Este documento explica conceptos básicos sobre determinantes de matrices. Define qué es un determinante, cómo se calcula usando la regla de Sarrus, y describe menores y rango de una matriz.

2. DETERMINANTE
Determinante de una matriz cuadrada de orden n es el conjunto de
nxn números ordenados de igual manera que en la matriz.
En cuanto a su notación, sirve cambiar los paréntesis de la matriz
por dos rayas verticales que comprendan dicho conjunto de
números, ordenados en n filas y en n columnas.
Ejemplo: |A| =
11 12 1n
21 22 2n
1 2
a a ... a
a a ... a
|
... ... ...
...
ij
n n nn
a
a a a 1 3 5 -1
3 2 4 0
0 1 2 3
2 2 0 0


Un determinante de orden 4 (4x4) será |A| =
[Cuatro filas x cuatro columnas]

3. REGLA DE SARRUS
REGLA DE SARRUS
El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los
elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha),
menos la suma de los productos de todos los elementos de cada
diagonal secundaria (de derecha a izquierda).
Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto
positivo y de un producto negativo.
Para determinantes [2x2]:
|A| = a11.a22 - a12.a21
Para determinantes [3x3]:
|A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 -
- a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32
Para determinantes [nxn] en general:
Se procede a desarrollar, como veremos más adelante, el determinante
dado en función de una sola fila o columna, resultando al final del
proceso determinantes 2x2 o/y 3x3 únicamente.

4. MENOR NO NULO
MENOR DE UN DETERMINANTE
Se llama menor de un determinante nxn (n filas y n columnas) a cualquier
otro determinante (n – k)x(n – k) que se pueda formar con parte de
los elementos del primero, de forma que coincidan el índice i (de las
filas) o el índice j (de las columnas).
Ejemplo
Sea el determinante 3x3:
a11 a12 a13
|A| = a21 a22 a23
a31 a32 a33
Menores de dicho determinante serán, entre otros:
a11 a12 a11 a13 a22 a23
a21 a22 , a31 a33 , a32 a33 , a21 , a23 , etc.
Se llamará MENOR NO NULO si su valor es distinto de cero.

5. DETERMINANTE DE ORDEN 2
Sea el determinante de orden 2
Habrá únicamente 2 productos posibles: a11.a22 y
a12.a21
El primer producto es positivo y el segundo negativo.
El valor del determinante será: |A| = a11.a22 - a12.a21
Ejemplo
2 - 4
|A| =
3 5
|A| = 2.5 – (- 4).3 = 10 – (- 12) = 10+12 = 22

6. DETERMINANTE DE ORDEN 3
Sea el determinante de orden 3
 1 2 3
 |A| 4 5 6
 7 8 9
Por la Regla de Sarrus
|A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 -
- a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32
|A| = 1.5.9 + 2.6.7 + 4.8.3 – 3.5.7 – 2.4.9 – 1.6.8 =
= 45 + 84 + 96 – 105 – 72 – 48 = 225 – 225 = 0

7. RANGO DE UNA MATRIZ
Es el orden del determinante de mayor menor no nulo de dicha matriz.
El mayor determinante que podemos formar en de orden 3 (3x3).
Como mucho su Rango vale 3 ; Rang (A) = 3
Ya vimos que |A| = 0, por lo que su rango no puede ser 3.
Tomamos un determinante cualquiera de orden 2
 1 2
 |A| =  |A|= 5 – 8 = – 3 <> 0 , luego Rang A = 2
 4 5
Sea la matriz
1 2 3
A = 4 5 6
7 8 9