Solución de un problema que involucra un sistema péndulo-resorte, haciendo uso del teorema de la conservación de la energía mecánica.

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Enunciado del problema
Planteamiento de la soluci´on
Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
Conservaci´on de la energ´ıa mec´anica:
Ejemplo 1
sistema p´endulo-resorte
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Enunciado del problema
Planteamiento de la soluci´on
Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
1 Enunciado del problema
2 Planteamiento de la soluci´on
3 Representaci´on del problema
4 Actividad
5 Soluci´on
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Enunciado del problema
Planteamiento de la soluci´on
Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
Suponga un p´endulo suspendido del techo, y fijo a un resorte ubicado al
n´ıvel del piso justamente debajo del soporte del p´endulo la masa sujeta
al p´endulo es m, y la longitud de la cuerda es L. Adem´as, la constante
el´astica del resorte es k. Cuando el resorte no ha sido deformado, su
longitud natural es L
2 y por otro lado, la distancia entre el piso y el techo
es 3
2 L. Inicialmente, se jala el p´endulo ligeramente hacia la izquierda, de
manera que este forma un a´ngulo θ respecto a la vertical y posteriormente
se suelta del reposo.
Obtenga una expresi´on para la r´apidez de la masa, cuando ´esta pasa justo
por un punto debajo del punto de soporte del p´endulo.
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Enunciado del problema
Planteamiento de la soluci´on
Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
Enunciado
Sugerencia: Usted debe saber que
tanto se estir´o el resorte y para esto
debe restar la longitud cuando el
resorte est´a estirado de la longitud
natural, la cual es L
2
, entonces se le
recomienda dibujar el tri´angulo
formado por el resorte, la cuerda y la
distancia entre el piso y el techo y
use el teorema del coseno para
encontrar la longitud del resorte
estirado.
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Enunciado del problema
Planteamiento de la soluci´on
Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
Reconocimiento del problema
El primer paso fundamental para resolver un problema recurriendo al teorema
trabajo-energ´ıa o en su defecto el teorema de conservaci´on de la energ´ıa, es
reconocer si las fuerzas involucradas son o no conservativas. Las fuerzas
involucradas en el sistema son:
El peso de la masa m
La fuerza el´astica del resorte ideal atado a la masa
La tensi´on en la cuerda
Ahora bien, la tensi´on no hace trabajo, pues es perpendicular al desplazamiento
de la masa m durante todo el movimiento; sin embargo, tanto el peso, como la
fuerza el´astica hacen trabajo. Dado que no hay fricci´on en el sistema y se
desprecia la viscosidad del aire, entonces no hay agentes no-conservativos.
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Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
La fuerza el´stica y el peso son fuerzas conservativas y por lo tanto su
trabajo es igual a menos el cambio de energ´ıa potencial, el´astica y
potencial respectivamente:
Wg = −∆Ug (1)
We = −∆Ue (2)
Donde las energ´ıas potenciales est´an dadas por:
Ug = mgh (3)
Ue =
1
2
kx2
(4)
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Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
Una vez identificadas las energ´ıas involucradas en el problema, se procede
a escoger una referencia adecuada para la energ´ıa potencial gravitacional:
cabe recordar que al desplazar la masa, estirando el resorte, ´esta aumenta
su altura respecto al “piso”, luego hay un cambio de energ´ıa potencial
gravitacional.
La referencia de energ´ıa potencial gravitacional se escoge entonces en el
“piso” del sistema, como se ilustra en la figura 1, de manera que la altura
inicial de la masa m es hi = L
2 + ∆h, donde ∆h es el peque˜no cambio de
altura de la masa en relaci´on a su posici´on inicial.
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Planteamiento de la soluci´on
Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
Figure: sistema p´endulo resorte en el estado inicial y el estado final
posterior
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Enunciado del problema
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Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
En este punto surge la pregunta ¿C´omo est´a relacionado el desplazamiento ∆h
con las variables conocidas del problema? Para responder esta pregunta debemos
estudiar la geom´etria del problema. En la figura 2 podemos observar un tri´angulo
que representa al sistema cuando el p´endulo-resorte est´a estirado y podemos
notar, sin mayor dificultad que ∆h = L − L cos θ, luego:
∆h = L(1 − cos θ) (5)
Luego, de acuerdo a la referencia escogida, la energ´ıa potencial final e inicial de
la masa m son:
Ugi = mg(
L
2
+ ∆h) = mg(
L
2
+ L(1 − cos θ)) (6)
Ugf = mg
L
2
(7)
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Planteamiento de la soluci´on
Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
Representaci´on del problema
Figure: Representaci´on del sistema
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Planteamiento de la soluci´on
Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
Energ´ıa potencial el´astica
Ahora, al estar el resorte inicialmente estirado, debemos determinar el cambio
de energ´ıa potencial el´astica: de acuerdo a la figura 1, la longitud natural del
resorte es L
2
; no obstante, la longitud del resorte estirado no nos es dada; sin
embargo, contamos con la informaci´on necesaria para determinarla: seg´un la
figura 2, la longitud del resorte estirado corresponde al lado de longitud l, luego
siguendo la sugerencia dada, se puede usar el teorema del coseno para
determinar el “valor” de l:
l2
= L2
+
3L
2
2
− 3L2
cos θ (8)
l = L
13
4
− 3 cos θ (9)
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Planteamiento de la soluci´on
Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
Actividad
Soluci´on alternativa
Otra opci´on para encontrar la longitud del resorte estirado l, es
usar el teorema de Pit´agoras para el tr´ıangulo rectangulo definido
por los lados l y L
2 + ∆y. Use el teorema de Pit´agoras para llegar
de nuevo a la ecuaci´on 9.
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Planteamiento de la soluci´on
Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
Resultado para la energ´ıa el´astica
Ahora bien, ya que hemos determinado la longitud del resorte estirado,
podemos determinar la energ´ıa potencial el´astica:
Uei =
1
2
k(l −
L
2
)2
=
1
2
k L
13
4
− 3 cos θ −
L
2
2
(10)
Entonces, resumiendo tenemos que:
Uei = 1
2
k L 13
4
− 3 cos θ − L
2
2
Uef = 0
Ki = 0
Kf = 1
2
mv2
Ugi = mg(L
2
+ L(1 − cos θ))
Ugf = mg L
2
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Planteamiento de la soluci´on
Representaci´on del problema
Actividad
Soluci´on
Luego, el teorema de conservaci´on de la energ´ıa mec´anica nos queda como:
1
2
mv2
+ mg
L
2
=
1
2
k L
13
4
− 3 cos θ −
L
2
2
+ mg(
L
2
+ L(1 − cos θ)) (11)
De manera que la velocidad de la masa es:
v = 2gL(1 − cos θ) +
kL2
m
13
4
− 3 cos θ − 1
2
(12)
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