2. Conjuntos convexos
Ejemplos de conjuntos convexos en R2
DEFINICION: Un conjunto A es convexo
cuando
A
y
x
cumple
se
y
A
y
x
)
1
(
]
1
,
0
[
,
6. Ejemplo
Sea el conjunto
analizar si es un conjunto convexo
2
1 2 1 1
{( , ) / | | 1,| | 1}
C R
x x x x
7. Combinaciones
lineales convexas
Combinación lineal convexa de
m puntos
1
0
,...,
0
,
0
,
,
,
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
m
m
m
m
n
m
siendo
R
x
x
x
x
x
x
x
Combinaciones
lineales convexas
8. Ejemplo
Sean los puntos
Determinar si D y E son combinación
lineal convexa de los puntos A,B y C
(1,1); (4, 1); (5,4); (4,2); (3,3)
A B C D E
9. Poliedro convexo generado por
un conjunto de puntos
Conjunto formado por todas las
combinaciones lineales convexas (CLC) de los
puntos generadores
10. Propiedades de los conjuntos
convexos
Un conjunto es convexo si y solo si toda
CLC de puntos del propio conjunto
pertenece al conjunto
La intersección de conjuntos convexos
sigue siendo un conjunto convexo
11. Propiedades de los conjuntos
convexos
En general, ni la unión ni la diferencia de
conjuntos convexos produce un conjunto
convexo
12. Propiedades de los conjuntos
convexos
La suma de dos conjuntos convexos es
un conjunto convexo
El producto Cartesiano de dos conjuntos
convexo es convexo
13. Envoltura convexa de un
conjunto
Es el menor conjunto convexo que lo
contiene
Intersección de todos los conjuntos
convexos que lo contienen
14. Vértices de un conjunto
convexo
Un vértice es un punto del
conjunto que no puede ser
expresado como CLC de
otros dos puntos diferentes
del propio conjunto
15.
16. Tipos especiales de conjuntos
convexos
Hiperplanos
Semiespacios
Polítopos: conjuntos que se expresan
como intersección de un número finito
de semiespacios cerrados
b
x
a
x
a
x
a
R
x
x
H m
m
2
m
1
1
n
n
)
,...,
( 1
x
b
x
a
x
a
x
a
R
x
x
S
b
x
a
x
a
x
a
R
x
x
S
m
m
2
m
1
1
n
n
m
m
2
m
1
1
n
n
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
x
x
17. Convexidad de funciones
Una función definida sobre un dominio
convexo D, es convexa cuando
)
(
)
1
(
)
(
)
)
1
(
(
]
1
,
0
[
,
y
f
x
f
y
x
f
cumple
se
y
D
y
x
Una función definida sobre un dominio
convexo D, es estrictamente convexa
cuando
)
(
)
1
(
)
(
)
)
1
(
(
)
1
,
0
(
,
y
f
x
f
y
x
f
cumple
se
y
D
y
x
18. Caso de funciones de una variable
f(x)
x y
f(x)
f(y)
x+(1-)y
f(x+(1-)y)
f( x)+(1-) f( y)
19. Una función es convexa cuando el
segmento que une dos puntos cualesquiera
de la gráfica de la función queda siempre
por encima de la gráfica.
Si el segmento queda siempre estrictamente
por encima (salvo en los extremos),
entonces la convexidad es además estricta
Toda función estrictamente convexa es
también convexa
20. Diferencia entre convexidad y
convexidad estricta
Función convexa
(no estrictamente)
Función estrictamente
convexa
22. Funciones cóncavas
Una función definida sobre un dominio
convexo D, es cóncava cuando
)
(
)
1
(
)
(
)
)
1
(
(
]
1
,
0
[
,
y
f
x
f
y
x
f
cumple
se
y
D
y
x
Una función definida sobre un dominio
convexo D, es estrictamente cóncava
cuando
)
(
)
1
(
)
(
)
)
1
(
(
)
1
,
0
(
,
y
f
x
f
y
x
f
cumple
se
y
D
y
x
23. Funciones cóncavas de una sola variable
Función cóncava
(no estrictamente)
Función estrictamente
cóncava
26. Propiedades de las funciones
convexas
Si f(x) es una función convexa entonces la
función opuesta –f(x) es cóncava, y viceversa
f(x)
–f(x)
27. Las funciones lineales son a la vez
cóncavas y convexas, pero no
estrictamente
d
x
c
x
c
x
c
x
x
x
f n
n
n
2
2
1
1
2
1 )
,
,
,
(
Caso de funciones de una
variable: f(x) = cx+d
f(x+(1-)y) = f(x)+(1-)f(y)
28. La suma de funciones convexas sigue siendo
una función convexa
La suma de funciones cóncavas sigue siendo
una función cóncava
Cualquier combinación lineal con coeficientes
positivos de funciones convexas es también
una función convexa
convexa
es
f
f
f
convexas
funciones
f
f
f
k
k
k
k
)
(
)
(
)
(
0
,
,
0
,
0
)
(
,
),
(
),
(
2
2
1
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
29. Relación entre conjuntos y
funciones convexas
Si una función f(x) es convexa entonces
es un conjunto convexo para cualquier
valor de k
k
x
f
x
Sk
)
(
Si una función g(x) es cóncava entonces
es un conjunto convexo para cualquier
valor de k
k
x
g
x
Tk
)
(
30. Si una función h(x) es lineal (cóncava y
convexa) entonces los siguientes
conjuntos son siempre convexos
k
x
h
x
Hk
)
(
k
x
h
x
Sk
)
(
k
x
h
x
Tk
)
(
Semiespacio
Semiespacio
Hiperplano
31. EJEMPLO:
Para estudiar si el siguiente conjunto es convexo
15
2
5
7
2
10
3
)
,
(
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
bastaría comprobar que:
2
2
1
2
1 3
)
,
( x
x
x
x
f
es una función convexa
2
2
2
1
1
2
1 2
)
,
( x
x
x
x
x
g
es una función cóncava
2
1
2
1 2
5
)
,
( x
x
x
x
h
es una función lineal
32. Estudio de la convexidad de
funciones diferenciables
Se puede estudiar la convexidad a partir del
estudio de la matriz hessiana
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1 )
,...,
(
n
n
n
n
n
n
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
Hf
Bajo ciertas condiciones de regularidad, la matriz
hessiana de una función es una matriz simétrica
33. Clasificación de matrices
simétricas
Una matriz cuadrada simétrica A se dice...
– Semidefinida positiva cuando xTAx 0 para cualquier
vector x
– Semidefinida negativa cuando xTAx 0 para cualquier
vector x
– Definida positiva cuando xTAx > 0 para cualquier
vector x no nulo
– Definida negativa cuando xTAx < 0 para cualquier
vector x no nulo
– Indefinida cuando la expresión xTAx toma valores
positivos o negativos dependiendo del vector x
34. Clasificación a partir de los
autovalores
Los autovalores de la matriz A son las
raíces del polinomio característico:
n
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
I
A
,...,
,
0
)
det( 2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
Los autovalores de una matriz simétrica
son siempre números reales
35. Una vez calculados los autovalores de una matriz
simétrica, se tiene:
– A es definida positiva si y solo si los autovalores
son todos estrictamente positivos.
– A es definida negativa si y solo si los autovalores
son todos estrictamente negativos.
– A es semidefinida positiva si y solo si los
autovalores son todos mayores o iguales a cero.
– A es semidefinida negativa si y solo si los
autovalores son todos menores o iguales a cero.
– A es indefinida si existen dos autovalores de
diferentes signos.
36. Clasificación a partir de los
menores principales
Los menores principales de la matriz A son n
números reales obtenidos de la siguiente forma:
37. A es definida positiva si y solo si todos los menores
principales son estrictamente positivos:
D1 > 0, D2 > 0, D3 > 0,..., Dn > 0
A es definida negativa si y solo si los menores son todos
ellos no nulos y de signo alterno, siendo siempre el
primero negativo:
D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, D4 > 0,...
Si todos los menores son estrictamente positivos salvo el
último que es nulo, entonces la matriz A es semidefinida
positiva.
D1 > 0, D2 > 0, D3 > 0,..., Dn = 0
Si los menores son todos de no nulos, salvo el último, y
además de signo alterno, siendo el primero negativo,
entonces A es semidefinida negativa.
D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, D4 > 0,..., Dn = 0
38. Si todos los menores son diferentes de cero, salvo
posiblemente el último, pero ni son todos positivos ni
se alternan en el signo, entonces la matriz es
indefinida.
Cuando existe un menor nulo que no es el
último el criterio de los menores principales
no permite clasificar la matriz
D1 = 12 >0 D2 = 0 D3 = 5 > 0 D4 = 0
Ejemplo:
39. Estudio de la convexidad de la función
a partir de la clasificación de su matriz
hessiana
f(x) es convexa si y solo si Hf(x) es
semidefinida positiva para cualquier x en el
dominio de la función.
f(x) es cóncava si y solo si Hf(x) es
semidefinida negativa para cualquier x.
Si Hf(x) es definida positiva para cualquier x
entonces f(x) es estrictamente convexa.
Si Hf(x) es definida negativa para cualquier x
entonces f(x) es estrictamente cóncava.
![Conjuntos convexos
Ejemplos de conjuntos convexos en R2
DEFINICION: Un conjunto A es convexo
cuando
A
y
x
cumple
se
y
A
y
x
)
1
(
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1
,
0
[
,
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