Factorización con Ruffini

Paolo Ruffini
Valentano, 22 de septiembre de 1765 –
Módena, 10 de mayo de 1822)cpvalladolid@gmail.com

MÉTODO DE RUFFINI
•Para factorizar polinomios
p(x)=(x3 + 6x2 –x-30) = (x+3)(x+5)(x-2)
•Para dividir polinomios
(x3 + 6x2 –x-30) : (x+3)
cpvalladolid@gmail.com

•Para factorizar polinomios
Tenemos el siguiente polinomio de tercer grado:
p(x)=(6x2 + x3 –x - 30)
Nos piden factorizarlo.
Al ser de grado 3, la solución será del tipo:
P(x)=(x-x1) (x-x2) (x-x3)
Aplicamos el método de Ruffini.

1º ORDENAMOS EL POLINOMIO
Ordenamos cada uno de los monomios que
forman el polinomio, en orden decreciente de
exponentes, o sea, de mayor a menor exponente.
p(x)=(6x2 + x3 –x - 30)
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)

2º COMPLETAMOS EL POLINOMIO
Una vez ordenados, comprobamos que todas las
potencias están presentes. Si no es así,
rellenamos. Vamos a hacerlo con una plantilla.
¿Qué grado tiene nuestro polinomio? ….3
Nuestra plantilla es:
x3+ x2 +x1 +  x0

x3+ x2 +x1 +  x0
Completamos la plantilla con los coeficientes de
nuestro polinomio. Si para alguno de los huecos, no
tenemos dato (o sea, no hay monomio con ese grado)
pues ponemos 0.
No te olvides de los signos.
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)

1x3+ x2 +x1 +  x0
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)

1x3+ 6x2 +x1 +  x0
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)

1x3+ 6x2 +(-1)x1 +  x0
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)

1x3+ 6x2 +(-1)x1 + (-30) x0
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)
Nuestro polinomio está completo. Ahora está
listo para aplicar Ruffini.

3º PREPARAMOS “LA TABLA “
1
1x3+ 6x2 +(-1)x1 + (-30) x0
6 -1 -30
1
El primer coeficiente lo
bajamos tal cualcpvalladolid@gmail.com

4º LISTA DE “SOSPECHOSOS”
Ahora nos fijamos en el término
independiente.
p(x)=(x3+ 6x2 –x - 30)
Hallamos los divisores de 30, que son, entre
otros, 5, 2, 3, y 1. También se puede dividir
por 15, 30, 10, etc., pero estos son formas
compuestas. Nos quedamos sólo con los
primos: 5, 2, 3, y 1. Y con sus opuestos.

LISTA DE SOSPECHOSOS
+ 5 -5
+ 3 -3
+ 2 -2
+ 1 -1
Empezaremos con este
(puedes empezar por cualquiera,
el 1 es lo más fácil)

5º Aplicamos Rufinni
1 6 -1 -30
1
1
Colocamos aquí el sospechoso
elegido

1 6 -1 -30
1
1
Multiplicamos el dividendo (1) por la
primera cifra que habíamos bajado (1). El
resultado lo ponemos bajo el siguiente
coeficiente, encima de la línea
1 x 1 = 1
1

1 6 -1 -30
1
1
Se suma el resultado anterior con el
siguiente coeficiente, y se pone el resultado
bajo la línea
6+1=7
1
7

1 6 -1 -30
1
1
Procedemos igual con el resultado anterior:
multiplicamos por 1 y el resultado se lo
sumamos al siguiente coeficiente (-1)
1x7=7
1
7
7
6
-1+7=6

1 6 -1 -30
1
1
Y terminamos con la última cifra.
El resto obtenido es -24. Como no es 0, la
división no ha sido exacta, es decir, (x-1) no
es divisor de P(x)
1x6=6
1
7
7
6
-30+6=-24
6
-24 0

+ 5 -5
+ 3 -3
+ 2 -2
+ 1 -1
Eliminamos el +1 de la
lista. NO nos sirve. ¿Servirá
el -1?
X

1 6 -1 -30
1
-1
Ahora del tirón…
1 -1 -5 +6
5 -6 -26 0
Tampoco da 0, no vale

+ 5 -5
+ 3 -3
+ 2 -2
+ 1 -1
Eliminamos el -1 de la lista.
NO nos sirve. ¿Servirá el
+2?
X X

1 6 -1 -30
1
2
Observa lo que tenemos hasta
ahora:
1 2 16 30
8 15 0
P(x)=(x2 –8x +15)(x-2)

Ya tenemos un polinomio de grado
2, por lo que los otros dos factores
los podemos hallar con la fórmula
general de resolución de ecuaciones
de 2º grado.
O bien, continuamos aplicando
Rufinni en este polinomio.
Como la lista de sospechosos aun es
larga, optamos por la primera
opción, la más sencillacpvalladolid@gmail.com

6º Hallamos las raíces del polinomio de 2º grado
P(x)=(x2 –8x +15)(x-2)
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐
2 · 𝑎
𝑥 =
−(−8) ± (−8)2−4 · 1 · 15
2 · 1
=
8 ± 64 − 60
2
=
8 ± 4
2
=
8 ± 2
2
= 4 ± 1
Las soluciones son 5 y 3, ambos
positivos

7º Escribimos la solución al problema
p(x)=(6x2 + x3 –x - 30)
P(x)=(x-2) (x-3) (x-5)

FACTORIZAR UN
POLINOMIO
Ordenamos monomios de
mayor a menor exponente
Completamos los
monomios que falten con
coeficiente 0
¿Están
ordenados los
monomios?
Si No
¿Está
completo el
polinomio?
Si
No
Hallamos los múltiplos
primos del término
independiente
Vamos aplicando Rufinni
a cada uno de ellos
¿Da resto
0?
Si
NoVamos apuntando los
resultados válidos
SOLUCIÓN:
P(X)=(X-X1)(X-X2)…(X-Xn)
Siendo n=grado del polinomiocpvalladolid@gmail.com

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