Sistemas de segundo orden

1. UPEMOR – Electrónica y Telecomunicaciones
– IET 6° A
Ep16. Reporte de investigación 6
Ingenieríade control – Dr. Cornelio MoralesMorales
Fermin Alejandro Flores Reyes – FRFO131254
27/05/2015

2. 1
Objetivo.
Investigar los sistemas de segundo orden y sus propiedades, para su
entendimiento y su aplicación.
Introducción.
Un sistema de segundo orden es aquel cuya salida y(t) puede ser descrita por una
ecuación diferencial de segundo orden:
2
2 1 02
( )
d y dy
a a a y bf t
dt dt
  
Si 0 0 :a 
2
2
2
2 ( )p
d y dy
y K f t
dt dt
   
Donde 2 2 1
,2
0 0
a a
a a
   y
0
p
b
K
a
 . Las nuevas constantes son:
  es la constante de tiempo (o periodo natural del sistema)
  es el coeficiente (o factor) de amortiguamiento
 pK es la ganancia del proceso, tiene el mismo significado que para los
sistemas de primer orden
Los sistemas de segundo orden se pueden clasificar en tres categorías:
1. Procesos consistentes en dos o más procesos de primer orden, en serie o
en paralelo, por los que fluye materia o energía.
2. Sistemas inherentes de segundo orden. No son frecuentes en la industria,
algunos ejemplos son los manómetros o las válvulas neumáticas.
3. Un proceso con su controlador presenta una dinámica de segundo orden o
de orden superior.
Marco teórico.
Sistema lineal de segundo orden.
Un sistema de segundo orden es aquel cuya salida y(t) puede ser descrita por una
ecuación diferencial de segundo orden:
2
2 1 02
( )
d y dy
a a a y bf t
dt dt
  
Si a≠0:

3. 2
2
2
2
2 ( )p
d y dy
y k f t
dt dt
   
Donde:
2 2 1
0 0 0
,2 , p
a a b
k
a a a
   
Las nuevas constantes son:
  es la constante de tiempo o periodo natural del sistema.
  coeficiente de amortiguamiento.
 pk es la ganancia del proceso, tiene el mismo significado que para los
sistemas de primer orden.
Tomando variables de desviación y condiciones iniciales iguales a cero, la función
de transferencia queda como:
2 2
( )
2 1
pk
G s
s s 

 
Los sistemas de segundo orden se pueden clasificar en tres categorías:
1. Procesos consistentes en dos o más procesos de primer orden, en serie o en
paralelo, por los que fluye materia o energía.
2. Sistemas inherentes de segundo orden. No son frecuentes en la industria,
algunos ejemplos son los manómetros o las válvulas neumáticas.
3. Un proceso con su controlador presenta una dinámica de segundo orden o de
orden superior.
Propiedades.
Respuesta a una entrada en escalón
La salida de un sistema de segundo orden a una entrada de tipo escalón es:
Para poder descomponer la respuesta en fracciones simples y poder obtener la
respuesta en tiempo real hay que hallar las raíces del denominador:

4. 3
En función del valor del coeficiente de amortiguamiento se pueden plantear tres
casos.
Respuesta Sobre amortiguada
Es la respuesta obtenida cuando 1  , las dos soluciones son reales. La salida
con el tiempo es:
En este caso la respuesta no presenta oscilaciones. Cuanto mayor es el
coeficiente de amortiguamiento más amortiguada es la respuesta, el sistema
necesita más tiempo para alcanzar el nuevo estado estacionario. La ganancia Kp
tiene el mismo sentido físico que para los sistemas de primer orden.
Respuesta críticamente amortiguada
Cuando solo hay una solución real (repetida), 1: 
Respuesta Subamortiguada
Se obtiene cuando las soluciones son complejas (conjugadas, obviamente), para
que eso produzca 1  . La función respuesta obtenida es:

5. 4
Ilustración 1: Respuesta de diferentes sistemas de segundo orden a un
escalón unidad según su coeficiente de amortiguamiento.
La respuesta es oscilatoria y se pueden definir los siguientes parámetros
característicos:
 Overshoot (disparo):
El overshoot aumenta al disminuir el coeficiente de amortiguamiento. Para
el caso límite de que el coeficiente de amortiguamiento tienda a 1, el
overshoot también tiende a 1.
 Razón de disminución (decay ratio):
 Periodo de oscilación:
Si 0, 2T   es el periodo natural de oscilación.
 Tiempo de respuesta (response time): Un sistema subamortiguado alcanza
su valor estacionario de manera oscilatoria cuando el tiempo se hace
infinito. A efectos prácticos se toma como tiempo de respuesta el necesario
para que la salida del sistema esté dentro del ± 5% de la respuesta
estacionaria y permanezca en ese intervalo

6. 5
 Rise time: De esta manera se caracteriza la velocidad con la que responde
el sistema subamortiguado. Se define como el tiempo que tarda el sistema
en alcanzar su valor estacionario por primera vez. Es importante resaltar
que cuanto menor es el coeficiente de amortiguamiento, menor es el rise
time pero mayor es el overshoot.
Linealización
Habitualmente solo se tratan de manera analítica sistemas lineales de hasta
segundo orden. Los sistemas lineales de órdenes superiores o no lineales se
acostumbran a estudiar recurriendo a la utilización de sistemas numéricos —como
es, por ejemplo, la resolución de ecuaciones diferenciales por el método de Euler
o de Runge-Kutta– o su simplificación a sistemas lineales mediante su
linealización
Ilustración 2: Representación gráfica de los parámetros que caracterizan la
respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado.

7. 6
La linealización de un proceso es aproximar sistemas lineales a sistemas no
lineales. Se utiliza ampliamente en el estudio de la dinámica de procesos y el
diseño de sistemas de control por las siguientes razones:
1. Es posible encontrar soluciones analíticas a los sistemas lineales. Además
se puede realizar estudios completos y generales del comportamiento de
los sistemas lineales independientemente de los valores particulares de los
parámetros y de las variables del sistema.
2. Todos los desarrollos significativos útiles, hasta hace unos pocos años,
para el desarrollo efectivo de sistemas de control se ha limitado a procesos
lineales.
Para llevar a cabo la linealización se recurre a desarrollos en serie de Taylor para
una o más variables.
Retrasos
Sea el siguiente proceso de primer orden con un retraso:
Ilustración 3: Diagrama de bloques de un proceso de primer orden con un
retraso igual a td
Para el sistema de primer orden:
Y para el retraso
Donde td es el retraso o tiempo muerto.
Por tanto el proceso puede representarse como:

8. 7
Ilustración 4: Diagrama de bloques de la figura anterior una vez realizadas
las transformadas de Laplace.
La función de transferencia global para el proceso de primer orden y el retraso
será:
El retraso se puede simplificar matemáticamente mediante la aproximación de
Padé, que no es más que el desarrollo en serie de Taylor:
Diagrama de flujo

9. 8
Conclusión
Con la investigación realizada nos damos cuenta el alcance que tienen los
sistemas de segundo orden, obteniendo un grado de complejidad mayor a los
anteriormente investigados y manejado, los sistemas de primer orden.
Bibliografía
[1] K. Ogata,Ingenieríade control moderna,PearsonEducación,2003.
[2] J. A.Sánchez,Control Avanzadoode Procesos:TeoríayPráctica, Díaz de Santos,2003.
[3] «GlosarioInstrumentaciónde mediciónycontrol,» [Enlínea]. Available:
http://glosarios.servidor-alicante.com/instrumentacion. [Últimoacceso:2015 Mayo 05].