALGEBRAICOS.
RReeccuueerrddaa
Las constantes se
representan con
números.
¿¿SSaabbííaass qquuee??
La vocal “e” en matemáticas
representa a una constante su
valor es 2,7182…
RReeccuueerrddaa
Las variables se
representan con
letras.
¿¿SSaabbííaass qquuee??
Generalmente las variables se
representan con las últimas letras
del alfabeto.
“Innova Schools”
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18
AAhhoorraa ttuu::
Escribe cuatro ejemplos de variable con su respectiva representación literal.
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
3. TÉRMINO ALGEBRAICO
Es una expresión matemática que une a las constantes y a las variables mediante la operación de
multiplicación.
Multiplicamos
EEjjeemmpplloo::
Observa como las constantes y variables se multiplicar para formar términos algebraicos:
AAhhoorraa ttuu::
En la siguiente tabla multiplica las constantes y las variables para formar términos algebraicos.
CONSTANTES VARIABLES TÉRMINO ALGEBRAICO
3 x
-2 Y
12 xw
-14 xyz
20 x2
32 X2
z
-7 x3
z2
9 x5
w3
z
7
x
7x
Término
Algebraico
Constante
Variable
CONSTANTES VARIABLES
TÉRMINO
ALGEBRAICO
2 x 2x
-13 xy -13xy
-4 x2
y -4x2
y
21 x2
y3
21x2
y3
7 x9
y2
z3
7x5
y2
z3
Exponente
OObbsseerrvvaa
El término algebraico:
7x1 = 7x
y el término
1x2 = x2
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19
3.1 PARTES DE UNA TÉRMINO ALGEBRAICO
Consta de 2 partes.
7 x2
y3
EEjjeemmpplloo::
En la siguiente tabla identificamos la parte constante y la parte variable:
AAhhoorraa ttuu::
Completa la siguiente tabla:
Parte
Constante
Parte
Variable
TÉRMINO ALGEBRAICO PARTE CONSTANTE PARTE VARIABLE
2x 2 x
-3xy -3 xy
17xyzw 17 xyzw
-12x2
y -12 x2
y
20x3y2 20 x3
y2
-10x8
y5
z4
-10 x8
y5
z4
RReeccuueerrddaa
Los exponentes de las
variables siempre deben
ser números.
RReeccuueerrddaa
Los exponentes de las
variables siempre deben ser
números.
TÉRMINO ALGEBRAICO PARTE CONSTANTE PARTE VARIABLE
5x
-4wz
14ywz
-45x2
w
34x3
z5
-16x12
y7
w10
12wz3
yx24
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20
1. Relaciona las siguientes proposiciones con su
respectiva constante:
a) La cantidad de meses de un año. ( ) 7
b) Los colores del semáforo. ( ) 5
c) Días de la semana. ( ) 12
d) Las vocales. ( ) 3
2. ¿Cuántas variables existen en la siguiente
oración? Subráyalas.
Pedro y su hijo Mario caminaban a orillas del
mar en una noche despejada de pronto Mario
pregunto papá. ¿Cuál es el número de estrellas
en el universo? Es una cantidad mucho más
grande que el tiempo de tu vida en la Tierra.
Quizás tan grande como la cantidad de granos
de arena en la playa, contesto Pedro.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Se tiene las siguientes constantes y variables: -
3, x, 7, y.
Determina cuántos términos algebraicos se
pueden formar multiplicando solo uno de los dos
números con solo una de las dos letras.
Indícalos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Representa mediante términos algebraicos las
siguientes proposiciones:
a) La edad de una persona.
b) El doble del número de personas en el mundo.
c) El triple del número de pasajeros que suben a un
autobús.
d) Menos el doble de la altura de un árbol.
5. Completa el siguiente cuadro:
Término
Algebraico
Parte
Constante
Parte
Variable
3x
x
5x3
-2x2
y
x3
yz2
6. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I) Los números son constantes.
II)Las variables se representan con números.
III) 5 es una variable.
a) Sólo I y III b) Sólo II c) Sólo I
d) Sólo III e) Ninguna
7. Luego de hallar el área de las siguientes figuras
indica cual de los resultados son constantes y
cuáles son variables.
I) II)
III)
a) Constante: III
Variable: I, II
b) Constante: I
Variable: II, III
c) Constante: I, III
Variable: II
d) Todas son constantes
e) Todas son variables
8. Utilizando términos algebraicos representa las
siguientes proposiciones.
a) Dos veces el número de postulantes a la
universidad.
b) Cinco veces el dinero que gaste.
c) Menos tres veces el número de colegios del Perú.
d) Menos ocho veces el área de un cuadrado.
9. Se quiere formar términos algebraicos
multiplicando las siguientes constantes y variables:
7, x2
, w. Con la condición que 7 siempre sea parte
de los términos a formar. Determinar el número
máximo de estos.
a) 2 b) 5 c) 6
d) 4 e) 3
4
4
b
a
2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
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21
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un
término algebraico? ¿Por qué?
a) 7x-2
b) –xywabpq c) 24799x2
y5
d) 5 e) –x-1
2. Completa la siguiente tabla:
Término
Algebraic
o
Parte
Constant
e
Parte
Variabl
e
Exponente
s
5x-9
y2
4x-1
wz3
-25x3
y8
w-4
-14x-4
w5
z3
3. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones
son falsas:
I) -3 es un término algebraico.
II) En un término algebraico las variables
pueden tener exponentes negativos.
III) Un término algebraico tiene tres partes:
parte constante, parte variable y exponentes.
a) I y III b) Sólo I c) Sólo II
d) I y III e) Todas
4. Se busca un término algebraico donde la parte
constante sea el doble del exponente de su parte
variable. De los siguientes ¿cuál cumple con la
condición?
a) 4x3
b) 8w5
c) 10z4
d) 12y8
e) 14m7
5. Con las siguientes constantes y variables: 4,
x5
, z3
. ¿Cuántos términos algebraicos como
máximo se pueden obtener? Indicalos.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
6. ¿Cuántos términos algebraicos con parte
variable: x2
w5
existen tal que su parte
constante sea un número par de una cifra. Dar
por respuesta aquel término donde la suma de
su parte constante con los exponentes de la
parte variable sea máxima?
a) 15 b) 17 c) 16
d) 14 e) 18
7. Relaciona las siguientes proposiciones con su
respectiva constante:
a) El número de días del mes de Agosto.( ) 12
b) El número de estaciones del año. ( ) 5
c) La cantidad de campanadas de un reloj al
medio día. ( ) 4
d) La cantidad de sentidos en el ser humano.
( ) 31
8. En el siguiente texto subraya las variables que
puedas encontrar. ¿Cuántas son?
El número de días del mes febrero es un
problema pues yo siempre celebro el 29 de
febrero el día de mi nacimiento y depende
de esto la edad que tengo.
a) 3 b) 2 c) 1
d) 0 e) 8
9. Toma solo uno de los siguientes números: 2; 5;
4 y solo una de las siguientes letras: w; z;
multiplicalos. ¿Cuántos términos algebraicos
como máximo se formaran?
a) 5 b) 4 c) 6
d) 3 e) 7
10. Representa con ayuda de términos algebraicos
las siguientes frases:
a) El dinero de una persona.
b) El quintuple de la temperatura ambiental.
c) Siete veces la distancia Tierra – Sol.
d) Menos cuatro veces el tiempo
transcurrido.
11. Completa el siguiente cuadro:
Término
Algebraico
Parte
Constante
Parte
Variable
-4x
-x
8x5
y2
z
325x2
wa
12. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
Falsas?
I) 3 es un término algebraico.
II) 3x2
yw
es un término algebraico.
III) x es un término algebraico.
TAREA DOMICILIARIA Nº 01.
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22
1. Halla el área de las siguientes figuras:
I) II)
III)
Según los resultados se puede afirmar que:
a) El área de III es un término algebraico.
b) Las áreas de I y II son términos
algebraicos.
c) Sólo el área de II es un término
algebraico.
d) Las áreas de I y III son términos
algebraicos.
e) Todas las áreas son términos
algebraicos.
2. Utilizando términos algebraicos representa
las siguientes proposiciones.
a) Menos cuatro veces el área de un
rectángulo.
b) Menos el doble del área de un triángulo.
c) Menos tres veces el área de un círculo.
d) El cuadruple del área de un cuadrado.
3. Se tiene los siguientes conjuntos:
Tomando un elemento del conjunto A y un
elemento del conjunto B. ¿Cuántos términos
algebraicos se pueden formar?
a) 2 b) 5 c) 6
d) 4 e) 3
4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un
término algebraico?
I. -35 II. -2x-3
III.
z2
wx
a) Sólo I b) II y III c) Sólo
II
d) I y III e) Todas
5. Completa la siguiente tabla:
Término
Algebraic
o
Parte
Constant
e
Parte
Variabl
e
Exponente
s
4x5
y-1
-x-1
-3x-2
-xy2
5xy2
z3
w4
6. Señala cuál o cuales de las siguientes
proposiciones no son ciertas:
I) Las únicas letras que se pueden utilizar
para representar a la variables son: x,
y, z, w.
II) x es un término algebraico.
III) El exponente de una variable en un
término algebraico puede ser.
a) I y III b) II y III c) I y II
d) Ninguna e) Todas
x3
5
3
2
x2
y
3
-4
7
A
w2
xy3
z2
y5
xw
B
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23
1. Monomio: Cuando se refiere a un solo término.
Ejemplo:
M(x, y, z)  4x3
y4
z5
a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión.
Ejemplo: Sea:
M(x, y) = 135
x4
y3
GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x”
GR(x) = 4 (exponente de x)
GR(y) = 3 (exponente de y)
b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables.
Ejemplo:
M(x, y) 135
x4
y3
GA = 4 + 3
GA = 7
Monomio
M(x, y, z)
Parte Constante
(Coeficiente)
Parte Variable GA GR(x) GR(y) GR(z)
39x3
y
-4
zx3– 4
5x2
yz3
18z
-4x5
y4
8
2. Polinomio: Es la agrupación por adición de monomios no semejantes.
Ejemplo:
P(x; y)  2xy3
+ 4y4
– 3x + 2
Polinomio de 4 términos
P(x) = x4 + x3 – x2 + 2x + 3 Polinomio de ________________
P(y) = ax2
+ bx + c Polinomio de ________________
P(x; y) = x + y Polinomio de ________________ ( )
a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada monomio y se
toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio.
P(x; y) = 2x3
y4
+ 5x5
y3
+ 2xy2
Entonces: GR (x) = 5 GR(y) = 4
Parte Variable
Parte Constante
(Coeficiente)
Exponente de Variable x
Exponente de Variable y
Término Independiente
GR(x) =3
GR(y) =4
GR(x) =5
GR(y) =3
GR(x) =1
GR(y) =2
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02
POLIONOMIOS.
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
24
AHORA TU:
P(x, y)  3x3
y + 2xy + 4x2
y – x5
y
GR(x) = GR(y) =
b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma al
mayor.
P(x; y) = 2x3
y4
+ 5x5
y3
+ 2xy2
 GA = 8
¡AHORA!
P(x, y)  3x3
y + 2xy + 4xy2
– x5
y
GA. =
Polinomio P(x, y, z) GA GR(x) GR(y) GR(z)
x6
+ xy + x3
y4
z
x + y + z
zxy + x2
y3
+ 4
a + abx + bx2
3x3
+ 4y4
-x3
y4
+ x5
+ y8
4z3
+ 4z – 3
VALOR NUMÉRICO
Cuando mas variables adoptan un valor, los
monomios o polinomios arrojan un valor que se
denomina valor numérico.
Ejemplo:
P(x) = 4x + 14
 P(1) = 4 . 1 + 14 = 18
P(1) = 18
 P(2) = 4 . 2 + 14 = 22
P(2) = 22
 P(3) = 4 . 3 + 14 = 26
P(3) = 26
 M(x; y) = 4x2
y3
 
M(2, 1)
 x = 2 y = 1
M(2, 1) = 4(2)2
(1)3
M(2, 1) = 16
 P(x, y) = 4x + 5xy
 
 P(2, 3)
 x = 2 y = 3
 P(2, 3) = 4(2) + 5(2)(3)
 P(2, 3) = 3
 ¡AHORA TU!
 P(x, y) = 4xy + 2x2
y
 P(2, 1) =
 P(1, 2) =
 P(1, 1) =

 M(x) = 4x
 M(2) =
 M(3) =
 M(4) =
GA = 7 GA = 8 GA = 3
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
25
1. Dado el monomio:
M(x, y) = -3abxa+3
yb
De GR(x) = 7 y GA = 10
Calcular: El coeficiente
a) -36 b) 36 c) 12
d) -12 e) N.A.
2. Si el siguiente monomio:
M(x, y, z) = -4xa+1
yb+2
z4
Es de GA = 14 y GR(y) = GR(z)
Calcular: “a . b”
a) 15 b) 10 c) 5
d) 3 e) 6
3. Si el monomio:
M(a; b) = -4xyax+2
by+5
Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7
Calcular: “El coeficiente”
a) 24 b) -24 c) 25
d) 26 e) 12
4. Si en el monomio:
M(w, t, ) = -2a2
b3
wa+3
tb+2
6
El GA = 17 y GR(w) = 5
Calcular: “El coeficiente”
a) 512 b) 251 c) -512
d) 251 e) 521
5. Si: GA = 15 2
3
)y(GR
2
)z(GR
)x(GR 
De: M(x, y, z) = -4xa
yb+2
zc+3
Calcular:
7
cba
A


a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
6. Si: GA = 10; GR(x) = 5 del polinomio:
P(x, y) = 4xa+1
yb
+ 5xa+2
yb+1
+ 3xa
yb+2
Calcular: A = a + b
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
7. Dado el polinomio:
P(x, y) = xa
yb+2
+ xa+1
yb+4
+ xa+5
yb
+ ab
Si: GR(x) = 7 GR(y) = 6
Calcular el término independiente:
a) 5 b) 6 c) 7
d) 12 e) N.A.
8. Si:
P(x, y) = axa+b
yc+2
+ bxa+b+1
yc+3
+ cxa+b+3
yc
+ abc
Es de GR(x) = 14 GR (y) = 6
Calcular la suma de coeficientes:
a) 3 b) 4 c) 5
d) 7 e) N.A.
9. Si:
P(x, y, z) = xa
yb
zc
+ xa+1
yb+1
zc-1
+ xa
+ 2yb
- 2zc
Donde: GA(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 3
Calcular el grado absoluto.
Rpta.: __________________
10. Dado el polinomio:
P(x) = xa+3
+ xa+4
+ xa+2
+ 2a
Calcular el término independiente si GA = 8.
Rpta.: __________________
11. Calcular “A”
Si: M(x) = 2x4
Si:
)1(M
)2(M)0(M
A


Rpta.: __________________
12. Calcular: P(7)
Si: P(x) = -x5
+ 7x4
+ 2x – 10
Rpta.: __________________
13. Si: P(x) = 2x + 4
Calcular: M = P (P (P (P ( 3 ) ) ) )
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
“Innova Schools”
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26
Rpta.: __________________
1. Dado el monomio:
M(x, y) = 4abxa
yb
Si: GR(x) = 2 GA = 7
Calcular: “El Coeficiente”
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
2. En el siguiente monomio:
M(x, y, z) = 3xm+1
yp+2
z2
GA = 12 GR(x) = GR(y)
Calcular: m . P
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
3. Si el monomio:
M(,) = 2xyx+4y+2
Donde: GR() = 7 GR() = 5
Calcular el coeficiente:
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 24
4. Si el monomio:
M(x, y, z) = 2a2
b3
c4
xa+5
yb+4
zc+3
Si: GA = 15 GR(x) = 6 GR(z) = 4
Calcular el coeficiente:
5. Si: GA = 24
5
)x(GR
)y(GR 
M(x, y) = 2xa+b
ya-b
Calcular: a . b
a) 96 b) 108 c) 64
d) 25 e) 15
6. Si: P(x) = xa+4 + xa+3 + xa-4
GA = 7
Calcular : a3
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
7. Si : P(x, y) = 2xa+1
yb-1
+ xa+3
yb-4
+ xa+2
yb-2
GR(x) = 5 GR(y) = 3
Calcular el GA
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 3
8. Si:
P(x) = axa
+ (a + 1)xa+1
+ (a + 2)xa-4
Es de GA = 5
Calcular la suma de coeficientes:
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18
9. P(x, y, z) = xa
yb
zc
+ xa+1
yb+1
zc-1
+ xa
yb
zc
GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 3
Calcular el grado absoluto.
a) 1 b) 14 c) 12
d) 10 e) N.A.
10. Dado el polinomio:
P(x, y) = xa
yb
+ xa+1
yb+2
+ xa+3
yb-3
Si el GA = 7 Además a – b = 2
Calcular: A = ab
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Calcular: “A”
Si: M(x) = 4x
)4(M
)2(M)1(M
A


Rpta.: ___________
12. Si: P(x) = x2
+ 3x + 4
Calcular: P(2) + P(3)
Rpta.: ___________
13. P(x) = 2x + 4
A = P (P (P (P ( 2 ) ) ) )
Rpta.: ___________
TAREA DOMICILIARIA Nº 02.
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27
1. Si: Q(x) = x + 5 P(x) = x + 3
Calcular: P ( Q ( x ) )
2. A(x) = 2x + 4 R(x) = 2x + 5
Calcular: A (R (x) )
3. Si: P(x) = 2x – 1 Q(x) = x + 3
Calcular: P(Q(x))
4. Si: P(x) = x + 5 Q(x) = x + 2
Calcular: P(Q(x))
5. Si: GA = 24
5
)x(GR
)y(GR 
M(x, y) = 2xa+b
ya-b
Calcular: a . b
a) 96 b) 108 c) 64
d) 25 e) 15
6. Si: P(x) = x2
+ 3x + 4
Calcular: P(2) + P(3)
TALLER Nº 02.
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Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
28
POLINOMIO COMPLETO
Es aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta el menor.
Ejemplo:
P(x)  5x3
+ 2x – 4x2
+ 7 OjO: Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3
) hasta el menor (7).
P(x) = 2x + 3 ……………………. Es polinomio completo.
P(x) = 2x5
– 4x2
+ 5x4
– 2x + 7 – x3
……………………. Es polinomio completo.
P(x) = x4
– 2x3
+ 5x – 4 ……………………. Es polinomio completo.
POLINOMIO ORDENADO
Es aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos.
Ejemplo:
P(x) = x2
+ 2x3
– x5
(Polinomio ordenado en forma ascendente)
P(x) = x7
– 4x + 3(Polinomio ordenado en forma descendente)
P(x) = x17
– x25
+ x50
(Polinomio…………………….. en forma……………………..)
P(x) = 14x – 2 (Polinomio…………………….. en forma……………………..)
Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una.
P(x, y) = 4x3
y7
– 5x2
y9
+ 2xy4
(Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “x”)
P(x, y) = -5x2
y9
+ 4x3
y7
+ 2xy4
(Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “y”)
POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO
Es aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores.
Ejemplo:
P(x) = 5x4
– 3x3
+ x2
+ x + 3 (Observemos que es completo por que presenta todos los exponentes
de “x” y además están ordenados en forma descendente)
P(x) = 2 + 3x – 4x2
+ 15x3
(Polinomio completo y ordenado en forma ascendente)
AHORA COMPLETA EL CUADRO
Polinomio
Ordenado Completo Completo y Ordenado
Ascendente Descendente Ascendente Descendente
P(x) = 4x2
+ 5 – 3x
P(x) = x7
. x + 6
P(x) = 5x2
– 3x + 2
P(x) = x1000
– x10
+ 1
P(x) = 1 + 2x + x – x3
P(x) = 4x5
– x + 5
P(x) = x102
– x101
- 2
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 0
POLINOMIOS ESPECIALES.
“Innova Schools”
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Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
29
I. Calcular el valor de “a” en los siguientes
polinomios completos:
1. P(x) = 4xa
+ 4x2
+ 3 – 2x
2. Q(x) = 2x + xa+2
+ x2
– 4
3. R(x) = 3xa+2
+ xa+1
+ 5xa+3
– 2x + 1
4. En el polinomio completo:
P(x) = axa+3
+ 3xa+1
+ 5x3
– 2ax + a2
Calcule la suma de coeficientes:
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
5. Dado el polinomio completo:
P(x) = mxm
+ nxn
+ mnp + pxp
Calcular: m + n + p
a) 1 b) 6 c) 5
d) 4 e) 7
II. Ordenar en forma ascendente y
descendente los siguientes polinomios:
6. P(x) = 25x5
+ 3x7
– 2x + 4
7. R(x) = 1 – x + x3
– x7
+ 2x2
8. Q(x) = ax + nx3
– bx2
+ abc
III. Ordene en forma ascendente y descendente
los siguientes polinomios primero relativo a
“x” y luego a “y”.
9. P(x, y) = x3
y4
– 5xy2
+ 2x7
y3
– 2ab
10. P(x, y) = axm+1
yn-2
+ bxm
yn
+ cxm-2
yn+1
– abc
11. Dado el polinomio completo y ordenado.
P(x) = 2axa+3
+ 5x3
– 7x2
+ ax + 3
Calcule la suma de coeficientes.
a) 1 b) 2 c) 4
d) 5 e) 3
I. Calcular El valor de “b” en los siguientes
polinomios completos:
1. P(x) = x2b-4
+ x3
+ 2x – 4 + 3x2
2. P(x) = 3xb+1 + x3 – 8 + 5x + 7xb+3
3. Q(x) = 22b2b3
xx12x2x54 

4. En el polinomio completo:
P(x) = 2x + 4a - x3a+1
+ 5x2
– x3
Calcular el término independiente.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Dado el polinomio completo:
P(x) = 5x + 2x2
– 3a + 4x2a
– x3
Calcular la suma de coeficientes.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
II. Ordenar en forma ascendente y
descendente los siguientes polinomios
respecto a “x” y luego con respecto a “y”.
6. P(x, y) = 5x4y2 + 3xy3 – 2x5y7
7. P(x, y) = 2xy – 5x2
y3
+ 4x7
y4
8. P(x, y) = 3 + 4x7
– 5x2
+ 7x
9. P(x, y) = 3x3
y4
– x8
y2
+ 2x2
y3
10. P(x, y) = -7 + 2x3
y4
+ xy – 2x8
y14
11. Dado el polinomio completo y ordenado:
P(x) = x3a–2
+ 3x3
– 2x2
+ x + 4
Calcular: “a”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. Dado el polinomio completo y ordenado:
P(x) = x4
– 3xa+2
+ 2xb
– xc
+ 5
Calcular: a + b + c
a) 1 b) 2 c) 4
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
TAREA DOMICILIARIA Nº 03.
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
30
d) 5 e) 3
1. Dado el polinomio completo y ordenado:
P(x) = 3x3
– axa
– bxb
+ ab
Calcular el término independiente
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. Dado el polinomio completo y ordenado:
P(x) = abxa
+ bcxb
+ caxc
+ abc
Calcular: a + b + c
a) 1 b) 4 c) 5
d) 6 e) N.A.
3. Del problema anterior calcular el término
independiente.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) N.A.
4. Dado el polinomio completo y ordenado:
P(x) = 3x2a-1
+ 4x4
+ 2xb+1
+ 3x2
– x + ab
Calcule el término independiente.
a) 4 b) 6 c) 9
d) 12 e) N.A.
5. Si el polinomio es completo y ordenado en
forma ascendente.
P(x) = axc-1
+ bxb
+ cxa
Calcular la suma de coeficientes.
a) 1 b) 4 c) 3
d) 2 e) N.A.
6. Dado el polinomio completo y ordenado:
P(x) = 3x3
– axa
– bxb
+ ab
Calcular el término independiente
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
TALLER Nº
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
31
A. PUNTO
Es la idea geométrica más pequeña. Se le representa con una letra mayúscula.
B. RECTA
Es la idea geométrica formada por infinitos puntos sucesivos que se encuentran en una misma dirección. Se le
representa con una letra minúscula.
Recta a: Recta b:
C. PLANO
Es la idea geométrica que puede contener completamente puntos y rectas. Se le representa con una letra
mayúscula.
Plano P
11.Graficar un punto “A” y cuatro rectas que pasen
por dicho punto.
2. Graficar un punto “M” y ocho rectas que pasen
por dicho punto.
3. Graficar los puntos “P” y “Q”; además la recta o
rectas que pasen por ambos puntos a la vez.
4. Graficar la recta vertical “ l ” y los puntos “M”;
“N” y “Q” contenidos en ella.
5. Graficar la recta horizontal “a” y los puntos “E”;
“F” y “H” contenidos en ella.
6. Graficar la recta “m” y los puntos “P”; “Q” y “R”
exteriores a dicha recta.
7. Graficar la recta horizontal “b” y los puntos “M”;
“N”; “P” y “Q” exteriores a dicha recta.
8. Graficar un plano “P” y a los puntos “A”; “B” y “C”
contenidos en ella.
9. Graficar un plano “Q” y a una recta “a” contenida
en ella.
10. Graficar un plano “R” y a la recta “ l ” contenida
en ella. Luego a los puntos “M” y “N” que pertenecen
A
B C
D
a
a
b
b
GEOMETRÍA.
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 PRIMER GRADO
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS.
PRACTIQUEMOS
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
32
a .
1. Graficar la recta vertical “m” y los puntos “D”, “E”
y “F” contenidos en ella.
2. Graficar la recta “n” y los puntos “A” y “B”
exterior a ella.
3. Graficar un plano “R” y una recta “a” contenida en
él.
4. Graficar un plano “Q” y los puntos “A”, “D” y “F”
contenidos en dicho plano.
5. Graficar un plano “T”; luego la recta “L” y los
puntos “M” y “N” contenidos en dicho plano.
6. Graficar la recta “a” horizontal y los puntos “A”,
“B” y “C” contenidos en ella.
7. Graficar la recta “c” horizontal y los puntos “M”,
“N” y “K” exterior a ella.
8. Grafica un punto “E” y tres rectas que contengan
a dicho punto.
l
TALLER Nº 01
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
33
1. Grafica un punto “M” y cinco rectas que pasen por
dicho punto.
2. Grafica dos puntos “C” y “D” y la recta o las
rectas que pasen por dichos puntos a la vez.
3. Graficar un plano “Q” y tres puntos no colineales
“A”, “B”, “C”. Luego unir “A” con “B”, “B” con “C” y
“C” con “A”. ¿Qué figura resulta?
4. Del problema anterior, graficar una recta
//AC, tal que las distancias de los puntos “A” y
“B” son respectivamente 3. y 8.cm. ¿Cuál será la
distancia del vértice “C” a la recta ?
5. Graficar un plano “P” y cuatro puntos no colineales
“A”, “B”, “C” y “D”, de tal manera que las rectas
que pasen por AB y CD, sean paralelas entre sí.
Además las rectas que pasen por BC y AD
también sean paralelas.
6. Del problema anterior, si unimos AC y BD tal que
se corten en el punto “P”, ¿qué puedes afirmar de
los segmentos AP y PC?
7. Del problema 3, ¿qué podemos afirmar de los
segmentos BP y PD?
A. Rectas paralelas
Dos o más rectas son paralelas si no tienen ni un punto en común.
es paralela a ( // ).
B. Rectas secantes
Dos rectas son secantes si tienen un punto en común, llamado punto de intersección o punto de corte.
OBSERVACIONES:
i) Rectas perpendiculares.- Son dos rectas que
forman 90°.
ii) Rectas concurrentes.- Son tres o más rectas que
se intersectan en un mismo punto.
L
L
a
b
l1
2l
3l
4l
a b a b
Pm
m y n son secantes
n
a
b
TAREA DOMICILIARIA Nº 01
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 PRIMER GRADO
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
34
iii) Número de puntos de corte:
Tres rectas y tres puntos de corte
Cuatro rectas y seis puntos de corte
2 rectas se cortan en 1 punto  Podemos escribirlo como 1
2
1x2

3 rectas se cortan en 3 puntos  Podemos escribirlo como 3
2
2x3

4 rectas se cortan en 6 puntos  Podemos escribirlo como 6
2
3x4

 
 
500 rectas 750124
2
499x500

¡Que cantidad tan grande! Exclamaron, contentos los alumnos por la acertada respuesta de su profesor,
siguieron indagando más casos. Veamos uno de ellos.
Si se tiene 3 rectas secantes y 4 rectas paralelas ¿Cuántos puntos de corte como máximo se obtendrán?.
Sin mayores esfuerzos los alumnos dicen:
1 recta secante corta a las 4 paralelas en 4 puntos esto quiere decir que
A
1
1 2
4
6
5
3
1 2
3
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
35
3 rectas secantes cortarán a las 4 paralelas en 3 x 4 = 12 puntos
Las 3 rectas secantes se cortarán entre si en: 3
2
2x3
 puntos
 El número de puntos de corte será: 12 + 3 = 15
1. Graficar dos rectas paralelas y una recta secante
a ambas. Contar los puntos de corte.
2. Graficar tres rectas paralelas y una recta
secante. Contar los puntos de corte.
3. Graficar cuatro rectas secantes y contar los
puntos de corte.
4. Graficar cinco rectas paralelas y una recta
secante. Contar los puntos de corte.
5. Graficar dos rectas secantes y dos rectas
paralelas. Contar los puntos de corte.
6. Graficar tres rectas paralelas y dos rectas
secantes. Contar los puntos de corte.
7. Graficar tres rectas concurrentes y una secante
a ellas. Contar los puntos de corte.
8. Graficar tres rectas concurrentes y dos rectas
secantes. Hallar el número de puntos de corte.
9. Graficar dos rectas paralelas y dos rectas
secantes. Señalar el número máximo de puntos de
corte.
10. Graficar cuatro rectas paralelas verticales y
además una recta secante.
11. Graficar tres rectas paralelas horizontales y
además dos rectas paralelas verticales que
intersectan a las rectas anteriores.
12. Graficar seis rectas concurrentes y una recta
secante a ellas.
13. Graficar cinco rectas secantes no concurrentes.
14. Hallar, el número máximo de puntos de corte de
3 rectas secantes.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 2
15. Hallar el número máximo de puntos de corte de
4 rectas secantes.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 3
16. Hallar el número máximo de puntos de corte de
5 rectas secantes.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
17. Hallar el máximo número de puntos de corte de
20 rectas secantes.
a) 170 b) 19 c) 190
d) 17 e) 180
18. Hallar el máximo número de puntos de corte de
“n” rectas secantes.
a)
2
n
b)
2
)1n(n 
c)
2
)1n(n 
d)
2
n2
e) N.A.
19. En cuántos puntos cortará una recta secante a
las 3 paralelas mostradas.
L1
PRACTIQUEMOS
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
36
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
20. En cuántos puntos cortarán dos rectas
secantes a las 3 paralelas mostradas.
f) 2
g) 4
h) 6
i)8
j)10
1. En cuántos puntos cortarán 3 rectas secantes a
las 3 paralelas mostradas.
a) 3
b) 6
c) 8
d) 12
e) 15
2. En la figura, indique el número de puntos de
corte.
a) 10
b) 11
c) 20
d) 13
e) N.A.
3. ¿Cuántos puntos de corte hay?.
a) 8
b) 10
c) 12
d) 13
e) 15
4. Calcular el número máximo de puntos de corte
entre 2 rectas paralelas y 3 rectas secantes.
a) 6 b) 7 c) 5
d) 4 e) 3
5. Hallar el máximo número de puntos de corte
entre 3 rectas secantes y dos rectas paralelas.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
6. Hallar el máximo número de puntos de corte
entre 3 rectas secantes y 3 rectas paralelas.
a) 10 b) 12 c) 9
d) 15 e) 18
7. ¿En cuántos puntos cortará una secante a diez
rectas paralelas?.
a) 8 b) 10 c) 11
d) 12 e) N.A.
8. Hallar el mínimo número de puntos de corte
entre seis rectas secantes.
a) 6 b) 5 c) 3
d) 2 e) 1
9. Hallar el número máximo de puntos de corte de
seis recta secantes.
a) 12 b) 13 c) 15
d) 17 e) 6
10. Hallar el número máximo de puntos de corte de
siete rectas secantes.
a) 19 b) 21 c) 23
d) 25 e) 17
11. Halle el máximo número de puntos de 8 rectas
secantes.
a) 4 b) 28 c) 82
d) 27 e) 64
12. Indicar el número de puntos de corte.
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 11
13. En cuántos puntos de corte cortará una recta
secante a las cuatro paralelas mostradas.
f) 3
L2
L3
L1
L2
L3
TAREA DOMICILIARIA Nº 02
L1
L2
L3
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
37
g) 4
h) 5
i) 6
j) 1
14. En cuántos puntos de corte, cortarán dos
rectas secantes a las cuatro paralelas
mostradas.
k) 8
l) 6
m) 4
n) 3
o) 10
1. En cuántos puntos de corte cortarán cuatro
rectas paralelas a tres rectas secantes.
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) N.A.
2. Hallar el máximo número de puntos de corte
entre seis rectas secantes y dos paralelas.
a) 19 b) 21 c) 23
d) 25 e) 27
3. Hallar el máximo número de puntos de corte
entre 5 rectas secantes y 5 paralelas.
a) 35 b) 37 c) 33
d) 39 e) 31
4. ¿En cuántos puntos cortará una recta secante a
“P” rectas paralelas.
a) p b) p – 1 c) p + 1
d) p/2 e) N.A.
5. Hallar el mínimo número de puntos de corte
entre dos rectas secantes y tres rectas
paralelas.
a) 7 b) 8 c) 6
d) 5 e) 4
TALLER Nº 02
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
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38
6. En cuántos puntos de corte cortará una recta
secante a las cuatro paralelas mostradas.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 1
A. Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es la medida del segmento de recta que une a dichos puntos.
La distancia entre “A” y “B” mide 4 cm La distancia entre “P” y “Q” mide 5 cm
B. Distancia entre un punto y una recta
Está representado por un segmento perpendicular trazado desde el punto hacia la recta.
La distancia entre “A” y mide 1,5 cm La distancia entre “B” y mide 3 cm
C. Distancia entre dos rectas paralelas
Está representado por el segmento perpendicular a ambas rectas.
La distancia entre y mide 1 cm La distancia entre y mide 3 cm
Figura: Puente de San Francisco (EE.UU.)
A
B
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
P
Q
A
m
1,5 cm
B
n
3 cm
m n
a
b
1 cm
m n
3 cm
a b m n
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 03 PRIMER GRADO
DISTANCIA ENTRE PUNTOS Y RECTAS.
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39
1. Graficar la distancia entre “A” y “B” y medirlo.
A
B
2. Graficar la distancia entre “P” y y medirlo.
3. Graficar la distancia entre “a” y “b” y medirlo.
4. Graficar la distancia entre y dar
sus medidas
5. Graficar la distancia de “B” a . Dar sus
medidas.
A
B
l
l
P
a
b
l1 l2; l3; l4y
l1
l2
l3
l4
l1 l2y
l1
B l2
TALLER Nº 03
“Innova Schools”
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40
6. Graficar las distancias de “P” a las rectas “l1”;
“l2” y “l3”.
1. Graficar una línea recta horizontal y dos puntos
“B” y “E” contenidos en ella que disten 8 cm.
2. Graficar una recta vertical y dos puntos “M” y
“N” contenidos en ella que disten 6 cm.
3. Graficar un punto “A” y una recta “l ” horizontal
que disten 7 cm.
4. Graficar un punto “B” y una recta “m” vertical que
disten 10 cm.
5. Graficar tres rectas horizontales “a”; “b” y “c”
que disten 3 cm en forma consecutiva.
6. Graficar las rectas “m” y “n” oblicuas y paralelas
que disten 4 cm.
7. Graficar una recta horizontal y los puntos “P”, “Q”
y “R” respectivamente contenidos en ella, tal que
“P” y “Q” disten 6 cm y “Q” y “R” disten 7 cm.
8. Graficar una recta oblicua y dos puntos “A” y “B”
contenidos en ella que disten 5,5 cm.
9. Graficar cinco rectas oblicuas paralelas y tres
rectas secantes a ellas. Calcular el máximo número
de puntos de corte.
10. Trazar las distancias mínimas de “Q” a PR, de “P” a
QR y de “R” a PQ. Luego medirlos.
1. Graficar una recta vertical y los puntos “A” y
“B” tal que la distancia de “A” y “B” a las rectas
son de 3 y 6 cm respectivamente. Si la distancia
de las perpendiculares perteneciente a la recta L
es de 4 cm, calcular la distancia “AB”.
2. Trazar la distancia entre “P” y “Q”; “Q” y “R” y “P”
y “R”. Luego medirlos.
Q
•
P • • R
3. Trazar la distancia entre “A” y luego calcular
esta medida.
4. Ubicar un punto “P” a una distancia de 2 cm de
“ L”.
4. Ubicar los puntos “A” y “B” a una distancia de 3
cm de
l1
l2
P
l3
Q
R
P
L
m,
m
A
l
n.
PRACTIQUEMOS
TAREA DOMICILIARIA Nº 03
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
41
5. Graficar dos rectas paralelas y horizontales que
disten 1,5 cm.
6. Ubicar los puntos “A” y “C” que pertenezcan a “L”
y disten 5 cm.
7. Graficar las distancias de “A” a las rectas
Luego medirlas.
8. Trazar las distancias de los puntos mostrados a la
recta “L”. Dar las medidas.
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMA DE
MEDICIÓN ANGULAR
Ángulo trigonométrico.- Es aquel ángulo que se
genera por la rotación de un rayo alrededor de su
origen: desde una posición inicial hasta una posición
final. La amplitud de la rotación es la medida del
ángulo trigonométrico, la posición inicial del rayo se
llama lado inicial; la posición final se llama lado
terminal y el origen del rayo es el vértice del ángulo.
Elementos:
O : vértice del ángulo
: Lado inicial
: Lado terminal
q : medida del ángulo trigonométrico.
Características
1. Sentido.- De acuerdo al sentido de rotación del
rayo el ángulo trigonométrico puede ser:
a. Positivo.- Cuando el sentido de rotación es
contrario al movimiento de las manecillas de un
reloj (antihorario).
b. Negativo.- Cuando el sentido de rotación es
horario.
2. Magnitud.- Un ángulo trigonométrico puede
adoptar cualquier magnitud, dependerá de la
rotación que se genere.
a: medida de un ángulo trigonométrico.
OBSERVACIÓN
1. El ángulo generado al coincidir por primera vez al
lado inicial y el lado terminal se denomina ángulo
de una vuelta. Si bien la rotación puede ser en
sentido horario o antihorario: consideramos al
n
l
a y b.
a
b
A
A
B
C
l

A’
A
O
OA
OA'

AO
A

AO
A
AO
A’

TRIGONOMETRÍA.
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 PRIMER GRADO
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR I
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
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42
ángulo positivo cuando hablemos del ángulo de un
a vuelta.
Ángulo de una vuelta (1).
2. Para sumar o comparar ángulos trigonométricos:
estos deben tener el mismo sentido.
3. Al cambiarle de sentido a un ángulo
trigonométrico: este cambia el signo de su valor.
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR
Los más conocidos son:
1. Sistema sexagesimal. También llamado sistema
inglés; su unidad es el grado sexagesimal que
representa al ángulo de una vuelta dividido en
360 partes iguales.
Unidad:
(1º): grado sexagesimal
Subunidades.
(1’) : minuto sexagesimal
(1”) : segundo sexagesimal
EQUIVALENCIAS:
< > Equivale a:
Nota:
Pero por comodidad en lugar del símbolo (< >) se suele
utilizar el símbolo (=), esto es lo que utiliza.
Ejm.:
1. R = 4º + 6º = 10º
2. C = xº + 3º = (x+3)º
3. M =
4. L =
5. F = 32º–17º=15º
Ejemplo (1) Convertir 3º a minutos
RESOLUCIÓN:
Recordar: 1º=
Ejemplo (2) convertir a segundos
RESOLUCIÓN:
Recordar:
NOTACIÓN:
Donde: B,C < 60
3. Sistema Radial.- También llamado sistema
circular o internacional su unidad es el radian:
que representa el ángulo de una vuelta dividido
en 2 partes iguales:
Unidad:
(rad) : radián;
CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS
Los sistemas sexagesimal y radial están
relacionados mediante una fórmula de conversión
Sea “S” la medida de un ángulo “𝜃” en
sexagesimales
A
o
A’
360
partes
iguales
1º
1º
m 1v 1º
360
m 1v 360º


1º < > 60’ 1’ < > 60’’
1º = 60’ 1’ = 60’’
Grados Minutos Segundos
x 3600
Regla De Conversión
60 60
x 60 x 60
3600
1º 3600 ''
1' 60 '
3600 ''
5º 18000 ''
1º
60 ''
30 ' 1800 ''
1'
5º 30 ' 18000 '' 1800 '' 19800 ''


 

  


Aº B'C'' Aº B' C''  
m 1v 1rad
2

 m 1v 2 rad 
3,1416
NOTA.- En este sistema no existe
subunidades solo hay radianes.
m 1vuelta 360 2 rad   
4º 2º
2

6º 3
2

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43
Sea “R” la medida de un ángulo “𝜃” en radianes.
DONDE:
S : Número de grados sexagesimales
R : Número de radianes
• Cada uno de los números anteriores es para
un mismo ángulo, conocido también como números
convencionales.
Método Práctico:
1. Para convertir grados sexagesimales a radianes;
multiplicamos por:
Ejemplo: Convertir 45º a radianes.
2. Para convertir radianes a grados sexagesimales,
multiplicamos por (
180
𝜋
)
Ejemplo: Convertir:
1. Indique los ángulos que están en el sistema
sexagesimal:
a) 20° b) 200° c) 𝜋 rad d) 𝜋/2 rad
Rpta.: .......................................................
2. Indique los ángulos que están en el sistema
sexagesimal:
a) 10 rad b)𝜋 c) 1000º d) 90
Rpta.: .......................................................
3. Indique los ángulos que están en el sistema
radial:
a) 10º b) 𝜋/4 c) 250º d) 5 rad
Rpta.: .......................................................
4. Indique los ángulos que están en el sistema
radial.
a) 10 b) 𝜋/2 c) 80º d) √5
Rpta.: .......................................................
5. Convertir a radianes
a) 30º b) 60º c) 90º
Rpta.: .......................................................
6. Convertir a radianes
a) 100º b) 120º c) 150º
Rpta.: .......................................................
7. Convertir a sexagesimales
a) 𝜋/2 rad b) 𝜋/3 rad c) 𝜋/5 rad
Rpta.: .......................................................
8. Convertir a sexagesimales
a)
2𝜋
3
rad. b)
5𝜋
6
rad. c)
5𝜋
3
rad.
Rpta.: .......................................................
9. Convertir a radianes:
 = 25º + 85º
 = 90º - 35º
S R S R
360 2 180
   
  
rad
180
 
 
 
45 . rad rad
180 4
  
  
 
ra d a grado s sexage simale s
5

 180
5 
36
 
  
 
PRACTICANDO EN CLASE
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44
Rpta.: .......................................................
10. Convertir a sexagesimales:
Rpta.: .......................................................
11. Convertir a sexagesimales:
Rpta.: .......................................................
1. Calcular:
Rpta.: .......................................................
2. Calcular:
Rpta.: .......................................................
3. Calcular:
Rpta.: .......................................................
4. Calcular:
Rpta.: .......................................................
5. Calcular:
Rpta.: .......................................................
6. Del gráfico. Calcula a en radianes:
Rpta.: .......................................................
7. Del gráfico. Calcula a en sexagesimales:
Rpta.: .......................................................
8. Del gráfico. Calcula a en radianes:
Rpta.: .......................................................
9. Del gráfico. Calcula a en radianes:
Rpta.: .......................................................
rad rad rad
2 3 4
     
rad rad rad
5 6 10
     
rad rad
4 6
   
2 5rad rad
3 4
   
200ºB
5 rad
3


135
B
rad
4





100º
L
rad
18
rad
T
360º


5
rad
18B
300º


40°
60° 

3

5
18
 rad.
86°
54° 
5
18


TAREA DOMICILIARI
“Innova Schools”
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10. Indique elángulo que está en elsistema sexagesimal.
A) 15º B) 3rad C) 𝜋/2 D) 4
11. Convertir a radianes:
= 100º - 80º + 30º
12. Convertir a sexagesimales
13. Calcular:
14. Del gráfico. Calcula  en radianes
MOTIVACIÓN
PITÁGORAS (569 - 470 A. j.c.)
Nació en la Isla de Samos en el mar Egipto. Se ha
hecho conjetura en torno a su vida desde dos puntos
de vista: El religioso y el filosófico.
Fue discípul de Tales de Mileto, adquiriendo de éste,
el poder de los números, lo que le permitió medir la
altura de los objetos de sus sombras y la distancia
de un navi en el mar, Anaximando le muestra la
función de los números en la elaboración de los
mapas. Al viajar a Egipto se convirtió en depositario
de la sabiduría Egipcia. Una frase conocida de él es:
“La Sabiduría está en los números y la belleza en la
armonia esprituaL”. Pitágoras
“LA SIMPLICACIÓN DEL TEOREMA DE
PITÁGORAS”
Un interesante estudio matemático ha sido hecho por
un peruano. Consideramos que la simplificación
restringida del famoso Teorema de Pitágoras se hace
por primera vez desde hace 2600 años; en donde se
dice que: “En todo Triángulo Rectángulo Perfecto, el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los 2 catetos”.
El proceso de cálculo puede ser a veces engorroso,
pero la simplificación es simple y se enuncia así:
“Tratándose de triángulos rectángulos perfectos
expresados en números enteros y positivos, la
hipotenusa es igual al cateto mayor más 1 si es par; y
más 2 si este es impar”.
Por lo tanto de todos los triángulos Pitagóricos sólo 5
son Triángulos Rectángulos Perfectos: 3, 4, 5; 5, 12,
13, 7, 24, 25, 8, 15, 17 y 12, 35, 37 y sus múltiplos.
De lo expuesto, el cálculo de la Hipotenusa en estos
Triángulos Rectángulos Perfectos se simplifica
notablemente con tan sólo añadir 1 al cateto mayor si
éste es par, o 2 si este es impar. Esta simplificación
puede tener gran importancia en Geodesia,
Astronomía y Computación.
Teorema de Pitágoras
Inicialmente se mencionará los lados del triángulo
rectángulo.
Entonces el Teorema se define como:
«El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos».
Ejemplos:
1. Calcular la hipotenusa del triángulo
5 6 9
     
180ºA
rad
2


100°
50° 
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
2 2 2
c = a + b
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 PRIMER GRADO
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
“Innova Schools”
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46
RESOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Pitágoras
2. Calcular el cateto del triángulo
RESOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Pitágoras; tenemos:
12 = x
1. Del gráfico. Indica las longitudes de la
hipotenusa, cateto mayor y cateto menor
respectivamente.
Rpta.: .......................................................
2. Del gráfico. Indica las longitudes de la
hipotenusa, cateto mayor y cateto menor
respectivamente.
Rpta.: .......................................................
3. Escriba el Teorema de Pitágoras para el
triángulo.
Rpta.: .......................................................
4. Escriba el Teorema de Pitágoras para el
triángulo.
Rpta.: .......................................................
5. Calcula “x” en:
Rpta.: .......................................................
6. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
7. Calcula “x” en:
1
2
x
2 2 2
x 1 2 
2
x 1 4 
2
x 5
x 5
x
16
20
2 2 2
x 1 2 
2
400 x 256 
2
144 x
5
12
13
29
21 20
a
b
c
m n
p
x
24
10
1
3
x
x
3
2
PRACTICANDO EN CLASE
“Innova Schools”
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Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
47
Rpta.: .......................................................
8. Calcula “x” en:
Rpta.: .......................................................
9. Calcula “x” en:
Rpta.: .......................................................
10. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
11. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
1. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
2. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
3. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
4. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
5. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
6. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
25
20
x
25
24
x
15
17
x
1
1
1
x
3
1
1
2
x
4
1
x
3
1
1
2
x
4
1
1
4
5 17
8
x
2 1
x
1
10
x
13
5
61
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“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
48
7. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
8. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
9. Calcular “x” en:
Rpta.: .......................................................
10. Calcula “x” en:
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (R.T.) DE UN
ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
Se define como el cociente que se obtiene al
dividir las medidas de las longitudes de dos lados de
un triángulo rectángulo, respecto a uno de sus
ángulos agudos.
Dado el ángulo agudo a.
Se define las Razones Trigonométricas (R.T.)
Ejemplos:
1. Calcula el sena y cosa
2. Calcul: E=sena.cos
Calculando el sen y cos:
Reemplazando:
Multiplicando
17
10
x
6
10
x
8 4
2
x2
10
2
x
7
6
Hipotenusa

CatetoOpuestode
Cateto Adyacente de 
seno de = sen = 
cateto opuesto de
Hipotenusa

coseno de = cos = 
cateto adyacente de
Hipotenusa


4
5
3
3sen
5
 
4cos
5
 
3
1
10

1sen
10
 
3cos
10
 
1 3E
10 10
   
    
   
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 03 PRIMER GRADO
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
49
1. Del gráfico. Calcula sen
2. Del gráfico. Calcula cos.
3. Del gráfico. Calcula sen
4. Del gráfico. Calcula cos
5. Del gráfico. Calcula sen
6. Del gráfico. Calcula cos
Rpta.: .......................................................
7. Si: sen∝ = 1/2 Calcula cos
Rpta.: .......................................................
8. Si:
. Calcula sen
Rpta.: .......................................................
9. Del gráfico. Calcula “x”, si:
.
Rpta.: .......................................................
10. Del gráfico. Calcula “x”, si:
.
Rpta.: .......................................................
11. Del gráfico. Calcula “x”.
Rpta.: .......................................................
3E
10

16
12
20

20
15
25

4
3

12
5

15
17

6
10

4cos
5
 
2cos
3
 
x
60

3sen
4
 
x20

x
5
6
9
PRACTICANDO EN CLASE
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
50
12. Del gráfico. Calcula “x”.
Rpta.: .......................................................
13. Del gráfico. Calcula: N=sen+cos
Rpta.: .......................................................
14. Del gráfico. Calcula: T=sen+cos
Rpta.: .......................................................
15. Del gráfico. Calcula: T=sen+cos
Rpta.: .......................................................
16. Del gráfico. Calcula: N=cos–sen
Rpta.: .......................................................
1. Del gráfico. Calcula: B=sen+sen
2. Del gráfico. Calcula: C=cos.cos
3. Del gráfico. Calcula: M=sen+cos
4. Del gráfico. Calcula: L=cos–cos
5. Del gráfico. Calcula: V=2.sen
6
8
x 4
7
24

1
3

3
x+ 1

x
8
x+ 1

x-1
4
3

13

10
5
 
1
2a (4 - a)
10 5
 


n+ 5
n
10
2
2

3
PRACTICANDO EN CLASE
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
51
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
6. Del gráfico. Calcular:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
7. Si:
.
Calcula:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
8. Si:
.
Calcula:
A=3sen
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
9. Del gráfico. Calcula L=sen+cos
En el presente capítulo vamos a analizar tres tipos
de situaciones problemáticas:
1. Situaciones con palitos de fósforo
2. Transmisiones y engranajes
3. División de figuras
1. SITUACIONES CON PALITOS DE FÓSFORO
Esta parte de la matemática recreativa trata de
resolver situaciones en los cuales intervienen palitos
de fósforo o cerillas.
Las situaciones problemáticas se dividen en tres
tipos de análisis:
a. Resolver las situaciones quitando palitos.
b. Resolver las situaciones moviendo palitos.
c. Resolver las situaciones agregando palitos.
Estimado alumno para el análisis de las situaciones
anteriormente descritas debes de tener en cuenta
las siguientes consideraciones:
• No es válido doblar o romper los palitos.
• En las figuras conformadas por cerillas no es
válido dejar palitos libres (cabos sueltos); es
decir, es incorrecto dejar una figura de la
siguiente manera:
Veamos a continuación unos ejemplos
* Ejemplo 1
Quitar dos palitos de fósforo para que queden
solamente cuatro cuadrados iguales.
M 17 cos 
1
4

3sen
3
 
A 6.cos 
5cos
3
 
x-1
x+ 1

10
Palito libre o
cabo suelto
Palito libre
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO.
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 PRIMER GRADO
MATEMÁTICA RECREATIVA I
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
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52
Resolución
Al eliminar los palitos indicados, quedarán cuatro
cuadrados iguales de la siguiente manera:
* Ejemplo 2
En la siguiente igualdad incorrecta mover
solamente un palito de fósforo y transformarlo en
una igualdad correcta.
Resolución
Todos nosotros sabemos que 3 - 1 es igual a 2 y
no a 3 como aparece en la igualdad propuesta, por lo
tanto para lograr transformarla en una igualdad
correcta hay que mover un palito de la siguiente
manera:
2. TRANSMISIONES Y ENGRANAJES
En esta segunda parte analizaremos la
transmisión del movimiento que van a adquirir los
engranajes y las ruedas propuestas.
NOTA: No olvidar que existen dos tipos de giros:
Para una mejor comprensión del tema analizaremos y
completaremos las siguientes situaciones:
a. Situación 1
Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces
la rueda "B" girará en sentido antihorario.
Conclusión: Dos ruedas en contacto girarán en
sentidos opuestos.
b. Situación 2
Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces
la rueda "B" girará en sentido horario.
Conclusión: Dos ruedas unidas por una faja abierta
girarán en sentidos iguales.
c. Situación 3
Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces
la rueda "B" girará en sentido antihorario.
Conclusión: Dos ruedas unidas por una faja cruzada
girarán en sentidos opuestos.
d. Situación 4
Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces
la rueda "B" girará en sentido horario.
Conclusión: Dos ruedas unidas por el mismo eje
girarán en sentidos iguales.
A continuación resolveremos dos ejercicios con lo
anteriormente deducido:
Ejercicio 1
Si la rueda "A" gira en el sentido que indica la flecha,
¿en qué sentidos giran las ruedas "B" y "C"
respectivamente?
Giro
horario
Giro
antihorario
A B
A B
A B
B
A
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53
B. ____________________
C. ____________________
Ejercicio 2
Si la rueda "A" gira en sentido antihorario, ¿en qué
sentido giran las ruedas "B" y "C" respectivamente?
B. ____________________
C. ____________________
3. DIVISIÓN DE FIGURAS
En esta última parte de matemática recreativa
analizaremos la división de figuras en función de
diversas situaciones razonadas. Para ello estimado
alumno Trilce tendrás que utilizar toda tu agudeza e
ingenio matemático para sus respectivas
resoluciones.
Veamos a continuación algunos ejemplos:
* Ejemplo 1
Trazar dos líneas rectas y lograr dividir la figura
adjunta en cuatro partes.
Resolución
Realizamos los dos trazos de la siguiente forma:
1. A continuación se muestra una operación
incorrecta formada por palitos de fósforo:
Se le pide a Ud. que mueva un palito de fósforo
para transformarla en una igualdad correcta.
2. Observe la siguiente figura conformada por
palitos de fósforo:
Se le pide a Ud. que quite dos palitos de fósforo
con la finalidad de obtener tres cuadrados
iguales.
3. En la igualdad incorrecta que se propone a
continuación, ¿cuántos palitos hay que mover
como mínimo para lograr convertirla en una
igualdad correcta?
A B C
A B
C
TALLER Nº 01
“Innova Schools”
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Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
54
4. En la siguiente figura, ¿cuántos palitos hay que
quitar como mínimo para obtener tres triángulos
iguales?
5. En la figura adjunta, ¿cuántos palitos hay que
agregar como mínimo para lograr obtener dos
triángulos iguales y un rombo?
6. En los engranajes que se proponen a continuación,
la rueda "A" gira en sentido horario. Determinar
en qué sentido gira las ruedas "B" y "C"
respectivamente.
La rueda "B" gira en sentido: _______________
La rueda "C" gira en sentido: _______________
1. La siguiente figura representa un recogedor,
dentro del cuál se encuentra un papel. Cambiando
de posición dos palitos del recogedor, el papel
debe quedar afuera; ¿qué palitos tendrían que
moverse?
2. Cambiando la posición de dos palitos de fósforo
hay que reducir de 5 a 4, el número de cuadrados.
¿Cómo lo harías?
3. ¿Cuál será la menor cantidad de palitos a mover
para que el perrito mire para el otro sentido?
Observación: el perrito debe estar siempre con la
cola hacia arriba.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes
agregar para formar ocho cuadrados?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
A B C
PRACTIQUEMOS.
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
55
5. ¿Cuántos palitos de fósforo debes retirar como
mínimo para que quede uno?
a) 6 b) 7 c) 5
d) 8 e) 4
6. ¿En qué sentido giran "B" y "C", si el engranaje
"A" gira en el sentido que indica la flecha?
B.__________ C. __________
7. Si el engranaje "1" se mueve como indica la
flecha, decir cuántos se mueven en sentido
horario.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
8. Dividir la figura en cuatro partes exactamente
iguales en forma y tamaño.
9. Dividir la figura en cuatro partes exactamente
iguales en forma y tamaño.
10. ¿En qué sentido giran "B" y "C" respectivamente,
si "A" gira en el sentido que indica la flecha?
En los problemas que se proponen a continuación las
igualdades son incorrectas, en cada uno de ellos
mueva Ud. solamente un palito de fósforo y logre
transformarlas en igualdades correctas.
1.
2.
3.
4. Cambiando de posición un palito de fósforo hacer
que el animal representado mire al otro lado.
5. Se ha construido una casa utilizando diez palitos
de fósforo. Cambiar en ella la posición de dos
palitos de fósforo, de tal forma que la casa
aparezca de otro costado.
6. Se tienen doce palitos de fósforos dispuestos
como muestra el gráfico adjunto, usted debe
retirar dos palitos de fósforo y lograr que queden
solo dos cuadrados.
B
A
C
1
A
B
C
TAREA DOMICILIARIA Nº 01.
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
56
7. Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿en qué
sentido giran las ruedas "B" y "C"?
"B" gira en sentido __________
"C" gira en sentido __________
8. ¿En qué sentido giran los engranajes "A" y "D", si
"C" gira en el sentido que indica la flecha?
"A" gira en sentido __________
"D" gira en sentido __________
9. Si el engranaje "A" se mueve como indica la
flecha, indicar en qué sentidos giran "C", "D" y
"E".
"C" gira en sentido __________
"D" gira en sentido __________
"E" gira en sentido __________
10. Si el engranaje "E" gira tal y como indica la
flecha, mencione qué engranajes giran en sentido
antihorario.
11.Indicar cuántos giran en sentido horario, si el
engranaje "A" gira en el sentido que indica la
flecha.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 4 e) 8
OBJETIVO
En este capítulo, acorde a lo que vimos
anteriormente, seguiremos probando tu capacidad de
razonar tanto lógica como analíticamente, pues
recuerda estimado alumno que el objetivo es que
resuelvas los problemas en forma recreativa y
divertida.
En esta parte analizaremos las siguientes situaciones
problemáticas:
1. Formación de números utilizando las cuatro
operaciones fundamentales.
2. Construcciones numéricas
3. Situaciones razonadas diversas
1. FORMACIÓN DE NÚMEROS
En este subcapítulo el objetivo principal va a ser
formar números dadas cierta cantidad de cifras,
para ello utilizarás las cuatro operaciones
fundamentales como base para la resolución de los
problemas. Recuerda que aquí pondrás a prueba toda
tu habilidad numérica y operativa.
Veamos a continuación dos ejemplos:
* Ejemplo 1
Con tres cifras "4" y utilizando las operaciones
fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y
división) formar el número 5.
Resolución
C B A
C
BA
D
E
C
A
D
E
B
B
C
D
A
E
A
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 PRIMER GRADO
MATEMÁTICA RECREATIVA II
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
57
Para formar el número 5 hay que emplear las tres
cifras "4" de la siguiente forma:
2. CONSTRUCCIONES NUMÉRICAS
En esta parte de la matemática recreativa
deberás colocar en los círculos o recuadros en blanco
ciertas cifras, con el objetivo de obtener
construcciones numéricas en las figuras propuestas.
NOTA: Cuando coloques las cifras propuestas en las
figuras adjuntas no es válido repetir las cifras.
Para un mejor entendimiento resolveremos dos
ejemplos:
* Ejemplo 1
Completar los números que faltan en los casilleros
en blanco de la torre mostrada, con la condición que
el casillero superior sea la suma de los dos inferiores
y adyacentes a él.
Para un mejor entendimiento completaremos paso a
paso los casilleros en blanco.
3. SITUACIONES RAZONADAS DIVERSAS
Esta última parte tratará de ciertas situaciones
problemáticas donde su resolución requiere de la
aplicación del razonamiento e ingenio matemático.
Esperamos que este subcapítulo sea tan
interesante como los anteriores.
* Ejemplo 1
La siguiente figura representa seis copas, las tres
primeras están llenas con vino y las tres últimas
están vacías. Moviendo una sola copa lograr que éstas
queden alternadas; es decir, una llena y una vacía,
¿qué copa moverías y cómo?
Resolución
Moveríamos la copa 2 y vaciamos su contenido en la
copa 5.
Luego de ello quedaría así:
1. Con cinco cifras "5" y utilizando las operaciones
fundamentales (adición, sustracción,
multiplicación y división) formar el número 5.
2. Con cinco cifras "9" y utilizando las cuatro
operaciones básicas obtener el número 12.
3. Con siete cifras "7" y utilizando las cuatro
operaciones fundamentales formar el número 17.
4. Colocar las cifras del 1 al 7, una en cada círculo,
de tal manera que la suma en cada línea de tres
círculos sea 10.
5. Complete los números que faltan en los casilleros,
teniendo en cuenta que la suma de dos números
de casilleros consecutivos de cualquier fila debe
dar el número en el nivel inmediato superior.
514
4
4
4 
9
5
3
9
5
3
9
5
3
9
5
3
4 4
2 2 2 1
1 2 3 4 5 6
1 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
6
5 8 10
1
PRACTIQUEMOS.
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
58
6. Se colocan nueve monedas tal como indica la
figura, dibujando solamente dos cuadrados
deberás ubicarlos en regiones que contengan
solamente una moneda.
7. ¿Cuántas monedas se deben cambiar de lugar
como mínimo para pasar de la posición "A" a la
posición "B"?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
8. Se desea dividir una torta en ocho partes
utilizando únicamente tres cortes, ¿cómo deberá
realizar dichos cortes?
9. Colocar los números del 1 al 7 sin repetir, de tal
manera que los números de arriba sean el
resultado de la suma de los dos de abajo
adyacentes a él.
10. Dos adultos y dos niños deben cruzar un río
empleando para ello una canoa que soporta como
máximo 80 kg. Si cada niño pesa 40 kg y cada
adulto 80 kg, ¿cómo deben hacer para cruzar
todos en la menor cantidad de viajes?
11. Colocar las cifras del 1 al 7 en cada espacio de los
círculos para que la suma de los números de cada
círculo sea 13.
12. A Coquito se le cae su reloj, quedando este
partido en tres, y observa curiosamente que en
cada región la suma de sus valores es la misma.
Indicar cómo quedó dividido dicho reloj.
1. Se tienen las siguientes cifras: 3; 3; 3 Se le pide
a Ud. que con ellas y utilizado adecuadamente uno
o más signos aritméticos (+, -, x, :) obtenga como
resultado 12.
2. Se proponen las siguientes cifras: 5; 5; 5. Se le
pide a Ud. que con ellas y empleando
adecuadamente uno o más signos aritméticos (+, -,
x, :) obtenga como resultado 4.
3. Con solamente cuatro cifras "2" y utilizando
correctamente uno o más signos aritméticos
obtenga como resultado 5.
A B
12
6
9 3
1
2
8
7
4
5
10
11
TALLER Nº 02.
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
59
4. Con solamente cuatro cifras "6" y empleando
convenientemente uno o más signos aritméticos
obtenga como resultado 7.
5. En los círculos vacíos del triángulo mostrado
coloque Ud. sin repetir las cifras: 0; 1; 2; 3; 4 y 5
con la condición que cada uno de sus lados
siempre sumen 9.
6. Coloque Ud. las cifras: 1; 2; 3; 4; 5 y 6 (sin
repetir) en los círculos vacíos de la siguiente
figura, con la condición que la suma de cada lado
del triángulo sea igual a 11.
7. Complete los números que faltan en los casilleros
de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que
la suma de los números de dos casilleros
adyacentes resulte el casillero inmediato
superior.
8. Complete los números que faltan en los casilleros
de la pirámide adjunta, con la condición que la
suma de los números de dos casilleros adyacentes
den como resultado el casillero inmediato
superior.
1. Con tres cifras "2" y utilizando las operaciones
fundamentales (adición, sustracción,
multiplicación y división) formar el número 3.
2. Con tres cifras "6" y utilizando las cuatro
operaciones básicas obtener el número 30.
3. Con cuatro cifras "5" y utilizando las cuatro
operaciones fundamentales formar el número 7.
4. Solamente con cuatro cifras "4" y utilizando las
operaciones fundamentales obtener los números
del 1 al 10 inclusive.
1 =
2 =
3 =
4 =
5 =
6 =
7 =
8 =
5 2 4
28
12
8
1
TAREA DOMICILIARIA Nº 02.
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Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
60
9 =
10 =
5. Colocar los números del 1 al 6 (sin repetir) en los
círculos del triángulo, de manera que la suma por
lado sea igual a 12.
6. Colocar los números del 1 al 8, de tal forma que
en cada ficha la suma sea la misma.
7. Complete los números que faltan en los casilleros,
teniendo en cuenta que la suma de dos números
consecutivos de cualquier fila, debe dar el número
superior.
8. Complete los números que faltan en los casilleros,
teniendo en cuenta que la suma de dos números
consecutivos de cualquier fila debe dar el número
superior.
9. Disponer los números del 3 al 8 (sin repetir) en
los círculos del triángulo, de manera que la suma
por lado sea igual a 18.
10. Colocar los números del 1 al 9 (sin repetir) en los
círculos de la cruz, de manera que la suma por
cada fila (vertical y horizontal) sea igual a 27.
11. En los círculos de la rueda disponer los números
del 1 al 9 (sin repetir) de modo que la suma por
cada diámetro sea igual a 15.
Estos problemas se caracterizan por presentar un
conjunto de datos desordenados que necesariamente
contienen toda la información que se requiere para
dar la solución y su respectiva respuesta a dichos
problemas. Una manera sencilla de resolverlos es
procediendo de la forma más esquemática posible, es
decir, realizando gráficos, dibujando figuras,
trazando líneas, etc. En otras palabras, tratando de
representar gráficamente los datos del problema y
no pretender llevar todas las relaciones utilizando
solamente la lógica.
Esta primera parte tratará exclusivamente del
ORDENAMIENTO LINEAL, para lo cual
analizaremos los tres casos que presenta este
ordenamiento, que son:
1. Ordenamiento creciente y decreciente
2. Ordenamiento lateral
3. Ordenamiento por posición de datos
29
15
8
7
5
6
4
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 0
ORDEN DE INFORMACIÓN I
“Innova Schools”
Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
61
1. ORDENAMIENTO CRECIENTE Y
DECRECIENTE
Este caso se reconoce porque los datos que se
presentan son susceptibles a ser ordenados de mayor
a menor y viceversa (en forma creciente o
decreciente), por ejemplo nuestras edades,
estaturas, pesos, puntajes que obtenemos en un
examen, etc.
Para una mejor comprensión de este ordenamiento
resolvamos a continuación dos ejemplos:
* Ejemplo 1
José es más alto que Eduardo pero más bajo que
Gildder, Rommel es más alto que Gildder pero más
bajo que Alex.
¿Quién es el más alto de todos?
¿Quién es el más bajo de todos?
Resolución
Una forma óptima de resolver este problema es
trazar una línea vertical que nos servirá de guía para
no confundir la información dada, es decir, de la
siguiente manera:
José es más alto que Eduardo pero más bajo que
Gildder
Rommel es más alto que Gildder pero más bajo que
Alex
Por lo tanto el ordenamiento quedaría así:
Luego el más alto de todos es Alex y el más bajo de
todos es Eduardo.
2. ORDENAMIENTO LATERAL
En este caso el ordenamiento de los datos se
realiza lateralmente (en forma horizontal), por
ejemplo cierta cantidad de personas sentadas en una
banca (cada una se encuentra al lado de otra) o un
conjunto de casas construidas en una avenida una a
continuación de otra.
Antes de resolver los ejercicios estimado alumno
debes de saber que en un ordenamiento lateral se
cumple lo siguiente:
IZQUIERDA  DERECHA
OESTE  ESTE
OCCIDENTE  ORIENTE
NOTA: Es frecuente que en este tipo de
ordenamiento encuentres la palabra ADYACENTE, la
cual quiere decir "junto a" o "al lado de".
3. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE
ELEMENTOS
Es aquel ordenamiento donde los datos ocupan
posiciones determinadas o fijas, como los pisos
ubicados en un edificio o los puestos que existen en
una competencia deportiva (primer puesto, segundo,
tercero, etc.).
1. Se sabe que Arturo es menor que Jorge y que
Fernando, pero Jorge es mayor que Fernando.
¿Quién es el menor de todos ellos?
2. De tres amigas se sabe lo siguiente:
* Andrea es menor que Gabriela.
* Vania es mayor que Andrea.
* Gabriela es menor que Vania.
De todas ellas, ¿quién es la menor?
Gildder
José
Eduardo
Gildder
Alex
Rommel
Gildder
Alex
Rommel
Eduardo
José
TALLER Nº 03
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Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
62
3. Si se sabe que:
* Sergio es más alto que María pero más bajo
que Luis.
* Tania es más baja que María.
¿Quién es el mayor y la menor respectivamente?
4. A una fiesta asisten cinco amigos y respecto a
ellos se tiene la siguiente información:
* Antonio es más alto que Bernardo.
* Carlos es el más alto de todos.
* David es más alto que Antonio.
* Eduardo es más bajo que Antonio.
Si Eduardo no es el menor de todos, ¿quién lo es?
5. Tres amigos viven en casas adyacentes. Si
Gildder vive a la izquierda de Rommel pero a la
derecha de José, ¿quién vive a la izquierda de los
demás?
6. Cuatro señoritas viven en casas contiguas y se
sabe que:
* La casa de Dora queda junto y a la derecha de
la casa de Amanda.
* Carmen vive a la izquierda de la casa de Dora.
* Beatriz vive a la derecha de la casa de
Amanda.
¿Quién vive a la derecha de las demás?
1. De un grupo de personas se sabe lo siguiente:
Eduardo tiene 3 años más que Rubén, éste tiene 2
años más que Danny, Manuel 5 años más que
Eduardo y John tiene 4 años más que Manuel.
¿Quién es la persona que tiene más edad?
a) Rubén b) Danny c) Manuel
d) Eduardo e) John
2. En una reunión un caballero comenta lo siguiente:
"Mariela pesa 4 kg menos que Sofía, Vanessa pesa
3 kg más que Sofía, Roxana pesa 2 kg menos que
Paola y ésta pesa 1 kg menos que Mariela". ¿Quién
es la señorita que pesa menos?
a) Sofía b) Vanessa c) Mariela
d) Paola e) Roxana
3. En un examen de Razonamiento Matemático se
obtiene la siguiente información: Tiburcio obtuvo
5 puntos más que Florencio, quién a su vez obtuvo
3 puntos menos que Clodomiro, Pancracio sacó 6
puntos más que Eucalipta, ésta sacó 7 puntos
menos que Tiburcio y Anacleta 2 puntos más que
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  • 2. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 2 Veamos: Jeremy 76 kg. Como te darás cuenta las joyas van agrupadas de 3 en 3, de ahora en adelante lo representaremos: = 2 2 1 (3) Me indica de cuanto en cuanto se agrupan Pero también existen muchas formas de agrupar, ahora bien intenta agrupar todos los rubíes de 4 en 4: = 2 2 1 (3) = (4) Me indica de cuanto en cuanto se agrupan, a este número se le llama “Base” Base Nombre del sistema Cifra que se usan 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, …………………………………... 0, 1, 2, 3, ………………………….. …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… Por ejemplo: 1. Los meses del año se agrupan en ____________ meses, que es lo mismo que usar el sistema ____________ 2. Los días de la semana se agrupan en ________ 7 días, que equivale a usar el sistema ____________ 3. Cuando compras plátanos los venden por manos lo que equivale a usar el sistema __________ Menciona 3 ejemplos de otro sistema de numeración: 1. _______________________________ 2. _______________________________ 3. _______________________________ Jotar y su alumno luego de tantas travesías se quedaron sin dinero y muy hambrientos vagando por el desierto a punto de morir, pero por suerte para ellos encontraron una lámpara mágica en la cual vivía un genio que les concedió el siguiente deseo: “Podrás pedir la cantidad de monedas de oro que desees pero ten en cuenta que 3 monedas se convertirán en una jarra de agua más pura, asimismo 3 jarras de agua se convertirán en un suculento plato de exquisitos manjares y por último ARITMÉTICA NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 PRIMER GRADO = = = = = = = = = = 2 2 1 = 2 2 1 ASISTEMAS DE NUMERACIÓN
  • 3. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 3 3 platos de exquisitos manjares se convertirán en cenizas, usa sabiamente tu deseo” y diciendo estas palabras desapareció. ¿Cuál es la mayor cantidad de jarras y platos de manjares que podrán obtener Jotar y su alumno sin que se conviertan en cenizas? Alumno Jotar ¿Qué base se ha utilizado? _____________ ¿Cuál es la mayor cifra? _____________ ¿Y la menor cifra? _____________ EENN GGEENNEERRAALL:  Si la base es n:  Mayor cifra a utilizar: ______  Menor cifra a utilizar: _____________  “n” tiene que ser un _____________ entero y mayor ______________  Las cifras son ______________ que la base. Ejemplo: - Si la base es 4: La mayor cifra será: ____________ La menor cifra será: ____________ El mayor número de 2 cifras es : _________ El menor número de 2 cifras es : _________ - Si la base es 8: La mayor cifra será: ____________ La menor cifra será: ____________ El mayor número de 3 cifras es : _________ El menor número de 3 cifras es : _________ - Base 12: Mayor cifra: _____________ Menor cifra: _____________ Mayor número de 3 cifras: _____________ Menor número de 3 cifras: _____________ OOBBSSEERRVVAACCIIÓÓNN  Todo número entre paréntesis representa una sola cifra excepto la base: 4 (12) 8 (13) Tiene 3 cifras y no 4 1 cifra 1 cifra 1 cifra 7 (16) (13) 6 (20) Tiene 4 cifras y no 6 1 cifra 1 cifra 1 cifra 1 cifra  Cuando se quiere representar un número y no se conocen las cifras se utilizan letras del alfabeto y una barra encima de las cifras. Ejemplo: Un número de 3 cifras: abc Un número de 4 cifras en base 5 )5(abcd abc  abc abc es un número de 3 cifras abc = a x b x c  CCOONNVVEERRSSIIÓÓNN DDEE UUNN NNÚÚMMEERROO EENN BBAASSEE ““nn”” AA BBAASSEE 1100 Nos encontramos nuevamente en la cueva del espíritu avaro y Jotar ha logrado salir sano y salvo con 2 rubíes y 2 lingotes de oro que era lo máximo que podía cargar sin que muriera en la cueva. También ingresó a la cueva el alumno de Jotar y salió de la cueva cargando 2 rubíes, 2 estrellas y 2 lingotes que también era lo máximo que podía cargar sin que muriera. ¿Cuántos kg. de joyas cargó Jotar y su alumno?
  • 4. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 4 Jotar = 2 x 3 x 3 + 2 = 20 = 2 x 32 + 0 x 31 + 2 x 1 Alumno = 2 x 3 x 3 + 2 x 3 + 2 = 26 = 2 x 32 + 2 x 31 + 2 x 1 A este proceso se le llama “Descomposición polinómica” Descomponer polinómicamente: - 53(6) = 5 x 61 + 6 x 1 - 123(4) = 1 x 42 + 2 x 41 + 3 11212(4) = 1 x + 1 x + 2 x + 1 x + 2 )n(abc = a x n2 + b x n + c )n(abcd = ____ + ____ + ____ + ____ AAPPLLIICCAACCIIÓÓNN Hallar “a” si )4(3a = 11 RREESSOOLLUUCCIIÓÓNN Se utiliza la descomposición polinómica: 11 = )4(3a = a x 4 + 3 11 = a x 4 + 3 11 – 3 = 4 x a 8 = 4a 4 8 = a  a = 2 La descomposición polinómica sirve para pasar un número en base “n” a la base 10.  OOTTRRAA FFOORRMMAA DDEE CCOONNVVEERRTTIIRR UUNN NNÚÚMMEERROO EENN BBAASSEE ““nn”” AA BBAASSEE 1100 123(4) 1 2 3 4 4 24 6 27 1 Método de Ruffini 123(4) = 27 Este método es más práctico cuando el número tiene más de 2 cifras. La numeración es una parte ______________ que se encarga del estudio de la ___________ lectura y _______________ de los números. 2 0 2 = 2 0 2(3) 32 31 1 2 2 2 = 2 2 2(3) 32 31 1 5 3(6) 61 1 1 2 3(4) 42 41 1 x x + +
  • 5. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 5 1.Completar la siguiente oración de manera correcta:  La base de un sistema de numeración es un número __________________________ mayor que __________ 2. ¿Cuál es la mayor cifra que se puede utilizar en un sistema de: A.  Base 6? _________________  Base 13? _________________  Base M? _________________  Base (M - 2)? _________________ B.  Base 7? _________________  Base 16? _________________  Base (N + 1)? _________________  Base (6 - N)? _________________ 3. Contesta las siguientes preguntas: A.  El número 28(3) está mal escrito porque _________________________________ __________________________________  El número 387(-4) está mal escrito porque_______________________________ ___________________________________ B.  El número 4(-8)(12) está mal escrito porque ________________________ _____________________________  El número )1(abc está mal escrito porque _________________________________ 4. Escribir: A.  El mayor número de 3 cifras de la base 7: ________  El mayor número de 4 cifras diferentes de la base 8: _____________ B.  El mayor número de 4 cifras de la base 8: _____________  El mayor número de 3 cifras de la base (N + 2): _____________ 5. Escribir: A.  El menor número de 4 cifras de la base 6: _______________  El menor número de 3 cifras diferentes de la N _______________ B.  El menor número de 3 cifras de la base 4: _______________  El menor número de 5 cifras de la base N: _______________ 6. Indique que números están mal escritos: A) I) 104(3) II) 806(9) III) )1b(aba  (b > a > 0) (a, b enteros) a) I b) II c) III d) I y II e) I y III B) I) )6(34c II) 483(9) III) 12345(4) (c > 6) a) I b) II c) III d) I y II e) I y III 7. ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números, si están bien escritos? A) I) )8(2ab tiene: _____________ II) (10) (11) 84(13) tiene: _____________ III) )7(c)1a(a  tiene: _____________ EJERCICIOS DE APLICACIÓN
  • 6. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 6 1. Colocar > ; < ó = según corresponda: A) 24(5) …………………… 23(6) 30(9) …………………… 27 B) 17(9) …………………… 18(9) 13(4) …………………… 12(5) 2. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a” en? A) I) )9(86a II) )4()2a)(1a(a  B) I) )6(3a II) )6()1a)(3a(a  3. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a” en? A) I) )6()a2(a2 II) )6(3 a 2 a 1             B) I) )7()a3(a2 II) )a2( 2 a 8       4. Hallar los valores de “a”, “b”, “c” y “d”, si los siguientes números están bien escritos. Dar como respuesta la suma de cifras. A) )5()c()d()b( 1c;3d2;1b;1a a) 3 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12 5. Hallar los valores de “a” y “b” si los siguientes números están bien escritos. Dar como respuesta la suma de “a + b”             2 b 3 b a;8b )a( a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e) 18 6. Hallar el valor de “a” si: )7(6a = 41 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 TALLER Nº 01
  • 7. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 7 1. ¿Cuál es la mayor cifra que se puede utilizar en un sistema de:  Base (N + 3)? ____________  Base 14? ____________ 2. Contesta las siguientes preguntas:  El número 2(13)(12) está mal escrito porque ____________________  El número 13(-2)(3) está mal escrito porque ____________________ 3. Escribir:  El mayor número de 3 cifras diferentes de la base 8.  El mayor número de 3 cifras diferentes de la base 5. 4. Escribir:  El menor número de 3 cifras diferentes de la base 7.  El menor número de 4 cifras diferentes de la base 6. 5. Indicar que números están mal escritos: I) 348(12) II) 776(7) III) )1(abc a) I b) II c) III d) I y II e) II y III 6. ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números, si están bien escritos? I) )8(34ab II) )9(xy7 III) )11(ab)ab(12 a) 4; 3; 3 b) 4; 3; 4 c) 4; 3; 5 d) 4; 4; 4 e) 4; 4; 5 7. Colocar > ; < ó = según corresponda:  231(6) 130(9)  396 1234(5) 8. ¿Cuánto suman los posibles valores de “a” en: ? (a  0) I) )a10(376  II) )a12(02a  a) 2 ; 10 b) 2 ; 15 c) 3 ; 15 d) 3 ; 10 e) 4 ; 15 9. ¿Cuánto suman los posibles valores de “a” en? )12(2 a )a2)(1a(       a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 10. Hallar los valores de “a” y “b”, si los siguientes números consecutivos están ordenados de manera ascendente. Dar como respuesta “(a + b)” )9(a2 ; 35(6) ; 30(b) a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 11. Hallar el valor de “a”; si: )9(7a3 = 286 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 12. Calcular el valor de “a”, si: )5(2a + 13(4) = 19 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 13. Calcular el valor de “a”, si: )7()8( 4a1a  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. Ordenar de mayor a menor los siguientes números: 34(8) ; 45(6) ; 1101(2) 15. Hallar “x” si: 21(x) + 35(x) = 36 a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 TAREA DOMICILIARIA Nº 01
  • 8. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 8 ¿Cómo se lleva un número en la base 10 a otra base? 20 2 20 10 2 0 10 5 2 0 4 2 2 1 2 1 0 20 = 10100(2) A este método se le llama “Método de divisiones sucesivas” ¿En que consiste? Consiste en ……………………………………… sucesivamente hasta que el último ………………………………………… sea menor que el ……………………………………………… IINNTTEENNTTEEMMOOSSLLOO NNUUEEVVAAMMEENNTTEE: Expresar 45 en base binaria. 45 2 44 22 22 11 2 0 10 2 1 4 2 2 2 1 0 45 = ………………. (2) Pero también se puede expresar en otra base expresar 45 en base cuaternaria. 45 4 44 11 4 1 8 2 3 45 = ……………(4) = ………………… (2)  TTUU TTUURRNNOO Convierte: 1. 347 a base 6 2. 624 a base 7 3. 438 a base 5 4. 488 a base 12 5. 678 a base 14 Ahora convierte los siguientes números a la base 10. 1. 288(9) = 2. 555(6) = Exprésalos luego en la base 4. 288(9) = …………………… (10) = …………..………… (4) 555(6) = …………………..…(10) = …………..………… (4) Expresar: 322(5) a base 7 ¿Qué hago? Método: 322(5) se lleva a base 10 y luego a base 7 EENN GGEENNEERRAALL Convertir )n(abc a base m (n  m  10) Método: )n(abc Se lleva a base 10 y luego a base m (Descomposición (Divisiones Polinómica) Sucesivas) NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 PRIMER GRADO (7) (m) CAMBIO DE BASE.
  • 9. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 9 1. El método de divisiones sucesivas consiste en …………………………………………… sucesivamente hasta que el ……………………………………………… sea menor que el ……………………………………………… 2. Relacionar ambas columnas adecuadamente: I) 23(5) ( ) 15 II) 15(7) ( ) 13 III) 33(4) ( ) 12 3. Convertir:  123 a base 6: ………………………………….. 254 a base 7: …………………………………… 4. Convertir:  432(5) a base 7: ……………………………  202(3) a base 8: …………………………… 5. Colocar “V” o “F” según corresponda: I. 27 = 102(5) ( ) II. 57 = 321(6) ( ) III. 10 = 1010(2) ( ) IV. 22 = 113(4) ( ) 6. Colocar > ; < ó = según corresponda:  16(7) 15(8)   23(5) 23(6)   28(9) 121(4) 7. A. ¿Cómo se expresa en base 5 el menor número de 3 cifras de la base 6? a) 122(5) b) 102(5) c) 121(5) d) 111(5) e) 100(5) B. ¿Cómo se expresa en base 4 el mayor número de 2 cifras de la base 7? a) 302(4) b) 330(4) c) 300(4) d) 320(4) e) 303(4) 8. ¿Cómo se expresa en base 6 el menor número de 3 cifras diferentes de la base 8? a) 150(6) b) 151(6) c) 115(6) d) 125(6) e) 152(6) 9. A. Expresar el menor número de la base 10, cuya suma de cifras es 23, en el sistema heptal. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 B. Expresar el menor número, cuya suma de cifras es 19, en el sistema senario. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 10. Si: )8(mnp = 312(7) Hallar: m + n + p a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 11. Si: )9(abc = 175 Hallar: a + b + c a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 12. Hallar “x” si: xxx = 4210(5) a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 13. Convertir: A. 1023(5) a base 25 a) 513(25) b) 5(13) (25) c) 6(13) (25) d) 512(25) e) 5(12) (25) B. 11102(3) a base 9 a) 442(9) b) 142(9) c) 332(9) d) 342(9) e) 742(9) EJERCICIOS DE APLICACIÓN
  • 10. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 10 1. Relacionar ambas columnas adecuadamente I) 21(6) ( ) 13 II) 32(4) ( ) 19 III) 201(3) ( ) 14 2. Convertir:  178 a base 9 : ……………………………………………  125 a base 4 : …………………………………………… 3. Convertir:  23(6) a base 8 : …………………………………………  17(9) a base 3 : ………………………………………… 4. Colocar “V” o “F” según corresponda: I. 29 = 45(6) ( ) II. 35 = 50(7) ( ) III. 19 = 17(8) ( ) IV. 63 = 70(9) ( ) 5. Colocar > ; < ó = según corresponda:  28(11) 43(9)  37(9) 41(8) 6. Expresar )9(abc en la base 10, si )9(abc es el menor número posible. a) 9 b) 81 c) 729 d) 18 e) 27 7. Expresar )6(abc a base 8, si )6(abc es el mayor número posible. a) 321(8) b) 323(8) c) 325(8) d) 327(8) e) 329(8) 8. Expresar el menor número de la base 10, cuya suma de cifras es 12, en el sistema octal. a) 36(8) b) 47(8) c) 43(8) d) 51(8) e) 56(8) 9. Si: a  b  c  d Sumar: )4(a1 ; )4(b1 ; )4(c1 ; )4(d1 en la base 10. a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26 10. Si: N = 7 x 123 + 8 x 122 + 9 x 12 + 18 Convertir N a base 12. a) 789(15)12 d) 7996(12) b) 7896(12) e) 789(10)(12) c) 78(10)6(12) 11. Convertir: 23112(4) a base 16 12. Calcular “a” si: )3(1a = 100(2) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 TAREA DOMICILIARIA Nº 02
  • 11. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 11 1. Hallar “a + b”, si: )9(ab = 143(5) a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 2. Hallar “a” si: )4(aaa = 132(5) a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 3 3. Hallar “a” si: )6(aa = 111(4) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Convertir: 11102(3) a base 9 a) 442(9) b) 142(9) c) 332(9) d) 342(9) e) 742(9) 5. Si: N = 73 x 5 + 72 x 4 + 7 x 3 + 9 Convertir N a base 7 a) 5439(7) b) 5432(7) c) 5442(7) d) 5437(7) e) 5449(7) 6. Si: N = 83 x 7 + 82 x 5 + 8x 4 + 20 Convertir N a base 8. a) 7542(8) b) 5472(8) c) 754(20)(8) d) 7564(8) e) 8564(8) TALLER Nº 02.
  • 12. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 12 DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD  IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN La suma, diferencia y producto de dos números enteros resulta siempre enteros. Es lo que suele llamarse a veces “Conjunto cerrado” de números enteros, refiriéndose a las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Pero referido a la operación de división, este conjunto deja de ser cerrado: hablando en general, el cociente de la división de un entero por otro puede no ser entero. Al expresar “número” vamos a entender siempre, si no se dice lo contrario, que es entero. En la lectura “La Herencia” el número de camellos ¿se podía dividir exactamente entre 2? Rpta.: _____________  DDIIVVIISSIIÓÓNN Si un número A se puede dividir exactamente entre otro B se dice que: “A es divisible por B”. Ejemplo: ¿Entre qué números se puede dividir exactamente 24 aparte del 1? 24 2 24 3 24 4 24 6 24 12 24 8 24 6 24 4 0 0 0 0 24 8 24 12 24 24 24 3 24 3 24 1 0 0 0 24 se puede dividir entre 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 24 es divisible por 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 Los divisores de 24 son 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 ¿Entre que números es divisible 16? 16 es divisible por ____ , ____, ____ , ____  CCRRIITTEERRIIOOSS DDEE DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD II.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD PPOORR 22  DDiivviissiibbiilliiddaadd ppoorr 22 == ((2211 )) Calcula el residuo de las siguientes divisiones: 47  2 = _______ resto ________ 24  2 = _______ resto ________ 320  2 = _______ resto ________ Un número es divisible por 2 si termina en _____________ o en número _____ Ejm: 46 es divisible por 2 46 es múltiplo de 2 46 =  2 87 no es divisible por 2 porque resta _______________ 87 se puede dividir entre 2 con resto _______________ 87 es múltiplo de 2 con resto _______________ 87 =  2 + resto _______ divisible por 2 porque resta ___________ 59 =  2 + 63 ________ divisible por 2 porque resta ____________ 63 =  2 +  DDiivviissiibbiilliiddaadd ppoorr 44 == ((22 22 )) Un número es divisible por 4 si sus _____ últimas ________ son ___________ o múltiplo de ___________. Ejm: ¿ 844abc es divisible por 4? Si, porque: 84 es múltiplo de 4 NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 03 PRIMER GRADO DIVISIBILIDAD.
  • 13. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 13  4484abc  ¿231 25 es divisible por 4? No, porque 25 no es múltiplo de 4 25 =  4 con resto _____ 23125 =  4 con resto _____ 23125 =  4 + _____  DDiivviissiibbiilliiddaadd ppoorr 88 == ((22 33 )) Es divisible por 8 cuando sus _________ últimas cifras son ____________ o múltiplo de _______________ ¿ 128ab35ab48 es divisible por 8? Si, porque 128  8 = ________, residuo _______ ¿36894 211 es divisible por 8? ______, porque 211  8 = _____resto ________ 36894211 =  8 + _______ IIII.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD PPOORR 55nn  DDiivviissiibbiilliiddaadd ppoorr 55 == ((5511 )) ¿En qué cifra debe terminar un número para que sea divisible por 5? Veamos: 120  5 resto ____________ 241  5 resto ____________ Para que un número sea divisible por 5 su última _________ debe ser _________ o ________ 120 =  5 241 =  5 + 1 633 =  5 + 684 =  5 + 482 =  5 + 905 =  5 +  DDiivviissiibbiilliiddaadd ppoorr 2255 == (( 55 22 )) Un número es divisible por 25 cuando sus _______________ cifras son ________ o múltiplos de ___________. Ejem: 00abc es divisible por 25 porque sus 2 últimas cifras son ___________ ¿48575 es divisible por 25? ________ porque 75 ________ múltiplo de 25. ¿Cuál es el resto en:  2528abc48  + resto? Rpta.: _____________ ¿Cuándo un número será divisible por 125 = 53 ? Rpta.: _____________ IIIIII.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD PPOORR 33 YY 99  Un número es divisible por 3 si la ______ de sus ________ es ___________ de 3. Ejm: ¿48651 es divisible por 3? Solución: 4 + 8 + 6 + 5 + 1 = 24 24 es múltiplo de 3 48651 es divisible por 3 48651 =  3 ¿352164 es divisible por 3? 3 + 5 + 2 + 1 + 6 + 4 = ______ múltiplo de 3 352164 __________ divisible por 3. ¿368851 es divisible por 3? No, porque 3 + 6 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31 31  3 = ______ resto _____ =
  • 14. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 14 31 =  3 + 368851 =  3 +  Un número es divisible por 9 si la __________ de sus ________ es ________ de 9. Ejm: ¿4329918 es divisible por 9? Si, porque 4 + 3 + 2 + 9 + 9 + 1 + 8 = 36 36  9 = 4 4329918 =  9 ¿72652 es divisible por 9? No, porque 7 + 2 + 6 + 5 + 2 = 22 22  9 = ______ resto ______ 22 =  9 + 72652 =  9 + IIVV.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD PPOORR 1111 ¿84436 es divisible por 11? ¿Cómo saberlo? PASO 1.- Empezando por la cifra de la derecha (6) se suman de manera intercalada las cifras. 8 4 4 3 6 6 + 4 + 8 PASO 2.- A este resultado se le resta la suma de las cifras que quedaron. 8 4 4 3 6 = (6 + 4 + 8) – (4 + 3) = 18 – 7 = 11 =  11  84436 es divisible por 11 Si el resultado fuera cero también será divisible por 11. ¿51030507 es divisible por 11? 5 1 0 3 0 5 0 7 (7 + 5 + 3 + 1) – (0 + 0 + 0 + 5) 16 – 5 = 11 =  11  51030507 es divisible por 11 ¿Cuál es el valor de “a”? Si: 548429 =  11 + a 5 4 8 4 2 9 (9 + 4 + 4) – (2 + 8 + 5) 17 – 15 = 2 2  11 = ____ resto 548429 =  11 + a = 1. Completar en los espacios en blanco adecuadamente  Si un número termina en cero o cifra par entonces será siempre divisible por _____  Si un número termina en cero o cifra 5 entonces será siempre divisible por _____ 2. Relacione ambas columnas: I. 4125 ( )  2 II. 81423 ( )  3 III. 26132 ( )  5 3. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:  El número 46ab es divisible por 4 ( )  El número abba es divisible por 11 ( ) = = = EJERCICIOS DE APLICACIÓN
  • 15. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 15  El número 25ab es divisible por 25 ( ) 4. Hallar “a”, si: 825a483   a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 5. Hallar “a”, si: 29a36482a   a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 6. Hallar el valor de “a” si:  36a7  y  5bca4  a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Hallar el valor de “a” si:  11a3b  y  5b4  a) 7 b) 5 c) 9 d) 8 e) 0 8. Si:  5b43b  Calcular el residuo de dividir: b437 entre 9. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Si:  11a864  Calcular el residuo de dividir: 8dba entre 4. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 10. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en: 1; 2; 3; 4; 5; … ; 300? a) 30 b) 33 c) 34 d) 37 e) 38 11. ¿Cuántos múltiplos de 7 hay en: 1; 2; 3; 4; 5; … ; 564? a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100 1. ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en: 21; 22; 23; … ; 287? a) 29 b) 28 c) 30 d) 31 e) 32 2. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en: 4; 5; 6; 7; … ; 787? a) 70 b) 71 c) 72 d) 73 e) 74 3. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay en: 21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)? a) 66 b) 65 c) 64 d) 63 e) 62 4. ¿Cuántos múltiplos de 15 hay en: 21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 5. Hallar “a” si:  9a8672a  + 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Hallar “a” si:  93a8   255a78  a) 5 b) 2 c) 7 d) 0 e) 6 7. Hallar el valor de “b” si:  9a2b   8a63aa  a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 8. Si:  4a431  ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”? a) 4 b) 2 c) 6 d) 8 e) 10 9. Si:  117a64  Calcular el residuo de dividir: a8db entre 4. a) 0 b) 1 c) 2 TAREA DOMICILIARIA Nº 03
  • 16. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 16 d) 3 e) 4 1. Calcular “b” 86325 =  9 + b a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 2. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en: 1; 2; 3; 4; … ; 264? a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34 3. ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en: 18; 19; 20; 21; … ; 364? a) 40 b) 39 c) 38 d) 37 e) 36 4. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en: 32; 33; 34;…; 1624? a) 147 b) 146 c) 145 d) 144 e) 143 5. ¿Cuántos múltiplos de 5 hay en: 12(4); 13(4); 20(4);…; 313(4)? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 6. ¿Cuántos múltiplos de 13 hay en: 12(4); 13(4); 20(4);…; 313(4)? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 TALLER Nº 03.
  • 17. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 17 El Álgebra, como toda ciencia, es un conjunto de conceptos y definiciones que se relacionan mutuamente. Para su mejor comprensión es necesario conocer los conceptos básicos como: constante, variable y término algebraico; de esta manera los temas que continúan se harán mas entendibles y familiares. 1. CONSTANTE Concepto. Es todo aquello que no cambia de valor. EEjjeemmpplloo:: El ancho de esta hoja. El número de departamentos del Perú. La cantidad de dedos de tu mano derecha. Las vocales. Cada uno de los ejemplos anteriores se puede expresar con número. Así: El ancho de esta hoja es. Los departamentos del Perú son 24. La cantidad de dedos en tu mano derecha es 5. Las vocales son 5. AAhhoorraa ttuu:: Escribe cuatro ejemplos de constante y expresarlos con números. El largo de ___________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 2. VARIABLE Concepto. Todo aquello que cambia de valor o que no es constante. EEjjeemmpplloo:: La edad de una persona en el transcurso de su vida. El número de campanadas que da un reloj cada vez que indica una hora. La cantidad de personas en el Perú. El número de peces en el mar. Los ejemplos anteriores se pueden expresar mediante letras así: RReepprreesseennttaacciióónn LLiitteerraall La edad de una persona x El número de campanadas que da un y reloj en una hora cualquiera. La cantidad de personas en el Perú. z El número de peces en el mar. W ÁLGEBRA. NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 ELEMENTOS ALGEBRAICOS. RReeccuueerrddaa Las constantes se representan con números. ¿¿SSaabbííaass qquuee?? La vocal “e” en matemáticas representa a una constante su valor es 2,7182… RReeccuueerrddaa Las variables se representan con letras. ¿¿SSaabbííaass qquuee?? Generalmente las variables se representan con las últimas letras del alfabeto.
  • 18. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 18 AAhhoorraa ttuu:: Escribe cuatro ejemplos de variable con su respectiva representación literal. ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ 3. TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión matemática que une a las constantes y a las variables mediante la operación de multiplicación. Multiplicamos EEjjeemmpplloo:: Observa como las constantes y variables se multiplicar para formar términos algebraicos: AAhhoorraa ttuu:: En la siguiente tabla multiplica las constantes y las variables para formar términos algebraicos. CONSTANTES VARIABLES TÉRMINO ALGEBRAICO 3 x -2 Y 12 xw -14 xyz 20 x2 32 X2 z -7 x3 z2 9 x5 w3 z 7 x 7x Término Algebraico Constante Variable CONSTANTES VARIABLES TÉRMINO ALGEBRAICO 2 x 2x -13 xy -13xy -4 x2 y -4x2 y 21 x2 y3 21x2 y3 7 x9 y2 z3 7x5 y2 z3 Exponente OObbsseerrvvaa El término algebraico: 7x1 = 7x y el término 1x2 = x2
  • 19. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 19 3.1 PARTES DE UNA TÉRMINO ALGEBRAICO Consta de 2 partes. 7 x2 y3 EEjjeemmpplloo:: En la siguiente tabla identificamos la parte constante y la parte variable: AAhhoorraa ttuu:: Completa la siguiente tabla: Parte Constante Parte Variable TÉRMINO ALGEBRAICO PARTE CONSTANTE PARTE VARIABLE 2x 2 x -3xy -3 xy 17xyzw 17 xyzw -12x2 y -12 x2 y 20x3y2 20 x3 y2 -10x8 y5 z4 -10 x8 y5 z4 RReeccuueerrddaa Los exponentes de las variables siempre deben ser números. RReeccuueerrddaa Los exponentes de las variables siempre deben ser números. TÉRMINO ALGEBRAICO PARTE CONSTANTE PARTE VARIABLE 5x -4wz 14ywz -45x2 w 34x3 z5 -16x12 y7 w10 12wz3 yx24
  • 20. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 20 1. Relaciona las siguientes proposiciones con su respectiva constante: a) La cantidad de meses de un año. ( ) 7 b) Los colores del semáforo. ( ) 5 c) Días de la semana. ( ) 12 d) Las vocales. ( ) 3 2. ¿Cuántas variables existen en la siguiente oración? Subráyalas. Pedro y su hijo Mario caminaban a orillas del mar en una noche despejada de pronto Mario pregunto papá. ¿Cuál es el número de estrellas en el universo? Es una cantidad mucho más grande que el tiempo de tu vida en la Tierra. Quizás tan grande como la cantidad de granos de arena en la playa, contesto Pedro. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Se tiene las siguientes constantes y variables: - 3, x, 7, y. Determina cuántos términos algebraicos se pueden formar multiplicando solo uno de los dos números con solo una de las dos letras. Indícalos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Representa mediante términos algebraicos las siguientes proposiciones: a) La edad de una persona. b) El doble del número de personas en el mundo. c) El triple del número de pasajeros que suben a un autobús. d) Menos el doble de la altura de un árbol. 5. Completa el siguiente cuadro: Término Algebraico Parte Constante Parte Variable 3x x 5x3 -2x2 y x3 yz2 6. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) Los números son constantes. II)Las variables se representan con números. III) 5 es una variable. a) Sólo I y III b) Sólo II c) Sólo I d) Sólo III e) Ninguna 7. Luego de hallar el área de las siguientes figuras indica cual de los resultados son constantes y cuáles son variables. I) II) III) a) Constante: III Variable: I, II b) Constante: I Variable: II, III c) Constante: I, III Variable: II d) Todas son constantes e) Todas son variables 8. Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones. a) Dos veces el número de postulantes a la universidad. b) Cinco veces el dinero que gaste. c) Menos tres veces el número de colegios del Perú. d) Menos ocho veces el área de un cuadrado. 9. Se quiere formar términos algebraicos multiplicando las siguientes constantes y variables: 7, x2 , w. Con la condición que 7 siempre sea parte de los términos a formar. Determinar el número máximo de estos. a) 2 b) 5 c) 6 d) 4 e) 3 4 4 b a 2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
  • 21. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 21 1. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un término algebraico? ¿Por qué? a) 7x-2 b) –xywabpq c) 24799x2 y5 d) 5 e) –x-1 2. Completa la siguiente tabla: Término Algebraic o Parte Constant e Parte Variabl e Exponente s 5x-9 y2 4x-1 wz3 -25x3 y8 w-4 -14x-4 w5 z3 3. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son falsas: I) -3 es un término algebraico. II) En un término algebraico las variables pueden tener exponentes negativos. III) Un término algebraico tiene tres partes: parte constante, parte variable y exponentes. a) I y III b) Sólo I c) Sólo II d) I y III e) Todas 4. Se busca un término algebraico donde la parte constante sea el doble del exponente de su parte variable. De los siguientes ¿cuál cumple con la condición? a) 4x3 b) 8w5 c) 10z4 d) 12y8 e) 14m7 5. Con las siguientes constantes y variables: 4, x5 , z3 . ¿Cuántos términos algebraicos como máximo se pueden obtener? Indicalos. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 6. ¿Cuántos términos algebraicos con parte variable: x2 w5 existen tal que su parte constante sea un número par de una cifra. Dar por respuesta aquel término donde la suma de su parte constante con los exponentes de la parte variable sea máxima? a) 15 b) 17 c) 16 d) 14 e) 18 7. Relaciona las siguientes proposiciones con su respectiva constante: a) El número de días del mes de Agosto.( ) 12 b) El número de estaciones del año. ( ) 5 c) La cantidad de campanadas de un reloj al medio día. ( ) 4 d) La cantidad de sentidos en el ser humano. ( ) 31 8. En el siguiente texto subraya las variables que puedas encontrar. ¿Cuántas son? El número de días del mes febrero es un problema pues yo siempre celebro el 29 de febrero el día de mi nacimiento y depende de esto la edad que tengo. a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 8 9. Toma solo uno de los siguientes números: 2; 5; 4 y solo una de las siguientes letras: w; z; multiplicalos. ¿Cuántos términos algebraicos como máximo se formaran? a) 5 b) 4 c) 6 d) 3 e) 7 10. Representa con ayuda de términos algebraicos las siguientes frases: a) El dinero de una persona. b) El quintuple de la temperatura ambiental. c) Siete veces la distancia Tierra – Sol. d) Menos cuatro veces el tiempo transcurrido. 11. Completa el siguiente cuadro: Término Algebraico Parte Constante Parte Variable -4x -x 8x5 y2 z 325x2 wa 12. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son Falsas? I) 3 es un término algebraico. II) 3x2 yw es un término algebraico. III) x es un término algebraico. TAREA DOMICILIARIA Nº 01.
  • 22. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 22 1. Halla el área de las siguientes figuras: I) II) III) Según los resultados se puede afirmar que: a) El área de III es un término algebraico. b) Las áreas de I y II son términos algebraicos. c) Sólo el área de II es un término algebraico. d) Las áreas de I y III son términos algebraicos. e) Todas las áreas son términos algebraicos. 2. Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones. a) Menos cuatro veces el área de un rectángulo. b) Menos el doble del área de un triángulo. c) Menos tres veces el área de un círculo. d) El cuadruple del área de un cuadrado. 3. Se tiene los siguientes conjuntos: Tomando un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B. ¿Cuántos términos algebraicos se pueden formar? a) 2 b) 5 c) 6 d) 4 e) 3 4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un término algebraico? I. -35 II. -2x-3 III. z2 wx a) Sólo I b) II y III c) Sólo II d) I y III e) Todas 5. Completa la siguiente tabla: Término Algebraic o Parte Constant e Parte Variabl e Exponente s 4x5 y-1 -x-1 -3x-2 -xy2 5xy2 z3 w4 6. Señala cuál o cuales de las siguientes proposiciones no son ciertas: I) Las únicas letras que se pueden utilizar para representar a la variables son: x, y, z, w. II) x es un término algebraico. III) El exponente de una variable en un término algebraico puede ser. a) I y III b) II y III c) I y II d) Ninguna e) Todas x3 5 3 2 x2 y 3 -4 7 A w2 xy3 z2 y5 xw B TALLER Nº 01.
  • 23. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 23 1. Monomio: Cuando se refiere a un solo término. Ejemplo: M(x, y, z)  4x3 y4 z5 a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión. Ejemplo: Sea: M(x, y) = 135 x4 y3 GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x” GR(x) = 4 (exponente de x) GR(y) = 3 (exponente de y) b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: M(x, y) 135 x4 y3 GA = 4 + 3 GA = 7 Monomio M(x, y, z) Parte Constante (Coeficiente) Parte Variable GA GR(x) GR(y) GR(z) 39x3 y -4 zx3– 4 5x2 yz3 18z -4x5 y4 8 2. Polinomio: Es la agrupación por adición de monomios no semejantes. Ejemplo: P(x; y)  2xy3 + 4y4 – 3x + 2 Polinomio de 4 términos P(x) = x4 + x3 – x2 + 2x + 3 Polinomio de ________________ P(y) = ax2 + bx + c Polinomio de ________________ P(x; y) = x + y Polinomio de ________________ ( ) a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio. P(x; y) = 2x3 y4 + 5x5 y3 + 2xy2 Entonces: GR (x) = 5 GR(y) = 4 Parte Variable Parte Constante (Coeficiente) Exponente de Variable x Exponente de Variable y Término Independiente GR(x) =3 GR(y) =4 GR(x) =5 GR(y) =3 GR(x) =1 GR(y) =2 NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 POLIONOMIOS.
  • 24. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 24 AHORA TU: P(x, y)  3x3 y + 2xy + 4x2 y – x5 y GR(x) = GR(y) = b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma al mayor. P(x; y) = 2x3 y4 + 5x5 y3 + 2xy2  GA = 8 ¡AHORA! P(x, y)  3x3 y + 2xy + 4xy2 – x5 y GA. = Polinomio P(x, y, z) GA GR(x) GR(y) GR(z) x6 + xy + x3 y4 z x + y + z zxy + x2 y3 + 4 a + abx + bx2 3x3 + 4y4 -x3 y4 + x5 + y8 4z3 + 4z – 3 VALOR NUMÉRICO Cuando mas variables adoptan un valor, los monomios o polinomios arrojan un valor que se denomina valor numérico. Ejemplo: P(x) = 4x + 14  P(1) = 4 . 1 + 14 = 18 P(1) = 18  P(2) = 4 . 2 + 14 = 22 P(2) = 22  P(3) = 4 . 3 + 14 = 26 P(3) = 26  M(x; y) = 4x2 y3   M(2, 1)  x = 2 y = 1 M(2, 1) = 4(2)2 (1)3 M(2, 1) = 16  P(x, y) = 4x + 5xy    P(2, 3)  x = 2 y = 3  P(2, 3) = 4(2) + 5(2)(3)  P(2, 3) = 3  ¡AHORA TU!  P(x, y) = 4xy + 2x2 y  P(2, 1) =  P(1, 2) =  P(1, 1) =   M(x) = 4x  M(2) =  M(3) =  M(4) = GA = 7 GA = 8 GA = 3
  • 25. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 25 1. Dado el monomio: M(x, y) = -3abxa+3 yb De GR(x) = 7 y GA = 10 Calcular: El coeficiente a) -36 b) 36 c) 12 d) -12 e) N.A. 2. Si el siguiente monomio: M(x, y, z) = -4xa+1 yb+2 z4 Es de GA = 14 y GR(y) = GR(z) Calcular: “a . b” a) 15 b) 10 c) 5 d) 3 e) 6 3. Si el monomio: M(a; b) = -4xyax+2 by+5 Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7 Calcular: “El coeficiente” a) 24 b) -24 c) 25 d) 26 e) 12 4. Si en el monomio: M(w, t, ) = -2a2 b3 wa+3 tb+2 6 El GA = 17 y GR(w) = 5 Calcular: “El coeficiente” a) 512 b) 251 c) -512 d) 251 e) 521 5. Si: GA = 15 2 3 )y(GR 2 )z(GR )x(GR  De: M(x, y, z) = -4xa yb+2 zc+3 Calcular: 7 cba A   a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 6. Si: GA = 10; GR(x) = 5 del polinomio: P(x, y) = 4xa+1 yb + 5xa+2 yb+1 + 3xa yb+2 Calcular: A = a + b a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 7. Dado el polinomio: P(x, y) = xa yb+2 + xa+1 yb+4 + xa+5 yb + ab Si: GR(x) = 7 GR(y) = 6 Calcular el término independiente: a) 5 b) 6 c) 7 d) 12 e) N.A. 8. Si: P(x, y) = axa+b yc+2 + bxa+b+1 yc+3 + cxa+b+3 yc + abc Es de GR(x) = 14 GR (y) = 6 Calcular la suma de coeficientes: a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) N.A. 9. Si: P(x, y, z) = xa yb zc + xa+1 yb+1 zc-1 + xa + 2yb - 2zc Donde: GA(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 3 Calcular el grado absoluto. Rpta.: __________________ 10. Dado el polinomio: P(x) = xa+3 + xa+4 + xa+2 + 2a Calcular el término independiente si GA = 8. Rpta.: __________________ 11. Calcular “A” Si: M(x) = 2x4 Si: )1(M )2(M)0(M A   Rpta.: __________________ 12. Calcular: P(7) Si: P(x) = -x5 + 7x4 + 2x – 10 Rpta.: __________________ 13. Si: P(x) = 2x + 4 Calcular: M = P (P (P (P ( 3 ) ) ) ) EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
  • 26. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 26 Rpta.: __________________ 1. Dado el monomio: M(x, y) = 4abxa yb Si: GR(x) = 2 GA = 7 Calcular: “El Coeficiente” a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 2. En el siguiente monomio: M(x, y, z) = 3xm+1 yp+2 z2 GA = 12 GR(x) = GR(y) Calcular: m . P a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 3. Si el monomio: M(,) = 2xyx+4y+2 Donde: GR() = 7 GR() = 5 Calcular el coeficiente: a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 24 4. Si el monomio: M(x, y, z) = 2a2 b3 c4 xa+5 yb+4 zc+3 Si: GA = 15 GR(x) = 6 GR(z) = 4 Calcular el coeficiente: 5. Si: GA = 24 5 )x(GR )y(GR  M(x, y) = 2xa+b ya-b Calcular: a . b a) 96 b) 108 c) 64 d) 25 e) 15 6. Si: P(x) = xa+4 + xa+3 + xa-4 GA = 7 Calcular : a3 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 7. Si : P(x, y) = 2xa+1 yb-1 + xa+3 yb-4 + xa+2 yb-2 GR(x) = 5 GR(y) = 3 Calcular el GA a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 3 8. Si: P(x) = axa + (a + 1)xa+1 + (a + 2)xa-4 Es de GA = 5 Calcular la suma de coeficientes: a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 9. P(x, y, z) = xa yb zc + xa+1 yb+1 zc-1 + xa yb zc GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 3 Calcular el grado absoluto. a) 1 b) 14 c) 12 d) 10 e) N.A. 10. Dado el polinomio: P(x, y) = xa yb + xa+1 yb+2 + xa+3 yb-3 Si el GA = 7 Además a – b = 2 Calcular: A = ab a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Calcular: “A” Si: M(x) = 4x )4(M )2(M)1(M A   Rpta.: ___________ 12. Si: P(x) = x2 + 3x + 4 Calcular: P(2) + P(3) Rpta.: ___________ 13. P(x) = 2x + 4 A = P (P (P (P ( 2 ) ) ) ) Rpta.: ___________ TAREA DOMICILIARIA Nº 02.
  • 27. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 27 1. Si: Q(x) = x + 5 P(x) = x + 3 Calcular: P ( Q ( x ) ) 2. A(x) = 2x + 4 R(x) = 2x + 5 Calcular: A (R (x) ) 3. Si: P(x) = 2x – 1 Q(x) = x + 3 Calcular: P(Q(x)) 4. Si: P(x) = x + 5 Q(x) = x + 2 Calcular: P(Q(x)) 5. Si: GA = 24 5 )x(GR )y(GR  M(x, y) = 2xa+b ya-b Calcular: a . b a) 96 b) 108 c) 64 d) 25 e) 15 6. Si: P(x) = x2 + 3x + 4 Calcular: P(2) + P(3) TALLER Nº 02.
  • 28. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 28 POLINOMIO COMPLETO Es aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta el menor. Ejemplo: P(x)  5x3 + 2x – 4x2 + 7 OjO: Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3 ) hasta el menor (7). P(x) = 2x + 3 ……………………. Es polinomio completo. P(x) = 2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3 ……………………. Es polinomio completo. P(x) = x4 – 2x3 + 5x – 4 ……………………. Es polinomio completo. POLINOMIO ORDENADO Es aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos. Ejemplo: P(x) = x2 + 2x3 – x5 (Polinomio ordenado en forma ascendente) P(x) = x7 – 4x + 3(Polinomio ordenado en forma descendente) P(x) = x17 – x25 + x50 (Polinomio…………………….. en forma……………………..) P(x) = 14x – 2 (Polinomio…………………….. en forma……………………..) Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una. P(x, y) = 4x3 y7 – 5x2 y9 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “x”) P(x, y) = -5x2 y9 + 4x3 y7 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “y”) POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO Es aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores. Ejemplo: P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 + x + 3 (Observemos que es completo por que presenta todos los exponentes de “x” y además están ordenados en forma descendente) P(x) = 2 + 3x – 4x2 + 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente) AHORA COMPLETA EL CUADRO Polinomio Ordenado Completo Completo y Ordenado Ascendente Descendente Ascendente Descendente P(x) = 4x2 + 5 – 3x P(x) = x7 . x + 6 P(x) = 5x2 – 3x + 2 P(x) = x1000 – x10 + 1 P(x) = 1 + 2x + x – x3 P(x) = 4x5 – x + 5 P(x) = x102 – x101 - 2 NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 0 POLINOMIOS ESPECIALES.
  • 29. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 29 I. Calcular el valor de “a” en los siguientes polinomios completos: 1. P(x) = 4xa + 4x2 + 3 – 2x 2. Q(x) = 2x + xa+2 + x2 – 4 3. R(x) = 3xa+2 + xa+1 + 5xa+3 – 2x + 1 4. En el polinomio completo: P(x) = axa+3 + 3xa+1 + 5x3 – 2ax + a2 Calcule la suma de coeficientes: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 5. Dado el polinomio completo: P(x) = mxm + nxn + mnp + pxp Calcular: m + n + p a) 1 b) 6 c) 5 d) 4 e) 7 II. Ordenar en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios: 6. P(x) = 25x5 + 3x7 – 2x + 4 7. R(x) = 1 – x + x3 – x7 + 2x2 8. Q(x) = ax + nx3 – bx2 + abc III. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios primero relativo a “x” y luego a “y”. 9. P(x, y) = x3 y4 – 5xy2 + 2x7 y3 – 2ab 10. P(x, y) = axm+1 yn-2 + bxm yn + cxm-2 yn+1 – abc 11. Dado el polinomio completo y ordenado. P(x) = 2axa+3 + 5x3 – 7x2 + ax + 3 Calcule la suma de coeficientes. a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3 I. Calcular El valor de “b” en los siguientes polinomios completos: 1. P(x) = x2b-4 + x3 + 2x – 4 + 3x2 2. P(x) = 3xb+1 + x3 – 8 + 5x + 7xb+3 3. Q(x) = 22b2b3 xx12x2x54   4. En el polinomio completo: P(x) = 2x + 4a - x3a+1 + 5x2 – x3 Calcular el término independiente. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Dado el polinomio completo: P(x) = 5x + 2x2 – 3a + 4x2a – x3 Calcular la suma de coeficientes. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 II. Ordenar en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios respecto a “x” y luego con respecto a “y”. 6. P(x, y) = 5x4y2 + 3xy3 – 2x5y7 7. P(x, y) = 2xy – 5x2 y3 + 4x7 y4 8. P(x, y) = 3 + 4x7 – 5x2 + 7x 9. P(x, y) = 3x3 y4 – x8 y2 + 2x2 y3 10. P(x, y) = -7 + 2x3 y4 + xy – 2x8 y14 11. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x) = x3a–2 + 3x3 – 2x2 + x + 4 Calcular: “a” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x) = x4 – 3xa+2 + 2xb – xc + 5 Calcular: a + b + c a) 1 b) 2 c) 4 EJERCICIOS DE APLICACIÓN. TAREA DOMICILIARIA Nº 03.
  • 30. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 30 d) 5 e) 3 1. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x) = 3x3 – axa – bxb + ab Calcular el término independiente a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x) = abxa + bcxb + caxc + abc Calcular: a + b + c a) 1 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A. 3. Del problema anterior calcular el término independiente. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) N.A. 4. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x) = 3x2a-1 + 4x4 + 2xb+1 + 3x2 – x + ab Calcule el término independiente. a) 4 b) 6 c) 9 d) 12 e) N.A. 5. Si el polinomio es completo y ordenado en forma ascendente. P(x) = axc-1 + bxb + cxa Calcular la suma de coeficientes. a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A. 6. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x) = 3x3 – axa – bxb + ab Calcular el término independiente a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 TALLER Nº
  • 31. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 31 A. PUNTO Es la idea geométrica más pequeña. Se le representa con una letra mayúscula. B. RECTA Es la idea geométrica formada por infinitos puntos sucesivos que se encuentran en una misma dirección. Se le representa con una letra minúscula. Recta a: Recta b: C. PLANO Es la idea geométrica que puede contener completamente puntos y rectas. Se le representa con una letra mayúscula. Plano P 11.Graficar un punto “A” y cuatro rectas que pasen por dicho punto. 2. Graficar un punto “M” y ocho rectas que pasen por dicho punto. 3. Graficar los puntos “P” y “Q”; además la recta o rectas que pasen por ambos puntos a la vez. 4. Graficar la recta vertical “ l ” y los puntos “M”; “N” y “Q” contenidos en ella. 5. Graficar la recta horizontal “a” y los puntos “E”; “F” y “H” contenidos en ella. 6. Graficar la recta “m” y los puntos “P”; “Q” y “R” exteriores a dicha recta. 7. Graficar la recta horizontal “b” y los puntos “M”; “N”; “P” y “Q” exteriores a dicha recta. 8. Graficar un plano “P” y a los puntos “A”; “B” y “C” contenidos en ella. 9. Graficar un plano “Q” y a una recta “a” contenida en ella. 10. Graficar un plano “R” y a la recta “ l ” contenida en ella. Luego a los puntos “M” y “N” que pertenecen A B C D a a b b GEOMETRÍA. NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 PRIMER GRADO ELEMENTOS GEOMÉTRICOS. PRACTIQUEMOS
  • 32. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 32 a . 1. Graficar la recta vertical “m” y los puntos “D”, “E” y “F” contenidos en ella. 2. Graficar la recta “n” y los puntos “A” y “B” exterior a ella. 3. Graficar un plano “R” y una recta “a” contenida en él. 4. Graficar un plano “Q” y los puntos “A”, “D” y “F” contenidos en dicho plano. 5. Graficar un plano “T”; luego la recta “L” y los puntos “M” y “N” contenidos en dicho plano. 6. Graficar la recta “a” horizontal y los puntos “A”, “B” y “C” contenidos en ella. 7. Graficar la recta “c” horizontal y los puntos “M”, “N” y “K” exterior a ella. 8. Grafica un punto “E” y tres rectas que contengan a dicho punto. l TALLER Nº 01
  • 33. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 33 1. Grafica un punto “M” y cinco rectas que pasen por dicho punto. 2. Grafica dos puntos “C” y “D” y la recta o las rectas que pasen por dichos puntos a la vez. 3. Graficar un plano “Q” y tres puntos no colineales “A”, “B”, “C”. Luego unir “A” con “B”, “B” con “C” y “C” con “A”. ¿Qué figura resulta? 4. Del problema anterior, graficar una recta //AC, tal que las distancias de los puntos “A” y “B” son respectivamente 3. y 8.cm. ¿Cuál será la distancia del vértice “C” a la recta ? 5. Graficar un plano “P” y cuatro puntos no colineales “A”, “B”, “C” y “D”, de tal manera que las rectas que pasen por AB y CD, sean paralelas entre sí. Además las rectas que pasen por BC y AD también sean paralelas. 6. Del problema anterior, si unimos AC y BD tal que se corten en el punto “P”, ¿qué puedes afirmar de los segmentos AP y PC? 7. Del problema 3, ¿qué podemos afirmar de los segmentos BP y PD? A. Rectas paralelas Dos o más rectas son paralelas si no tienen ni un punto en común. es paralela a ( // ). B. Rectas secantes Dos rectas son secantes si tienen un punto en común, llamado punto de intersección o punto de corte. OBSERVACIONES: i) Rectas perpendiculares.- Son dos rectas que forman 90°. ii) Rectas concurrentes.- Son tres o más rectas que se intersectan en un mismo punto. L L a b l1 2l 3l 4l a b a b Pm m y n son secantes n a b TAREA DOMICILIARIA Nº 01 NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 PRIMER GRADO POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS
  • 34. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 34 iii) Número de puntos de corte: Tres rectas y tres puntos de corte Cuatro rectas y seis puntos de corte 2 rectas se cortan en 1 punto  Podemos escribirlo como 1 2 1x2  3 rectas se cortan en 3 puntos  Podemos escribirlo como 3 2 2x3  4 rectas se cortan en 6 puntos  Podemos escribirlo como 6 2 3x4      500 rectas 750124 2 499x500  ¡Que cantidad tan grande! Exclamaron, contentos los alumnos por la acertada respuesta de su profesor, siguieron indagando más casos. Veamos uno de ellos. Si se tiene 3 rectas secantes y 4 rectas paralelas ¿Cuántos puntos de corte como máximo se obtendrán?. Sin mayores esfuerzos los alumnos dicen: 1 recta secante corta a las 4 paralelas en 4 puntos esto quiere decir que A 1 1 2 4 6 5 3 1 2 3
  • 35. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 35 3 rectas secantes cortarán a las 4 paralelas en 3 x 4 = 12 puntos Las 3 rectas secantes se cortarán entre si en: 3 2 2x3  puntos  El número de puntos de corte será: 12 + 3 = 15 1. Graficar dos rectas paralelas y una recta secante a ambas. Contar los puntos de corte. 2. Graficar tres rectas paralelas y una recta secante. Contar los puntos de corte. 3. Graficar cuatro rectas secantes y contar los puntos de corte. 4. Graficar cinco rectas paralelas y una recta secante. Contar los puntos de corte. 5. Graficar dos rectas secantes y dos rectas paralelas. Contar los puntos de corte. 6. Graficar tres rectas paralelas y dos rectas secantes. Contar los puntos de corte. 7. Graficar tres rectas concurrentes y una secante a ellas. Contar los puntos de corte. 8. Graficar tres rectas concurrentes y dos rectas secantes. Hallar el número de puntos de corte. 9. Graficar dos rectas paralelas y dos rectas secantes. Señalar el número máximo de puntos de corte. 10. Graficar cuatro rectas paralelas verticales y además una recta secante. 11. Graficar tres rectas paralelas horizontales y además dos rectas paralelas verticales que intersectan a las rectas anteriores. 12. Graficar seis rectas concurrentes y una recta secante a ellas. 13. Graficar cinco rectas secantes no concurrentes. 14. Hallar, el número máximo de puntos de corte de 3 rectas secantes. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 15. Hallar el número máximo de puntos de corte de 4 rectas secantes. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3 16. Hallar el número máximo de puntos de corte de 5 rectas secantes. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 17. Hallar el máximo número de puntos de corte de 20 rectas secantes. a) 170 b) 19 c) 190 d) 17 e) 180 18. Hallar el máximo número de puntos de corte de “n” rectas secantes. a) 2 n b) 2 )1n(n  c) 2 )1n(n  d) 2 n2 e) N.A. 19. En cuántos puntos cortará una recta secante a las 3 paralelas mostradas. L1 PRACTIQUEMOS
  • 36. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 36 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 20. En cuántos puntos cortarán dos rectas secantes a las 3 paralelas mostradas. f) 2 g) 4 h) 6 i)8 j)10 1. En cuántos puntos cortarán 3 rectas secantes a las 3 paralelas mostradas. a) 3 b) 6 c) 8 d) 12 e) 15 2. En la figura, indique el número de puntos de corte. a) 10 b) 11 c) 20 d) 13 e) N.A. 3. ¿Cuántos puntos de corte hay?. a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15 4. Calcular el número máximo de puntos de corte entre 2 rectas paralelas y 3 rectas secantes. a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3 5. Hallar el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y dos rectas paralelas. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 6. Hallar el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y 3 rectas paralelas. a) 10 b) 12 c) 9 d) 15 e) 18 7. ¿En cuántos puntos cortará una secante a diez rectas paralelas?. a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) N.A. 8. Hallar el mínimo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. a) 6 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 9. Hallar el número máximo de puntos de corte de seis recta secantes. a) 12 b) 13 c) 15 d) 17 e) 6 10. Hallar el número máximo de puntos de corte de siete rectas secantes. a) 19 b) 21 c) 23 d) 25 e) 17 11. Halle el máximo número de puntos de 8 rectas secantes. a) 4 b) 28 c) 82 d) 27 e) 64 12. Indicar el número de puntos de corte. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 11 13. En cuántos puntos de corte cortará una recta secante a las cuatro paralelas mostradas. f) 3 L2 L3 L1 L2 L3 TAREA DOMICILIARIA Nº 02 L1 L2 L3
  • 37. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 37 g) 4 h) 5 i) 6 j) 1 14. En cuántos puntos de corte, cortarán dos rectas secantes a las cuatro paralelas mostradas. k) 8 l) 6 m) 4 n) 3 o) 10 1. En cuántos puntos de corte cortarán cuatro rectas paralelas a tres rectas secantes. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) N.A. 2. Hallar el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos paralelas. a) 19 b) 21 c) 23 d) 25 e) 27 3. Hallar el máximo número de puntos de corte entre 5 rectas secantes y 5 paralelas. a) 35 b) 37 c) 33 d) 39 e) 31 4. ¿En cuántos puntos cortará una recta secante a “P” rectas paralelas. a) p b) p – 1 c) p + 1 d) p/2 e) N.A. 5. Hallar el mínimo número de puntos de corte entre dos rectas secantes y tres rectas paralelas. a) 7 b) 8 c) 6 d) 5 e) 4 TALLER Nº 02
  • 38. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 38 6. En cuántos puntos de corte cortará una recta secante a las cuatro paralelas mostradas. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1 A. Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos es la medida del segmento de recta que une a dichos puntos. La distancia entre “A” y “B” mide 4 cm La distancia entre “P” y “Q” mide 5 cm B. Distancia entre un punto y una recta Está representado por un segmento perpendicular trazado desde el punto hacia la recta. La distancia entre “A” y mide 1,5 cm La distancia entre “B” y mide 3 cm C. Distancia entre dos rectas paralelas Está representado por el segmento perpendicular a ambas rectas. La distancia entre y mide 1 cm La distancia entre y mide 3 cm Figura: Puente de San Francisco (EE.UU.) A B 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 P Q A m 1,5 cm B n 3 cm m n a b 1 cm m n 3 cm a b m n NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 03 PRIMER GRADO DISTANCIA ENTRE PUNTOS Y RECTAS.
  • 39. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 39 1. Graficar la distancia entre “A” y “B” y medirlo. A B 2. Graficar la distancia entre “P” y y medirlo. 3. Graficar la distancia entre “a” y “b” y medirlo. 4. Graficar la distancia entre y dar sus medidas 5. Graficar la distancia de “B” a . Dar sus medidas. A B l l P a b l1 l2; l3; l4y l1 l2 l3 l4 l1 l2y l1 B l2 TALLER Nº 03
  • 40. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 40 6. Graficar las distancias de “P” a las rectas “l1”; “l2” y “l3”. 1. Graficar una línea recta horizontal y dos puntos “B” y “E” contenidos en ella que disten 8 cm. 2. Graficar una recta vertical y dos puntos “M” y “N” contenidos en ella que disten 6 cm. 3. Graficar un punto “A” y una recta “l ” horizontal que disten 7 cm. 4. Graficar un punto “B” y una recta “m” vertical que disten 10 cm. 5. Graficar tres rectas horizontales “a”; “b” y “c” que disten 3 cm en forma consecutiva. 6. Graficar las rectas “m” y “n” oblicuas y paralelas que disten 4 cm. 7. Graficar una recta horizontal y los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente contenidos en ella, tal que “P” y “Q” disten 6 cm y “Q” y “R” disten 7 cm. 8. Graficar una recta oblicua y dos puntos “A” y “B” contenidos en ella que disten 5,5 cm. 9. Graficar cinco rectas oblicuas paralelas y tres rectas secantes a ellas. Calcular el máximo número de puntos de corte. 10. Trazar las distancias mínimas de “Q” a PR, de “P” a QR y de “R” a PQ. Luego medirlos. 1. Graficar una recta vertical y los puntos “A” y “B” tal que la distancia de “A” y “B” a las rectas son de 3 y 6 cm respectivamente. Si la distancia de las perpendiculares perteneciente a la recta L es de 4 cm, calcular la distancia “AB”. 2. Trazar la distancia entre “P” y “Q”; “Q” y “R” y “P” y “R”. Luego medirlos. Q • P • • R 3. Trazar la distancia entre “A” y luego calcular esta medida. 4. Ubicar un punto “P” a una distancia de 2 cm de “ L”. 4. Ubicar los puntos “A” y “B” a una distancia de 3 cm de l1 l2 P l3 Q R P L m, m A l n. PRACTIQUEMOS TAREA DOMICILIARIA Nº 03
  • 41. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 41 5. Graficar dos rectas paralelas y horizontales que disten 1,5 cm. 6. Ubicar los puntos “A” y “C” que pertenezcan a “L” y disten 5 cm. 7. Graficar las distancias de “A” a las rectas Luego medirlas. 8. Trazar las distancias de los puntos mostrados a la recta “L”. Dar las medidas. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR Ángulo trigonométrico.- Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de su origen: desde una posición inicial hasta una posición final. La amplitud de la rotación es la medida del ángulo trigonométrico, la posición inicial del rayo se llama lado inicial; la posición final se llama lado terminal y el origen del rayo es el vértice del ángulo. Elementos: O : vértice del ángulo : Lado inicial : Lado terminal q : medida del ángulo trigonométrico. Características 1. Sentido.- De acuerdo al sentido de rotación del rayo el ángulo trigonométrico puede ser: a. Positivo.- Cuando el sentido de rotación es contrario al movimiento de las manecillas de un reloj (antihorario). b. Negativo.- Cuando el sentido de rotación es horario. 2. Magnitud.- Un ángulo trigonométrico puede adoptar cualquier magnitud, dependerá de la rotación que se genere. a: medida de un ángulo trigonométrico. OBSERVACIÓN 1. El ángulo generado al coincidir por primera vez al lado inicial y el lado terminal se denomina ángulo de una vuelta. Si bien la rotación puede ser en sentido horario o antihorario: consideramos al n l a y b. a b A A B C l  A’ A O OA OA'  AO A  AO A AO A’  TRIGONOMETRÍA. NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 PRIMER GRADO SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR I
  • 42. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 42 ángulo positivo cuando hablemos del ángulo de un a vuelta. Ángulo de una vuelta (1). 2. Para sumar o comparar ángulos trigonométricos: estos deben tener el mismo sentido. 3. Al cambiarle de sentido a un ángulo trigonométrico: este cambia el signo de su valor. SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR Los más conocidos son: 1. Sistema sexagesimal. También llamado sistema inglés; su unidad es el grado sexagesimal que representa al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales. Unidad: (1º): grado sexagesimal Subunidades. (1’) : minuto sexagesimal (1”) : segundo sexagesimal EQUIVALENCIAS: < > Equivale a: Nota: Pero por comodidad en lugar del símbolo (< >) se suele utilizar el símbolo (=), esto es lo que utiliza. Ejm.: 1. R = 4º + 6º = 10º 2. C = xº + 3º = (x+3)º 3. M = 4. L = 5. F = 32º–17º=15º Ejemplo (1) Convertir 3º a minutos RESOLUCIÓN: Recordar: 1º= Ejemplo (2) convertir a segundos RESOLUCIÓN: Recordar: NOTACIÓN: Donde: B,C < 60 3. Sistema Radial.- También llamado sistema circular o internacional su unidad es el radian: que representa el ángulo de una vuelta dividido en 2 partes iguales: Unidad: (rad) : radián; CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Los sistemas sexagesimal y radial están relacionados mediante una fórmula de conversión Sea “S” la medida de un ángulo “𝜃” en sexagesimales A o A’ 360 partes iguales 1º 1º m 1v 1º 360 m 1v 360º   1º < > 60’ 1’ < > 60’’ 1º = 60’ 1’ = 60’’ Grados Minutos Segundos x 3600 Regla De Conversión 60 60 x 60 x 60 3600 1º 3600 '' 1' 60 ' 3600 '' 5º 18000 '' 1º 60 '' 30 ' 1800 '' 1' 5º 30 ' 18000 '' 1800 '' 19800 ''           Aº B'C'' Aº B' C''   m 1v 1rad 2   m 1v 2 rad  3,1416 NOTA.- En este sistema no existe subunidades solo hay radianes. m 1vuelta 360 2 rad    4º 2º 2  6º 3 2 
  • 43. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 43 Sea “R” la medida de un ángulo “𝜃” en radianes. DONDE: S : Número de grados sexagesimales R : Número de radianes • Cada uno de los números anteriores es para un mismo ángulo, conocido también como números convencionales. Método Práctico: 1. Para convertir grados sexagesimales a radianes; multiplicamos por: Ejemplo: Convertir 45º a radianes. 2. Para convertir radianes a grados sexagesimales, multiplicamos por ( 180 𝜋 ) Ejemplo: Convertir: 1. Indique los ángulos que están en el sistema sexagesimal: a) 20° b) 200° c) 𝜋 rad d) 𝜋/2 rad Rpta.: ....................................................... 2. Indique los ángulos que están en el sistema sexagesimal: a) 10 rad b)𝜋 c) 1000º d) 90 Rpta.: ....................................................... 3. Indique los ángulos que están en el sistema radial: a) 10º b) 𝜋/4 c) 250º d) 5 rad Rpta.: ....................................................... 4. Indique los ángulos que están en el sistema radial. a) 10 b) 𝜋/2 c) 80º d) √5 Rpta.: ....................................................... 5. Convertir a radianes a) 30º b) 60º c) 90º Rpta.: ....................................................... 6. Convertir a radianes a) 100º b) 120º c) 150º Rpta.: ....................................................... 7. Convertir a sexagesimales a) 𝜋/2 rad b) 𝜋/3 rad c) 𝜋/5 rad Rpta.: ....................................................... 8. Convertir a sexagesimales a) 2𝜋 3 rad. b) 5𝜋 6 rad. c) 5𝜋 3 rad. Rpta.: ....................................................... 9. Convertir a radianes:  = 25º + 85º  = 90º - 35º S R S R 360 2 180        rad 180       45 . rad rad 180 4         ra d a grado s sexage simale s 5   180 5  36        PRACTICANDO EN CLASE
  • 44. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 44 Rpta.: ....................................................... 10. Convertir a sexagesimales: Rpta.: ....................................................... 11. Convertir a sexagesimales: Rpta.: ....................................................... 1. Calcular: Rpta.: ....................................................... 2. Calcular: Rpta.: ....................................................... 3. Calcular: Rpta.: ....................................................... 4. Calcular: Rpta.: ....................................................... 5. Calcular: Rpta.: ....................................................... 6. Del gráfico. Calcula a en radianes: Rpta.: ....................................................... 7. Del gráfico. Calcula a en sexagesimales: Rpta.: ....................................................... 8. Del gráfico. Calcula a en radianes: Rpta.: ....................................................... 9. Del gráfico. Calcula a en radianes: Rpta.: ....................................................... rad rad rad 2 3 4       rad rad rad 5 6 10       rad rad 4 6     2 5rad rad 3 4     200ºB 5 rad 3   135 B rad 4      100º L rad 18 rad T 360º   5 rad 18B 300º   40° 60°   3  5 18  rad. 86° 54°  5 18   TAREA DOMICILIARI
  • 45. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 45 10. Indique elángulo que está en elsistema sexagesimal. A) 15º B) 3rad C) 𝜋/2 D) 4 11. Convertir a radianes: = 100º - 80º + 30º 12. Convertir a sexagesimales 13. Calcular: 14. Del gráfico. Calcula  en radianes MOTIVACIÓN PITÁGORAS (569 - 470 A. j.c.) Nació en la Isla de Samos en el mar Egipto. Se ha hecho conjetura en torno a su vida desde dos puntos de vista: El religioso y el filosófico. Fue discípul de Tales de Mileto, adquiriendo de éste, el poder de los números, lo que le permitió medir la altura de los objetos de sus sombras y la distancia de un navi en el mar, Anaximando le muestra la función de los números en la elaboración de los mapas. Al viajar a Egipto se convirtió en depositario de la sabiduría Egipcia. Una frase conocida de él es: “La Sabiduría está en los números y la belleza en la armonia esprituaL”. Pitágoras “LA SIMPLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS” Un interesante estudio matemático ha sido hecho por un peruano. Consideramos que la simplificación restringida del famoso Teorema de Pitágoras se hace por primera vez desde hace 2600 años; en donde se dice que: “En todo Triángulo Rectángulo Perfecto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los 2 catetos”. El proceso de cálculo puede ser a veces engorroso, pero la simplificación es simple y se enuncia así: “Tratándose de triángulos rectángulos perfectos expresados en números enteros y positivos, la hipotenusa es igual al cateto mayor más 1 si es par; y más 2 si este es impar”. Por lo tanto de todos los triángulos Pitagóricos sólo 5 son Triángulos Rectángulos Perfectos: 3, 4, 5; 5, 12, 13, 7, 24, 25, 8, 15, 17 y 12, 35, 37 y sus múltiplos. De lo expuesto, el cálculo de la Hipotenusa en estos Triángulos Rectángulos Perfectos se simplifica notablemente con tan sólo añadir 1 al cateto mayor si éste es par, o 2 si este es impar. Esta simplificación puede tener gran importancia en Geodesia, Astronomía y Computación. Teorema de Pitágoras Inicialmente se mencionará los lados del triángulo rectángulo. Entonces el Teorema se define como: «El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos». Ejemplos: 1. Calcular la hipotenusa del triángulo 5 6 9       180ºA rad 2   100° 50°  a b c a y b : cateto c : hipotenusa 2 2 2 c = a + b NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 PRIMER GRADO APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
  • 46. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 46 RESOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Pitágoras 2. Calcular el cateto del triángulo RESOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Pitágoras; tenemos: 12 = x 1. Del gráfico. Indica las longitudes de la hipotenusa, cateto mayor y cateto menor respectivamente. Rpta.: ....................................................... 2. Del gráfico. Indica las longitudes de la hipotenusa, cateto mayor y cateto menor respectivamente. Rpta.: ....................................................... 3. Escriba el Teorema de Pitágoras para el triángulo. Rpta.: ....................................................... 4. Escriba el Teorema de Pitágoras para el triángulo. Rpta.: ....................................................... 5. Calcula “x” en: Rpta.: ....................................................... 6. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 7. Calcula “x” en: 1 2 x 2 2 2 x 1 2  2 x 1 4  2 x 5 x 5 x 16 20 2 2 2 x 1 2  2 400 x 256  2 144 x 5 12 13 29 21 20 a b c m n p x 24 10 1 3 x x 3 2 PRACTICANDO EN CLASE
  • 47. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 47 Rpta.: ....................................................... 8. Calcula “x” en: Rpta.: ....................................................... 9. Calcula “x” en: Rpta.: ....................................................... 10. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 11. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 1. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 2. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 3. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 4. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 5. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 6. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 25 20 x 25 24 x 15 17 x 1 1 1 x 3 1 1 2 x 4 1 x 3 1 1 2 x 4 1 1 4 5 17 8 x 2 1 x 1 10 x 13 5 61 TAREA DOMICILIARIA Nº 02
  • 48. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 48 7. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 8. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 9. Calcular “x” en: Rpta.: ....................................................... 10. Calcula “x” en: RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, respecto a uno de sus ángulos agudos. Dado el ángulo agudo a. Se define las Razones Trigonométricas (R.T.) Ejemplos: 1. Calcula el sena y cosa 2. Calcul: E=sena.cos Calculando el sen y cos: Reemplazando: Multiplicando 17 10 x 6 10 x 8 4 2 x2 10 2 x 7 6 Hipotenusa  CatetoOpuestode Cateto Adyacente de  seno de = sen =  cateto opuesto de Hipotenusa  coseno de = cos =  cateto adyacente de Hipotenusa   4 5 3 3sen 5   4cos 5   3 1 10  1sen 10   3cos 10   1 3E 10 10              NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 03 PRIMER GRADO
  • 49. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 49 1. Del gráfico. Calcula sen 2. Del gráfico. Calcula cos. 3. Del gráfico. Calcula sen 4. Del gráfico. Calcula cos 5. Del gráfico. Calcula sen 6. Del gráfico. Calcula cos Rpta.: ....................................................... 7. Si: sen∝ = 1/2 Calcula cos Rpta.: ....................................................... 8. Si: . Calcula sen Rpta.: ....................................................... 9. Del gráfico. Calcula “x”, si: . Rpta.: ....................................................... 10. Del gráfico. Calcula “x”, si: . Rpta.: ....................................................... 11. Del gráfico. Calcula “x”. Rpta.: ....................................................... 3E 10  16 12 20  20 15 25  4 3  12 5  15 17  6 10  4cos 5   2cos 3   x 60  3sen 4   x20  x 5 6 9 PRACTICANDO EN CLASE
  • 50. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 50 12. Del gráfico. Calcula “x”. Rpta.: ....................................................... 13. Del gráfico. Calcula: N=sen+cos Rpta.: ....................................................... 14. Del gráfico. Calcula: T=sen+cos Rpta.: ....................................................... 15. Del gráfico. Calcula: T=sen+cos Rpta.: ....................................................... 16. Del gráfico. Calcula: N=cos–sen Rpta.: ....................................................... 1. Del gráfico. Calcula: B=sen+sen 2. Del gráfico. Calcula: C=cos.cos 3. Del gráfico. Calcula: M=sen+cos 4. Del gráfico. Calcula: L=cos–cos 5. Del gráfico. Calcula: V=2.sen 6 8 x 4 7 24  1 3  3 x+ 1  x 8 x+ 1  x-1 4 3  13  10 5   1 2a (4 - a) 10 5     n+ 5 n 10 2 2  3 PRACTICANDO EN CLASE
  • 51. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 51 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 6. Del gráfico. Calcular: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 7. Si: . Calcula: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 8. Si: . Calcula: A=3sen A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 9. Del gráfico. Calcula L=sen+cos En el presente capítulo vamos a analizar tres tipos de situaciones problemáticas: 1. Situaciones con palitos de fósforo 2. Transmisiones y engranajes 3. División de figuras 1. SITUACIONES CON PALITOS DE FÓSFORO Esta parte de la matemática recreativa trata de resolver situaciones en los cuales intervienen palitos de fósforo o cerillas. Las situaciones problemáticas se dividen en tres tipos de análisis: a. Resolver las situaciones quitando palitos. b. Resolver las situaciones moviendo palitos. c. Resolver las situaciones agregando palitos. Estimado alumno para el análisis de las situaciones anteriormente descritas debes de tener en cuenta las siguientes consideraciones: • No es válido doblar o romper los palitos. • En las figuras conformadas por cerillas no es válido dejar palitos libres (cabos sueltos); es decir, es incorrecto dejar una figura de la siguiente manera: Veamos a continuación unos ejemplos * Ejemplo 1 Quitar dos palitos de fósforo para que queden solamente cuatro cuadrados iguales. M 17 cos  1 4  3sen 3   A 6.cos  5cos 3   x-1 x+ 1  10 Palito libre o cabo suelto Palito libre RAZONAMIENTO MATEMÁTICO. NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 PRIMER GRADO MATEMÁTICA RECREATIVA I
  • 52. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 52 Resolución Al eliminar los palitos indicados, quedarán cuatro cuadrados iguales de la siguiente manera: * Ejemplo 2 En la siguiente igualdad incorrecta mover solamente un palito de fósforo y transformarlo en una igualdad correcta. Resolución Todos nosotros sabemos que 3 - 1 es igual a 2 y no a 3 como aparece en la igualdad propuesta, por lo tanto para lograr transformarla en una igualdad correcta hay que mover un palito de la siguiente manera: 2. TRANSMISIONES Y ENGRANAJES En esta segunda parte analizaremos la transmisión del movimiento que van a adquirir los engranajes y las ruedas propuestas. NOTA: No olvidar que existen dos tipos de giros: Para una mejor comprensión del tema analizaremos y completaremos las siguientes situaciones: a. Situación 1 Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido antihorario. Conclusión: Dos ruedas en contacto girarán en sentidos opuestos. b. Situación 2 Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido horario. Conclusión: Dos ruedas unidas por una faja abierta girarán en sentidos iguales. c. Situación 3 Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido antihorario. Conclusión: Dos ruedas unidas por una faja cruzada girarán en sentidos opuestos. d. Situación 4 Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido horario. Conclusión: Dos ruedas unidas por el mismo eje girarán en sentidos iguales. A continuación resolveremos dos ejercicios con lo anteriormente deducido: Ejercicio 1 Si la rueda "A" gira en el sentido que indica la flecha, ¿en qué sentidos giran las ruedas "B" y "C" respectivamente? Giro horario Giro antihorario A B A B A B B A
  • 53. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 53 B. ____________________ C. ____________________ Ejercicio 2 Si la rueda "A" gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido giran las ruedas "B" y "C" respectivamente? B. ____________________ C. ____________________ 3. DIVISIÓN DE FIGURAS En esta última parte de matemática recreativa analizaremos la división de figuras en función de diversas situaciones razonadas. Para ello estimado alumno Trilce tendrás que utilizar toda tu agudeza e ingenio matemático para sus respectivas resoluciones. Veamos a continuación algunos ejemplos: * Ejemplo 1 Trazar dos líneas rectas y lograr dividir la figura adjunta en cuatro partes. Resolución Realizamos los dos trazos de la siguiente forma: 1. A continuación se muestra una operación incorrecta formada por palitos de fósforo: Se le pide a Ud. que mueva un palito de fósforo para transformarla en una igualdad correcta. 2. Observe la siguiente figura conformada por palitos de fósforo: Se le pide a Ud. que quite dos palitos de fósforo con la finalidad de obtener tres cuadrados iguales. 3. En la igualdad incorrecta que se propone a continuación, ¿cuántos palitos hay que mover como mínimo para lograr convertirla en una igualdad correcta? A B C A B C TALLER Nº 01
  • 54. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 54 4. En la siguiente figura, ¿cuántos palitos hay que quitar como mínimo para obtener tres triángulos iguales? 5. En la figura adjunta, ¿cuántos palitos hay que agregar como mínimo para lograr obtener dos triángulos iguales y un rombo? 6. En los engranajes que se proponen a continuación, la rueda "A" gira en sentido horario. Determinar en qué sentido gira las ruedas "B" y "C" respectivamente. La rueda "B" gira en sentido: _______________ La rueda "C" gira en sentido: _______________ 1. La siguiente figura representa un recogedor, dentro del cuál se encuentra un papel. Cambiando de posición dos palitos del recogedor, el papel debe quedar afuera; ¿qué palitos tendrían que moverse? 2. Cambiando la posición de dos palitos de fósforo hay que reducir de 5 a 4, el número de cuadrados. ¿Cómo lo harías? 3. ¿Cuál será la menor cantidad de palitos a mover para que el perrito mire para el otro sentido? Observación: el perrito debe estar siempre con la cola hacia arriba. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes agregar para formar ocho cuadrados? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 A B C PRACTIQUEMOS.
  • 55. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 55 5. ¿Cuántos palitos de fósforo debes retirar como mínimo para que quede uno? a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 4 6. ¿En qué sentido giran "B" y "C", si el engranaje "A" gira en el sentido que indica la flecha? B.__________ C. __________ 7. Si el engranaje "1" se mueve como indica la flecha, decir cuántos se mueven en sentido horario. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 8. Dividir la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño. 9. Dividir la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño. 10. ¿En qué sentido giran "B" y "C" respectivamente, si "A" gira en el sentido que indica la flecha? En los problemas que se proponen a continuación las igualdades son incorrectas, en cada uno de ellos mueva Ud. solamente un palito de fósforo y logre transformarlas en igualdades correctas. 1. 2. 3. 4. Cambiando de posición un palito de fósforo hacer que el animal representado mire al otro lado. 5. Se ha construido una casa utilizando diez palitos de fósforo. Cambiar en ella la posición de dos palitos de fósforo, de tal forma que la casa aparezca de otro costado. 6. Se tienen doce palitos de fósforos dispuestos como muestra el gráfico adjunto, usted debe retirar dos palitos de fósforo y lograr que queden solo dos cuadrados. B A C 1 A B C TAREA DOMICILIARIA Nº 01.
  • 56. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 56 7. Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿en qué sentido giran las ruedas "B" y "C"? "B" gira en sentido __________ "C" gira en sentido __________ 8. ¿En qué sentido giran los engranajes "A" y "D", si "C" gira en el sentido que indica la flecha? "A" gira en sentido __________ "D" gira en sentido __________ 9. Si el engranaje "A" se mueve como indica la flecha, indicar en qué sentidos giran "C", "D" y "E". "C" gira en sentido __________ "D" gira en sentido __________ "E" gira en sentido __________ 10. Si el engranaje "E" gira tal y como indica la flecha, mencione qué engranajes giran en sentido antihorario. 11.Indicar cuántos giran en sentido horario, si el engranaje "A" gira en el sentido que indica la flecha. a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 8 OBJETIVO En este capítulo, acorde a lo que vimos anteriormente, seguiremos probando tu capacidad de razonar tanto lógica como analíticamente, pues recuerda estimado alumno que el objetivo es que resuelvas los problemas en forma recreativa y divertida. En esta parte analizaremos las siguientes situaciones problemáticas: 1. Formación de números utilizando las cuatro operaciones fundamentales. 2. Construcciones numéricas 3. Situaciones razonadas diversas 1. FORMACIÓN DE NÚMEROS En este subcapítulo el objetivo principal va a ser formar números dadas cierta cantidad de cifras, para ello utilizarás las cuatro operaciones fundamentales como base para la resolución de los problemas. Recuerda que aquí pondrás a prueba toda tu habilidad numérica y operativa. Veamos a continuación dos ejemplos: * Ejemplo 1 Con tres cifras "4" y utilizando las operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división) formar el número 5. Resolución C B A C BA D E C A D E B B C D A E A NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 PRIMER GRADO MATEMÁTICA RECREATIVA II
  • 57. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 57 Para formar el número 5 hay que emplear las tres cifras "4" de la siguiente forma: 2. CONSTRUCCIONES NUMÉRICAS En esta parte de la matemática recreativa deberás colocar en los círculos o recuadros en blanco ciertas cifras, con el objetivo de obtener construcciones numéricas en las figuras propuestas. NOTA: Cuando coloques las cifras propuestas en las figuras adjuntas no es válido repetir las cifras. Para un mejor entendimiento resolveremos dos ejemplos: * Ejemplo 1 Completar los números que faltan en los casilleros en blanco de la torre mostrada, con la condición que el casillero superior sea la suma de los dos inferiores y adyacentes a él. Para un mejor entendimiento completaremos paso a paso los casilleros en blanco. 3. SITUACIONES RAZONADAS DIVERSAS Esta última parte tratará de ciertas situaciones problemáticas donde su resolución requiere de la aplicación del razonamiento e ingenio matemático. Esperamos que este subcapítulo sea tan interesante como los anteriores. * Ejemplo 1 La siguiente figura representa seis copas, las tres primeras están llenas con vino y las tres últimas están vacías. Moviendo una sola copa lograr que éstas queden alternadas; es decir, una llena y una vacía, ¿qué copa moverías y cómo? Resolución Moveríamos la copa 2 y vaciamos su contenido en la copa 5. Luego de ello quedaría así: 1. Con cinco cifras "5" y utilizando las operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división) formar el número 5. 2. Con cinco cifras "9" y utilizando las cuatro operaciones básicas obtener el número 12. 3. Con siete cifras "7" y utilizando las cuatro operaciones fundamentales formar el número 17. 4. Colocar las cifras del 1 al 7, una en cada círculo, de tal manera que la suma en cada línea de tres círculos sea 10. 5. Complete los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números de casilleros consecutivos de cualquier fila debe dar el número en el nivel inmediato superior. 514 4 4 4  9 5 3 9 5 3 9 5 3 9 5 3 4 4 2 2 2 1 1 2 3 4 5 6 1 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6 5 8 10 1 PRACTIQUEMOS.
  • 58. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 58 6. Se colocan nueve monedas tal como indica la figura, dibujando solamente dos cuadrados deberás ubicarlos en regiones que contengan solamente una moneda. 7. ¿Cuántas monedas se deben cambiar de lugar como mínimo para pasar de la posición "A" a la posición "B"? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 8. Se desea dividir una torta en ocho partes utilizando únicamente tres cortes, ¿cómo deberá realizar dichos cortes? 9. Colocar los números del 1 al 7 sin repetir, de tal manera que los números de arriba sean el resultado de la suma de los dos de abajo adyacentes a él. 10. Dos adultos y dos niños deben cruzar un río empleando para ello una canoa que soporta como máximo 80 kg. Si cada niño pesa 40 kg y cada adulto 80 kg, ¿cómo deben hacer para cruzar todos en la menor cantidad de viajes? 11. Colocar las cifras del 1 al 7 en cada espacio de los círculos para que la suma de los números de cada círculo sea 13. 12. A Coquito se le cae su reloj, quedando este partido en tres, y observa curiosamente que en cada región la suma de sus valores es la misma. Indicar cómo quedó dividido dicho reloj. 1. Se tienen las siguientes cifras: 3; 3; 3 Se le pide a Ud. que con ellas y utilizado adecuadamente uno o más signos aritméticos (+, -, x, :) obtenga como resultado 12. 2. Se proponen las siguientes cifras: 5; 5; 5. Se le pide a Ud. que con ellas y empleando adecuadamente uno o más signos aritméticos (+, -, x, :) obtenga como resultado 4. 3. Con solamente cuatro cifras "2" y utilizando correctamente uno o más signos aritméticos obtenga como resultado 5. A B 12 6 9 3 1 2 8 7 4 5 10 11 TALLER Nº 02.
  • 59. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 59 4. Con solamente cuatro cifras "6" y empleando convenientemente uno o más signos aritméticos obtenga como resultado 7. 5. En los círculos vacíos del triángulo mostrado coloque Ud. sin repetir las cifras: 0; 1; 2; 3; 4 y 5 con la condición que cada uno de sus lados siempre sumen 9. 6. Coloque Ud. las cifras: 1; 2; 3; 4; 5 y 6 (sin repetir) en los círculos vacíos de la siguiente figura, con la condición que la suma de cada lado del triángulo sea igual a 11. 7. Complete los números que faltan en los casilleros de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que la suma de los números de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediato superior. 8. Complete los números que faltan en los casilleros de la pirámide adjunta, con la condición que la suma de los números de dos casilleros adyacentes den como resultado el casillero inmediato superior. 1. Con tres cifras "2" y utilizando las operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división) formar el número 3. 2. Con tres cifras "6" y utilizando las cuatro operaciones básicas obtener el número 30. 3. Con cuatro cifras "5" y utilizando las cuatro operaciones fundamentales formar el número 7. 4. Solamente con cuatro cifras "4" y utilizando las operaciones fundamentales obtener los números del 1 al 10 inclusive. 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 5 2 4 28 12 8 1 TAREA DOMICILIARIA Nº 02.
  • 60. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 60 9 = 10 = 5. Colocar los números del 1 al 6 (sin repetir) en los círculos del triángulo, de manera que la suma por lado sea igual a 12. 6. Colocar los números del 1 al 8, de tal forma que en cada ficha la suma sea la misma. 7. Complete los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila, debe dar el número superior. 8. Complete los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila debe dar el número superior. 9. Disponer los números del 3 al 8 (sin repetir) en los círculos del triángulo, de manera que la suma por lado sea igual a 18. 10. Colocar los números del 1 al 9 (sin repetir) en los círculos de la cruz, de manera que la suma por cada fila (vertical y horizontal) sea igual a 27. 11. En los círculos de la rueda disponer los números del 1 al 9 (sin repetir) de modo que la suma por cada diámetro sea igual a 15. Estos problemas se caracterizan por presentar un conjunto de datos desordenados que necesariamente contienen toda la información que se requiere para dar la solución y su respectiva respuesta a dichos problemas. Una manera sencilla de resolverlos es procediendo de la forma más esquemática posible, es decir, realizando gráficos, dibujando figuras, trazando líneas, etc. En otras palabras, tratando de representar gráficamente los datos del problema y no pretender llevar todas las relaciones utilizando solamente la lógica. Esta primera parte tratará exclusivamente del ORDENAMIENTO LINEAL, para lo cual analizaremos los tres casos que presenta este ordenamiento, que son: 1. Ordenamiento creciente y decreciente 2. Ordenamiento lateral 3. Ordenamiento por posición de datos 29 15 8 7 5 6 4 NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 0 ORDEN DE INFORMACIÓN I
  • 61. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 61 1. ORDENAMIENTO CRECIENTE Y DECRECIENTE Este caso se reconoce porque los datos que se presentan son susceptibles a ser ordenados de mayor a menor y viceversa (en forma creciente o decreciente), por ejemplo nuestras edades, estaturas, pesos, puntajes que obtenemos en un examen, etc. Para una mejor comprensión de este ordenamiento resolvamos a continuación dos ejemplos: * Ejemplo 1 José es más alto que Eduardo pero más bajo que Gildder, Rommel es más alto que Gildder pero más bajo que Alex. ¿Quién es el más alto de todos? ¿Quién es el más bajo de todos? Resolución Una forma óptima de resolver este problema es trazar una línea vertical que nos servirá de guía para no confundir la información dada, es decir, de la siguiente manera: José es más alto que Eduardo pero más bajo que Gildder Rommel es más alto que Gildder pero más bajo que Alex Por lo tanto el ordenamiento quedaría así: Luego el más alto de todos es Alex y el más bajo de todos es Eduardo. 2. ORDENAMIENTO LATERAL En este caso el ordenamiento de los datos se realiza lateralmente (en forma horizontal), por ejemplo cierta cantidad de personas sentadas en una banca (cada una se encuentra al lado de otra) o un conjunto de casas construidas en una avenida una a continuación de otra. Antes de resolver los ejercicios estimado alumno debes de saber que en un ordenamiento lateral se cumple lo siguiente: IZQUIERDA  DERECHA OESTE  ESTE OCCIDENTE  ORIENTE NOTA: Es frecuente que en este tipo de ordenamiento encuentres la palabra ADYACENTE, la cual quiere decir "junto a" o "al lado de". 3. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE ELEMENTOS Es aquel ordenamiento donde los datos ocupan posiciones determinadas o fijas, como los pisos ubicados en un edificio o los puestos que existen en una competencia deportiva (primer puesto, segundo, tercero, etc.). 1. Se sabe que Arturo es menor que Jorge y que Fernando, pero Jorge es mayor que Fernando. ¿Quién es el menor de todos ellos? 2. De tres amigas se sabe lo siguiente: * Andrea es menor que Gabriela. * Vania es mayor que Andrea. * Gabriela es menor que Vania. De todas ellas, ¿quién es la menor? Gildder José Eduardo Gildder Alex Rommel Gildder Alex Rommel Eduardo José TALLER Nº 03
  • 62. “Innova Schools” Mes: Marzo 2013Del colegio a la Universidad Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria 62 3. Si se sabe que: * Sergio es más alto que María pero más bajo que Luis. * Tania es más baja que María. ¿Quién es el mayor y la menor respectivamente? 4. A una fiesta asisten cinco amigos y respecto a ellos se tiene la siguiente información: * Antonio es más alto que Bernardo. * Carlos es el más alto de todos. * David es más alto que Antonio. * Eduardo es más bajo que Antonio. Si Eduardo no es el menor de todos, ¿quién lo es? 5. Tres amigos viven en casas adyacentes. Si Gildder vive a la izquierda de Rommel pero a la derecha de José, ¿quién vive a la izquierda de los demás? 6. Cuatro señoritas viven en casas contiguas y se sabe que: * La casa de Dora queda junto y a la derecha de la casa de Amanda. * Carmen vive a la izquierda de la casa de Dora. * Beatriz vive a la derecha de la casa de Amanda. ¿Quién vive a la derecha de las demás? 1. De un grupo de personas se sabe lo siguiente: Eduardo tiene 3 años más que Rubén, éste tiene 2 años más que Danny, Manuel 5 años más que Eduardo y John tiene 4 años más que Manuel. ¿Quién es la persona que tiene más edad? a) Rubén b) Danny c) Manuel d) Eduardo e) John 2. En una reunión un caballero comenta lo siguiente: "Mariela pesa 4 kg menos que Sofía, Vanessa pesa 3 kg más que Sofía, Roxana pesa 2 kg menos que Paola y ésta pesa 1 kg menos que Mariela". ¿Quién es la señorita que pesa menos? a) Sofía b) Vanessa c) Mariela d) Paola e) Roxana 3. En un examen de Razonamiento Matemático se obtiene la siguiente información: Tiburcio obtuvo 5 puntos más que Florencio, quién a su vez obtuvo 3 puntos menos que Clodomiro, Pancracio sacó 6 puntos más que Eucalipta, ésta sacó 7 puntos menos que Tiburcio y Anacleta 2 puntos más que PRACTIQUEMOS.