El documento presenta la solución de 14 proyectos que involucran la resolución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización y el uso de la fórmula general. También incluye hallar la suma y producto de las raíces sin resolver la ecuación.

1. MATEMATICA
PRACTICA DIRIGIDA (PRÁCTICA CALIFICADA Nº 20 DEL AÑO PASADO)
IIº AÑO DE SECUNDARIA “…..” __________________________________
IV BIMESTRE FIRMA DEL PADRE O APODERADO
13 DE NOVIEMBRE DE 2017 NOMBRE: ………………..………………………………
Sin libros ni apuntes
NOTA: Deberás escribir las respuestas con lapicero
Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones
PROYECTO Nº 1. 2
6 8 0x x  
Solución
  
 
2
6 8 0
4
2
4 2 0
. 2,4
x x
x
x
x x
C S
  


   

PROYECTO Nº 2. 2
9 20 0x x  
Solución
  
 
2
9 20 0
4
5
4 5 0
. 4,5
x x
x
x
x x
C S
  


   

PROYECTO Nº 3. 2
5 24 0x x  
Solución
  
 
2
5 24 0
8
3
8 3 0
. 3,8
x x
x
x
x x
C S
  


   
 
PROYECTO Nº 4. 2
4 4 24 0x x  
Solución
  
 
2
6 0
3
2
3 2 0
. 2,3
x x
x
x
x x
C S
  


   
 

2. Resuelve las siguientes ecuaciones empleando la fórmula general
PROYECTO Nº 5. 2
3 12 0x  
Solución
  
 
  
 
2
2
3
0
12
4
2
0 0 4 3 12
2 3
12 12
6
12
2
6
. 2,2
a
b
c
b b ac
x
a
C S


 
  

   




  
 
PROYECTO Nº 6.   2
3 1 2 4x x x  
Solución
 
      
 
 
2
2 2
2
2
2
1
2
3 1 2 4
3 3 2 4
3 4 0
1
3
4
4
2
3 3 4 1 4
2 1
3 9 16
2
3 25
2
3 5
1
3 5 2
3 52
4
2
. 1,4
x x x
x x x
x x
a
b
c
b b ac
x
a
x
x
C S
  
  
  

 
 
  

     

 




   
  
  

 

3. PROYECTO Nº 7.
1 1 1
2 4x x
 

Solución
 
 
 
   
      
 
 
2
2
2
1
2
1 1 1
2 4
2 1
2 4
2 1
2 4
4 2 2
0 2 8
1
2
8
4
2
2 2 4 1 8
2 1
2 4 32
2
2 36
2
2 6
2
2 6 2
2 62
4
2
. 2,4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
a
b
c
b b ac
x
a
x
x
C S
 

 


 


 
  

 
 
  

     

 




   
  
  

 
PROYECTO Nº 8.  
2
2 2 6x x   
Solución
 
      
 
 
2
2
2
2
2
1
2
2 2 6
0 4 4 6 2
0 3 4
1
3
4
4
2
3 3 4 1 4
2 1
3 9 16
2
3 25
2
3 5
4
3 5 2
3 52
1
2
. 4,1
x x
x x x
x x
a
b
c
b b ac
x
a
x
x
C S
   
     
  


 
  

   

  

 

 
    
  
   

 

4. PROYECTO Nº 9.
8 24
2
8 4
x
x x

 
 
Solución
 
    
      
 
 
2
2
2
2
1
2
8 24
2
8 4
8 2 8 24
8 4
4 24 24 8
24 96 4 24 192
0 4 96
1
4
96
4
2
4 4 4 1 96
2 1
4 16 384
2
4 400
2
4 20
12
4 20 2
4 202
8
2
. 8,12
x
x x
x x
x x
x x x
x x x x
x x
a
b
c
b b ac
x
a
x
x
C S

 
 
  

 
   
    
  

 
 
  

     

 




  
  
   

 
PROYECTO Nº 10.
3 1
2
2 1 1
x x
x x x

  
  
Solución
  
   
3 1
2
2 1 1
3 1 2
2 1
x x
x x x
x x x
x x

  
  
   
 
 2 1
1
x x
x
 


  2
2 2
2
3 3 2 2 3 2
5 1 3 4 4
0 2 9 5
2
9
5
x x x x x x
x x x x
x x
a
b
c
       
    
  

 
 

5.       
 
2
2
1
2
4
2
9 9 4 2 5
2 2
9 81 40
4
9 121
4
9 11
5
9 11 4
9 11 14
4 2
1
. ,5
2
b b ac
x
a
x
x
C S
  

     

 




  
  
   

 
  
 
Halla sin resolver, la suma S y el producto P de las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas
PROYECTO Nº 11.   2 2
1 5x x x x   
Solución
  2 2
2
2
1 5
5
5 0
1; 1; 5
1
5
x x x x
x x
x x
a b c
b
S
a
c
P
a
   
 
  
   
   
  
PROYECTO Nº 12.    
2 2
2 1 1x x x    
Solución
   
2 2
2 2
2
2 1 1
4 4 2 1 1
2 5 4 0
2; 5; 4
5
2
2
x x x
x x x x x
x x
a b c
b
S
a
c
P
a
    
      
  
  
   
 

6. PROYECTO Nº 13.  16 8 4 4x x  
Solución
 
2
2
2
16 8 4 4
16 8 32 4
8 32 12 0
2 8 3 0
2; 8; 3
8
4
2
3
2
x x
x x
x x
x x
a b c
b
S
a
c
P
a
  
  
  
  
    

    

 
PROYECTO Nº 14. 2
3 3 2 0y y  
Solución
2
3 3 2 0
3; 3; 2
3
1
3
2
3
y y
a b c
b
S
a
c
P
a
  
   

    
 
PROYECTO Nº 15. 2
2 3 0x x   
Solución
2
2 3 0
1; 2; 3
2
2
1
3
3
1
x x
a b c
b
S
a
c
P
a
   
    
    


  

PROYECTO Nº 16. 2
4 21 5 0x x  
Solución
2
4 21 5 0
4; 21; 5
21 21
4 4
5
4
x x
a b c
b
S
a
c
P
a
  
   

    
 

7. Analiza las raíces de una ecuación cuadrática y escribe su respectiva ecuación
PROYECTO Nº 17. 1 25 ; 2x x  
Solución
 
1 2
2
5 ; 2
5 2 3
5 2 10
:
3 10 0
x x
S
P
Eq
x x
  
   
   
  
PROYECTO Nº 18. 1 2
1 1
;
2 3
x x 
Solución
1 2
2
2
1 1
;
2 3
1 1 5
2 3 6
1 1 1
2 3 6
:
5 1
0
6 6
6 5 1 0
x x
S
P
Eq
x x
x x
 
  
 
  
 
  
  
PROYECTO Nº 19. 1 2
2 1
;
3 2
x x  
Solución
1 2
2
2
2 1
;
3 2
2 1 1
3 2 6
2 1 1
3 2 3
:
1 1
0
6 3
6 2 0
x x
S
P
Eq
x x
x x
  
  
 
    
 
  
  

8. PROYECTO Nº 20. 1 23 2 ; 3 2x x   
Solución
   
   
1 2
2
3 2 ; 3 2
3 2 3 2 6
3 2 3 2 9 2 7
:
6 7 0
x x
S
P
Eq
x x
   
    
      
  
PROYECTO Nº 21. 1 2
3 3 3 3
;
2 2
x x
 
 
Solución
1 2
2
3 3 3 3
;
2 2
3 3 3 3
3
2 2
3 3 3 3 9 3
3
2 2 2
:
3 3 0
x x
S
P
Eq
x x
 
 
    
        
   
    
      
  
  
PROYECTO Nº 22. 1 2;x a b x a b   
Solución
   
  
 
1 2
2 2
2 2 2
;
2
:
2 0
x a b x a b
S a b a b a
P a b a b a b
Eq
x ax a b
   
    
    
   

9. PROYECTO Nº 23. Se tienen tres números naturales consecutivos. Si el cuadrado del número mayor es
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, ¿cuál es la suma de dichos números?
Solución
Sean 1,x x y 1x  los números. Del enunciado,
   
 
 
2 2 2
2 2 2
2
1 1
2 1 2 1
0 4
0 4
.S 0,4
x x x
x x x x x
x x
x x
C
   
     
 
 

De estos dos valores, como los números son naturales, escogemos 4x  . La suma es 3x , es decir, 12.
PROYECTO Nº 24. Un caño A puede llenar una piscina en 15 horas y otro caño B puede llenarla en 10
horas. Si se abren los dos caños a la vez, ¿en qué tiempo llenarán la piscina?
Solución
En una hora, trabajando solo, A llena 1/15 del total
En una hora, trabajando solo, B llena 1/10 del total.
Trabajando juntos, en 1 hora A y B llenan
1 1 2 3 1
15 10 30 6

   del total. Por lo tanto, ambos lo llenarán en 6
horas.
PROYECTO Nº 25. La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es igual a 10 veces
el mayor. ¿Cuál es el número mayor?
Solución
Sean 1,x x y 1x  los números. Del enunciado,
     
  
2 22
2
2
1 1 10 1
3 2 10 10
3 10 8 0
3 2 4 0
x x x x
x x
x x
x x
     
  
  
  
De estos dos valores, como los números son naturales, escogemos 4x  . El número mayor es 1x  , es decir,
5.

10. PROYECTO Nº 26. Un grupo de monos está dividido en bandos; la octava parte de ellos al cuadrado
descansan en el bosque, mientras que los otros doce juegan en el campo. La mayor cantidad de monos
que podemos tener es:
Solución
Sea 8x k la cantidad de monos. Del enunciado,
  
2
2
8 12
0 8 12
0 6 2
k k
k k
k k
 
  
  
Como se pide la mayor cantidad,  6 8 6 48k x    monos
PROYECTO Nº 27. Un caño B demora 7 minutos más que un caño A en llenar un estanque. Si los dos
juntos demoran 12 minutos en llenar el estanque, ¿qué tiempo demorará el caño B en llenarlo solo?
Solución
Sea t el tiempo (en minutos) que demora el caño A en llenar el estanque el solo. Entonces B demora 7t  .
En 1 minuto, A y B, trabajando separadamente, llenan
1
t
y
1
7t 
del total, respectivamente.
Juntos, en 1 minuto llenarán
   
1 1 7 2 7
7 7 7
t t t
t t t t t t
  
  
  
del total. Luego, lo llenarán ambos trabajando juntos
en
 7
2 7
t t
t


. Del enunciado,
 
  
2
2
7
12
2 7
7 24 84
17 84 0
4 21 0
t t
t
t t t
t t
t t



  
  
  
Luego, B demora 7 21 7 28t     minutos.
PROYECTO Nº 28. Tengo 10 caramelos y le aumento el cuadrado del número de chocolates que tiene
mi hermano, consiguiendo así un total de no menos de 26 golosinas. ¿Cuántos chocolates como mínimo
tiene mi hermana?
Solución
Sea x el número de golosinas. Del enunciado, 2 2
10 26 16x x    .
Como x es un número entero, 4x 