El documento describe métodos para convertir números entre diferentes sistemas de numeración. Explica cómo convertir números de base X a base 10 usando el Teorema Fundamental de la Numeración, y de base 10 a otras bases como binario, octal y hexadecimal mediante divisiones sucesivas para enteros y multiplicaciones para decimales. También cubre conversiones de números mixtos usando restas sucesivas de potencias de la base.

1. Capitulo 3
Sistemas de Numeración (III)
MAT204 – F4
UniversidadAutónoma Gabriel Rene Moreno
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología
Semestre I/2018
Ing. Mary Dunnia López N.

2. 3.3.1 Convertir de un sistema Base X a Base10
• TFN (Teorema Fundamental de la Numeración)
3.3.2 Conversión de Base 10 a un Sistema X
• Números Enteros
• Números Fraccionarios
• Números Entero y Fracción
3.3.3 Conversión de Binario a otros Sistemas cuyas bases son potencias del 2
• Binario a Octal
• Binario a Hexadecimal
3.3 Conversiones
Conversiones

3. CONVERSIONES - FORMULAS
Sistema en base X  Base DECIMAL
TFN
Sistema en base 10  Base Y
3 Reglas de Conversión

4. 2.1 3 = 2* 30 + 1 * 3 -1 = 2 + 0.3 =2.310
TFN -> SISTEMA DECIMAL
Teorema Fundamental de la Numeración
Simplificando: Se puede utilizar el TFN para convertir un numero en
base X a su equivalente en base 10.

5. Es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmética las potencias del número diez.
- Del punto para la Izquierda potencias positivas ascendentes desde cero.
- Del punto para la Derecha potencias negativas ascendentes desde -1.
De Base x  Base 10

6. TFN  Teorema Fundamental de la Num.

7. - Del punto para la Izquierda potencias positivas ascendentes desde cero.
- Del punto para la Derecha potencias negativas ascendentes desde -1.
BC051,E1 (16)  ? (10)
Base 10 Base 16
0 0
1 1
… …
9 9
10 A
11 B
12 C
13 D
14 E
15 F
=11*(16^4) +
12*(16^3) +
0*(16^2) +
5*(16^1) +
1*(16^0) +
14*(16^ -1)+
1*(16^ -2)
= 770129.87891 (10)
TFN  Teorema Fundamental de la Num.

8. BASE 10 -> BASE Y
BINARIO OCTAL HEXADECIMAL
ENTERO
Por divisiones sucesivas entre
la Base (2). Hasta que el
residuo sea menor que la Base
(2).
Por divisiones sucesivas entre la
Base (8). Hasta que el residuo sea
menor que la Base (8).
Por divisiones sucesivas entre la Base
(16). Hasta que el residuo sea menor que
la Base (16).
FRACCION
Por Multiplicaciones sucesivas
por la Base (2). Hasta que la
fracción del resultado sea 0 o
se tengan los suficientes dígitos
binarios que no permitan
sobrepasar un error.
Por Multiplicaciones sucesivas por
la Base (8). Hasta que la fracción
del resultado sea 0 o se tengan
los suficientes dígitos octales que
no permitan sobrepasar un error.
Por Multiplicaciones sucesivas por la
Base (16). Hasta que la fracción del
resultado sea 0 o se tengan los
suficientes dígitos hexadecimales que no
permitan sobrepasar un error.
ENTERO Y
FRACCION
 Por restas sucesivas de las
potencias de la Base (2).
Hasta que el resultado quede
en 0 o con un error de
precisión inferior al solicitado.
 Las potencias de 2
utilizadas equivaldrán a un
digito 1 y las que no a un
digito 0.
 Por restas sucesivas de las
potencias de la Base (8). Hasta
que el resultado quede en 0 o
con un error de precisión inferior
al solicitado.
 Por cada potencia se contara
cuantas veces se repite y este
número será el digito octal. Si
faltara alguna potencia se llena
esta posición con el digito octal
Cero.
 Por restas sucesivas de las potencias
de la Base (16). Hasta que el resultado
quede en 0 o con un error de precisión
inferior al solicitado.
 Por cada potencia se contara cuantas
veces se repite y este número será el
digito Hexadecimal. Si faltara alguna
potencia se llena esta posición con el
digito Hexadecimal Cero.

9. Operación Procedimiento Punto de Parada
Conversión Enteros Divisiones Enteras
sucesivas entre la base
Hasta obtener un
COCIENTE igual a CERO
Conversión parte decimal Multiplicaciones sucesivas
por la base
- Hasta obtener el
resultado igual a CERO.
- Hasta que los resultados
comiencen a repetirse
periódicamente.
- Hasta obtener los dígitos
suficientes.
Conversión de Entero y
Decimal
Restas sucesivas de
potencias de la base
- Hasta obtener el
resultado igual a CERO.
- Hasta que los resultados
comiencen a repetirse
periódicamente.
- Hasta obtener los dígitos
suficientes

10. 28 (10)  ? (2)
Dividir sucesivamente entre DOS el numero decimal hasta que el cociente
sea cero
Conversión de Base 10 a un Sistema X

11. 0,31 (10)  ? (2)
Productos Sucesivas por la Base
0.31 *2 = 0.62
0.62 *2 = 1.24
0.24 *2 = 0.48
0.48 *2 = 0.96
0.96 *2 = 1.92
0.92 *2 = 1.84
0.84 *2 = 1.68
0.68 *2 = 1.36
0.36 *2 = 0.72
0.72 *2 = 1.44
0.44 *2 = 0.88
0.88 *2 = 1.76
0.76 *2 = 1.52
0.52 *2 = 1.04
0.04 *2 = 0.08
0.08 *2 = 0.16
0.16 *2 = 0.32
0.32 *2 = 0.64
0.64 *2 = 1.28
0.28 *2 = 0.56
0.56 *2 = 1.12
0.12 *2 = 0.24
0.24 *2 = 0.48
0.48 *2 = 0.96
0.96 *2 = 1.92
0.92 *2 = 1.84
0.84 *2 = 1.68
0.68 *2 = 1.36
0.36 *2 = 0.72
0.72 *2 = 1.44
0.44 *2 = 0.88
0.88 *2 = 1.76
la parte entera de
cada resultado
es el resultado de la
conversión
0,31 (10)  0, 01001111010111000010100011110101110000101000111

12. 6351,31 (10)  ? (2)
Divisiones Sucesivas entre la Base
6351 2
1 3175 2
1 1587 2
1 793 2
1 396 2
0 198 2
0 99 2
1 49
49 2
1 24 2
0 12 2
0 6 2
0 3 2
1 1
Desde el ultimo RESIDUO hasta el INICIO son EL RESULTADO de la conversión
6351,31 (10)  1100011001111 (2)

13. 6351,31 (10)  ? (2)
Restas Sucesivas de potencias de la Base
Contar el numero de veces que se utilizo una POTENCIA en orden desde arriba hacia abajo . En el caso binario
máximo se usa UNA vez una potencia.
2^-5 0.0312500000
2^-4 0.0625000000
2^-3 0.1250000000
2^-2 0.2500000000
2^-1 0.5000000000
2^0 1.0000000000
2^1 2.0000000000
2^2 4.0000000000
2^3 8.0000000000
2^4 16.0000000000
2^5 32.0000000000
VALOR POTENCIA 2 TOTAL POSICION
6351.31 - 4096.0000 = 2255.310000 2^12
2255.31 - 2048.0000 = 207.310000 2^11
207.31 - 128.0000 = 79.310000 2^7
79.31 - 64.0000 = 15.310000 2^6
15.31 - 8.0000 = 7.310000 2^3
7.31 - 4.0000 = 3.310000 2^2
3.31 - 2.0000 = 1.310000 2^1
1.31 - 1.0000 = 0.310000 2^0
0.31 - 0.2500 = 0.060000 2^-2
0.06 - 0.0313 = 0.028750 2^-5
0.03 - 0.0156 = 0.013125 2^-6
0.01 - 0.0078 = 0.005313 2^-7
0.01 - 0.0039 = 0.001406 2^-8
0.00 - 0.0010 = 0.000430 2^-10
Digito de la
conversión es = al
numero de veces
que cada potencia
fue utilizada
6351,31 (10)  1100011001111,0 1001111

14. 6351,31 (10)  ? (13)
Restas Sucesivas de potencias de la Base
VALOR TOTAL POTENCIA 13 Nro. Repeticiones
6351.31 - 2197 = 4154.31 13^3
2.00
4154.31 - 2197 = 1957.31 13^3
1957.31 - 169 = 1788.31 13^2
11.00
1788.31 - 169 = 1619.31 13^2
1619.31 - 169 = 1450.31 13^2
1450.31 - 169 = 1281.31 13^2
1281.31 - 169 = 1112.31 13^2
1112.31 - 169 = 943.31 13^2
943.31 - 169 = 774.31 13^2
774.31 - 169 = 605.31 13^2
605.31 - 169 = 436.31 13^2
436.31 - 169 = 267.31 13^2
267.31 - 169 = 98.31 13^2
98.31 - 13 = 85.31 13^1
7.00
85.31 - 13 = 72.31 13^1
72.31 - 13 = 59.31 13^1
59.31 - 13 = 46.31 13^1
46.31 - 13 = 33.31 13^1
33.31 - 13 = 20.31 13^1
20.31 - 13 = 7.31 13^1
7.31 - 1 = 6.31 13^0
7.00
6.31 - 1 = 5.31 13^0
5.31 - 1 = 4.31 13^0
4.31 - 1 = 3.31 13^0
3.31 - 1 = 2.31 13^0
2.31 - 1 = 1.31 13^0
1.31 - 1 = 0.31 13^0
0.31 - 0.077 = 0.23 13^-1
4.00
0.23 - 0.077 = 0.16 13^-1
0.16 - 0.077 = 0.08 13^-1
0.08 - 0.077 = 0.00 13^-1
POTENCIA 13
13^4 28561
13^3 2197
13^2 169
13^1 13
13^0 1
13^-1 0.07692
13^-2 0.00592
13^-3 0.00046
13^-4 0.00004
6351,31 (10) = 2B77,4

15. 6351,31 (10)  ? (13)
Restas Sucesivas de potencias de la Base
VALOR TOTAL POTENCIA 13 Nro. Repeticiones
6351.31 - 2197 = 4154.31 13^3
2.00
4154.31 - 2197 = 1957.31 13^3
1957.31 - 169 = 1788.31 13^2
11.00
1788.31 - 169 = 1619.31 13^2
1619.31 - 169 = 1450.31 13^2
1450.31 - 169 = 1281.31 13^2
1281.31 - 169 = 1112.31 13^2
1112.31 - 169 = 943.31 13^2
943.31 - 169 = 774.31 13^2
774.31 - 169 = 605.31 13^2
605.31 - 169 = 436.31 13^2
436.31 - 169 = 267.31 13^2
267.31 - 169 = 98.31 13^2
98.31 - 13 = 85.31 13^1
7.00
85.31 - 13 = 72.31 13^1
72.31 - 13 = 59.31 13^1
59.31 - 13 = 46.31 13^1
46.31 - 13 = 33.31 13^1
33.31 - 13 = 20.31 13^1
20.31 - 13 = 7.31 13^1
7.31 - 1 = 6.31 13^0
7.00
6.31 - 1 = 5.31 13^0
5.31 - 1 = 4.31 13^0
4.31 - 1 = 3.31 13^0
3.31 - 1 = 2.31 13^0
2.31 - 1 = 1.31 13^0
1.31 - 1 = 0.31 13^0
0.31 - 0.077 = 0.23 13^-1
4.00
0.23 - 0.077 = 0.16 13^-1
0.16 - 0.077 = 0.08 13^-1
0.08 - 0.077 = 0.00 13^-1
POTENCIA 13
13^4 28561
13^3 2197
13^2 169
13^1 13
13^0 1
13^-1 0.07692
13^-2 0.00592
13^-3 0.00046
13^-4 0.00004
6351,31 (10) = 2B77,4

16. CONVERSIONES DIRECTAS
Caso 1: Base10  Basex
- Para parte entera: Por divisiones sucesivas entre la base X
- Para parte decimal: Por multiplicaciones sucesivas por la base X
- Parte entera y decimal: Por restas sucesivas de potencias de la
base X

17. CONVERSIONES DIRECTAS
Caso 2: Basex  Basey
Donde Y es distinto 10
1. Basex  Base10
Para esta conversion solo aplicar el TFN (Teorema
fundamental de la Numeracion)
2. Base10  BaseY
Para esto ver el Caso 1

18. CONVERSIONES DIRECTAS
Caso 3: Base2  Basey
Donde Y es potencia del 2
1. Se debe representar Y bajo la forma de potencia del 2
4  22  Significa que 2 digitos binarios son 1 digito de base 4
8  23  Significa que 3 digitos binarios son 1 digito de base 8
16  24  Significa que 4 digitos binarios son 1 digito de base 16
32  25  Significa que 5 digitos binarios son 1 digito de base 32

19. Caso 3: Base2  Basey
Octal a Binario

20. Carácter octal Nº binario Ejemplo: 55,358
0 000
101 101 011 101
5 5 3 5
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
Caso 3: Base2  Basey
Octal a Binario

21. Caráct.
Hexa
Nro
Binario
Ejemplo: 55,358
0 0000
2 D 7 4  Dígitos Hexa
0010 1101 0111 0100  Dígitos Binarios en grupos de 4 en 4
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
101 101 011 101  Dígitos Binarios en grupos de 3en 3
5 5 3 5  Dígitos Octales
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111
Caso 3: Base2  Basey
Octal a Binario

22. Cada digito Hexadecimal representa 4 dígitos Binarios.
2 A C (16)  X(2)
12102
110010100010
001010101100(2)
Caso 3: Base2  Basey
Hexadecimal a Binario

23. 3.4 Representación del Numero Entero
• Modulo y Signo
• Complemento al Uno
• Complemento al Dos
3.5 Representación en Punto Fijo
• Decimal Empaquetado
• Decimal Desempaquetado
• Binario Puro
3.6 Representación del numero Real
3.7 Operaciones Aritméticas
• Suma
• Resta
• Producto
• División
Tema 3: Sistemas de Numeración

24. Modulo y Signo (MS)
El signo se representa en el bit más a la izquierda del dato. Bit (n-1)
En el resto de los bits se representa el valor del número en binario
natural. Bits (n-2)..0
Doble representación del 0.
Por ejemplo para un número de bits de 8 :
1010 = 00001010SM
-410 = 10000100SM
010 = 00000000SM
-010 = 10000000SM

25. Complemento a uno
Los valores positivos se representan en MS.
Los valores negativos cambiar los (1) por (0) y los (0) por (1).
Convierte las restas en sumas.
Doble representación del 0.
Ejemplos Base 2
Utilizando 8 Bits realizar la siguiente operación: 77 - 63
1
4
77
-63
+
11000000c1
1
01001101C1
0000111
0
100001101
+ 1
010011012
00111111
2
Sumar el
desborde

26. Complemento a Dos
Los valores positivos se representan en MS.
Los valores negativos cambiar los (1) por (0) y los (0) por (1). Luego se le suma 1.
Convierte las restas en sumas.
Por análisis desaparece la doble simbología del 0. (sumar 1 incluso al signo)
Ejemplos Base 2
Realizar la siguiente operación para un número de bits 8, 16 u 32 .
77 – 63
14
77
-63 11000000C1 + 1 = 11000001C2
01001101C1 = 01001101C2
100001110
+
01001101C2
11000001C2
Depreciar

27. 3.5 Representación en punto fijo
2n-1 -1 >= X >= -2 n-1
2147483647 >= X >= -2147483648
bits n=32
Binario Puro
Operación Signo
(1 Bit)
Valor
(31 Bits)
56 en Binario 0000000000000000000000000111000
-56 en C1 1 1111111111111111111111111000111
-56 en C2 1 1111111111111111111111111001000
Convertir el Numero a Binario de 32 Bits y luego llevarlo a Complemento al DOS

28. Decimal Desempaquetado
1111 Primer Digito
Convertido a Binario
1111 Segundo Digito
Convertido a Binario
Signo Ultimo Digito
Convertido a
Binario
Así por ejemplo 300710
1111 0011 1111 0000 1111 0000 1100 0111
SIGNO:
positivo  1100
negativo  1101

29. Decimal Empaquetado
0000 Primer Digito
Convertido a Binario
Ultimo Digito Convertido a
Binario
Signo
Así por ejemplo -300710
0000 0011 0000 0000 1110 1101
SIGNO:
positivo (1100) negativo(1101)
?

30. B = 10
Representación en coma flotante
N = (s)*M · BE
N  Valor numérico M  Mantisa B  Base E  Exponente
1.234535 · 103 = 1234.535 · 100 = 123453.5 · 10-2
3.6 Representación del Numero Real
S= Campo de signo 0  + 1  -
Campo del exponente => Representar en Modulo y Signo.
Signo
1 bit
Exponente
8 bits
mantisa
23 bits
Asi por ejemplo:
Mantisa: Numero real con el punto decimal implícito a la izquierda de sus bits. Se
lo puede representar en: modulo y signo, complemento a 1 o complemento a 2.

31. Representar en forma normalizada el numero decimal 32,5 con
base de exponenciación 10
32,5 = 325 * 10-1 = 0,325 *102
Mantisa = 325(10) = 101000101(2) = 101000101(C1)
Exponente = 00000010 (2)
Signo = 0
signo exponente Mantisa
31 30 23 22 0
0 00000010 10100010100000000000000

32. A B A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0 (1)
A B A*B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B A – B
0 0 0
0 1 1 (1)
1 0 1
1 1 0
A B A/B
0 0 --
0 1 0
1 0 --
1 1 1
3.7 Operaciones Aritméticas
Aritmética binaria
Acarrea 1
Presta 1

33. Operaciones en Binario
Sumas y restas
Multiplicaciones
División
0 y 1

34. Operaciones en Octal
Suma Octal
0 1 2 3 4 5 6 7

35. Operaciones en Octal
Producto Octal
0 1 2 3 4 5 6 7

36. Operaciones en Base 12
División en base 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

37. 3.8 Sistemas alfanuméricos
Código ASCII

38. 3.9 Sistemas alfanuméricos
Código ASCII