Este documento presenta conceptos matemáticos relacionados con la división de polinomios y el cálculo de residuos. Explica la identidad fundamental de la división, el teorema del residuo y diferentes métodos para determinar el residuo de una división, como reemplazar la variable que hace cero al divisor o usar la tabla de Ruffini. Luego, proporciona varios ejemplos resueltos de cálculo de residuos.

1. 5º de Secundaria
CAPÍTULO Nº 5

2. ¿Puedes calcular mentalmente el residuo de la
siguiente división y dar la respuesta en
menos de 10 segundos?
Rpta. 12
2𝑥2016
+ 𝑥2017
− 2𝑥 + 8
𝑥 + 2

3. Determina el resto a través
del teorema y ciertos
Criterios para determinar el
Residuo.
Conoce y aplica las
Propiedades en la
Divisibilidad de polinomio.

4. Conceptos previos.
Identidad Fundamental de la División.
Teorema del Resto.
divisibilidad.
Y otros criterios.

5. Teorema del resto
Finalidad:
𝑫(𝒙)
𝒅(𝒙)
Genera
Pol. Residuo (Resto): 𝑹(𝒙)
Pol. Cociente: 𝒒(𝒙)
Pol. dividendo
Pol. divisor
Identidad Fundamental de la División
𝐷 𝑥 ≡ 𝑑(𝑥). 𝑞(𝑥) + 𝑅(𝑥)
Obtener el resto de cierta división
si la necesidad de efectuar la división
Recordando:

6. 𝑫(𝒙)
𝒂𝒙 + 𝒃
Sea la división:
Por I. F. D.
𝐷 𝑥 ≡ (𝑎𝑥 + 𝑏). 𝑞(𝑥) + 𝑅
Se evalúa para: 𝑥 = −
𝑏
𝑎
𝐷
−
𝑏
𝑎
= 0. 𝑞
(−
𝑏
𝑎
)
+ 𝑅
𝐷
−
𝑏
𝑎
= 𝑅
CONCLUSION:
𝐷(𝑥)
𝑎𝑥+𝑏
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜: 𝑅 = 𝐷 −
𝑏
𝑎
Forma práctica:
1. El divisor se igual a cero (𝑎𝑥 + 𝑏 = 0)
2. Se despeja la variable (𝑥 = −
𝑏
𝑎
)
3. Se reemplaza en el dividendo
Obteniendo el resto (𝑅 = 𝐷(−
𝑏
𝑎
)
)

7. 𝑥4
− 2𝑥3
+ 2𝑥 + 6
𝑥 − 2
Ejm.
1) 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 2
2)
Resol.
3) Reemp. En numerador
𝑅 = (2)4
−2 2 3
+ 2(2) + 6
𝑅 = 10
Calcule el resto de la siguiente división.
Por Ruffini:
1 -2 0 2 6
𝑥 = 2
𝑥 − 2 = 0
1
2
0
0
0
0
2
4
10
𝑅
𝑅 = 10

8. 1 Determine el resto de dividir
(𝑥+3)4+(𝑥+2)5+(𝑥+1)6+𝑥+1
𝑥+4
Resolución
𝑥 + 4 = 0 𝑥 = −4
Reemplazando en numerador
(−4 + 3)4
+ −4 + 2 5
+ −4 + 1
(−4 + 1)6
+
𝑅 =
−3
1 729
−32
695
=

9. 2 Halle el resto en:
𝑥40− 2𝑥 20−𝑥13+8𝑥10+𝑥6−16𝑥2+7
𝑥−2
Resolución
𝑥 − 2 = 0 𝑥 = 2
Reemplazando en numerador
(2)40
− 2.2 20
− + 7
23
(2)10
+
𝑅 =
𝑅 =
240
−
7
(2)13
+ (2)6
− 24
(2)2
𝑅 = 240
− 26
26
−
23
+
213
+ + 7

10. 3 Determine el resto de dividir
𝑥13+3𝑥7+2𝑥6−𝑥5+4𝑥2+3
𝑥2−2
Resolución
𝑥2
− 2 = 0 𝑥2
= 2
Reemplazando en numerador
𝑥2 6
. 𝑥 + 3 𝑥2 3
. 𝑥 + 3
2(𝑥2
)3
+
𝑅 = 2 𝑥2
+
2 6
. 𝑥 + 3 2 3
. 𝑥 + 3
2 2 3
+
𝑅 =
4
64𝑥 16
24𝑥
84𝑥 + 20
=
2 2 +

11. 4 Determine el resto de dividir
(𝑥+1)(𝑥+2)(𝑥+3)(𝑥+4)(𝑥+5)(𝑥+6)
𝑥2+7𝑥+2
Resolución
𝑥+1 . 𝑥+2 . 𝑥+3 . 𝑥+4 . 𝑥+5 .(𝑥+6)
𝑥2+7𝑥+2
𝑥2
+ 7𝑥 + 2 = 0
𝑅 = (𝑥2
+ 7𝑥 + 6)
128
(𝑥2
+ 7𝑥 + 10) (𝑥2
+ 7𝑥 + 6)
𝑥2
+ 7𝑥 = −2
−2 −2
−2
𝑅 = 4 8 4 =

12. 5 Obtenga el residuo en:
(𝑥−3)100+(𝑥−4)37+6
𝑥−3 (𝑥−4)
Resolución

13. 6 A partir de la división.
𝑥68−2𝑥5+2
𝑥2+𝑥+1
Determine el residuo
Resolución

14. 7 Sea 𝑃(𝑥) un polinomio tal que al dividir entre (𝑥 − 1) se
obtiene resto 4 y al dividir entre (𝑥 − 3) se obtiene resto 6.
Determine el residuo de dividir entre 𝑥2
− 4𝑥 + 3
Resolución

15. 8 Indique el término independiente de un polinomio de tercer
grado tal que al dividir entre (𝑥 − 1) , (𝑥 + 2) y (𝑥 − 4) se
origina el mismo resto 20 y, además, que sea divisible por
(𝑥 + 1)
Resolución