1) El documento habla sobre funciones cuadráticas, polinomios y propiedades como raíces cuadradas, diferencias de cuadrados, y trinomios de cuadrados perfectos. Incluye ejemplos y ejercicios de factorización de expresiones cuadráticas. 2) Se explican métodos para factorizar expresiones cuadráticas como observando factores comunes, diferencias de cuadrados, y trinomios de cuadrados perfectos. También se cubre factorización cuando el coeficiente del término cuadrático no es 1. 3

1. Funciones Cuadráticas
Polinomios

2. “Si todo te da igual,
estás haciendo mal
las cuentas”
Albert Einstein

3. Definición
• Una función cuadrática se escribe de
la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎 ≠
0.

4. Solución de ecuaciones por
inspección
• Solución de ecuaciones de la forma
𝑥² = 𝑎
• Si 𝑥² = 𝑎 ‫ٿ‬ 𝑎 ≥ 0 ⇒ 𝑥 = 𝑎 ‫ٿ‬ 𝑥 = − 𝑎
⋁𝑥 = ± 𝑎

5. Propiedades de las raíces
cuadradas
• Si 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 ≥ 0:
• Producto:
𝑎𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏
• Cociente:
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
• Racionalización:
1
𝑎
=
1
𝑎
∙
𝑎
𝑎
=
𝑎
𝑎

6. Ejemplos
1) 4𝑥² + 13 = 253 2) 9 𝑥 − 2 2 = 121
4𝑥² = 253 − 13
4𝑥² = 240
4𝑥²
4
=
240
4
𝑥² = 60
𝑥² = 60
𝑥 = ±2 15
9 𝑥 − 2 2
9
=
121
9
𝑥 − 2 2 =
121
9
𝑥 − 2 2 =
121
9
𝑥 − 2 = ±
11
3
𝑥 = 2 ±
11
3

7. Ejercicios de Práctica
• Resuelve cada ecuación:
1. 𝑥² = 121 2. 𝑥² = 32 3. 3𝑥² = 49
4. 4𝑥² = 20 5. 4𝑡² = 1 6. 1
2
𝑥² = 6
7. 2
3 𝑎² = 13 8. 𝑥² + 5 = 41 9. 𝑥² − 37 = 0
10. 2𝑥² − 5 = 6 11. 4𝑥² + 5 = 20 12. 10 − 3𝑥² = 4
13. (𝑥 − 5)² = 16 14. (𝑡 + 2)² = 7 15. 1
3
𝑡² − 15 = 37
16. 4 𝑠2
+ 7 − 9 = 39 17. 7 = 2 𝑟 + 1 2 − 3

8. Factorizando
• Para factorizar una expresión
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 donde 𝑎 = 1, buscamos
𝑟‫𝑠ٿ‬ ∈ ℤ tal que 𝑟 ∙ 𝑠 = 𝑐 ‫ٿ‬ 𝑟 + 𝑠 = 𝑏 ⟹
𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑟)(𝑥 + 𝑠)

9. Ejemplos
1) 𝑥² + 5𝑥 + 6 2) 𝑥² − 7𝑥 − 30
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) (𝑥 − 10)(𝑥 + 3)
3) 6𝑥² + 11𝑥 + 3
(3𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)

10. Diferencias de cuadrados
𝑎² − 𝑏2
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

11. Trinomios de
cuadrados perfectos
𝑎 + 𝑏 2
= 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²
𝑎 − 𝑏 2
= 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²

12. Ejemplos
1) 𝑥² − 16 2) 4𝑥² − 24𝑥 + 36
𝑥² − 4²
(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)
4(𝑥² − 6𝑥 + 9)
4(𝑥 − 3)²

13. Propiedad de Producto Cero
• Si 𝑝𝑞 = 0 ⟹ 𝑝 = 0 ⋁ 𝑞 = 0
𝑥 + 5 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = −5 𝑥 = 1

14. Práctica
1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 11𝑥 = 0 2) 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 14𝑥 + 45 = 0

15. Factoriza cada expresión
cuadrática
1) 2𝑥2 − 8𝑥 = 0 2) 2𝑦² − 6𝑦 = 0
3) 5𝑎𝑥² − 15𝑎2
𝑥 = 0 4) 4𝑥 𝑥 + 3 − 7(𝑥 + 3) = 0
5) 4𝑟 + 7 3 − 4𝑟 + 7 2𝑟 = 0
6) 9𝑥 − 5 8𝑥 + 3(9𝑥 − 5) = 0

16. Factoriza cada expresión
cuadrática (#2)
1) 𝑥² + 5𝑥 + 6 = 0 2) 𝑥² + 8𝑥 + 7 = 0
3) 𝑦² − 5𝑦 + 4 = 0 4) 𝑥² − 4𝑥 − 12 = 0
5) 𝑦² − 9𝑦 − 36 = 0 6) 𝑥² + 10𝑥 − 24 = 0

17. Guía general para factorizar
expresiones cuadráticas
• Observa si existe un factor común en todos
los términos y divida.
• Observe diferencias de cuadrados.
• Observa trinomios de cuadrados perfectos.
• Observa factores enteros de la constante
cuya suma es el coeficiente del término
lineal.

18. Guía general para factorizar
expresiones cuadráticas
• Observa cada factor para determinar si
factoriza.
• Verifica tu factorización multiplicando.
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
Si el signo es positivo, entonces
los signos en los paréntesis son
iguales.
Si el signo es negativo, entonces
los signos en los paréntesis son
diferentes.
Signo que se repite,
o el signo del factor mayor

19. Ejercicios de práctica
• Factoriza cada expresión:
1) 3𝑥 + 6 = 0
2) 3𝑥² + 18 = 0
3) 10𝑛 − 𝑛² = 0
4) 𝑥 − 4𝑥² = 0
5) 6𝑥 − 2𝑥² = 0
6) − 3𝑦2 − 15𝑦 = 0
7) 5𝑥 𝑥 − 2 − 3(𝑥 − 2) = 0
8) 𝑥 + 3 2𝑥 + 𝑥 + 3 7 = 0
9) 𝑎²𝑥 + 5𝑎²𝑥² − 2𝑎𝑥 = 0
10) 4𝑎𝑏2 − 6𝑎2 𝑏 = 0

20. Ejercicios de práctica
• Factoriza cada expresión cuadrática:
1) 𝑥² − 16𝑥 + 15 2) 𝑥² + 8𝑥 + 16 3) 𝑥² − 26𝑥 + 48
4) 𝑥² + 4𝑥 − 32 5) 𝑥² + 7𝑥 − 30 6) 𝑥² − 10𝑥 − 24
7) − 22𝑥 − 48 + 𝑥² 8) 2𝑥 + 𝑥² − 24 9) 𝑥² − 56 − 10𝑥

21. Factorizar cuando 𝑎 ≠ 1
• Para factorizar 2𝑥² − 17𝑥 − 9 buscamos
los factores de 9×2 o 18 que restado
(basado en el signo del término
constante) para obtener 17,
coeficiente de x. Reescribe -17x:
2𝑥² − 18𝑥 + 𝑥 − 9 2𝑥 𝑥 − 9 + 1(𝑥 − 9)
(2𝑥 + 1) 𝑥 − 9

22. Factoriza
1) 2𝑥² + 9𝑥 + 10 = 0
2) 3𝑥² + 5𝑥 + 2 = 0
3) 5𝑥² + 13𝑥 − 6 = 0
4) 8𝑥² + 24𝑥 − 14𝑥 − 42
5) 12𝑟² + 21𝑟 − 8𝑟 − 14 = 0
6) 72𝑥² − 56𝑥 − 36𝑥 + 28 = 0

23. Ejercicios de práctica
• Factoriza cada expresión cuadrática:
1) 56 + 10𝑥 − 𝑥² 2) 30 + 𝑥 − 𝑥² 3) 24 + 10𝑥 − 𝑥²
4) 3𝑥² + 10𝑥 + 3 5) 2𝑥² + 5𝑥 + 2 6) 2𝑥² + 3𝑥 + 1
7) 3𝑥² + 7𝑥 + 2 8) 12𝑥² − 3𝑥 − 9 9) 3𝑥² − 5𝑥 − 2

24. ECUACIONES CÚBICAS
Factorización por agrupación

25. Factorización por agrupación
8𝑟³ − 64𝑟2
+ 𝑟 − 8
8𝑟²(𝑟 − 8) + 1(𝑟 − 8)
(8𝑟2
+ 1)(𝑟 − 8)

26. Factoriza por agrupación
1) 12𝑝³ − 21𝑝2
+ 28𝑝 − 49 = 0
2) 12𝑥³ − 2𝑥2
− 30𝑥 − 5 = 0
3) 6𝑣³ − 16𝑣2
+ 21𝑣 − 56 = 0
4) 63𝑛³ + 54𝑛² − 105𝑛 − 90 = 0
5) 96 𝑛³ − 84𝑛2
+ 112𝑛 − 98 = 0
6) 25𝑥³ + 5𝑥² + 30𝑥 + 6 = 0
7) 105𝑛³ + 175𝑛² − 75𝑛 − 125 = 0

27. Factoriza por agrupación
8) 21𝑘³ − 84𝑘2
+ 15𝑘 − 60 = 0
9) 28𝑥³ + 16𝑥² − 21𝑥 − 12 = 0
10) 4𝑦³ − 12𝑦2
− 5𝑦 + 15 = 0
11) 49𝑥³ − 35𝑥2
+ 56𝑥 − 40 = 0
12) 24𝑝³ + 15𝑝² − 56𝑝 − 35 = 0
13) 24𝑚³ − 64𝑚2
− 21𝑚 + 56 = 0
14)56𝑥𝑤 + 49𝑥𝑘² − 24𝑦𝑤 − 21𝑦𝑘² = 0

28. Factoriza por agrupación
15) 42𝑚𝑐 + 36𝑚𝑑 − 7𝑛2
𝑐 − 6𝑛2
𝑑
16) 12𝑥²𝑢 + 3𝑥²𝑣 + 28𝑦𝑢 + 7𝑦𝑣
17) 40𝑎𝑐² + 25𝑎𝑘² + 32𝑏𝑐² + 20𝑏𝑘²
18) 12𝑏𝑐 − 4𝑏𝑑 − 15𝑥𝑐 + 5𝑥𝑑
19) 16𝑚𝑛 − 4𝑚2
+ 28𝑛 − 7𝑚
20) 56𝑥𝑦 − 35𝑥 + 16𝑟𝑦 − 10𝑟
21) 21𝑥𝑦 + 15𝑥 + 35𝑟𝑦 + 25𝑟