Econometría de series de tiempo - Estacionariedad

1. CAPITULO 10
ECONOMETRÍA DE SERIES DE TIEMPO
Estacionariedad
UNSCH
27 de abril de 2022
Econ. Juan A. Huaripuma Vargas

2. CONTENIDO
 Procesos estocásticos
 Regresión espuria
 Pruebas de estacionariedad
 Transformación de las series de tiempo no estacionarias

3. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
definición …
Un proceso estocástico o aleatorio es una colección de variables aleatorias
ordenadas en el tiempo:
𝑌
𝑌𝑡
Serie de tiempo
Serie de tiempo discreto
. . .
Cada una de ellas es una variable aleatoria!!!
𝑃𝐵𝐼𝑅2016 = 503,737.1 Millones de soles de 2007
 En teoría, el PBIR del 2016 pudo haber sido otra cifra, según el clima
económico u político.
 El valor observado es una realización de todas esas posibilidades
𝑌1 𝑌2 𝑌3 𝑌4 … 𝑌𝑛
𝑌𝑡

4. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
definición …
 La inflación mensual en el Perú es un proceso estocástico {Yt}
 La inflación en el mes t en el Perú es la variable aleatoria Yt de ese
proceso estocástico
 La inflación observada en el mes t es la realización de Yt , pero muchas
otras realizaciones pudieron ser posibles.

5. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Estacionario … definición …
𝑌𝑡 −∞
+∞
es un proceso estocástico estacionario si la función de distribución
conjunta f(𝑌𝑡, 𝑌𝑡+1, … , 𝑌𝑡+𝑚 ) es la misma que la distribución conjunta de
f(𝑌𝑡+𝑝, 𝑌𝑡+1+𝑝, … , 𝑌𝑡+𝑚+𝑝) para todo t, m y p
𝑌𝑡 𝑌𝑡+1 … 𝑌𝑡+𝑚 𝑌𝑡+𝑝 𝑌𝑡+1+𝑝 … 𝑌𝑡+𝑚+𝑝
f(𝑌𝑡, 𝑌𝑡+1, … , 𝑌𝑡+𝑚) f(𝑌𝑡+𝑝, 𝑌𝑡+1+𝑝, … , 𝑌𝑡+𝑚+𝑝)
Todas las propiedades estadísticas son iguales!!!

6. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Estacionarios … Débilmente estacionario …
Un proceso estocástico es débilmente estacionario si su media y su varianza son
contantes en el tiempo y si el valor de la covarianza entre dos periodos depende
sólo de la distancia o rezago entre estos dos periodos, y no del tiempo en el cual
se calculó la covarianza.
 Media
 Varianza
 Covarianza
𝐸(𝑌𝑡) = 𝜇
𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝐸(𝑌𝑡 − 𝜇)2
= 𝜎2
𝛾𝑘 = 𝐸[(𝑌𝑡 − 𝜇)(𝑌𝑡+𝑘 − 𝜇)]

7. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Estacionarios … Débilmente estacionario …
¿Por qué las series de tiempo estacionarias son tan importantes?
 Sólo podemos estudiar su comportamiento durante el periodo en
consideración.
 Corresponde a un episodio particular.
 No es posible generalizar para otros periodos.
 Para propósitos de pronóstico tienen poco valor práctico.
¿Cómo sabemos que una determinada serie de tiempo es estacionaria?

8. 𝐶𝑜𝑣 𝜀𝑡 𝜀𝑡−𝑘 = 0
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Estacionarios … Ruido blanco …
𝜀𝑡~𝑊𝑁(0, 𝜎2)
Proceso estocástico especial
Se dice que un proceso estocástico es puramente aleatorio o de ruido blanco si
dicho proceso tiene una media igual a cero, una varianza constante y no está
serialmente correlacionado.
 Media
 Varianza
 Covarianza
𝐸(𝜀𝑡) = 0
𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡) = 𝜎2

9. -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1
14
27
40
53
66
79
92
105
118
131
144
157
170
183
196
209
222
235
248
261
274
287
300
313
326
339
352
365
378
391
404
417
430
443
456
469
482
495
Ruido blanco
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Estacionarios … Puramente aleatorio o Ruido blanco …

10. Dado el siguiente modelo general:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Modelos teóricos …
Caminata aleatoria sin deriva
𝛽1 = 0 𝛽3 = 1
𝛽2 = 0
𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
Caminata aleatoria con deriva
𝛽1 ≠ 0 𝛽3 = 1
𝛽2 = 0
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡

11. Dado el siguiente modelo general:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Modelos teórico …
Caminata aleatoria sin deriva y tendencia
𝛽1 = 0 𝛽3 = 1
𝛽2 ≠ 0
Caminata aleatoria con deriva y tendencia
𝛽1 ≠ 0 𝛽3 = 1
𝛽2 ≠ 0
𝑌𝑡 = 𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡

12. Dado el siguiente modelo general:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Modelos teóricos …
Caminata aleatoria AR(1) sin deriva ni tendencia
𝛽1 = 0 𝛽3 < 1
𝛽2 = 0
Caminata aleatoria AR(1) con deriva
𝛽1 ≠ 0 𝛽3 < 1
𝛽2 = 0
𝑌𝑡 = 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
Caminata aleatoria AR(1) con deriva y tendencia
𝛽1 ≠ 0 𝛽3 < 1
𝛽2 = 0
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡

13. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria sin deriva
En general:
𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
𝑌4 = 𝑌3 + 𝜇4 = 𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4
𝑌1 = 𝑌0 + 𝜇1
𝑌2 = 𝑌1 + 𝜇2 = 𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2
𝑌3 = 𝑌2 + 𝜇3 = 𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3
𝑌𝑡 = 𝑌0 + 𝜇𝑡
𝜇𝑡~𝐼𝐼𝐷𝑁(0, 𝜎2)
……..

14. -20
-15
-10
-5
0
5
10
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
151
161
171
181
191
201
211
221
231
241
251
261
271
281
291
301
311
321
331
341
351
361
371
381
391
401
411
421
431
441
451
461
471
481
491
Caminata aleatoria sin deriva
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria sin deriva

15.  Media:
 Varianza
𝑌𝑡 = 𝑌0 + 𝜇𝑡
𝐸(𝑌𝑡) = 𝐸(𝑌0 + 𝜇𝑡) = 𝑌0
𝐸[𝑌𝑡 − 𝐸(𝑌𝑡)]2
= 𝐸[𝑌𝑡 − 𝑌0]2
= 𝐸[𝑌0 + 𝜇𝑡 − 𝑌0]2
= 𝐸[ 𝜇𝑡]2
𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝑡𝜎2
Constante
Aumenta de manera indefinida
Proceso estocástico no estacionario!!!
Persistencia de choques aleatorios
No se desvanece el impacto de un choque particular
Tiene memoria infinita Tendencia estocástica
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria sin deriva

16. En general:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
𝑌4 = 𝛽1 + 𝑌3 + 𝜇4 = 4𝛽1 + 𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4
𝑌1 = 𝛽1 + 𝑌0 + 𝜇1
𝑌2 = 𝛽1 + 𝑌1 + 𝜇2 = 2𝛽1 + 𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2
𝑌3 = 𝛽1 + 𝑌2 + 𝜇3 = 3𝛽1 + 𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3
𝑌𝑡 = 𝑡𝛽1 + 𝑌0 + 𝜇𝑡
𝜇𝑡~𝐼𝐼𝐷𝑁(0, 𝜎2)
… … . .
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria con deriva

17. 0
200
400
600
800
1000
1200
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
151
161
171
181
191
201
211
221
231
241
251
261
271
281
291
301
311
321
331
341
351
361
371
381
391
401
411
421
431
441
451
461
471
481
491
Caminata aleatoria con deriva
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria con deriva

18.  Media:
 Varianza
𝑌𝑡 = 𝑡𝛽1 + 𝑌0 + 𝜇𝑡
𝐸(𝑌𝑡) = 𝐸(𝑡𝛽1 + 𝑌0 + 𝜇𝑡) = 𝑡𝛽1 + 𝑌0
𝐸[𝑌𝑡 − 𝐸(𝑌𝑡)]2
= 𝐸[𝑌𝑡 − 𝑡𝛽1 − 𝑌0]2
= 𝐸[𝑡𝛽1 + 𝑌0 + 𝜇𝑡 − 𝑡𝛽1 − 𝑌0]2
= 𝐸[ 𝜇𝑡]2
𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝑡𝜎2
Se incrementa con el tiempo
Aumenta de manera indefinida
Proceso estocástico no estacionario!!!
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria con deriva

19. En general:
𝑌𝑡 = 𝛽2𝑡 + 𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
𝑌4 = 4𝛽2 + 𝑌3 + 𝜇4 = 4𝛽2 + (6𝛽2+𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3) + 𝜇4= 10𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇
𝑌1 = 𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇1
𝑌2 = 2𝛽2 + 𝑌1 + 𝜇2 = 2𝛽2 + (𝛽1+𝑌0 + 𝜇1) + 𝜇2 = 3𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2
𝑌3 = 3𝛽2 + 𝑌2 + 𝜇3 = 3𝛽2 + (3𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2) + 𝜇3 = 6𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3
𝑌𝑡 =
𝑡(𝑡 + 1)
2
𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇𝑡
𝜇𝑡~𝐼𝐼𝐷𝑁(0, 𝜎2)
……..
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria sin deriva y tendencia

20. -5.0000
0.0000
5.0000
10.0000
15.0000
20.0000
1
13
25
37
49
61
73
85
97
109
121
133
145
157
169
181
193
205
217
229
241
253
265
277
289
301
313
325
337
349
361
373
385
397
409
421
433
445
457
469
481
493
Caminata aleatoria sin deriva y tendencia
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria sin deriva y tendencia

21.  Media:
𝐸(𝑌𝑡) = 𝐸(
𝑡(𝑡 + 1)
2
𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇𝑡) =
𝑡(𝑡 + 1)
2
𝛽2 + 𝑌0
𝐸[𝑌𝑡 − 𝐸(𝑌𝑡)]2
= 𝐸[ 𝜇𝑡]2
𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝑡𝜎2
𝑌𝑡 =
𝑡(𝑡 + 1)
2
𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇𝑡
Proceso estocástico no estacionario!!!
Se incrementa con el tiempo
Aumenta de manera indefinida
 Varianza
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria sin deriva y tendencia

22. En general:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
𝑌4 = 𝛽1 + 4𝛽2 + 𝑌3 + 𝜇4 = 𝛽1 + 4𝛽2 + (3𝛽1 + 6𝛽2+𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3) + 𝜇4= 4𝛽1 + 10𝛽2 +
𝑌1 = 𝛽1 + 𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇1
𝑌2 = 𝛽1 + 2𝛽2 + 𝑌1 + 𝜇2 = 𝛽1 + 2𝛽2 + (𝛽1 + 𝛽2+𝑌0 + 𝜇1) + 𝜇2 = 2𝛽1 + 3𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇1 +
𝑌3 = 𝛽1 + 3𝛽2 + 𝑌2 + 𝜇3 = 𝛽1 + 3𝛽2 + (2𝛽1 + 3𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇1 + 𝜇2) + 𝜇3 = 3𝛽1 + 6𝛽2 + 𝑌0 +
𝑌𝑡 = 𝑡𝛽1 +
𝑡(𝑡 + 1)
2
𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇𝑡
𝜇𝑡~𝐼𝐼𝐷𝑁(0, 𝜎2)
……..
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria con deriva y tendencia

23. 0.0000
1000.0000
2000.0000
3000.0000
4000.0000
5000.0000
6000.0000
7000.0000
8000.0000
1
13
25
37
49
61
73
85
97
109
121
133
145
157
169
181
193
205
217
229
241
253
265
277
289
301
313
325
337
349
361
373
385
397
409
421
433
445
457
469
481
493
Caminata aleatoria con deriva y tendencia
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria con deriva y tendencia

24.  Media:
𝐸 𝑌𝑡 = 𝐸 𝑡𝛽1 +
𝑡 𝑡 + 1
2
𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇𝑡 = 𝑡𝛽1 +
𝑡(𝑡 + 1)
2
𝛽2 + 𝑌0
𝐸[𝑌𝑡 − 𝐸(𝑌𝑡)]2
= 𝐸[ 𝜇𝑡]2
𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝑡𝜎2
𝑌𝑡 = 𝑡𝛽1 +
𝑡(𝑡 + 1)
2
𝛽2 + 𝑌0 + 𝜇𝑡
Proceso estocástico no estacionario!!!
Se incrementa con el
Aumenta de manera indefinida
 Varianza
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria con deriva y tendencia

25. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Estacionarios … En tendencia.
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝜇𝑡 𝜇𝑡~𝐼𝐼𝐷𝑁(0, 𝜎2)
𝑌1 = 𝛽1 + 𝛽2 + 𝜇1
𝑌2 = 𝛽1 + 2𝛽2 + 𝜇2
𝑌3 = 𝛽1 + 3𝛽2 + 𝜇3
𝑌4 = 𝛽1 + 4𝛽2 + 𝜇4
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝑡𝛽2 + 𝜇𝑡
En general:
… … . .

26. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
No estacionarios … Caminata aleatoria con deriva y tendencia
 Media:
 Varianza
𝐸(𝑌𝑡) = 𝐸(𝛽1 + 𝑡𝛽2 + 𝜇𝑡) = 𝛽1 + 𝑡𝛽2
𝐸[𝑌𝑡 − 𝐸(𝑌𝑡)]2
= 𝐸[𝛽1 + 𝑡𝛽2 + 𝜇𝑡 − 𝛽1 − 𝑡𝛽2]2
= 𝐸[𝜇𝑡]2
𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝜎2
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝑡𝛽2 + 𝜇𝑡
Se incrementa con el tiempo
Constante

27. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Estacionario AR(1) …
𝑌𝑡 = 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡 𝜇𝑡~𝐼𝐼𝐷𝑁(0, 𝜎2)
𝑌𝑡 = 𝛽3
𝑡
𝑌0 + 𝛽3
𝑡−1
𝜇1 + 𝛽3
𝑡−2
𝜇2 + 𝛽3
𝑡−3
𝜇3 + ⋯ + 𝛽3
3
𝜇𝑡−3 + 𝛽3
2
𝜇𝑡−2 + 𝛽3𝜇𝑡−1+ 𝜇𝑡
En general:
𝑌4 = 𝛽3𝑌3 + 𝜇4
𝑌1 = 𝛽3𝑌0 + 𝜇1
𝑌2 = 𝛽3𝑌1 + 𝜇2
𝑌3 = 𝛽3𝑌2 + 𝜇3
……..

28. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Estacionario AR(1)
-6.0000
-4.0000
-2.0000
0.0000
2.0000
4.0000
6.0000
8.0000
1
13
25
37
49
61
73
85
97
109
121
133
145
157
169
181
193
205
217
229
241
253
265
277
289
301
313
325
337
349
361
373
385
397
409
421
433
445
457
469
481
493
Proceso estocastico AR(1) sin deriva

29. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Estacionario AR(1)
 Media:
 Varianza
𝑌𝑡 = 𝛽3
𝑡
𝑌0 + 𝛽3
𝑡−1
𝜇1 + 𝛽3
𝑡−2
𝜇2 + 𝛽3
𝑡−3
𝜇3 + ⋯ + 𝛽3
3
𝜇𝑡−3 + 𝛽3
2
𝜇𝑡−2 + 𝛽3𝜇𝑡−1+ 𝜇𝑡
𝐸(𝑌𝑡) = 𝛽3
𝑡
𝑌0 𝐸(𝑌𝑡) = 0
𝐸[𝑌𝑡 − 𝐸(𝑌𝑡)]2
=
𝜎
1 − 𝛽3
2
Proceso estocástico estacionario!!!

30. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Estacionario AR(1) con deriva …
0.0000
5.0000
10.0000
15.0000
20.0000
25.0000
30.0000
35.0000
40.0000
1
15
29
43
57
71
85
99
113
127
141
155
169
183
197
211
225
239
253
267
281
295
309
323
337
351
365
379
393
407
421
435
449
463
477
491
Proceso estocástico AR(1) con deriva

31. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Estacionario AR(1) con deriva y tendencia …
-5.0000
0.0000
5.0000
10.0000
15.0000
20.0000
1
14
27
40
53
66
79
92
105
118
131
144
157
170
183
196
209
222
235
248
261
274
287
300
313
326
339
352
365
378
391
404
417
430
443
456
469
482
495
Proceso estocástico AR(1) con tendencia y con
deriva

32. PROCESOS ESTOCÁTICOS
No estacionarios … Sinónimos …
𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡 −1 ≤ 𝜌 ≤ 1
𝜌 = 1 Raíz unitaria
No estacionariedad
Caminata aleatoria
Tendencia estocástica
𝜌 < 1 Estacionaria

33. PROCESOS ESTOCÁTICOS
Integrados … Caminata aleatoria pura …
Dado el siguiente modelo:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
𝜇𝑡~𝐼𝐼𝐷𝑁(0, 𝜎2)
𝛽1 = 0 𝛽2 = 0 𝛽3 = 1
 Caminata aleatoria pura:
𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
Δ𝑌𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝜇𝑡 Proceso estacionario en diferencias
No estacionaria

34. PROCESOS ESTOCÁTICOS
Integrados … Caminata aleatoria con deriva …
Dado el siguiente modelo:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
𝜇𝑡~𝐼𝐼𝐷𝑁(0, 𝜎2)
𝛽1 ≠ 0 𝛽2 = 0 𝛽3 = 1
 Caminata aleatoria con deriva:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
Δ𝑌𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝛽1 + 𝜇𝑡 Proceso estacionario en diferencias
No estacionaria
𝛽1 > 0
𝛽1 < 0
Tendencia positiva
Tendencia negativa
Tendencia estocástica

35. PROCESOS ESTOCÁTICOS
Integrados … Notación …
El modelo de caminata aleatoria:
 Es un caso específico de una clase más general de procesos estocásticos
conocidos como procesos integrados.
 Sin deriva es no estacionario, pero en primeras diferencias, es estacionaria.
 Sin deriva se llama proceso integrado de orden 1 y se denota como I(1).
En general. Si una serie de tiempo no estacionaria:
 Debe diferenciarse dos veces para hacerla estacionaria, esa serie de tiempo
se denomina integrada de orden 2.
 Debe diferenciarse d veces para hacerla estacionaria, decimos que la serie es
integrada de orden d.
𝑌𝑡~𝐼(𝑑)
𝑌𝑡~𝐼(0) 𝑌𝑡~𝐼(1) 𝑌𝑡~𝐼(2) ……

36. PROCESOS ESTOCÁTICOS
Integrados … Propiedades …
𝑋𝑡~𝐼(0)
Si y 𝑌𝑡~𝐼(1) 𝑍𝑡 = (𝑋𝑡 + 𝑌𝑡)~𝐼(1)
𝑋𝑡~𝐼(𝑑)
Si 𝑍𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑋𝑡 = 𝐼(𝑑)
𝑋𝑡~𝐼(𝑑1)
Si y 𝑌𝑡~𝐼(𝑑2) 𝑍𝑡 = (𝑎𝑋𝑡 + 𝑏𝑌𝑡)~𝐼(𝑑2) 𝑑1 < 𝑑2
𝑋𝑡~𝐼(𝑑)
Si 𝑌𝑡~𝐼(𝑑) 𝑍𝑡 = (𝑎𝑋𝑡 + 𝑏𝑌𝑡)~𝐼(𝑑∗
) 𝑑∗
< 𝑑

37. REGRESIÓN ESPURIA
Regresión con series de tiempo no estacionarias I(1) …
 Existe una relación estadística significativa entre Y y X, aunque a priori se
piensa que no hay ninguna.
 Esta regresión sin sentido persiste en las series de tiempo no estacionarias
aun cuando la muestra sea muy grande.
 Usualmente el estadístico d de Durbin-Watson nos indica una autocorrelación
de primer orden. Si R2 > d se debe sospechar que la regresión estimada es
espuria
 El R2 y el estadístico t son engañosos dado que los estadísticos t no está
distribuido como una distribución t de Student.
 Si realizamos una regresión de las primeras diferencias de Y sobre las
primeras diferencias de X el R2 es cercano a cero, como debe ser, y el
estadístico d de Durbin-Watson es de casi 2.
 Conclusión: Hay que tener cuidado al realizar un análisis de regresión
basado en series de tiempo que tienen tendencias estocásticas. Es decir, hay
que tomar precauciones al interpretar los resultados de una regresión
basadas en variables I(1).

38. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Análisis gráfico …
0
100000
200000
300000
400000
500000
600000
1950
1952
1954
1956
1958
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
2014
2016
2018
2020
Producto Bruto Interno Real: 1950-2020
Millones de 2007

39. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Análisis gráfico …
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
101
105
109
113
117
121
125
129
133
137
141
145
149
153
157
161
Producto Bruto Interno Real: 1980-2020
Millones de S/. 2007

40. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Análisis gráfico …
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Ene94
Sep94
May95
Ene96
Sep96
May97
Ene98
Sep98
May99
Ene00
Sep00
May01
Ene02
Sep02
May03
Ene04
Sep04
May05
Ene06
Sep06
May07
Ene08
Sep08
May09
Ene10
Sep10
May11
Ene12
Sep12
May13
Ene14
Sep14
May15
Ene16
Sep16
May17
Ene18
Sep18
May19
Ene20
Sep20
Variación del índice de precios de Lima Metropolitana
Inflación: 1994-2020

41. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Análisis gráfico …
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
Ene94
Sep94
May95
Ene96
Sep96
May97
Ene98
Sep98
May99
Ene00
Sep00
May01
Ene02
Sep02
May03
Ene04
Sep04
May05
Ene06
Sep06
May07
Ene08
Sep08
May09
Ene10
Sep10
May11
Ene12
Sep12
May13
Ene14
Sep14
May15
Ene16
Sep16
May17
Ene18
Sep18
May19
Ene20
Sep20
Evolución del tipo de cambio: 1994-202
S/. po US$

42. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Análisis gráfico …
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
May99
Dic99
Jul00
Feb01
Sep01
Abr02
Nov02
Jun03
Ene04
Ago04
Mar05
Oct05
May06
Dic06
Jul07
Feb08
Sep08
Abr09
Nov09
Jun10
Ene11
Ago11
Mar12
Oct12
May13
Dic13
Jul14
Feb15
Sep15
Abr16
Nov16
Jun17
Ene18
Ago18
Mar19
Oct19
May20
Dic20
Variación del ídice general de la bolsa de valores de Lima
Base 31/12/91=100

43. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Análisis gráfico …
0
200
400
600
800
1000
1200
Jul01
Ene02
Jul02
Ene03
Jul03
Ene04
Jul04
Ene05
Jul05
Ene06
Jul06
Ene07
Jul07
Ene08
Jul08
Ene09
Jul09
Ene10
Jul10
Ene11
Jul11
Ene12
Jul12
Ene13
Jul13
Ene14
Jul14
Ene15
Jul15
Ene16
Jul16
Ene17
Jul17
Ene18
Jul18
Ene19
Jul19
Ene20
Jul20
Ene21
Evolución de los precios de exportación
US$ por tonelada
Maíz Arroz Azucar

44. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Correlograma … Proceso estocástico caminata aleatoria sin deriva …

45. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Correlograma … Primera diferencia de un PECA sin deriva …

46. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Correlograma … PBIR

47. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Correlograma .. Función de autocorrelación muestral …
 Covarianza
𝛾𝑘 =
(𝑌𝑡 − 𝑌)(𝑌𝑡+𝑘 − 𝑌)
𝑛
 Varianza
 Autocorrelación
𝛾0 =
(𝑌𝑡−𝑌)2
𝑛
𝜌0 =
𝛾𝑘
𝛾0

48. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Correlograma … Elección de la longitud del rezago …
 Esencialmente empírico.
 Elegir un tercio o una cuarta parte de la longitud de la serie de tiempo.
 Elegir rezagos bastante grandes y luego reducirlos mediante algún criterio
estadístico.

49. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Significancia estadística de los coeficientes de autocorrelación …
 Si una serie de tiempo es puramente aleatoria:
 Por tanto, el intervalo de confianza del 95% para es:
 Si el intervalo incluye el valor cero, no rechazamos la hipótesis de que el
verdadero es cero, pero si este intervalo no incluye 0, rechazamos la
hipótesis de que el verdadero es cero.
𝜌𝑘 ± 1.96 1/𝑛
𝜌𝑘 − 1.96 1/𝑛 ≤ 𝜌𝑘 ≤ 𝜌𝑘 + 1.96 1/𝑛
𝜌𝑘~𝑁(0, 1/𝑛)
𝜌𝑘
𝜌𝑘
𝜌𝑘

50. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Estadístico Q de Box y Pierce …
 En lugar de probar la significancia individual del coeficiente de
autocorrelación se puede probar la hipótesis conjunta de que todos los
coeficientes de autocorrelación hasta cierto rezago son simultáneamente
iguales a cero (Box y Pierce, 1970)
𝑄 = 𝑛
𝑘=1
𝑚
𝜌𝑘
2 𝑛 = 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑘 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑧𝑎𝑔𝑜
 En muestras grandes, este estadístico se distribuye como:
 Si la Q calculada excede el valor Q crítico de la distribución ji cuadrada en el
nivel de significancia seleccionado, podemos rechazar la hipótesis nula de
que todos los (verdaderos) son iguales a cero; por lo menos algunos de
ellos deben ser diferentes de cero.
𝑄~𝜒𝑚
2
𝜌𝑘

51. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Estadístico LB de Ljung-Box …
 Se define como:
𝐿𝐵 = 𝑛(𝑛 + 2)
𝑘=1
𝑚
(
𝜌𝑘
2
𝑛 − 𝑘
)~𝜒𝑚
2
 En muestras grandes, tanto el estadístico Q como el estadístico LB siguen
la distribución ji cuadrada con m gl
 El estadístico LB tiene mejores propiedades en muestras pequeñas (más
potente, en el sentido estadístico) que el estadístico Q.

52.  Es un modelo de caminata aleatoria sin deriva
 Es un proceso estocástico no estacionario.
¿Es posible efectuar una regresión y probar que ρ estimada es estadísticamente
igual a 1?
 No es posible probar la hipótesis de que ρ = 1 por medio de la prueba t por
que existe un problema de sesgo.
−1 ≤ 𝜌 ≤ 1 𝜇𝑡~𝐼𝐼𝐷𝑁(0, 𝜎2)
Dado el siguiente proceso estocástico:
𝜌 = 1
PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Raíz unitaria … Prueba de Dickey-Fuller …
𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡

53. 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝜌𝑌𝑡−1 − 𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
Donde: 𝛿 = (𝜌 − 1)
𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = (𝜌 − 1)𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
Δ𝑌𝑡 = 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
𝐻𝑜: 𝛿 = 0
𝐻𝑎: 𝛿 < 0
Si 𝛿 = 0 𝜌 = 1 Raíz unitaria
No estacionaria
Si 𝛿 = 0
Δ𝑌𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝜇𝑡
Las primeras diferencias de una caminata
aleatoria son estacionarias
𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Raíz unitaria … Prueba de Dickey-Fuller …

54. Δ𝑌𝑡 = 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
Dickey-Fuller probaron que según la hipótesis nula de que el valor
estimado t del coeficiente Yt-1 sigue una distribución (tau)
¿Con qué prueba averiguar si el coeficiente de Yt-1 es o no cero?
 Calcularon los valores críticos del estadístico tau con base a simulaciones
Monte Carlo.
 La tabla es limitada, pero MacKinnon preparó tablas más extensas, ya
incorporadas en diferentes software estadísticos.
 El estadístico o prueba tau se conoce como la prueba Dickey-Fuller (DF)
𝜏
𝛿 = 0
PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Raíz unitaria … Prueba de Dickey-Fuller …

55. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Raíz unitaria … Prueba de Dickey-Fuller …

56. Al analizar la naturaleza del proceso de raíz unitaria observamos que un proceso
de caminata aleatoria tal vez no tiene deriva, o quizá sí, o posiblemente tiene
tendencia determinista y estocástica. En consideración a estas distintas
posibilidades, la prueba DF se estima con base a tres alternativas:
Δ𝑌𝑡 = 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
Δ𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
Δ𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝜇𝑡
Yt es una caminata aleatoria
Yt es una caminata aleatoria con deriva
Yt es una caminata aleatoria con deriva
alrededor de una tendencia determinística
𝐻𝑜: 𝛿 = 0
𝐻𝑎: 𝛿 < 0
Existe una raíz unitaria, la series de tiempo es no estacionaria o
tiene tendencia estocástica
La serie de tiempo es estacionaria, posiblemente alrededor de una
tendencia determinística
PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Raíz unitaria … Prueba de Dickey-Fuller …

57.  Al llevar a cabo la prueba DF se supone que el término de error no estaba
correlacionado.
 Dickey y Fuller desarrollaron una prueba cuando el término de error está
correlacionado: Prueba Dickey-Fuller aumentada (DFA).
 Esta prueba implica “aumentar” a las tres ecuaciones anteriores valores
rezagados de la variable dependiente.
Δ𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛿𝑌𝑡−1 +
𝑖=1
𝑚
𝛼𝑖 ∆𝑌𝑡−𝑖 + 𝜀3𝑡
Δ𝑌𝑡 = 𝛿𝑌𝑡−1 +
𝑖=1
𝑚
𝛾𝑖 ∆𝑌𝑡−𝑖 + 𝜀1𝑡
Δ𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛿𝑌𝑡−1 +
𝑖=1
𝑚
𝜋𝑖 ∆𝑌𝑡−𝑖 + 𝜀2𝑡
PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Raíz unitaria … Prueba de Dickey-Fuller aumentada …

58.  El número de términos de diferencia rezagados que debemos incluir con
frecuencia se determina de manera empírica, con la idea de incluir los
términos suficientes para que el término de error no esté serialmente
relacionado y sea posible obtener una estimación insesgada de
Δ𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛿𝑌𝑡−1 +
𝑖=1
𝑚
𝛼𝑖 ∆𝑌𝑡−𝑖 + 𝜀3𝑡
Donde:
𝜀3𝑡 Ruido blanco
∆𝑌𝑡−1 = 𝑌𝑡−1 − 𝑌𝑡−2
∆𝑌𝑡−2 = 𝑌𝑡−2 − 𝑌𝑡−3
𝛿
PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Raíz unitaria … Prueba de Dickey-Fuller aumentada …

59.  En la prueba de DFA se sigue probando:
La serie de tiempo es estacionaria, posiblemente alrededor de una
tendencia determinística
 Además esta prueba sigue la misma distribución asintótica del estadístico DF,
por lo que aun nos sirven los mismos valores críticos.
𝐻𝑜: 𝛿 = 0
𝐻𝑎: 𝛿 < 0
Existe una raíz unitaria, la series de tiempo es no estacionaria o
tiene tendencia estocástica
PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Raíz unitaria … Prueba de Dickey-Fuller aumentada …

60. Prueba de Phillips-Perron (1988) (PP)
 La prueba DF supone que los términos de error están idéntica e
independientemente distribuidos.
 La prueba DFA ajusta la prueba DF a fin de tener cuidado de una posible
correlación serial en los términos de error agrega términos de diferencia
rezagados de la variable regresada.
 Phillips y Perron utilizan métodos estadísticos no paramétricos para evitar la
correlación serial en los términos de error, sin añadir términos de diferencia
rezagados.
Cambio estructural
 Perron (1989) sostiene que las pruebas estándar de raíz unitaria pueden no
ser confiables en presencia de cambios estructurales.
PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD
Raíz unitaria … Pillips-Perron …

61. TRANSFORMACIÓN DE LAS SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS
Procesos estacionarios en diferencias …
 Si una serie de tiempo tiene una raíz unitaria, las primeras diferencias de
tales series son estacionarias.
 En consecuencia, la solución aquí es tomar las primeras diferencias de las
series de tiempo.

62. TRANSFORMACIÓN DE LAS SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS
Procesos estacionarios en tendencia …
La manera más sencilla de convertir en estacionaria una serie de tiempo es
hacer la regresión de ella sobre el tiempo y los residuos de tal regresión serán
estacionarios.
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝜇𝑡
𝑒𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝛽1 − 𝛽2𝑡
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛽2𝑡2
+ 𝜇𝑡
𝑒𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝛽1 − 𝛽2𝑡 − 𝛽2𝑡2
Será estacionaria
Será estacionaria