El documento presenta el Teorema de Euclides, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Luego demuestra este teorema aplicando el Teorema de Pitágoras a dos triángulos más pequeños en los que se descompone el triángulo original. Finalmente, cita a Hegel para señalar que el conocimiento matemático es verdadero cuando se conoce la demostración del

1. El Teorema de Euclides y la Filosofía 1
El Teorema de Euclides y
la Filosofía 1
Vicente Umpiérrez Sánchez

2. El Teorema de Euclides y la Filosofía 1
Unas de las proposiciones del teorema de Euclides reza así: En todo triángulo rectángulo,
el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de
los catetos sobre la hipotenusa.
Pasamos a la demostración. El triángulo rectángulo del que se ha hecho la proposición
expuesta anteriormente se ha desdoblado en dos triángulos rectángulos más pequeños.
Aplicamos a ambos triángulos el teorema de Pitágoras.
Sumamos ambas ecuaciones:
El Teorema de Euclides y la Filosofía 1
b2 + a2 = 2h2 + q2 + p2
h2 = q p
h
q p
b a
h = Altura sobre la hipotenusa
a = cateto
q = Proyección del cateto b sobre la hipotenusa
A
b2 = h2 + q2
a2 = h2 + p2
b2 + a2 = h2 + h2 + q2 + p2
b = cateto
･
p = Proyección del cateto a sobre la hipotenusa
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3. Aplicamos al triángulo que contiene a los dos triángulos anteriormente señalados el
teorema de Pitágoras.
Sustituimos el primer miembro de la ecuación A por el primer miembro de la ecuación B.
Simplificamos.
Queda demostrada esta proposición del teorema de Euclides. Cedemos el turno ahora a
Hegel.
El Teorema de Euclides y la Filosofía 1
(q + p)2 = b2 + a2 q2 + 2q.p + p2 = b2 + a2
B
q2 + 2q.p + p2 = 2h2 + q2 + p2
q2 + 2q.p + p2 = 2h2 + q2 + p2
2q.p = 2h2
2q.p = 2h2
h2 = q p･
En cuanto a las verdades matemáticas, aún menos podríamos
considerar como geómetra a quien, sabiendo de memoria el Teorema de
Euclides, lo supiese sin sus demostraciones, no lo supiese en su
interior, como cabría de decir en contraste con aquello. Y del mismo
modo habría que considerar no satisfactorio el conocimiento que
alguien, midiendo muchos triángulos rectángulos, pudiera adquirir
acerca del hecho de que sus lados presentan la conocida proporción.
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4. • Las proposiciones del teorema de Euclides caen dentro de las verdades matemáticas.
• En relación a esto tenemos que señalar dos tipos de conocimientos matemáticos que
son defectuosos:
(a) El conocimiento matemático que sabe de memoria la proposición (h2 = q.p), pero
desconoce su demostración.
(b) El conocimiento matemático que llega a la proposición por medio de la medición de
muchos triángulos rectángulos.
• Conocer la demostración de un teorema es conocerlo en su interior.
• Conocer sólo de memoria un teorema es conocerlo en su exterior.
• El conocimiento de la demostración de un teorema es propio del saber teórico.
• El conocimiento basado en la medición es propio del saber empírico.El conocimietno
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El conocimiento matemático es verdadero cuando el teorema se sabe
con su demostración, esto es, cuando la proposición es resultado de un
proceso de demostración.
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