Este documento describe dos aplicaciones de los árboles: 1) almacenar elementos en una lista de forma que puedan ser localizados fácilmente usando árboles binarios de búsqueda y 2) codificar eficientemente un conjunto de caracteres mediante cadenas de bits usando códigos instantáneos como los códigos de Huffman. También presenta ejemplos de cómo construir un árbol binario de búsqueda y cómo representar un código instantáneo usando un árbol binario.

1. Sección 9.2
Aplicaciones de los Árboles
Tomado de Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones. Rosen
Esteban Andrés Díaz Mina

2. Introducción
 Se presentan dos problemas que pueden
estudiarse utilizando árboles:
1. ¿Cómo se pueden almacenar elementos en
una lista de manera que todos los elementos
puedan ser localizados fácilmente?
2. ¿Cómo se pueden codificar de manera
eficiente un conjunto de caracteres mediante
una cadena de bits?

3. Árboles Binarios de Búsqueda
 La búsqueda de elementos en una lista es una de
las tareas más importantes que surgen en el área
de la computación. Nuestro primer objetivo será
implementar un algoritmo de búsqueda que
encuentre los elementos de manera eficiente
cuando los objetos estén completamente
ordenados. Esto se puede lograr mediante árboles
binarios de búsqueda.

4. Definición 1
 Un árbol binario en el que cada hijo de un vértice
se designa como hijo izquierdo o hijo derecho,
ningún vértice tiene más de un hijo izquierdo y un
hijo derecho y cada vértice está etiquetado con una
clave, que es uno de los objetos. Además, a los
vértices se le designan las claves de modo que la
clave de un vértice es mayor que la de todos los
vértices de su subárbol izquierdo y menor que la de
todos los vértices de su subárbol derecho.

5. Ejemplo 1
Construya un árbol binario de búsqueda para las
palabras
mathematics,
physics,
geography,
zoology,
meteorology,
geology,
psychology y
chemistry.

6. Solución Ejemplo 1

7. Códigos instantáneos
 Considere el problema de codificar las letras del
alfabeto mediante cadenas de bits. Podemos
representar cada letra utilizando una cadena de
bits de longitud cinco, puesto que sólo hay 27
letras y hay 32 cadenas de longitud cinco.
 El número total de bits utilizados para codificar
los datos es cinco veces el número de
caracteres en el texto si cada carácter se
codifica mediante cinco bits.

8. Códigos instantáneos
 ¿Es posible encontrar una forma de codificar las
letras de modo que utilice menos bits? De este
modo estaríamos ahorrando espacios en memoria y
reduciendo el tiempo de transmisión de datos.
 Para codificar las letras vamos a utilizar cadenas de
bits de longitud variable. Las letras que aparecen
con mayor frecuencia deberán codificarse utilizando
cadenas de bits más cortas, mientras que las letras
menos comunes se codificarán mediante cadenas
más largas. Cuando las letras se codifican
utilizando cadenas de longitud variable, se debe
establecer algún método para determinar cuándo
comienza y cuándo termina cada cadena de bits.

9. Códigos instantáneos
 Por ejemplo, si e se codificara por 0, a por 1 y s
por 01, entonces la cadena 0101 podría
corresponder a sea, eas, eaea, ss.
 Una manera de asegurarse de que ninguna
cadena de bits se corresponde con más de una
secuencia de caracteres consiste en codificar
las letras de manera que cada cadena de bits
asociada a una letra nunca aparezca al
principio de la cadena de bits de otra letra.
 Los códigos con esta propiedad se llaman
códigos instantáneos.

10. Códigos instantáneos
 Un código instantáneo puede representarse
utilizando un árbol binario, donde los
caracteres son las etiquetas de las hojas del
árbol. Las aristas del árbol están etiquetadas de
modo que a la arista que va al hijo izquierdo se
le asigna 0 y a la que va al hijo derecho se le
asigna 1. La cadena de bits que codifica cada
carácter es la sucesión de etiquetas de las
aristas del único camino de la raíz a la hoja que
tiene ese carácter como etiqueta. Por ejemplo, el
siguiente árbol representa la codificación de e
por 0, a por 10, t por 110, n por 1110 y s por
1111.

11. Códigos instantáneos
 Los árboles que
representan códigos se
pueden utilizar para
descodificar cadenas
de bits. Por ejemplo,
descodificar la cadena
111110111010.

12. Códigos de Huffman
 Este algoritmo toma como datos de entrada las
frecuencias de los símbolos de una cadena y
devuelve un código instantáneo que codifica la
cadena de bits utilizando la menor cantidad de
bits, de entre todos los posibles códigos
instantáneos binarios para este conjunto de
símbolos. Este algoritmo, conocido como
codificación de Huffman, fue desarrollado por
David Huffman en 1951.

13. Códigos de Huffman
 La codificación de Huffman es un algoritmo
esencial en la compresión de datos, el área de
conocimiento que se dedica a reducir el número
de bits necesarios para representar la
información.
 La codificación de Huffman se utiliza en
numerosas ocasiones para comprimir cadenas
de bits que representan texto y también
desempeña un papel fundamental en la
compresión de archivos de audio y de
imágenes.

14. Códigos de Huffman
 Se tiene un archivo con 100 caracteres que se
desea compactar. Las frecuencias de aparición
de caracteres en el archivo son las siguientes:
a b c d e f
Frecuencia 45 13 12 16 9 5

15. Códigos de Huffman
 Puede usarse un código de longitud fija (de 3
bits). El archivo requeriría 300 bits.
a b c d e f
Código de Longitud Fija 000 001 010 111 100 101

16. Códigos de Huffman
 Usando un código de Longitud Variable
obtenemos:
 Este código ahorra más del 25% (requiere 224
bits en lugar de 300).
a b c d e f
Código de Longitud Variable 0 101 100 011 1101 1100

17. Códigos de Longitud Fija vs
Código de Longitud Variable (Huffman)

18. Códigos de Longitud Fija vs
Código de Longitud Variable (Huffman)

19. Códigos de Longitud Fija vs
Código de Longitud Variable (Huffman)

20. Codificación de Matemáticas

21. Codificación de Matemáticas - ASCII

22. Codificación de Matemáticas - Huffman

23. Códigos de Longitud Fija vs
Código de Longitud Variable (Huffman)
Consultar
http://www.cryptool-online.org/index.php?Itemid=18

24. Problemas Propuestos
Problemas Sección 9.2
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21 22 24
26 27 29