Este documento presenta la transformada de Laplace. Define la transformada de Laplace y explica que mapea funciones con crecimiento exponencial a funciones complejas. Luego enumera algunas propiedades clave de la transformada de Laplace, como que es lineal y cómo se transforman funciones exponenciales, senos y cosenos. Finalmente, incluye una tabla con las transformadas de Laplace de varias funciones comunes.

1. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
La transformada de Laplace
Antonio Oca˜a Avila
n
Universidad Carlos III de Madrid
Escuela Polit´cnica Superior
e
Departamento de Matem´ticas
a

2. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
´
Indice
1 Definici´n y propiedades
o
2 Tablas de transformadas
3 Convoluci´n y propiedades avanzadas
o
4 Anexo: Funci´n Γ y β
o

3. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Definici´n
o
Definici´n- Crecimiento a lo sumo exponencial
o
Dada f : [0, ∞) −→ R, se dice que f tiene crecimiento a lo sumo
exponencial si |f (t)| ≤ C e αt para todo t > T , done C , T , α son
constantes. Se dice que f tiene orden exponencial α.

4. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Definici´n
o
Definici´n- Crecimiento a lo sumo exponencial
o
Dada f : [0, ∞) −→ R, se dice que f tiene crecimiento a lo sumo
exponencial si |f (t)| ≤ C e αt para todo t > T , done C , T , α son
constantes. Se dice que f tiene orden exponencial α.
Definici´n - Transformada de Laplace
o
Dada f : [0, ∞) −→ R con crecimiento a lo sumo exponencial, se
define la transformada de Laplace de f para s > α, como la
integral
∞
F (s) = L[f ](s) = e −st f (t) dt .
0
(Se pide que f sea continua a trozos para que exista la integral.)

5. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Propiedades
∞
|f (t)| ≤ C e αt , ∀t > T, L[f ](s) = e −st f (t) dt, ∀ s > α.
0
Propiedades
La transformada de Laplace tiene las siguientes propiedades:
1 L[αf + βg ] = α L[f ] + β L[g ] para α, β ∈ R.

6. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Propiedades
∞
|f (t)| ≤ C e αt , ∀t > T, L[f ](s) = e −st f (t) dt, ∀ s > α.
0
Propiedades
La transformada de Laplace tiene las siguientes propiedades:
1 L[αf + βg ] = α L[f ] + β L[g ] para α, β ∈ R.
2 L[e −at f (t)](s) = L[f ](s + a) a ∈ R.

7. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Propiedades
∞
|f (t)| ≤ C e αt , ∀t > T, L[f ](s) = e −st f (t) dt, ∀ s > α.
0
Propiedades
La transformada de Laplace tiene las siguientes propiedades:
1 L[αf + βg ] = α L[f ] + β L[g ] para α, β ∈ R.
2 L[e −at f (t)](s)
= L[f ](s + a) a ∈ R.
1 s
3 L[f (at)](s) = L[f (t)] a > 0.
a a

8. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Propiedades
∞
|f (t)| ≤ C e αt , ∀t > T, L[f ](s) = e −st f (t) dt, ∀ s > α.
0
Propiedades
La transformada de Laplace tiene las siguientes propiedades:
1 L[αf + βg ] = α L[f ] + β L[g ] para α, β ∈ R.
2 L[e −at f (t)](s)
= L[f ](s + a) a ∈ R.
1 s
3 L[f (at)](s) = L[f (t)] a > 0.
a a
4 F (s) = L[f ](s) es derivable y F (s) = L[−t f (t)](s).

9. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Propiedades
∞
|f (t)| ≤ C e αt , ∀t > T, L[f ](s) = e −st f (t) dt, ∀ s > α.
0
Propiedades
La transformada de Laplace tiene las siguientes propiedades:
1 L[αf + βg ] = α L[f ] + β L[g ] para α, β ∈ R.
2 L[e −at f (t)](s)
= L[f ](s + a) a ∈ R.
1 s
3 L[f (at)](s) = L[f (t)] a > 0.
a a
4 F (s) = L[f ](s) es derivable y F (s) = L[−t f (t)](s).
5 Si f es continua a trozos y de crecimiento a lo sumo
exponencial, entonces L[f ](s) = s L[f ](s) − f (0).

10. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Propiedades
En particular, si f es continua a trozos y tiene crecimiento a lo
sumo exponencial, entonces:
F (s) = L[f ](s) tiene derivadas de todos los ordenes y
´

11. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Propiedades
En particular, si f es continua a trozos y tiene crecimiento a lo
sumo exponencial, entonces:
F (s) = L[f ](s) tiene derivadas de todos los ordenes y
´
F (n) (s) = L[(−1)n t n f (t)](s)
.

12. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Propiedades
En particular, si f es continua a trozos y tiene crecimiento a lo
sumo exponencial, entonces:
F (s) = L[f ](s) tiene derivadas de todos los ordenes y
´
F (n) (s) = L[(−1)n t n f (t)](s)
.
x
g (x) = f (t) dt tambi´n tiene crecimiento a lo sumo
e
0
L[f ](s) F (s)
exponencial y L[g ](s) = = .
s s

13. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
´
Indice
1 Definici´n y propiedades
o
2 Tablas de transformadas
3 Convoluci´n y propiedades avanzadas
o
4 Anexo: Funci´n Γ y β
o

14. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas I
1
1 Si f (t) = 1, L[f ](s) = .
s
n!
2 Si f (t) = t n , L[f ](s) = .
s n+1
Γ(a + 1)
3 Si f (t) = t a , L[f ](s) = .
s a+1
1
4 Si f (t) = e at , L[f ](s) = .
s −a
a
5 Si f (t) = sen(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
s
6 Si f (t) = cos(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
sen(at) a
7 Si f (t) = , L[f ](s) = arctan .
t s

15. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas I
1
1 Si f (t) = 1, L[f ](s) = .
s
n!
2 Si f (t) = t n , L[f ](s) = .
s n+1
Γ(a + 1)
3 Si f (t) = t a , L[f ](s) = .
s a+1
1
4 Si f (t) = e at , L[f ](s) = .
s −a
a
5 Si f (t) = sen(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
s
6 Si f (t) = cos(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
sen(at) a
7 Si f (t) = , L[f ](s) = arctan .
t s

16. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas I
1
1 Si f (t) = 1, L[f ](s) = .
s
n!
2 Si f (t) = t n , L[f ](s) = .
s n+1
Γ(a + 1)
3 Si f (t) = t a , L[f ](s) = .
s a+1
1
4 Si f (t) = e at , L[f ](s) = .
s −a
a
5 Si f (t) = sen(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
s
6 Si f (t) = cos(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
sen(at) a
7 Si f (t) = , L[f ](s) = arctan .
t s

17. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas I
1
1 Si f (t) = 1, L[f ](s) = .
s
n!
2 Si f (t) = t n , L[f ](s) = .
s n+1
Γ(a + 1)
3 Si f (t) = t a , L[f ](s) = .
s a+1
1
4 Si f (t) = e at , L[f ](s) = .
s −a
a
5 Si f (t) = sen(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
s
6 Si f (t) = cos(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
sen(at) a
7 Si f (t) = , L[f ](s) = arctan .
t s

18. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas I
1
1 Si f (t) = 1, L[f ](s) = .
s
n!
2 Si f (t) = t n , L[f ](s) = .
s n+1
Γ(a + 1)
3 Si f (t) = t a , L[f ](s) = .
s a+1
1
4 Si f (t) = e at , L[f ](s) = .
s −a
a
5 Si f (t) = sen(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
s
6 Si f (t) = cos(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
sen(at) a
7 Si f (t) = , L[f ](s) = arctan .
t s

19. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas I
1
1 Si f (t) = 1, L[f ](s) = .
s
n!
2 Si f (t) = t n , L[f ](s) = .
s n+1
Γ(a + 1)
3 Si f (t) = t a , L[f ](s) = .
s a+1
1
4 Si f (t) = e at , L[f ](s) = .
s −a
a
5 Si f (t) = sen(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
s
6 Si f (t) = cos(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
sen(at) a
7 Si f (t) = , L[f ](s) = arctan .
t s

20. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas I
1
1 Si f (t) = 1, L[f ](s) = .
s
n!
2 Si f (t) = t n , L[f ](s) = .
s n+1
Γ(a + 1)
3 Si f (t) = t a , L[f ](s) = .
s a+1
1
4 Si f (t) = e at , L[f ](s) = .
s −a
a
5 Si f (t) = sen(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
s
6 Si f (t) = cos(at), L[f ](s) = 2 .
s + a2
sen(at) a
7 Si f (t) = , L[f ](s) = arctan .
t s

21. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas II
Recordando que L(e at f (t))(s) = L[f ](s − a) resulta:
Γ(b + 1)
1 Si f (t) = e at t b , L[f ](s) = .
(s − a)b+1
b
2 Si f (t) = e at sen(bt), L[f ](s) = .
(s − a)2 + b 2
s −a
3 Si f (t) = e at cos(bt), L[f ](s) = .
(s − a)2 + b 2
e at − e −at a
4 Si f (t) = senh(at) = , L[f ](s) = 2 .
2 s − a2
e at + e −at s
5 Si f (t) = cosh(at) = , L[f ](s) = 2 .
2 s − a2

22. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas II
Recordando que L(e at f (t))(s) = L[f ](s − a) resulta:
Γ(b + 1)
1 Si f (t) = e at t b , L[f ](s) = .
(s − a)b+1
b
2 Si f (t) = e at sen(bt), L[f ](s) = .
(s − a)2 + b 2
s −a
3 Si f (t) = e at cos(bt), L[f ](s) = .
(s − a)2 + b 2
e at − e −at a
4 Si f (t) = senh(at) = , L[f ](s) = 2 .
2 s − a2
e at + e −at s
5 Si f (t) = cosh(at) = , L[f ](s) = 2 .
2 s − a2

23. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas II
Recordando que L(e at f (t))(s) = L[f ](s − a) resulta:
Γ(b + 1)
1 Si f (t) = e at t b , L[f ](s) = .
(s − a)b+1
b
2 Si f (t) = e at sen(bt), L[f ](s) = .
(s − a)2 + b 2
s −a
3 Si f (t) = e at cos(bt), L[f ](s) = .
(s − a)2 + b 2
e at − e −at a
4 Si f (t) = senh(at) = , L[f ](s) = 2 .
2 s − a2
e at + e −at s
5 Si f (t) = cosh(at) = , L[f ](s) = 2 .
2 s − a2

24. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas II
Recordando que L(e at f (t))(s) = L[f ](s − a) resulta:
Γ(b + 1)
1 Si f (t) = e at t b , L[f ](s) = .
(s − a)b+1
b
2 Si f (t) = e at sen(bt), L[f ](s) = .
(s − a)2 + b 2
s −a
3 Si f (t) = e at cos(bt), L[f ](s) = .
(s − a)2 + b 2
e at − e −at a
4 Si f (t) = senh(at) = , L[f ](s) = 2 .
2 s − a2
e at + e −at s
5 Si f (t) = cosh(at) = , L[f ](s) = 2 .
2 s − a2

25. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Tabla de transformadas II
Recordando que L(e at f (t))(s) = L[f ](s − a) resulta:
Γ(b + 1)
1 Si f (t) = e at t b , L[f ](s) = .
(s − a)b+1
b
2 Si f (t) = e at sen(bt), L[f ](s) = .
(s − a)2 + b 2
s −a
3 Si f (t) = e at cos(bt), L[f ](s) = .
(s − a)2 + b 2
e at − e −at a
4 Si f (t) = senh(at) = , L[f ](s) = 2 .
2 s − a2
e at + e −at s
5 Si f (t) = cosh(at) = , L[f ](s) = 2 .
2 s − a2

26. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
´
Indice
1 Definici´n y propiedades
o
2 Tablas de transformadas
3 Convoluci´n y propiedades avanzadas
o
4 Anexo: Funci´n Γ y β
o

27. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Convoluci´n
o
Definici´n de convoluci´n
o o
Dadas f y g funciones continuas a trozos en [0, ∞). Se define su
convoluci´n como: (Se sobreentiende f (t) = 0 para t < 0)
o
∞ t
f ∗ g (t) = f (t − v )g (v ) dv = f (t − v )g (v ) dv .
0 0

28. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Convoluci´n
o
Definici´n de convoluci´n
o o
Dadas f y g funciones continuas a trozos en [0, ∞). Se define su
convoluci´n como: (Se sobreentiende f (t) = 0 para t < 0)
o
∞ t
f ∗ g (t) = f (t − v )g (v ) dv = f (t − v )g (v ) dv .
0 0
Por ejemplo f ∗ 0 = 0 pero no es cierto, en general, que f ∗ 1 = f .

29. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Convoluci´n
o
Definici´n de convoluci´n
o o
Dadas f y g funciones continuas a trozos en [0, ∞). Se define su
convoluci´n como: (Se sobreentiende f (t) = 0 para t < 0)
o
∞ t
f ∗ g (t) = f (t − v )g (v ) dv = f (t − v )g (v ) dv .
0 0
Por ejemplo f ∗ 0 = 0 pero no es cierto, en general, que f ∗ 1 = f .
Propiedades de la convoluci´n
o
Si f (t), g (t) y h(t) con continuas a trozos en [0, ∞):
(1) f ∗ g = g ∗ f .
(2) f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ g .
(3) (f ∗ g ) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).

30. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Propiedades avanzadas
Teorema de convoluci´n o
Si f (t) y g (t) son continuas a trozos en [0, ∞) y de crecimiento a
lo sumo exponencial, se cumple que L[f ∗ g ](s) = L[f ](s) · L[g ](s).

31. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Propiedades avanzadas
Teorema de convoluci´n o
Si f (t) y g (t) son continuas a trozos en [0, ∞) y de crecimiento a
lo sumo exponencial, se cumple que L[f ∗ g ](s) = L[f ](s) · L[g ](s).
0 si t < 0
Si definimos la funci´n de salto H(t) =
o entonces
1 si t ≥ 0
H(t − a) es la “misma” funci´n pero con el salto en t = a.
o

32. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Propiedades avanzadas
Teorema de convoluci´n o
Si f (t) y g (t) son continuas a trozos en [0, ∞) y de crecimiento a
lo sumo exponencial, se cumple que L[f ∗ g ](s) = L[f ](s) · L[g ](s).
0 si t < 0
Si definimos la funci´n de salto H(t) =
o entonces
1 si t ≥ 0
H(t − a) es la “misma” funci´n pero con el salto en t = a.
o
Transformada y exponenciales
Dada f (t) continua a trozos en [0, ∞) y de crecimiento a lo sumo
exponencial, se tiene:
(a) L[f (t − a)H(t − a)](s) = e −as · L[f ](s).
(b) L[f (t)H(t − a)](s) = e −as · L[f (t + a)](s).

33. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
´
Indice
1 Definici´n y propiedades
o
2 Tablas de transformadas
3 Convoluci´n y propiedades avanzadas
o
4 Anexo: Funci´n Γ y β
o

34. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Funci´n Gamma
o
Definici´n y propiedades
o
Para todo p > 0, se define la funci´n gamma como
o
∞
Γ(p) = x p−1 e −x dx.
0
Esta funci´n es continua y derivable y cumple:
o

35. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Funci´n Gamma
o
Definici´n y propiedades
o
Para todo p > 0, se define la funci´n gamma como
o
∞
Γ(p) = x p−1 e −x dx.
0
Esta funci´n es continua y derivable y cumple:
o
√
(1) Γ(1) = Γ(2) = 1; Γ(1/2) = π.
(2) Γ(p + 1) = pΓ(p).
(3) De lo anterior se deduce que l´ + Γ(p) = +∞.
ım
p→0
(4) Si n ∈ N, Γ(n + 1) = n!.
1 (2n)! √
(5) Si n ∈ N, Γ n + = 2n π.
2 2 n!

36. Definici´n y propiedades
o Tablas de transformadas Convoluci´n y propiedades avanzadas
o Anexo: Funci´n Γ y β
o
Funci´n Beta
o
Definici´n y propiedades
o
Para todo p, q > 0, se define la funci´n beta como
o
1
β(p, q) = x p−1 (1 − x)q−1 dx, p, q > 0.
0
La funci´n beta es continua, sim´trica y diferenciable, adem´s:
o e a
Γ(p)Γ(q)
(1) β(p, q) = .
Γ(p + q)
q−1
(2) Si q > 1, entonces β(p, q) = β(p, q − 1).
p+q−1
−1
(3) Si m, n ∈ N, (m + n + 1) β(m + 1, n + 1) = m+n n .
∞ t p−1
(4) β(p, q) = 0 (1+t)p+q dt.
π/2
(5) β(p, q) = 2 0 cos2p−1 t sen2q−1 t dt.
√
(6) β(1/2, 1/2) = π; y como consecuencia, Γ(1/2) = π.