Este documento presenta tres problemas relacionados con la teoría electromagnética. El primer problema calcula el campo eléctrico creado por una superficie conductora con un orificio. El segundo problema determina el campo eléctrico entre dos conductores cilíndricos con una distribución de carga dada. El tercer problema calcula el voltaje de ruptura de un capacitor de placas paralelas con múltiples capas de dieléctricos.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
ING. OTTO ALVARADO MORENO ( )
ING. JORGE FLORES MACÍAS ( )
ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( )
PRIMERA EVALUACIÓN Fecha: martes 09 de diciembre del 2014
Alumno: ________________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Estudiante Examen Deberes Lecciones
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 2S
Total Primera
Evaluación

2. Primer Tema:
Una gran superficie conductora plana ha sido electrizada, distribuyéndose la carga eléctrica
de manera uniforme y con una densidad superfial de carga s . Un pequeño hoyo circular,
de radio a , ha sido practicado en el centro de la precitada hoja, tal como se muestra en la
siguiente figura. Despreciando la fragmentación de las líneas de campo eléctrico alrededor
de todos los bordes, calcular la intensidad de campo eléctrico en el punto M ubicado a
una distancia h del centro del orificio y en el eje que es perpendicular a la referida
superficie conductora.
E(M ) ( ) 1 E M ( ) 2 E M
M
E = ⇒ E = ±μ
Ing. Alberto Tama Franco
M
NETA o Q Σ = e E A
NETA
Σ
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FIEC-ESPOL – 2014 – 2S
a
h s
Por el principio de superposición, la configuración original sería equivalente a aquello que
se muestra en la siguiente figura.
M
a
h s
a
h s
M
a
h
−s
= +
Se procederá, entonces, a determinar la intensidad de campo eléctrico producido por un
plano infinitamente largo y uniformemente cargado con densidad superficial .
s
dS E
E
dS
S
Σ = ∫ ×
( ) NETA o Q e d
®
⊙
E S
( ) NETA o Q Σ =e  E A+ E A
( ) 2
( ) NETA Q Σ =s A
( )
( )
2 2
z
o o
Q
A
s
e e

3. dr
E = −μ
T z
E = −μ
T z
a a
h rdrd h rdr
s f s
pe e = = =
E = ∫ ∫ − μμμμ = ∫ −
μμμμ
T z z
4 2
r r
a
h h
s s
e e
1 1 1
E μμμμ μμμμ
T z z
2 2
E μ
T z
E μμμμ + μμμμ
z z
E μ
E μ
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a
M
h
−s
E(M )
a
df
dS
d
Debido a que la carga eléctrica se encuentra
uniformemente distribuido en toda la superficie
del disco conductor que se muestra, y, para
elementos diferenciales de área simétricos, las
componentes horizontales de campo eléctrico
se eliminarán y existirán solo sus componentes
horizontales, es decir:
( ) ( ) ( )
T z dE M = dE M cosa −μ
( ) ( ) 2
0
1
4
dq h
d M
pe d d
( ) ( ) 3
0
1
4
h dA
d M
d
s
pe
dA = dr dS ⇒ dA = rdrdf d 3 = ( 3 2
r 2 + h
2 )( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2 3 2
2 2 2 2
0 0 0 0 0
M
r h r h
p
f
+ +
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2
0 0 0
r
M
r h a h h
=
 
= − − = −  −  −
+  + 
( ) ( ) 2 2
0
1
2
h
M
a h
s
e
 
=  −  −
 + 
De esta manera, para la gran superficie conductora plana electrizada, a la cual se le ha
practicado un un pequeño hoyo circular de radio a , la intensidad de campo eléctrico en el
punto de estudio u observación M estaría dado por:
( ) ( ) ( ) 1 2 E M = E M + E M
( ) ( ) 2 2
0
1
2 2
o
h
M
a h
s s
e e
 
=  −  −
 + 
( ) 1 1
2 2
2
z
o
h
M
a h
s
e
 
=  − + 
 + 
( ) 2 2
2
z
o
h
M
a h
s
e
 
=  
 + 

4. Segunda Metodología:
Se procederá a determinar la intensidad de campo eléctrico en el punto de estudio M,
directamente del problema original, pero sustentado el procedimiento anterior; es decir, en
lo que respecta a un disco electrizado. Debido a que la carga eléctrica se encuentra
uniformemente distribuido en toda la superficie del disco conductor que se muestra, y, para
elementos diferenciales de área simétricos, las componentes horizontales de campo
eléctrico se eliminarán y existirán solo sus componentes horizontales, así:
d
h rdrd h rdr
s f s
pe e
E = ∫ ∫ μμμμ =
∫ μμμμ
z z
4 2
+ +
r a r a
¥
h h
s s
e e
1 1
E μμμμ μμμμ
T z z
E μ
Ing. Alberto Tama Franco
E = μ
E = μ
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a
M
h s
E(M )
df
dr dS
a
( ) ( )
z dE M = dE M cosa μ
( ) 2
0
1
4
z
dq h
d M
pe d d
( ) 3
0
1
4
z
h dA
d M
d
s
pe
dA = dr dS = rdrdf
( )3 2
3 2 2 d = r + h
( )
( ) ( )
2
3 2 3 2
2 2 2 2
0 0 0
M
r h r h
p
f
¥ ¥
= = =
( ) 2 2 2 2
0 0
0
2 2
r a
M
r h r h
=
 
= − = −  − 
+  + 
( ) 2 2
2
z
o
h
M
a h
s
e
 
=  
 + 

5. Segundo Tema:
Suponga que el espacio vacío entre los conductores interior y exterior de una larga
estructura cilíndrica coaxial se llena con una nube de carga, cuya densidad volumétrica
cumple con la siguiente relación:
r =   £ ; siendo k una constante.
¶  ¶  ¶ ¶
  + + = −
¶  ¶  ¶ ¶
j j j r
1 1
¶  ¶ j   ⇒ ¶ ¶ j

  = −   = −
¶  ¶  ¶  ¶ 
¶ ¶
j j
= − + ⇒ = − +
r A
r r r
¶ ¶
= = 
r a V

 − −   = − + + =  
 ⇒ 
− + + =  − −
  = − 
K K
b a V b a V
− − − −
Kr Kb
e e
a r b r b
£ = − + + −
ln ln
b a b a
ln / ln /
 ¶ ¶ ¶  ¶
j j j j
= − = − + +  ⇒ = −
E Ñ μμμμ μμμμ μμμμ E μμμμ
 ¶ ¶ ¶  ¶
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Kr K A
e e
£ = − + +
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3 /
k
C m para a r b
r
Calcular el campo eléctrico en la región entre los conductores (Aplicar la Ecuación de
Poisson-Laplace).
b
o V
r
a
2 2
2 2 2
r
r r r r z
f e
( )
j r
0
1
f r r
r r r
j
e
¶  ¶ 
= ⇒   = −
¶  ¶ 
0 0
1
K K
r r
r r r r r r
e e
0 0
( )
0
ln
Kr
j a r b A r B
e
( )
( )
0
'
0
CF s
r b
j
j
⇒
= = 
( )
( )
0
( )
( )
0
0
0
0
0 0
0
ln
ln /
ln 0
ln
ln /
K
b a V
Ka
A a B V A
b a
Kb K
A b B b a V
Kb
B b
b a
e
e
e e
e
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
j
e e
1
r z r r r z r f
j
f

6.  
 − − − − 
¶  e e
£ = − − + + −
 E ln ln
μ
¶  ln / ln /

 
 − − 
£ =  − 
E μ
 
 
 
e
E μ
Ing. Alberto Tama Franco
0 0
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( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
r
K K
b a V b a V
Kr Kb
a r b r b
r b a b a
e e
 
 
( )
( )
( )
0
0
0
ln /
r
K
b a V
K
a r b
r b a
e
e
( )
( )
( )
0
1
ln /
r
V
K b a a r b K
r b a
e
 
 − − 
£ =  − 
 
 

7. Tercer Tema:
Un capacitor de placas planas paralelas tiene tres capas de dieléctricos, tal como se
muestra en la figura. Los datos de la permitividad relativa y la fortaleza dieléctrica de cada
dieléctrico se encuentran especificados en la tabla que se muestra a continuación.
Determine el voltaje de ruptura de dicho capacitor.
r e = 2
− +
 = ⇒ = ⇒ = 
D D E E E E
D D E E E E
e e e e e e
e e e e e e
n n r n r n r n r n
= ⇒ = ⇒ = 
n n r n r n r n r n
e
e
= = ⇒ =
E E E MV m
e
e
= = ⇒ =
E E E MV m MV m
Ing. Alberto Tama Franco
r e = 3
 =

E E
E E
E E
e e
r r
e e
e e
= 
 =
r r
r r
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Dieléctrico
1 2 3
Permitividad
relativa 1
3
5
2
r e =
Fortaleza
dieléctrica
25 [MV /m] 15 [MV /m] 20 [MV /m]
[ ] [ ] [ ] 1 2 3
d = 3 mm d = 4 mm d = 5 mm
0 1 1 2 2 3 3 V = E d + E d + E d
Por la Segunda Condición “especial” de Frontera, se tendría que cumplir lo siguiente:
1 2 1 0 1 2 0 2 1 1 2 2
2 3 2 0 2 3 0 3 2 2 3 3
Como 1n 1 E = E , 2n 2 E = E y 3n 3 E = E ⇒
1 1 2 2
2 2 3 3
3 3 1 1
Procederemos a determinar el valor del campo eléctrico en los otros dos dieléctricos,
suponiendo que el campo eléctrico en el otro dieléctrico es igual a su límite; es decir, a su
fortaleza dieléctrica. De esta forma se tendría lo siguiente:
Primera Evaluación.-
[ ] 1 1
E = K = 25 MV /m
( ) [ ] 1
2 1 2
2
3
25 15 /
5
r
r
( ) [ ] [ ] 1
3 1 3
3
3
25 37.5 / 20 /
2
r
r
0 V
x
y
r1 e r 2 e r3 e
1 d 2 d 3 d

8. e
e
= = ⇒ =
E E E MV m
e
e
= = ⇒ =
E E E MV m MV m
e
e
= = ⇒ =
E E E MV m MV m
e
e
= = ⇒ =
E E E MV m MV m
e e
r r
V K d K d K d K
e
= + + =  + + 
r
 
d d d
e e e e e
 
r r r r r
V − MV  
=  + + ×
 
Ing. Alberto Tama Franco
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Segunda Evaluación.-
Si E = K =15 [ MV /m
] 2 2
( ) [ ] 2
1 2 2
1
5
15 25 /
3
r
r
( ) [ ] [ ] 2
3 2 3
3
5
15 37.5 / 20 /
2
r
r
Tercera Evaluación.-
[ ] 3 3
E = K = 20 MV /m
( ) [ ] [ ] 3
1 3 1
1
2
20 13.33 / 25 /
3
r
r
( ) [ ] [ ] 3
2 3 2
2
2
20 8 / 15 /
5
r
r
De las evaluaciones anteriores, se puede concluir que si el campo eléctrico en el dieléctrico
3 iguala a su fortaleza dieléctrica; esto es 20 [MV /m] se hará presente entonces, un
campo eléctrico en el dieléctrico 1, de valor 13.33 [MV /m] ; y un campo eléctrico en el
dieléctrico 2, de valor 8 [MV /m], intensidades de campo eléctrico que no superan las
fortalezas dieléctricas de los dieléctricos 1 y 2 respectivamente.
En virtud de lo anterior, y para determinar el voltaje de ruptura del presente capacitor, se
debe trabajar, como límite, con la restricción de la Tercera Evaluación, es decir:
3 3 1 2 3
0 3 1 3 2 3 3 3 3
1 2 1 2 3
( ) [ ] 3
0
3 4 5
2 20 10
3 5 2
[ ] 0
V = 172 kV
Segunda Metodología:
Para resolver el presente problema, aplicaremos la técnica conocida como Programación
Lineal, donde la función objetivo a maximizarse es el voltaje de ruptura 0 V .
Aquí se debe tener presente que que existen 3 variables (los campos eléctricos) y 5
restricciones (los límites de cada campo eléctrico en cada dieléctrico y la segunda
condición de frontera), es decir:

9. Máx E E E
E E Segunda Condición especial de Frontera
E E Segunda Condición especial de Frontera
E
E
E
+ + 
1 2 3
− = ⇒ 
Ing. Alberto Tama Franco
− = ⇒ 
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 2S
1 2
2 3
1
2
3
: 0.003 0.004 0.005
3 5 0
5 2 0
25
15
20
£ 
£

£ 
Al efectuar la evaluación respectiva, se obtiene lo siguiente:
[ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 3 0
E =13.33 MV /m E = 8 MV /m E = 20 MV /m V =172 kV