El documento presenta el principio de incertidumbre de Heisenberg, el cual establece que es imposible medir simultáneamente con precisión absoluta la posición y cantidad de movimiento de una partícula. A continuación, se propone un ejercicio para verificar este principio utilizando dos funciones de onda. La solución muestra los cálculos para determinar la indeterminación de la posición y cantidad de movimiento y comprobar que su producto es mayor o igual a la constante de Planck dividida en dos.

1. Universidad Tecnológica de Pereira, Ingeniera Física, ISSN 0122-1701, 1
MECÁNICA CUÁNTICA
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
HEISENBERG UNCERTAINTY PRINCIPLE
Autor: Dayan Steban Giraldo Santamaria1
dayangiraldo-1995@utp.edu.co1
Ingeniería Física, Universidad Tecnológica De Pereira, Colombia
W. Heisenberg ( Premio Nobel de Física 1932) enunció
el llamado principio de incertidumbre o principio de
indeterminación, según el cual es imposible medir si-
multáneamente, y con precisión absoluta, el valor de la
posición y la cantidad de movimiento de una partícula.
Esto significa, que la precisión con que se pueden medir
las cosas es limitada, y el límite viene fijado por la con-
stante de Planck.
∆x.∆px ≥
2
Donde ∆x es la indeterminación de la posición que viene
dada por:
∆x
2
=< x2
> − < x >2
< x >=
∞
−∞
Ψ∗
(x) x Ψ(x) dx
< x2
>=
∞
−∞
Ψ∗
(x) x2
Ψ(x) dx
Donde ∆px es la indeterminación del momentum en el
eje x que viene dada por:
∆px
2
=< p2
x > − < px >2
< px >=
∞
−∞
Ψ∗
(x) p Ψ(x) dx
< p2
x >=
∞
−∞
Ψ∗
(x) p2
Ψ(x) dx
Donde p es un operador que se expresa:
p = −i (
∂
∂x
)
EJERCICIO:
se tiene la siguiente función:
(1)
Ψ(x) =
2α αe−αx
x > 0
0 x < 0
(2)
Ψ(x) =
2α αxe−αx
x > 0
0 x < 0
a) para que valor de x |Ψ(x)|2
presenta un pico.
b) calcular < x > < x2
> < px > < p2
x >.
c) verificar el principio de incertidumbre.
SOLUCIÓN:
(1)
se puede encontrar el valor de α debido a que la función
Ψ(x) esta normalizada:
P(x) =
∞
0
Ψ∗
(x)Ψ(x)dx = 1
P(x) = (−4α3
2α )e−2αx ∞
0
= 1
2α2
= 1
α = 2
2
a) para los picos de la función:
|Ψ(x)|2
= 2e− 2x
∂|Ψ(x)|2
∂x = 0
e− 2x
= 0
Recurriendo a la siguiente identidad:
e− 2x
= senh( 2x)−cosh( 2x)
Se debe resolver la siguiente ecuación:
senh( 2x)−cosh( 2x) = 0
tanh( 2x)−1 = 0
x = 1
2
tanh−1
(1)
Como tanh−1
(1) es indeterminado → ∞ Entonces la fun-
ción |Ψ(x)|2
no contiene picos en el dominio en el eje x.
b) se realizan los cálculos matemáticos para encontrar la
indeterminación del moméntum y la posición:
< x >=
∞
0
x(2α
3
2 e−αx
)2
dx
< x >= 4α3
∞
0
xe−2αx
dx
< x >= 4α3
(−2αxe−2αx
−4α2
e−2αx
)
∞
0
< x >= 4α3
(
1
4α2
)
< x >= α

2. Universidad Tecnológica de Pereira, Ingeniera Física, ISSN 0122-1701, 2
< x2
>=
∞
0
x2
(2α
3
2 e−αx
dx)2
< x2
>= 4α3
(x2e−2αx
.−2α − xe−2αx
2α2 − e−2αx
4α3 )
∞
0
< x2
>= 4α3
( 1
4α3 )
< x2
>= 1
∆x
2
=< x2
> − < x >2
∆x
2
= 1−α2
∆x
2
= 1
2
∆x = 1
2
< px >= 4α3
(−i )
∞
0
e−αx ∂(e−αx )
∂x dx
< px >= 4α4
(i )(e−αx
−2α )
∞
0
< px >= 2α3
(i )
< p2
x >= 4α3 2
∞
0
e−αx ∂(−αe−αx )
∂x dx
< p2
x >= 4α5 2
(e−2αx
−2α )
∞
0
< p2
x >= 2α4 2
∆px
2
=< p2
x > − < px >2
∆px
2
= 2α4 2
+4α6 2
∆px
2
= 2 2
(1
4 +2(1
8 ))
∆px
2
= 2
∆px =
c) se verifica el principio de heisenberg:
∆x.∆px ≥ 2
( 1
2
)( ) ≥ 2
1
2
≥ 1
2
0.71 ≥ 0.50
(2)
a) los picos de esta función son indeterminados igual-
mente que el punto 1.a debido a que la función sigue
siendo exponencial.
b)
< x >= 4α3
∞
0
x3
e−2αx
dx
< x >= 4α3
= (−6e−2αx
16α4 )
∞
0
< x >= 3
2α
< x2
>= 4α3
∞
0
x4
e−2αx
dx
< x2
>= 4α3
= (−24e−2αx
32α5 )
∞
0
< x2
>= 3
2α2
∆x
2
=< x2
> − < x >2
∆x
2
= 3
2α2 −( 3
2α )2
∆x = 3
2α
< px >= 4α3
(−i )
∞
0
xe−αx ∂(xe−αx )
∂x dx
< px >= 4α3
(−i )
∞
0
xe−2αx
−αx2
e−2αx
dx
< px >= 4α3
(−i ) e−2αx
4α2 − e−2αx
4α2
∞
0
< px >= 0
< p2
x >= 4α3 2
∞
0
xe−αx ∂(e−αx −αxe−αx )
∂x dx
< p2
x >= 4α3 2
∞
0
α2
x2
e−2αx
−2αxe−2αx
dx
< p2
x >= 4α3 2 e−2αx
2α − e−2αx
4α
∞
0
< p2
x >= α2 2
∆px
2
=< p2
x > − < px >2
∆px = α
∆x.∆px ≥ 2
( 3
2α )(α ) ≥ 2
3
2 ≥ 1
2
0.87 ≥ 0.50