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Plano Numérico
María José Falcón Mendoza
29913094
Administración 0104
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco – Barquisimeto
Plano Numérico
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos
rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un
punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el
plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas
como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman
parte de la geometría analítica.
Distancia entre dos puntos
Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano Numérico se usa como un sistema de referencia para
localizar puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de
la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
abscisas (x 2 – x 1 ) .
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P 1 (7, 5) y P 2 (4, 1)
Calculamos:
Punto medio
Punto medio en matemáticas, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos
puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemáticas, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el
punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última
condición, pertenece a la mediatriz del segmento
Ecuaciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Intersecciones con el eje X
Para determinar el (o los) punto(s), en caso que exista(n), donde el gráfico de una ecuación
intersecta al eje X, se sustituye en la ecuación y por 0 y se despeja la variable x.
Intersecciones con el eje Y
Para determinar el (o los) punto(s), en caso que exista(n), donde el gráfico de una ecuación
intersecta al eje Y , se sustituye en la ecuación x por 0 y se despeja la variable y.
• Así por ejemplo, la ecuación y = x 2 − 4 intersecta al eje X en los puntos (−2, 0) y (2, 0), y al eje y
en el punto (0, −4). Esta situación se muestra en el siguiente gráfico:
Intersecciones con los ejes coordenados de la ecuación
Y = x2 − 4
Parábola
Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras geométricas basadas en ecuaciones y coordenadas definidas sobre un Plano
Cartesiano , pues bien, una parábola es una forma geométrica.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación , cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su
descripción, y son:
• Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría ).
• Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice.
• Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a
una distancia p del vértice.
• Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
• Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco , así como entre vértice y directriz (ambas distancias
son iguales).
• Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
• Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco.
• Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:
Elipses
Se llama elipse al lugar geométrico de un plano, cuya suma de distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante
Según la definición , si Fy F’ son los puntos fijos en el plano , llamados focos de la elipse , y P es un
punto cualquiera de la elipse , la suma de las distancias PF’y Pf es constante, Si designamos por 2ª
a la cantidad constante , es decir : PF’ +PF =2ª Con a > O la recta que une los focos es el eje de
simetría de la elipse. Si P’ es el simétrico de P respecto a la recta FF’ , este será la mediatriz del
segmento pp’ y se verifican las siguientes igualdades. P’F’= PF’ Y P’F de donde P’F’= P’f=2a
Hipérbola
Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la
diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre
constante.
Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus focos F y F'.
Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia entre cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante.
Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que:
|d(P
,F)−d(P
,F')|=2⋅a
Donde d(P
,F) y d(P
,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante
Bibliografía
• https://www.significados.com/plano-
cartesiano/#:~:text=Se%20conoce%20como%20plano%20cartesiano,llamado%20origen
%20o%20punto%20cero.
• https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_medio#:~:text=Punto%20medio%20en%20matem%C3%A1t
ica%2C%20es,%2C%20segmentos%2C%20rectas%2C%20etc.
• http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/geometr0.htm
• https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-hiperbola-
general#:~:text=Una%20hiperbola%20se%20define%20como,F'%2C%20es%20siempre%20consta
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  • 1. Plano Numérico María José Falcón Mendoza 29913094 Administración 0104 Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco – Barquisimeto
  • 2. Plano Numérico Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
  • 3. Distancia entre dos puntos Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano Numérico se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano. Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x 2 – x 1 ) . Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos P 1 (7, 5) y P 2 (4, 1) Calculamos:
  • 4. Punto medio Punto medio en matemáticas, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemáticas, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento
  • 5. Ecuaciones Intersecciones con los ejes coordenados Intersecciones con el eje X Para determinar el (o los) punto(s), en caso que exista(n), donde el gráfico de una ecuación intersecta al eje X, se sustituye en la ecuación y por 0 y se despeja la variable x. Intersecciones con el eje Y Para determinar el (o los) punto(s), en caso que exista(n), donde el gráfico de una ecuación intersecta al eje Y , se sustituye en la ecuación x por 0 y se despeja la variable y. • Así por ejemplo, la ecuación y = x 2 − 4 intersecta al eje X en los puntos (−2, 0) y (2, 0), y al eje y en el punto (0, −4). Esta situación se muestra en el siguiente gráfico: Intersecciones con los ejes coordenados de la ecuación Y = x2 − 4
  • 6. Parábola Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras geométricas basadas en ecuaciones y coordenadas definidas sobre un Plano Cartesiano , pues bien, una parábola es una forma geométrica. Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación , cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son: • Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría ). • Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice. • Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice. • Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola. • Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco , así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales). • Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola. • Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco. • Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal. Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:
  • 7. Elipses Se llama elipse al lugar geométrico de un plano, cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante Según la definición , si Fy F’ son los puntos fijos en el plano , llamados focos de la elipse , y P es un punto cualquiera de la elipse , la suma de las distancias PF’y Pf es constante, Si designamos por 2ª a la cantidad constante , es decir : PF’ +PF =2ª Con a > O la recta que une los focos es el eje de simetría de la elipse. Si P’ es el simétrico de P respecto a la recta FF’ , este será la mediatriz del segmento pp’ y se verifican las siguientes igualdades. P’F’= PF’ Y P’F de donde P’F’= P’f=2a
  • 8. Hipérbola Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre constante. Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus focos F y F'. Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia entre cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante. Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que: |d(P ,F)−d(P ,F')|=2⋅a Donde d(P ,F) y d(P ,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante
  • 9. Bibliografía • https://www.significados.com/plano- cartesiano/#:~:text=Se%20conoce%20como%20plano%20cartesiano,llamado%20origen %20o%20punto%20cero. • https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_medio#:~:text=Punto%20medio%20en%20matem%C3%A1t ica%2C%20es,%2C%20segmentos%2C%20rectas%2C%20etc. • http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/geometr0.htm • https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-hiperbola- general#:~:text=Una%20hiperbola%20se%20define%20como,F'%2C%20es%20siempre%20consta nte.&text=Las%20l%C3%ADnea