El documento introduce los números complejos y discute sus definiciones. Explica que la definición más conocida de un número complejo como una expresión de la forma z = a + bi no es rigurosa, ya que i no es un número real. Propone que se necesita una definición mejor de los números complejos y sus operaciones.

1. N´umeros complejos y una breve introducci´on al
an´alisis complejo
Guillermo Barcelona
Departamento de Matem´atica,
Instituto de Formaci´on Docente (CFE - ANEP),
Tacuaremb´o (Tb´o.), URUGUAY.
gbarcelonam@gmail.com
Curso de verano (Febrero de 2015)
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 1 / 73

2. Abordando conceptos previos...
¿Qu´e es un n´umero complejo? ¿Cu´ales son sus distintas definiciones? ¿Cu´al es la
m´as rigurosa? ¿Por qu´e? ¿Cu´ales son sus utilidades?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 2 / 73

3. Abordando conceptos previos...
¿Qu´e es un n´umero complejo? ¿Cu´ales son sus distintas definiciones? ¿Cu´al es la
m´as rigurosa? ¿Por qu´e? ¿Cu´ales son sus utilidades?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 2 / 73

4. Abordando conceptos previos...
¿Qu´e es un n´umero complejo? ¿Cu´ales son sus distintas definiciones? ¿Cu´al es la
m´as rigurosa? ¿Por qu´e? ¿Cu´ales son sus utilidades?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 2 / 73

5. Abordando conceptos previos...
¿Qu´e es un n´umero complejo? ¿Cu´ales son sus distintas definiciones? ¿Cu´al es la
m´as rigurosa? ¿Por qu´e? ¿Cu´ales son sus utilidades?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 2 / 73

6. Abordando conceptos previos...
¿Qu´e es un n´umero complejo? ¿Cu´ales son sus distintas definiciones? ¿Cu´al es la
m´as rigurosa? ¿Por qu´e? ¿Cu´ales son sus utilidades?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 2 / 73

7. Abordando conceptos previos...
¿Qu´e es un n´umero complejo? ¿Cu´ales son sus distintas definiciones? ¿Cu´al es la
m´as rigurosa? ¿Por qu´e? ¿Cu´ales son sus utilidades?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 2 / 73

8. Introducci´on
Los n´umeros reales estructuran toda una magn´ıfica teor´ıa que adem´as da soporte
a muchas otras. Su teor´ıa tambi´en ha permitido resolver un sin fin de problemas.
Sin embargo tiene una deficiencia: que no toda funci´on polin´omica real tiene una
ra´ız. El ejemplo m´as sencillo es el caso de la ecuaci´on x2
+ 1 = 0. Pero en el
intento (¿caprichoso?) de darle soluci´on a este tipo de ecuaciones, surge el
n´umero i /∈ R (?) con la propiedad i2
+ 1 = 0, denominado unidad imaginaria.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 3 / 73

9. Introducci´on
Los n´umeros reales estructuran toda una magn´ıfica teor´ıa que adem´as da soporte
a muchas otras. Su teor´ıa tambi´en ha permitido resolver un sin fin de problemas.
Sin embargo tiene una deficiencia: que no toda funci´on polin´omica real tiene una
ra´ız. El ejemplo m´as sencillo es el caso de la ecuaci´on x2
+ 1 = 0. Pero en el
intento (¿caprichoso?) de darle soluci´on a este tipo de ecuaciones, surge el
n´umero i /∈ R (?) con la propiedad i2
+ 1 = 0, denominado unidad imaginaria.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 3 / 73

10. Introducci´on
Los n´umeros reales estructuran toda una magn´ıfica teor´ıa que adem´as da soporte
a muchas otras. Su teor´ıa tambi´en ha permitido resolver un sin fin de problemas.
Sin embargo tiene una deficiencia: que no toda funci´on polin´omica real tiene una
ra´ız. El ejemplo m´as sencillo es el caso de la ecuaci´on x2
+ 1 = 0. Pero en el
intento (¿caprichoso?) de darle soluci´on a este tipo de ecuaciones, surge el
n´umero i /∈ R (?) con la propiedad i2
+ 1 = 0, denominado unidad imaginaria.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 3 / 73

11. Introducci´on
Los n´umeros reales estructuran toda una magn´ıfica teor´ıa que adem´as da soporte
a muchas otras. Su teor´ıa tambi´en ha permitido resolver un sin fin de problemas.
Sin embargo tiene una deficiencia: que no toda funci´on polin´omica real tiene una
ra´ız. El ejemplo m´as sencillo es el caso de la ecuaci´on x2
+ 1 = 0. Pero en el
intento (¿caprichoso?) de darle soluci´on a este tipo de ecuaciones, surge el
n´umero i /∈ R (?) con la propiedad i2
+ 1 = 0, denominado unidad imaginaria.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 3 / 73

12. Introducci´on
Los n´umeros reales estructuran toda una magn´ıfica teor´ıa que adem´as da soporte
a muchas otras. Su teor´ıa tambi´en ha permitido resolver un sin fin de problemas.
Sin embargo tiene una deficiencia: que no toda funci´on polin´omica real tiene una
ra´ız. El ejemplo m´as sencillo es el caso de la ecuaci´on x2
+ 1 = 0. Pero en el
intento (¿caprichoso?) de darle soluci´on a este tipo de ecuaciones, surge el
n´umero i /∈ R (?) con la propiedad i2
+ 1 = 0, denominado unidad imaginaria.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 3 / 73

13. Comentarios
La definici´on m´as conocida es mediante la notaci´on bin´omica: un n´umero
complejo es una expresi´on del tipo
z = a + bi,
donde a y b son n´umeros reales e i es la unidad imaginaria, con la (¿excepcional?)
propiedad i2
= −1.
Adem´as, con un poco de ´algebra, se llega a que la suma y el producto de dos
complejos z = a + bi y w = c + di son:
z + w = (a + c) + (b + d)i;
zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
A partir de aqu´ı podemos avanzar y descubrir una gran cantidad de resultados
interesantes.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 4 / 73

14. Comentarios
La definici´on m´as conocida es mediante la notaci´on bin´omica: un n´umero
complejo es una expresi´on del tipo
z = a + bi,
donde a y b son n´umeros reales e i es la unidad imaginaria, con la (¿excepcional?)
propiedad i2
= −1.
Adem´as, con un poco de ´algebra, se llega a que la suma y el producto de dos
complejos z = a + bi y w = c + di son:
z + w = (a + c) + (b + d)i;
zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
A partir de aqu´ı podemos avanzar y descubrir una gran cantidad de resultados
interesantes.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 4 / 73

15. Comentarios
La definici´on m´as conocida es mediante la notaci´on bin´omica: un n´umero
complejo es una expresi´on del tipo
z = a + bi,
donde a y b son n´umeros reales e i es la unidad imaginaria, con la (¿excepcional?)
propiedad i2
= −1.
Adem´as, con un poco de ´algebra, se llega a que la suma y el producto de dos
complejos z = a + bi y w = c + di son:
z + w = (a + c) + (b + d)i;
zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
A partir de aqu´ı podemos avanzar y descubrir una gran cantidad de resultados
interesantes.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 4 / 73

16. Comentarios
La definici´on m´as conocida es mediante la notaci´on bin´omica: un n´umero
complejo es una expresi´on del tipo
z = a + bi,
donde a y b son n´umeros reales e i es la unidad imaginaria, con la (¿excepcional?)
propiedad i2
= −1.
Adem´as, con un poco de ´algebra, se llega a que la suma y el producto de dos
complejos z = a + bi y w = c + di son:
z + w = (a + c) + (b + d)i;
zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
A partir de aqu´ı podemos avanzar y descubrir una gran cantidad de resultados
interesantes.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 4 / 73

17. Pero deteng´amonos y escarbemos un poco...
¿Es riguroso definir un n´umero complejo z con la expresi´on a + bi? ¿Puede haber
alguna inconsistencia en esa expresi´on, de acuerdo a las ideas que hemos venido
manejando?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 5 / 73

18. Pero deteng´amonos y escarbemos un poco...
¿Es riguroso definir un n´umero complejo z con la expresi´on a + bi? ¿Puede haber
alguna inconsistencia en esa expresi´on, de acuerdo a las ideas que hemos venido
manejando?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 5 / 73

19. Pero deteng´amonos y escarbemos un poco...
¿Es riguroso definir un n´umero complejo z con la expresi´on a + bi? ¿Puede haber
alguna inconsistencia en esa expresi´on, de acuerdo a las ideas que hemos venido
manejando?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 5 / 73

20. El meollo del asunto
Si i no es real, ¿en la expresi´on 3 + i empleamos la suma real de 3 con i? ¿Y en la
expresi´on 5i empleamos el producto real de 5 con i?
Est´a claro con esto que la notaci´on bin´omica no es rigurosa. Y por lo mismo, la
suma y producto de complejos deben ser operaciones distintas de la suma y
producto de reales, respectivamente.
Pero no perdamos el aliento; lo anterior nos tiene que inspirar para formular una
mejor definici´on de n´umero complejo (y de sus operaciones). ¿Qu´e otra alternativa
podemos tener para un n´umero complejo? ¿Qu´e nos interesa verdaderamente de
la expresi´on z = a + bi?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 6 / 73

21. El meollo del asunto
Si i no es real, ¿en la expresi´on 3 + i empleamos la suma real de 3 con i? ¿Y en la
expresi´on 5i empleamos el producto real de 5 con i?
Est´a claro con esto que la notaci´on bin´omica no es rigurosa. Y por lo mismo, la
suma y producto de complejos deben ser operaciones distintas de la suma y
producto de reales, respectivamente.
Pero no perdamos el aliento; lo anterior nos tiene que inspirar para formular una
mejor definici´on de n´umero complejo (y de sus operaciones). ¿Qu´e otra alternativa
podemos tener para un n´umero complejo? ¿Qu´e nos interesa verdaderamente de
la expresi´on z = a + bi?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 6 / 73

22. El meollo del asunto
Si i no es real, ¿en la expresi´on 3 + i empleamos la suma real de 3 con i? ¿Y en la
expresi´on 5i empleamos el producto real de 5 con i?
Est´a claro con esto que la notaci´on bin´omica no es rigurosa. Y por lo mismo, la
suma y producto de complejos deben ser operaciones distintas de la suma y
producto de reales, respectivamente.
Pero no perdamos el aliento; lo anterior nos tiene que inspirar para formular una
mejor definici´on de n´umero complejo (y de sus operaciones). ¿Qu´e otra alternativa
podemos tener para un n´umero complejo? ¿Qu´e nos interesa verdaderamente de
la expresi´on z = a + bi?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 6 / 73

23. El meollo del asunto
Si i no es real, ¿en la expresi´on 3 + i empleamos la suma real de 3 con i? ¿Y en la
expresi´on 5i empleamos el producto real de 5 con i?
Est´a claro con esto que la notaci´on bin´omica no es rigurosa. Y por lo mismo, la
suma y producto de complejos deben ser operaciones distintas de la suma y
producto de reales, respectivamente.
Pero no perdamos el aliento; lo anterior nos tiene que inspirar para formular una
mejor definici´on de n´umero complejo (y de sus operaciones). ¿Qu´e otra alternativa
podemos tener para un n´umero complejo? ¿Qu´e nos interesa verdaderamente de
la expresi´on z = a + bi?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 6 / 73

24. El meollo del asunto
Si i no es real, ¿en la expresi´on 3 + i empleamos la suma real de 3 con i? ¿Y en la
expresi´on 5i empleamos el producto real de 5 con i?
Est´a claro con esto que la notaci´on bin´omica no es rigurosa. Y por lo mismo, la
suma y producto de complejos deben ser operaciones distintas de la suma y
producto de reales, respectivamente.
Pero no perdamos el aliento; lo anterior nos tiene que inspirar para formular una
mejor definici´on de n´umero complejo (y de sus operaciones). ¿Qu´e otra alternativa
podemos tener para un n´umero complejo? ¿Qu´e nos interesa verdaderamente de
la expresi´on z = a + bi?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 6 / 73

25. El meollo del asunto
Si i no es real, ¿en la expresi´on 3 + i empleamos la suma real de 3 con i? ¿Y en la
expresi´on 5i empleamos el producto real de 5 con i?
Est´a claro con esto que la notaci´on bin´omica no es rigurosa. Y por lo mismo, la
suma y producto de complejos deben ser operaciones distintas de la suma y
producto de reales, respectivamente.
Pero no perdamos el aliento; lo anterior nos tiene que inspirar para formular una
mejor definici´on de n´umero complejo (y de sus operaciones). ¿Qu´e otra alternativa
podemos tener para un n´umero complejo? ¿Qu´e nos interesa verdaderamente de
la expresi´on z = a + bi?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 6 / 73

26. El meollo del asunto
Si i no es real, ¿en la expresi´on 3 + i empleamos la suma real de 3 con i? ¿Y en la
expresi´on 5i empleamos el producto real de 5 con i?
Est´a claro con esto que la notaci´on bin´omica no es rigurosa. Y por lo mismo, la
suma y producto de complejos deben ser operaciones distintas de la suma y
producto de reales, respectivamente.
Pero no perdamos el aliento; lo anterior nos tiene que inspirar para formular una
mejor definici´on de n´umero complejo (y de sus operaciones). ¿Qu´e otra alternativa
podemos tener para un n´umero complejo? ¿Qu´e nos interesa verdaderamente de
la expresi´on z = a + bi?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 6 / 73

27. N´umeros complejos
Definici´on
Sea C = R × R y las operaciones ⊕, ⊗ : C × C → C definidas como sigue:
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d);
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc),
donde la suma y el producto de la derecha son de n´umeros reales. A la terna
(C, ⊕, ⊗) se la denomina conjunto de los n´umeros complejos. Cada z ∈ C se
denomina n´umero complejo, o sencillamente complejo.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 7 / 73

28. N´umeros complejos
Definici´on
Sea C = R × R y las operaciones ⊕, ⊗ : C × C → C definidas como sigue:
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d);
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc),
donde la suma y el producto de la derecha son de n´umeros reales. A la terna
(C, ⊕, ⊗) se la denomina conjunto de los n´umeros complejos. Cada z ∈ C se
denomina n´umero complejo, o sencillamente complejo.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 7 / 73

29. Aclaraci´on
Si bien la suma y el producto de complejos no es igual a la suma y al producto
real, a partir de ahora escribiremos z1 + z2 (o z1z2) en lugar de z1 ⊕ z2 (o z1 ⊗ z2).
Actividad
Busca una interpretaci´on geom´etrica para la suma de n´umeros complejos.
[Comentario: la interpretaci´on del producto a´un es poco evidente, y lo veremos
despu´es.]
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 8 / 73

30. Aclaraci´on
Si bien la suma y el producto de complejos no es igual a la suma y al producto
real, a partir de ahora escribiremos z1 + z2 (o z1z2) en lugar de z1 ⊕ z2 (o z1 ⊗ z2).
Actividad
Busca una interpretaci´on geom´etrica para la suma de n´umeros complejos.
[Comentario: la interpretaci´on del producto a´un es poco evidente, y lo veremos
despu´es.]
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 8 / 73

31. Otras definiciones
Definici´on
Dado z = (a, b) ∈ C, definimos Re(z) = a como la parte real de z, e Im(z) = b
como la parte imaginaria de z.
Un complejo z con Im(z) = 0 se llama imaginario; si adem´as Re(z) = 0 se llama
imaginario puro. Si Im(z) = 0 se dice que z es real (lo que no es z ∈ R).
Tambi´en definimos
C0 = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0}.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 9 / 73

32. Otras definiciones
Definici´on
Dado z = (a, b) ∈ C, definimos Re(z) = a como la parte real de z, e Im(z) = b
como la parte imaginaria de z.
Un complejo z con Im(z) = 0 se llama imaginario; si adem´as Re(z) = 0 se llama
imaginario puro. Si Im(z) = 0 se dice que z es real (lo que no es z ∈ R).
Tambi´en definimos
C0 = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0}.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 9 / 73

33. Otras definiciones
Definici´on
Dado z = (a, b) ∈ C, definimos Re(z) = a como la parte real de z, e Im(z) = b
como la parte imaginaria de z.
Un complejo z con Im(z) = 0 se llama imaginario; si adem´as Re(z) = 0 se llama
imaginario puro. Si Im(z) = 0 se dice que z es real (lo que no es z ∈ R).
Tambi´en definimos
C0 = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0}.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 9 / 73

34. Otras definiciones
Definici´on
Dado z = (a, b) ∈ C, definimos Re(z) = a como la parte real de z, e Im(z) = b
como la parte imaginaria de z.
Un complejo z con Im(z) = 0 se llama imaginario; si adem´as Re(z) = 0 se llama
imaginario puro. Si Im(z) = 0 se dice que z es real (lo que no es z ∈ R).
Tambi´en definimos
C0 = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0}.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 9 / 73

35. Igualdad como relaci´on de equivalencia
Definici´on
Decimos que dos complejos z1 y z2 son equivalentes y anotamos z1 ∼ z2 si
Re(z1) = Re(z2) e Im(z1) = Im(z2).
Es evidente que esta relaci´on de equivalencia no es otra cosa que la igualdad entre
dos n´umeros complejos. Cada clase de equivalencia contiene un ´unico complejo.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 10 / 73

36. Igualdad como relaci´on de equivalencia
Definici´on
Decimos que dos complejos z1 y z2 son equivalentes y anotamos z1 ∼ z2 si
Re(z1) = Re(z2) e Im(z1) = Im(z2).
Es evidente que esta relaci´on de equivalencia no es otra cosa que la igualdad entre
dos n´umeros complejos. Cada clase de equivalencia contiene un ´unico complejo.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 10 / 73

37. Igualdad como relaci´on de equivalencia
Definici´on
Decimos que dos complejos z1 y z2 son equivalentes y anotamos z1 ∼ z2 si
Re(z1) = Re(z2) e Im(z1) = Im(z2).
Es evidente que esta relaci´on de equivalencia no es otra cosa que la igualdad entre
dos n´umeros complejos. Cada clase de equivalencia contiene un ´unico complejo.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 10 / 73

38. ¿Propiedades de las operaciones?
Al igual que los n´umeros reales, los n´umeros complejos tienen una estructura de
cuerpo. ¿Recuerdan cu´ales eran las propiedades de un cuerpo?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 11 / 73

39. ¿Propiedades de las operaciones?
Al igual que los n´umeros reales, los n´umeros complejos tienen una estructura de
cuerpo. ¿Recuerdan cu´ales eran las propiedades de un cuerpo?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 11 / 73

40. ¿Propiedades de las operaciones?
Al igual que los n´umeros reales, los n´umeros complejos tienen una estructura de
cuerpo. ¿Recuerdan cu´ales eran las propiedades de un cuerpo?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 11 / 73

41. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

42. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

43. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

44. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

45. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

46. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

47. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

48. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

49. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

50. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

51. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

52. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

53. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

54. Estructura de cuerpo
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de
cuerpo:
1 Propiedades de la suma:
1 Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
4 Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
2 Propiedades del producto:
1 Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
2 Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
3 Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
4 Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3 Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de
ciertas observaciones que haremos en las siguientes transparencias.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 12 / 73

55. Observaciones
El neutro de la suma se define como 0 = (0, 0); el opuesto de z = (a, b) como
−z = (−a, −b). El neutro del producto es 1 = (1, 0).
Actividad
Dado z = (a, b) = 0, determina su inverso w = (x, y). [Sugerencia: Observa que
(a, b)(x, y) = (1, 0) ⇐⇒ (ax − by, bx + ay) = (1, 0).]
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 13 / 73

56. Observaciones
El neutro de la suma se define como 0 = (0, 0); el opuesto de z = (a, b) como
−z = (−a, −b). El neutro del producto es 1 = (1, 0).
Actividad
Dado z = (a, b) = 0, determina su inverso w = (x, y). [Sugerencia: Observa que
(a, b)(x, y) = (1, 0) ⇐⇒ (ax − by, bx + ay) = (1, 0).]
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 13 / 73

57. Observaciones
El neutro de la suma se define como 0 = (0, 0); el opuesto de z = (a, b) como
−z = (−a, −b). El neutro del producto es 1 = (1, 0).
Actividad
Dado z = (a, b) = 0, determina su inverso w = (x, y). [Sugerencia: Observa que
(a, b)(x, y) = (1, 0) ⇐⇒ (ax − by, bx + ay) = (1, 0).]
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 13 / 73

58. Observaciones
El neutro de la suma se define como 0 = (0, 0); el opuesto de z = (a, b) como
−z = (−a, −b). El neutro del producto es 1 = (1, 0).
Actividad
Dado z = (a, b) = 0, determina su inverso w = (x, y). [Sugerencia: Observa que
(a, b)(x, y) = (1, 0) ⇐⇒ (ax − by, bx + ay) = (1, 0).]
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 13 / 73

59. Inverso y otras operaciones
El inverso de un n´umero z = (a, b) = 0 es
1
z
=
a
a2 + b2
, −
b
a2 + b2
.
Hacemos las definiciones de la resta y la divisi´on de complejos como sigue:
z − w = z + (−w);
z
w
= z
1
w
(w = 0).
Actividad
Para los complejos z = (a, b) y w = (c, d), determina z − w y z/w (w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 14 / 73

60. Inverso y otras operaciones
El inverso de un n´umero z = (a, b) = 0 es
1
z
=
a
a2 + b2
, −
b
a2 + b2
.
Hacemos las definiciones de la resta y la divisi´on de complejos como sigue:
z − w = z + (−w);
z
w
= z
1
w
(w = 0).
Actividad
Para los complejos z = (a, b) y w = (c, d), determina z − w y z/w (w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 14 / 73

61. Inverso y otras operaciones
El inverso de un n´umero z = (a, b) = 0 es
1
z
=
a
a2 + b2
, −
b
a2 + b2
.
Hacemos las definiciones de la resta y la divisi´on de complejos como sigue:
z − w = z + (−w);
z
w
= z
1
w
(w = 0).
Actividad
Para los complejos z = (a, b) y w = (c, d), determina z − w y z/w (w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 14 / 73

62. Inverso y otras operaciones
El inverso de un n´umero z = (a, b) = 0 es
1
z
=
a
a2 + b2
, −
b
a2 + b2
.
Hacemos las definiciones de la resta y la divisi´on de complejos como sigue:
z − w = z + (−w);
z
w
= z
1
w
(w = 0).
Actividad
Para los complejos z = (a, b) y w = (c, d), determina z − w y z/w (w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 14 / 73

63. Demostramos la conmutativa del producto
Demostraci´on.
Sean z1 = (a, b) y z2 = (c, d). Se tiene que
z1z2 = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = z2z1.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 15 / 73

64. Demostramos la conmutativa del producto
Demostraci´on.
Sean z1 = (a, b) y z2 = (c, d). Se tiene que
z1z2 = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = z2z1.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 15 / 73

65. Demostramos la conmutativa del producto
Demostraci´on.
Sean z1 = (a, b) y z2 = (c, d). Se tiene que
z1z2 = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = z2z1.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 15 / 73

66. Demostramos la conmutativa del producto
Demostraci´on.
Sean z1 = (a, b) y z2 = (c, d). Se tiene que
z1z2 = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = z2z1.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 15 / 73

67. Demostramos la conmutativa del producto
Demostraci´on.
Sean z1 = (a, b) y z2 = (c, d). Se tiene que
z1z2 = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = z2z1.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 15 / 73

68. Demostramos la conmutativa del producto
Demostraci´on.
Sean z1 = (a, b) y z2 = (c, d). Se tiene que
z1z2 = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = z2z1.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 15 / 73

69. Algunas otras propiedades
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades
(an´alogas a las de n´umeros reales):
1 0z = 0.
2 −(−z) = z.
3 z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4 (−1)z = −z.
5 −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6
z
z
= 1 (z = 0).
7
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 16 / 73

70. Algunas otras propiedades
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades
(an´alogas a las de n´umeros reales):
1 0z = 0.
2 −(−z) = z.
3 z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4 (−1)z = −z.
5 −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6
z
z
= 1 (z = 0).
7
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 16 / 73

71. Algunas otras propiedades
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades
(an´alogas a las de n´umeros reales):
1 0z = 0.
2 −(−z) = z.
3 z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4 (−1)z = −z.
5 −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6
z
z
= 1 (z = 0).
7
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 16 / 73

72. Algunas otras propiedades
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades
(an´alogas a las de n´umeros reales):
1 0z = 0.
2 −(−z) = z.
3 z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4 (−1)z = −z.
5 −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6
z
z
= 1 (z = 0).
7
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 16 / 73

73. Algunas otras propiedades
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades
(an´alogas a las de n´umeros reales):
1 0z = 0.
2 −(−z) = z.
3 z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4 (−1)z = −z.
5 −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6
z
z
= 1 (z = 0).
7
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 16 / 73

74. Algunas otras propiedades
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades
(an´alogas a las de n´umeros reales):
1 0z = 0.
2 −(−z) = z.
3 z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4 (−1)z = −z.
5 −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6
z
z
= 1 (z = 0).
7
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 16 / 73

75. Algunas otras propiedades
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades
(an´alogas a las de n´umeros reales):
1 0z = 0.
2 −(−z) = z.
3 z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4 (−1)z = −z.
5 −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6
z
z
= 1 (z = 0).
7
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 16 / 73

76. Algunas otras propiedades
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades
(an´alogas a las de n´umeros reales):
1 0z = 0.
2 −(−z) = z.
3 z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4 (−1)z = −z.
5 −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6
z
z
= 1 (z = 0).
7
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 16 / 73

77. Algunas otras propiedades
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades
(an´alogas a las de n´umeros reales):
1 0z = 0.
2 −(−z) = z.
3 z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4 (−1)z = −z.
5 −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6
z
z
= 1 (z = 0).
7
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 16 / 73

78. Algunas otras propiedades
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades
(an´alogas a las de n´umeros reales):
1 0z = 0.
2 −(−z) = z.
3 z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4 (−1)z = −z.
5 −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6
z
z
= 1 (z = 0).
7
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 16 / 73

79. Algunas otras propiedades
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades
(an´alogas a las de n´umeros reales):
1 0z = 0.
2 −(−z) = z.
3 z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4 (−1)z = −z.
5 −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6
z
z
= 1 (z = 0).
7
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 16 / 73

80. Representaci´on gr´afica
Los n´umeros complejos pueden corresponderse biun´ıvocamente con los puntos de
un plano. En efecto; se considera un par de rectas x e y perpendiculares. Sabemos
que cada punto P del plano queda asociado a dos n´umeros reales xP e yP , que
son las abscisas de sus proyecciones sobre los ejes x e y, respectivamente.
Entonces, cada punto P del plano define un complejo
z = (xP , yP );
y rec´ıprocamente: cada complejo z = (a, b) determina un punto P llamado afijo
de z, tal que
xP = a e yP = b.
La recta x se denomina eje real, mientras que la recta y eje imaginario.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 17 / 73

81. Representaci´on gr´afica
Los n´umeros complejos pueden corresponderse biun´ıvocamente con los puntos de
un plano. En efecto; se considera un par de rectas x e y perpendiculares. Sabemos
que cada punto P del plano queda asociado a dos n´umeros reales xP e yP , que
son las abscisas de sus proyecciones sobre los ejes x e y, respectivamente.
Entonces, cada punto P del plano define un complejo
z = (xP , yP );
y rec´ıprocamente: cada complejo z = (a, b) determina un punto P llamado afijo
de z, tal que
xP = a e yP = b.
La recta x se denomina eje real, mientras que la recta y eje imaginario.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 17 / 73

82. Representaci´on gr´afica
Los n´umeros complejos pueden corresponderse biun´ıvocamente con los puntos de
un plano. En efecto; se considera un par de rectas x e y perpendiculares. Sabemos
que cada punto P del plano queda asociado a dos n´umeros reales xP e yP , que
son las abscisas de sus proyecciones sobre los ejes x e y, respectivamente.
Entonces, cada punto P del plano define un complejo
z = (xP , yP );
y rec´ıprocamente: cada complejo z = (a, b) determina un punto P llamado afijo
de z, tal que
xP = a e yP = b.
La recta x se denomina eje real, mientras que la recta y eje imaginario.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 17 / 73

83. Representaci´on gr´afica
Los n´umeros complejos pueden corresponderse biun´ıvocamente con los puntos de
un plano. En efecto; se considera un par de rectas x e y perpendiculares. Sabemos
que cada punto P del plano queda asociado a dos n´umeros reales xP e yP , que
son las abscisas de sus proyecciones sobre los ejes x e y, respectivamente.
Entonces, cada punto P del plano define un complejo
z = (xP , yP );
y rec´ıprocamente: cada complejo z = (a, b) determina un punto P llamado afijo
de z, tal que
xP = a e yP = b.
La recta x se denomina eje real, mientras que la recta y eje imaginario.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 17 / 73

84. Representaci´on gr´afica
Los n´umeros complejos pueden corresponderse biun´ıvocamente con los puntos de
un plano. En efecto; se considera un par de rectas x e y perpendiculares. Sabemos
que cada punto P del plano queda asociado a dos n´umeros reales xP e yP , que
son las abscisas de sus proyecciones sobre los ejes x e y, respectivamente.
Entonces, cada punto P del plano define un complejo
z = (xP , yP );
y rec´ıprocamente: cada complejo z = (a, b) determina un punto P llamado afijo
de z, tal que
xP = a e yP = b.
La recta x se denomina eje real, mientras que la recta y eje imaginario.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 17 / 73

85. Representaci´on gr´afica
Los n´umeros complejos pueden corresponderse biun´ıvocamente con los puntos de
un plano. En efecto; se considera un par de rectas x e y perpendiculares. Sabemos
que cada punto P del plano queda asociado a dos n´umeros reales xP e yP , que
son las abscisas de sus proyecciones sobre los ejes x e y, respectivamente.
Entonces, cada punto P del plano define un complejo
z = (xP , yP );
y rec´ıprocamente: cada complejo z = (a, b) determina un punto P llamado afijo
de z, tal que
xP = a e yP = b.
La recta x se denomina eje real, mientras que la recta y eje imaginario.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 17 / 73

86. ¿El conjunto C est´a ordenado?
Siempre nos dijeron que el conjunto C no tiene una relaci´on de orden interesante.
Pero... ¿por qu´e?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 18 / 73

87. ¿El conjunto C est´a ordenado?
Siempre nos dijeron que el conjunto C no tiene una relaci´on de orden interesante.
Pero... ¿por qu´e?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 18 / 73

88. ¿El conjunto C est´a ordenado?
Siempre nos dijeron que el conjunto C no tiene una relaci´on de orden interesante.
Pero... ¿por qu´e?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 18 / 73

89. ¿Y por qu´e no...?
Una relaci´on que puede definirse en C es la del orden “del diccionario” o
“lexicogr´afica”: (a, b)<(c, d) si a < c, o si a = c y b < d. Esta relaci´on es
efectivamente de orden (reflexiva, antisim´etrica y transitiva). ¿Por qu´e esta
relaci´on, u otra de orden en C, no ganan nuestro inter´es?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 19 / 73

90. ¿Y por qu´e no...?
Una relaci´on que puede definirse en C es la del orden “del diccionario” o
“lexicogr´afica”: (a, b)<(c, d) si a < c, o si a = c y b < d. Esta relaci´on es
efectivamente de orden (reflexiva, antisim´etrica y transitiva). ¿Por qu´e esta
relaci´on, u otra de orden en C, no ganan nuestro inter´es?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 19 / 73

91. ¿Y por qu´e no...?
Una relaci´on que puede definirse en C es la del orden “del diccionario” o
“lexicogr´afica”: (a, b)<(c, d) si a < c, o si a = c y b < d. Esta relaci´on es
efectivamente de orden (reflexiva, antisim´etrica y transitiva). ¿Por qu´e esta
relaci´on, u otra de orden en C, no ganan nuestro inter´es?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 19 / 73

92. ¿Y por qu´e no...?
Una relaci´on que puede definirse en C es la del orden “del diccionario” o
“lexicogr´afica”: (a, b)<(c, d) si a < c, o si a = c y b < d. Esta relaci´on es
efectivamente de orden (reflexiva, antisim´etrica y transitiva). ¿Por qu´e esta
relaci´on, u otra de orden en C, no ganan nuestro inter´es?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 19 / 73

93. ¿Y por qu´e no...?
Una relaci´on que puede definirse en C es la del orden “del diccionario” o
“lexicogr´afica”: (a, b)<(c, d) si a < c, o si a = c y b < d. Esta relaci´on es
efectivamente de orden (reflexiva, antisim´etrica y transitiva). ¿Por qu´e esta
relaci´on, u otra de orden en C, no ganan nuestro inter´es?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 19 / 73

94. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

95. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

96. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

97. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

98. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

99. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

100. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

101. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

102. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

103. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

104. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

105. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

106. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

107. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

108. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

109. La raz´on es...
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se
basa en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes
propiedades:
1 x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2 Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+,
x = 0 o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea
i = (0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si
i ∈ C+, entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto
que (−i)2
= i2
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 20 / 73

110. Reales y complejos reales
Los elementos de C0 y los de R tienen gran similitud; a´un m´as: se comportan de
la misma manera. Formalmente, existe un isomorfismo f : C0 → R definido por
la ecuaci´on
f(a, 0) = a.
Un isomorfismo entre dos anillos A y B es una funci´on biyectiva f : A → B que
cumple f(x + y) = f(x) + f(y) y f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ A, y f(1A) = 1B.
Queda como ejercicio demostrar que la funci´on anterior es efectivamente un
isomorfismo.
Aunque se comporten de la misma manera, los elementos de C0 y R son
cualitativamente distintos. Pero por comodidad anotaremos a en lugar de (a, 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 21 / 73

111. Reales y complejos reales
Los elementos de C0 y los de R tienen gran similitud; a´un m´as: se comportan de
la misma manera. Formalmente, existe un isomorfismo f : C0 → R definido por
la ecuaci´on
f(a, 0) = a.
Un isomorfismo entre dos anillos A y B es una funci´on biyectiva f : A → B que
cumple f(x + y) = f(x) + f(y) y f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ A, y f(1A) = 1B.
Queda como ejercicio demostrar que la funci´on anterior es efectivamente un
isomorfismo.
Aunque se comporten de la misma manera, los elementos de C0 y R son
cualitativamente distintos. Pero por comodidad anotaremos a en lugar de (a, 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 21 / 73

112. Reales y complejos reales
Los elementos de C0 y los de R tienen gran similitud; a´un m´as: se comportan de
la misma manera. Formalmente, existe un isomorfismo f : C0 → R definido por
la ecuaci´on
f(a, 0) = a.
Un isomorfismo entre dos anillos A y B es una funci´on biyectiva f : A → B que
cumple f(x + y) = f(x) + f(y) y f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ A, y f(1A) = 1B.
Queda como ejercicio demostrar que la funci´on anterior es efectivamente un
isomorfismo.
Aunque se comporten de la misma manera, los elementos de C0 y R son
cualitativamente distintos. Pero por comodidad anotaremos a en lugar de (a, 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 21 / 73

113. Reales y complejos reales
Los elementos de C0 y los de R tienen gran similitud; a´un m´as: se comportan de
la misma manera. Formalmente, existe un isomorfismo f : C0 → R definido por
la ecuaci´on
f(a, 0) = a.
Un isomorfismo entre dos anillos A y B es una funci´on biyectiva f : A → B que
cumple f(x + y) = f(x) + f(y) y f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ A, y f(1A) = 1B.
Queda como ejercicio demostrar que la funci´on anterior es efectivamente un
isomorfismo.
Aunque se comporten de la misma manera, los elementos de C0 y R son
cualitativamente distintos. Pero por comodidad anotaremos a en lugar de (a, 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 21 / 73

114. Reales y complejos reales
Los elementos de C0 y los de R tienen gran similitud; a´un m´as: se comportan de
la misma manera. Formalmente, existe un isomorfismo f : C0 → R definido por
la ecuaci´on
f(a, 0) = a.
Un isomorfismo entre dos anillos A y B es una funci´on biyectiva f : A → B que
cumple f(x + y) = f(x) + f(y) y f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ A, y f(1A) = 1B.
Queda como ejercicio demostrar que la funci´on anterior es efectivamente un
isomorfismo.
Aunque se comporten de la misma manera, los elementos de C0 y R son
cualitativamente distintos. Pero por comodidad anotaremos a en lugar de (a, 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 21 / 73

115. Reales y complejos reales
Los elementos de C0 y los de R tienen gran similitud; a´un m´as: se comportan de
la misma manera. Formalmente, existe un isomorfismo f : C0 → R definido por
la ecuaci´on
f(a, 0) = a.
Un isomorfismo entre dos anillos A y B es una funci´on biyectiva f : A → B que
cumple f(x + y) = f(x) + f(y) y f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ A, y f(1A) = 1B.
Queda como ejercicio demostrar que la funci´on anterior es efectivamente un
isomorfismo.
Aunque se comporten de la misma manera, los elementos de C0 y R son
cualitativamente distintos. Pero por comodidad anotaremos a en lugar de (a, 0).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 21 / 73

116. El retorno a la notaci´on bin´omica
Naturalmente que la notaci´on bin´omica es m´as f´acil de usar que los pares
ordenados. Haremos ese pasaje como a continuaci´on se indica.
Un n´umero complejo z = (a, b) puede escribirse como
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1),
y en virtud del isomorfismo anterior podemos escribir
z = a + b(0, 1).
Definimos i = (0, 1) como la unidad imaginaria. Pasamos ahora a la notaci´on
bin´omica:
z = a + bi.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 22 / 73

117. El retorno a la notaci´on bin´omica
Naturalmente que la notaci´on bin´omica es m´as f´acil de usar que los pares
ordenados. Haremos ese pasaje como a continuaci´on se indica.
Un n´umero complejo z = (a, b) puede escribirse como
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1),
y en virtud del isomorfismo anterior podemos escribir
z = a + b(0, 1).
Definimos i = (0, 1) como la unidad imaginaria. Pasamos ahora a la notaci´on
bin´omica:
z = a + bi.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 22 / 73

118. El retorno a la notaci´on bin´omica
Naturalmente que la notaci´on bin´omica es m´as f´acil de usar que los pares
ordenados. Haremos ese pasaje como a continuaci´on se indica.
Un n´umero complejo z = (a, b) puede escribirse como
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1),
y en virtud del isomorfismo anterior podemos escribir
z = a + b(0, 1).
Definimos i = (0, 1) como la unidad imaginaria. Pasamos ahora a la notaci´on
bin´omica:
z = a + bi.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 22 / 73

119. El retorno a la notaci´on bin´omica
Naturalmente que la notaci´on bin´omica es m´as f´acil de usar que los pares
ordenados. Haremos ese pasaje como a continuaci´on se indica.
Un n´umero complejo z = (a, b) puede escribirse como
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1),
y en virtud del isomorfismo anterior podemos escribir
z = a + b(0, 1).
Definimos i = (0, 1) como la unidad imaginaria. Pasamos ahora a la notaci´on
bin´omica:
z = a + bi.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 22 / 73

120. Conjugado
Definici´on
Dado el complejo z = a + bi, definimos el conjugado de z como ¯z = a − bi.
Teorema (Propiedades)
1 z + ¯z = 2 Re(z) y z¯z = [Re(z)]2
+ [Im(z)]2
.
2 ¯¯z = z.
3 z ∈ C0 ⇐⇒ z = ¯z.
4 z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2.
5 z1z2 = ¯z1 ¯z2 y z1/z2 = ¯z1/¯z2.
6 −z = −¯z y 1/z = 1/¯z.
Actividad
Demostrar las seis propiedades anteriores.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 23 / 73

121. Conjugado
Definici´on
Dado el complejo z = a + bi, definimos el conjugado de z como ¯z = a − bi.
Teorema (Propiedades)
1 z + ¯z = 2 Re(z) y z¯z = [Re(z)]2
+ [Im(z)]2
.
2 ¯¯z = z.
3 z ∈ C0 ⇐⇒ z = ¯z.
4 z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2.
5 z1z2 = ¯z1 ¯z2 y z1/z2 = ¯z1/¯z2.
6 −z = −¯z y 1/z = 1/¯z.
Actividad
Demostrar las seis propiedades anteriores.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 23 / 73

122. Conjugado
Definici´on
Dado el complejo z = a + bi, definimos el conjugado de z como ¯z = a − bi.
Teorema (Propiedades)
1 z + ¯z = 2 Re(z) y z¯z = [Re(z)]2
+ [Im(z)]2
.
2 ¯¯z = z.
3 z ∈ C0 ⇐⇒ z = ¯z.
4 z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2.
5 z1z2 = ¯z1 ¯z2 y z1/z2 = ¯z1/¯z2.
6 −z = −¯z y 1/z = 1/¯z.
Actividad
Demostrar las seis propiedades anteriores.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 23 / 73

123. Conjugado
Definici´on
Dado el complejo z = a + bi, definimos el conjugado de z como ¯z = a − bi.
Teorema (Propiedades)
1 z + ¯z = 2 Re(z) y z¯z = [Re(z)]2
+ [Im(z)]2
.
2 ¯¯z = z.
3 z ∈ C0 ⇐⇒ z = ¯z.
4 z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2.
5 z1z2 = ¯z1 ¯z2 y z1/z2 = ¯z1/¯z2.
6 −z = −¯z y 1/z = 1/¯z.
Actividad
Demostrar las seis propiedades anteriores.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 23 / 73

124. Conjugado
Definici´on
Dado el complejo z = a + bi, definimos el conjugado de z como ¯z = a − bi.
Teorema (Propiedades)
1 z + ¯z = 2 Re(z) y z¯z = [Re(z)]2
+ [Im(z)]2
.
2 ¯¯z = z.
3 z ∈ C0 ⇐⇒ z = ¯z.
4 z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2.
5 z1z2 = ¯z1 ¯z2 y z1/z2 = ¯z1/¯z2.
6 −z = −¯z y 1/z = 1/¯z.
Actividad
Demostrar las seis propiedades anteriores.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 23 / 73

125. Conjugado
Definici´on
Dado el complejo z = a + bi, definimos el conjugado de z como ¯z = a − bi.
Teorema (Propiedades)
1 z + ¯z = 2 Re(z) y z¯z = [Re(z)]2
+ [Im(z)]2
.
2 ¯¯z = z.
3 z ∈ C0 ⇐⇒ z = ¯z.
4 z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2.
5 z1z2 = ¯z1 ¯z2 y z1/z2 = ¯z1/¯z2.
6 −z = −¯z y 1/z = 1/¯z.
Actividad
Demostrar las seis propiedades anteriores.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 23 / 73

126. Conjugado
Definici´on
Dado el complejo z = a + bi, definimos el conjugado de z como ¯z = a − bi.
Teorema (Propiedades)
1 z + ¯z = 2 Re(z) y z¯z = [Re(z)]2
+ [Im(z)]2
.
2 ¯¯z = z.
3 z ∈ C0 ⇐⇒ z = ¯z.
4 z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2.
5 z1z2 = ¯z1 ¯z2 y z1/z2 = ¯z1/¯z2.
6 −z = −¯z y 1/z = 1/¯z.
Actividad
Demostrar las seis propiedades anteriores.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 23 / 73

127. Conjugado
Definici´on
Dado el complejo z = a + bi, definimos el conjugado de z como ¯z = a − bi.
Teorema (Propiedades)
1 z + ¯z = 2 Re(z) y z¯z = [Re(z)]2
+ [Im(z)]2
.
2 ¯¯z = z.
3 z ∈ C0 ⇐⇒ z = ¯z.
4 z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2.
5 z1z2 = ¯z1 ¯z2 y z1/z2 = ¯z1/¯z2.
6 −z = −¯z y 1/z = 1/¯z.
Actividad
Demostrar las seis propiedades anteriores.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 23 / 73

128. Conjugado
Definici´on
Dado el complejo z = a + bi, definimos el conjugado de z como ¯z = a − bi.
Teorema (Propiedades)
1 z + ¯z = 2 Re(z) y z¯z = [Re(z)]2
+ [Im(z)]2
.
2 ¯¯z = z.
3 z ∈ C0 ⇐⇒ z = ¯z.
4 z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2.
5 z1z2 = ¯z1 ¯z2 y z1/z2 = ¯z1/¯z2.
6 −z = −¯z y 1/z = 1/¯z.
Actividad
Demostrar las seis propiedades anteriores.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 23 / 73

129. Conjugado
Definici´on
Dado el complejo z = a + bi, definimos el conjugado de z como ¯z = a − bi.
Teorema (Propiedades)
1 z + ¯z = 2 Re(z) y z¯z = [Re(z)]2
+ [Im(z)]2
.
2 ¯¯z = z.
3 z ∈ C0 ⇐⇒ z = ¯z.
4 z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2.
5 z1z2 = ¯z1 ¯z2 y z1/z2 = ¯z1/¯z2.
6 −z = −¯z y 1/z = 1/¯z.
Actividad
Demostrar las seis propiedades anteriores.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 23 / 73

130. Actividad
Para z ∈ C, demuestra que
Re(z) =
z + ¯z
2
e Im(z) =
z − ¯z
2i
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 24 / 73

131. M´odulo y argumento: idea intuitiva
El m´odulo de un n´umero complejo z = a + bi es la distancia plana del origen
0 = (0, 0) al afijo P de z, y se denota por |z| (es el “valor absoluto” de z). Por
otra parte, el argumento de z es la medida ϕ en sentido antihorario del ´angulo
x0P, donde x es el eje real.
Actividad
¿C´omo quedan expresados |z| y ϕ en t´erminos de a y b? ¿Y al rev´es?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 25 / 73

132. M´odulo y argumento: idea intuitiva
El m´odulo de un n´umero complejo z = a + bi es la distancia plana del origen
0 = (0, 0) al afijo P de z, y se denota por |z| (es el “valor absoluto” de z). Por
otra parte, el argumento de z es la medida ϕ en sentido antihorario del ´angulo
x0P, donde x es el eje real.
Actividad
¿C´omo quedan expresados |z| y ϕ en t´erminos de a y b? ¿Y al rev´es?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 25 / 73

133. M´odulo y argumento: idea intuitiva
El m´odulo de un n´umero complejo z = a + bi es la distancia plana del origen
0 = (0, 0) al afijo P de z, y se denota por |z| (es el “valor absoluto” de z). Por
otra parte, el argumento de z es la medida ϕ en sentido antihorario del ´angulo
x0P, donde x es el eje real.
Actividad
¿C´omo quedan expresados |z| y ϕ en t´erminos de a y b? ¿Y al rev´es?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 25 / 73

134. M´odulo y argumento: idea intuitiva
El m´odulo de un n´umero complejo z = a + bi es la distancia plana del origen
0 = (0, 0) al afijo P de z, y se denota por |z| (es el “valor absoluto” de z). Por
otra parte, el argumento de z es la medida ϕ en sentido antihorario del ´angulo
x0P, donde x es el eje real.
Actividad
¿C´omo quedan expresados |z| y ϕ en t´erminos de a y b? ¿Y al rev´es?
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 25 / 73

135. M´odulo y argumento
Definici´on
El m´odulo de un n´umero complejo z = a + bi es el n´umero real
|z| = a2 + b2.
El argumento de z es un n´umero arg(z) que cumple las siguientes condiciones:
a = |z| cos arg(z) y b = |z| sen arg(z).
Un argumento ϕ de z que adem´as cumpla con ϕ ∈ (−π, π] se denomina
argumento principal de z, y se denota por Arg(z).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 26 / 73

136. M´odulo y argumento
Definici´on
El m´odulo de un n´umero complejo z = a + bi es el n´umero real
|z| = a2 + b2.
El argumento de z es un n´umero arg(z) que cumple las siguientes condiciones:
a = |z| cos arg(z) y b = |z| sen arg(z).
Un argumento ϕ de z que adem´as cumpla con ϕ ∈ (−π, π] se denomina
argumento principal de z, y se denota por Arg(z).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 26 / 73

137. M´odulo y argumento
Definici´on
El m´odulo de un n´umero complejo z = a + bi es el n´umero real
|z| = a2 + b2.
El argumento de z es un n´umero arg(z) que cumple las siguientes condiciones:
a = |z| cos arg(z) y b = |z| sen arg(z).
Un argumento ϕ de z que adem´as cumpla con ϕ ∈ (−π, π] se denomina
argumento principal de z, y se denota por Arg(z).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 26 / 73

138. M´odulo y argumento
Definici´on
El m´odulo de un n´umero complejo z = a + bi es el n´umero real
|z| = a2 + b2.
El argumento de z es un n´umero arg(z) que cumple las siguientes condiciones:
a = |z| cos arg(z) y b = |z| sen arg(z).
Un argumento ϕ de z que adem´as cumpla con ϕ ∈ (−π, π] se denomina
argumento principal de z, y se denota por Arg(z).
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 26 / 73

139. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

140. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

141. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

142. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

143. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

144. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

145. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

146. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

147. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

148. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

149. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

150. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

151. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

152. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

153. Observaciones
Cada complejo z = 0 determina un´ıvocamente su argumento principal. En efecto;
sea C0,− = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Si z ∈ C0,− es trivial. Si z /∈ C0,−, empleamos que Im(z)2
= |z|
2
− Re(z)2
y
ciertas identidades trigonom´etricas de la siguiente forma:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2 |z| [|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 27 / 73

154. Observaciones (2)
El hecho de que Arg(z) ∈ (−π, π] proviene de que −π/2 < arctan ϕ < π/2 para
todo ϕ ∈ R y de la definici´on anterior del argumento principal.
De las identidades sen ϕ = sen(ϕ + 2kπ) y cos ϕ = cos(ϕ + 2kπ) con k ∈ Z
tenemos que si ϕ = arg(z), todo argumento ψ de z tambi´en tiene la forma
ψ = ϕ + 2kπ (k ∈ Z).
Todo n´umero ϕ ∈ (−π, π] es el argumento principal de z = 0.
Una alternativa m´as pr´actica para el argumento de z = a + bi es la siguiente:
arg(z) =



arctan(b/a) − π si b < 0 ∧ a < 0
−π/2 si b < 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) si a > 0
π/2 si b > 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) + π si b ≥ 0 ∧ a < 0
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 28 / 73

155. Observaciones (2)
El hecho de que Arg(z) ∈ (−π, π] proviene de que −π/2 < arctan ϕ < π/2 para
todo ϕ ∈ R y de la definici´on anterior del argumento principal.
De las identidades sen ϕ = sen(ϕ + 2kπ) y cos ϕ = cos(ϕ + 2kπ) con k ∈ Z
tenemos que si ϕ = arg(z), todo argumento ψ de z tambi´en tiene la forma
ψ = ϕ + 2kπ (k ∈ Z).
Todo n´umero ϕ ∈ (−π, π] es el argumento principal de z = 0.
Una alternativa m´as pr´actica para el argumento de z = a + bi es la siguiente:
arg(z) =



arctan(b/a) − π si b < 0 ∧ a < 0
−π/2 si b < 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) si a > 0
π/2 si b > 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) + π si b ≥ 0 ∧ a < 0
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 28 / 73

156. Observaciones (2)
El hecho de que Arg(z) ∈ (−π, π] proviene de que −π/2 < arctan ϕ < π/2 para
todo ϕ ∈ R y de la definici´on anterior del argumento principal.
De las identidades sen ϕ = sen(ϕ + 2kπ) y cos ϕ = cos(ϕ + 2kπ) con k ∈ Z
tenemos que si ϕ = arg(z), todo argumento ψ de z tambi´en tiene la forma
ψ = ϕ + 2kπ (k ∈ Z).
Todo n´umero ϕ ∈ (−π, π] es el argumento principal de z = 0.
Una alternativa m´as pr´actica para el argumento de z = a + bi es la siguiente:
arg(z) =



arctan(b/a) − π si b < 0 ∧ a < 0
−π/2 si b < 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) si a > 0
π/2 si b > 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) + π si b ≥ 0 ∧ a < 0
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 28 / 73

157. Observaciones (2)
El hecho de que Arg(z) ∈ (−π, π] proviene de que −π/2 < arctan ϕ < π/2 para
todo ϕ ∈ R y de la definici´on anterior del argumento principal.
De las identidades sen ϕ = sen(ϕ + 2kπ) y cos ϕ = cos(ϕ + 2kπ) con k ∈ Z
tenemos que si ϕ = arg(z), todo argumento ψ de z tambi´en tiene la forma
ψ = ϕ + 2kπ (k ∈ Z).
Todo n´umero ϕ ∈ (−π, π] es el argumento principal de z = 0.
Una alternativa m´as pr´actica para el argumento de z = a + bi es la siguiente:
arg(z) =



arctan(b/a) − π si b < 0 ∧ a < 0
−π/2 si b < 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) si a > 0
π/2 si b > 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) + π si b ≥ 0 ∧ a < 0
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 28 / 73

158. Observaciones (2)
El hecho de que Arg(z) ∈ (−π, π] proviene de que −π/2 < arctan ϕ < π/2 para
todo ϕ ∈ R y de la definici´on anterior del argumento principal.
De las identidades sen ϕ = sen(ϕ + 2kπ) y cos ϕ = cos(ϕ + 2kπ) con k ∈ Z
tenemos que si ϕ = arg(z), todo argumento ψ de z tambi´en tiene la forma
ψ = ϕ + 2kπ (k ∈ Z).
Todo n´umero ϕ ∈ (−π, π] es el argumento principal de z = 0.
Una alternativa m´as pr´actica para el argumento de z = a + bi es la siguiente:
arg(z) =



arctan(b/a) − π si b < 0 ∧ a < 0
−π/2 si b < 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) si a > 0
π/2 si b > 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) + π si b ≥ 0 ∧ a < 0
.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 28 / 73

159. Propiedades del m´odulo
Teorema (Propiedades)
1 |z| ≥ 0 ∀z ∈ C.
2 |z| = 0 sii z = 0.
3 |z| = |¯z|.
4 |z1z2| = |z1| |z2|; |z1/z2| = |z1| / |z2|.
5 |z|
2
= z¯z
6 1/z = ¯z/ |z|
2
(z = 0).
7 |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
8 |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (desigualdad triangular).
9 |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 29 / 73

160. Propiedades del m´odulo
Teorema (Propiedades)
1 |z| ≥ 0 ∀z ∈ C.
2 |z| = 0 sii z = 0.
3 |z| = |¯z|.
4 |z1z2| = |z1| |z2|; |z1/z2| = |z1| / |z2|.
5 |z|
2
= z¯z
6 1/z = ¯z/ |z|
2
(z = 0).
7 |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
8 |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (desigualdad triangular).
9 |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 29 / 73

161. Propiedades del m´odulo
Teorema (Propiedades)
1 |z| ≥ 0 ∀z ∈ C.
2 |z| = 0 sii z = 0.
3 |z| = |¯z|.
4 |z1z2| = |z1| |z2|; |z1/z2| = |z1| / |z2|.
5 |z|
2
= z¯z
6 1/z = ¯z/ |z|
2
(z = 0).
7 |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
8 |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (desigualdad triangular).
9 |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 29 / 73

162. Propiedades del m´odulo
Teorema (Propiedades)
1 |z| ≥ 0 ∀z ∈ C.
2 |z| = 0 sii z = 0.
3 |z| = |¯z|.
4 |z1z2| = |z1| |z2|; |z1/z2| = |z1| / |z2|.
5 |z|
2
= z¯z
6 1/z = ¯z/ |z|
2
(z = 0).
7 |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
8 |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (desigualdad triangular).
9 |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
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163. Propiedades del m´odulo
Teorema (Propiedades)
1 |z| ≥ 0 ∀z ∈ C.
2 |z| = 0 sii z = 0.
3 |z| = |¯z|.
4 |z1z2| = |z1| |z2|; |z1/z2| = |z1| / |z2|.
5 |z|
2
= z¯z
6 1/z = ¯z/ |z|
2
(z = 0).
7 |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
8 |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (desigualdad triangular).
9 |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
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164. Propiedades del m´odulo
Teorema (Propiedades)
1 |z| ≥ 0 ∀z ∈ C.
2 |z| = 0 sii z = 0.
3 |z| = |¯z|.
4 |z1z2| = |z1| |z2|; |z1/z2| = |z1| / |z2|.
5 |z|
2
= z¯z
6 1/z = ¯z/ |z|
2
(z = 0).
7 |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
8 |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (desigualdad triangular).
9 |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 29 / 73

165. Propiedades del m´odulo
Teorema (Propiedades)
1 |z| ≥ 0 ∀z ∈ C.
2 |z| = 0 sii z = 0.
3 |z| = |¯z|.
4 |z1z2| = |z1| |z2|; |z1/z2| = |z1| / |z2|.
5 |z|
2
= z¯z
6 1/z = ¯z/ |z|
2
(z = 0).
7 |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
8 |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (desigualdad triangular).
9 |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 29 / 73

166. Propiedades del m´odulo
Teorema (Propiedades)
1 |z| ≥ 0 ∀z ∈ C.
2 |z| = 0 sii z = 0.
3 |z| = |¯z|.
4 |z1z2| = |z1| |z2|; |z1/z2| = |z1| / |z2|.
5 |z|
2
= z¯z
6 1/z = ¯z/ |z|
2
(z = 0).
7 |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
8 |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (desigualdad triangular).
9 |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 29 / 73

167. Propiedades del m´odulo
Teorema (Propiedades)
1 |z| ≥ 0 ∀z ∈ C.
2 |z| = 0 sii z = 0.
3 |z| = |¯z|.
4 |z1z2| = |z1| |z2|; |z1/z2| = |z1| / |z2|.
5 |z|
2
= z¯z
6 1/z = ¯z/ |z|
2
(z = 0).
7 |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
8 |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (desigualdad triangular).
9 |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
Guillermo Barcelona (CFE - IFD Tb´o.) N´umeros complejos Verano de 2015 29 / 73