clase

1. Métodos Matemáticos II
13 de Abril de 2020
Claudio Vargas P.
Clase 8: Definición de Derivada

2. Métodos Matemáticos II
Estos son los contenidos tentativos para la cátedra
2
Programación y contenidos
Limites Continuidad Derivadas
Aplicación de
derivadas
1er Bimestre
2do Bimestre
Integrales
Aplicación de
Integrales
Funciones
multivariadas
Aplicaciones

3. Métodos Matemáticos II
No es lo mismo bajar por…
3

4. Métodos Matemáticos II
No es lo mismo bajar por…
4
Si dibujáramos el perfil del descenso de estas tres atracciones podríamos decir que se trata de la
gráfica de tres funciones decrecientes, pero es evidente que el ritmo de decrecimiento en cada
una de ellas es muy diferente
¿Cómo podemos cuantificar la velocidad a la que crece o decrece una función?

5. Métodos Matemáticos II 5
Tabla de Contenidos
• Definición de Derivada
• Interpretación Geométrica
• Funciones no derivables

6. Métodos Matemáticos II
Anteriormente vimos el concepto de tasa de cambio promedio, el cual
ahora podemos extender a un cambio muy pequeño de x (∆x→0)
6
Definición de Derivada
∆y
∆𝑥
=
𝑓 x + ∆x − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Ejemplo:
Un estudio ha demostrado que la venta de entradas para un cierto festival de rock tiene la
siguiente estructura:
𝑉 𝑡 = 1500 + 700𝑡 + 1000𝑡2
Donde V es el volumen de ventas y t es el tiempo medido en días. En base a esta información
determine la tasa de crecimiento de ventas al cuarto día.
La tasa de cambio instantánea de una función tal como la del ejemplo es un caso de lo que
llamamos la derivada de una función.

7. Métodos Matemáticos II
Sea f(x) una función dada. Diremos que la derivada de y con respecto
a x, denotada por dy/dx a la siguiente expresión:
7
Definición de Derivada
Expresión:
dy
d𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆y
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 x + ∆x − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Si la derivada de una función existe en un punto particular, decimos que f es diferenciable en
tal punto.
Notación:
dy
d𝑥
,
d(y)
d𝑥
,
d𝑓
d𝑥
,
d 𝑓
d𝑥
, 𝑦′
, 𝑓′
𝑥 , 𝐷𝑥𝑦, 𝐷𝑥𝑓
dy
d𝑥
, representa un símbolo, y no un cociente de dy y dx. Este símbolo indica la derivada de y
con respecto a x, si y es una función de la variable independiente x. Es posible extender la
definición según la notación de la función y de la variable independiente:
dy
d𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆y
∆𝑥
d𝐶
d𝑞
= lim
∆𝑞→0
∆𝐶
∆𝑞
d𝑥
d𝑢
= lim
∆𝑢→0
∆𝑥
∆𝑢

8. Métodos Matemáticos II
Con el propósito de calcular la derivada dy/dx (por definición),
procedemos de la siguiente manera
8
Definición de Derivada
Procedimiento
• Calcular: 𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑥 + ∆x
• Calcular: ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆x − 𝑓 𝑥
• Dividir: ∆y/∆x
• Calcular: lim
∆𝑥→0
(∆y/∆x)
Ejemplo
• Calcular: 𝑓′ 𝑥 , si 𝑓 𝑥 = 2𝑥2
+ 3𝑥 + 1
• Calcular: 𝑓′ 𝑥 , si 𝑓 𝑥 = 𝑥
• Calcular: g′ 𝑢 , si 𝑔 𝑢 =
1
𝑢

9. Métodos Matemáticos II
Calcular: 𝑓′ 𝑥 , si 𝑓 𝑥 = 2𝑥2
+ 3𝑥 + 1
9
Definición de Derivada
dy
d𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆y
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 x + ∆x − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
2 𝑥 + ∆𝑥 2
+ 3 𝑥 + ∆𝑥 + 1 − 2𝑥2
+ 3𝑥 + 1
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
2 𝑥2
+ 2x∆𝑥 + ∆𝑥 2
+ 3 𝑥 + ∆𝑥 + 1 − 2𝑥2
+ 3𝑥 + 1
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
2𝑥2
+ 4𝑥∆𝑥 + 2 ∆𝑥 2
+ 3𝑥 + 3∆𝑥 + 1 − 2𝑥2
+ 3𝑥 + 1
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
4𝑥∆𝑥 + 2 ∆𝑥 2
+ 3∆𝑥
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
∆𝑥 4𝑥 + 2∆𝑥 + 3
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
4𝑥 + 2∆𝑥 + 3 = 4𝑥 + 3

10. Métodos Matemáticos II
Calcular: 𝑓′ 𝑥 , si 𝑓 𝑥 = 𝑥
10
Definición de Derivada
dy
d𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆y
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 x + ∆x − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
∆𝑥
∙
𝑥 + ∆𝑥 + 𝑥
𝑥 + ∆𝑥 + 𝑥
lim
∆𝑥→0
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
∆𝑥 ∙ 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑥
lim
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥 ∙ 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑥
lim
∆𝑥→0
1
𝑥 + ∆𝑥 + 𝑥
1
2 𝑥

11. Métodos Matemáticos II
Calcular: Calcular:g′ 𝑢 , si 𝑔 𝑢 =
1
𝑢
11
Definición de Derivada
dg
d𝑢
= lim
∆𝑢→0
∆𝑔
∆𝑢
= lim
∆𝑢→0
𝑔 u + ∆u − 𝑔(𝑢)
∆𝑢 lim
∆𝑢→0
1
𝑢 + ∆𝑢
−
1
𝑢
∆𝑢
lim
∆𝑢→0
𝑢 − 𝑢 + ∆𝑢
𝑢 + ∆𝑢 ∙ 𝑢
∆𝑢
lim
∆𝑢→0
−∆𝑢
𝑢 + ∆𝑢 ∙ 𝑢 ∙ ∆𝑢
lim
∆𝑢→0
−1
𝑢 + ∆𝑢 ∙ 𝑢
−1
𝑢2

12. Métodos Matemáticos II
Comenzaremos demostrando la derivada de 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏(𝒙), donde x> 0,
a través de la definición de derivada
12
Derivadas en funciones: Logaritmo
Ejemplos:
•
d
d𝑥
5ln(𝑥)
•
d
d𝑥
ln(𝑥)
𝑥2
•
d
d𝑥
ln(𝑥2
+ 1)
d
d𝑥
ln(𝑥) = lim
∆𝑥→0
ln 𝑥 + ∆𝑥 − ln(𝑥)
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
ln
𝑥 + ∆𝑥
𝑥
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
ln
𝑥 + ∆𝑥
𝑥
1
∆𝑥
𝑙𝑛 lim
∆𝑥→0
𝑥 + ∆𝑥
𝑥
1
∆𝑥
𝑢 =
𝑥
∆𝑥
∆𝑥 → 0 = 𝑢 → ∞
𝑙𝑛 lim
𝑢→∞
1 +
1
𝑢
𝑢
1
𝑥
𝑙𝑛 lim
∆𝑥→0
1 +
1
𝑥
∆𝑥
1
∆𝑥
𝑙𝑛 lim
∆𝑥→0
1 +
1
𝑥
∆𝑥
𝑥
∆𝑥
∙
1
𝑥
𝑙𝑛 𝑒
1
𝑥 =
1
𝑥

13. Métodos Matemáticos II
Ahora obtendremos una fórmula para la derivada de la función
exponencial 𝐟 𝐱 = 𝒆𝒙
13
Derivadas en funciones: Exponencial
Ejemplos:
•
d
d𝑥
3ex
•
d
d𝑥
𝑥
𝑒x
•
d
d𝑥
e𝑥𝑤+3𝑥
d
d𝑥
ex = lim
∆𝑥→0
e 𝑥+∆𝑥 − e𝑥
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
e𝑥 ∙ e ∆𝑥
− e𝑥
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
e𝑥
e ∆𝑥
− 1
∆𝑥
e𝑥
∙ lim
∆𝑥→0
e ∆𝑥
− 1
∆𝑥
e𝑥
∙ 1 = e𝑥

14. Métodos Matemáticos II 14
Tabla de Contenidos
• Definición de Derivada
• Interpretación Geométrica
• Funciones no derivables

15. Métodos Matemáticos II
La derivada, aparte del concepto de tasa de cambio instantánea, tiene
una interpretación desde el punto de vista geométrico
15
Interpretación Geométrica
Como se estableció anteriormente, la tasa de
cambio promedio representa la pendiente del
segmento rectilíneo secante PQ (Fig 1)
∆y
∆𝑥
=
𝑓 x + ∆x − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
A medida que ∆x se hace cada vez más pequeño,
el punto Q se aproxima cada vez más a P, y el
segmento secante PQ se acerca más a ser tangente
Cuando ∆x→0, la pendiente de la secante PQ se
aproxima a la pendiente de la línea tangente en P,
(Fig 2)
dy
d𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆y
∆𝑥
Por lo tanto,
dy
d𝑥
representará la pendiente de la
línea tangente a f(x) en el punto P(x,f(x))

16. Métodos Matemáticos II
Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥 = 𝒙𝟑, determine la pendiente de la recta tangente al
punto (2,8), y la ecuación de la recta de dicha tangente
16
Interpretación Geométrica

17. Métodos Matemáticos II 17
Tabla de Contenidos
• Definición de Derivada
• Interpretación Geométrica
• Funciones no derivables

18. Métodos Matemáticos II
Una función f(x) es derivable en cierto valor de x si la gráfica tiene una
línea tangente bien definida con una pendiente bien definida
18
Funciones no derivables
Caso N°1: Si la gráfica presenta un punto extremo “no suave”, se dice que f(x) no
es diferenciable en tal valor x. Esto ocurre en los valores de la función que marcan
divisiones en el comportamiento
Es claro que, el hecho de que una función sea continua no implica que sea
diferenciable. Sin embargo, la afirmación recíproca es cierta: si f(x) es diferenciable
en un punto x = a, se sigue que es continua en x = a.

19. Métodos Matemáticos II
Una función f(x) es derivable en cierto valor de x si la gráfica tiene una
línea tangente bien definida con una pendiente bien definida
19
Funciones no derivables
Caso N°2: Cuando la línea tangente en un punto resulta ser vertical. En este caso,
la pendiente no está definida, por lo que la función no es derivable en ese punto

20. Métodos Matemáticos II
13 de Abril de 2020
Claudio Vargas P.
Clase 8: Definición de Derivada