Regla de simpson un tercio

1. Regla de Simpson 1/3
CLASE 13
19-JULIO-2014

2. Regla de Simpson 1/3
 La regla de Simpson 1/3 resulta cuando en la ecuación de la integral
 𝑓(x) es reemplazado por un polinomio de Newton-Gregory de segundo orden (parábola). En
este método se tienen tres puntos por cada parábola. Los limites de integración corresponden a
dos de los tres puntos que forman la parábola. El tercer punto es el valor medio de los limites de
integración. La figura 1 muestra la aproximación a la función 𝑓(𝑥) por medio de una parábola.
𝐼 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 … … … … … (1)

3. Regla de Simpson 1/3
𝑓(𝑥0)
𝑓(𝑥1)
𝑓(𝑥2)
𝑥0 𝑥1 𝑥2
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 Representación gráfica
De la regla de Simpson 1/3

4. Regla de Simpson 1/3
 Para obtener la formula de integración, se sustituye el polinomio de
Newton Gregory en diferencias progresivas de segundo orden y se realiza
la integración.
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥1
𝑥2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥1
𝑥2
𝑓(𝑥0) + 𝐾∆𝑓 𝑥0 +
𝐾2 − 𝐾
2
∆2
𝑓(𝑥0) 𝑑𝑥 … … (2)
=
0
2
ℎ 𝑓(𝑥0) + 𝐾∆𝑓 𝑥0 +
𝐾2
− 𝐾
2
∆2 𝑓(𝑥0) 𝑑𝐾 … … (3)

5. Regla de Simpson 1/3
= ℎ 𝐾𝑓 𝑥0 +
𝐾2
2
∆𝑓 𝑥0 +
𝐾3
6
−
𝐾2
4
∆2
𝑓 𝑥0
0
2
… … . (4)
= ℎ 2𝑓 𝑥0 + 2∆𝑓 𝑥0 +
1
3
∆2
𝑓 𝑥0 … … . (5)
= ℎ 2𝑓 𝑥0 + 2 𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0 +
1
3
𝑓 𝑥2 − 2𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥0 … … . (6)
= ℎ
6𝑓 𝑥0 + 6𝑓 𝑥1 − 6𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥2 − 2𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥0
3
… … . (7)

6. Regla de Simpson 1/3
𝑰 =
𝒉
𝟑
𝒇 𝒙 𝟎 + 𝟒𝒇 𝒙 𝟏 + 𝒇 𝒙 𝟐 … … . (𝟖)

7. Regla de Simpson 1/3
 Ejemplo 1
 Evalué la integral con el uso de la regla de Simpson 1/3 y compare el
resultado con el valor analítico.

0
𝜋
8 + 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 35.1328

8. Regla de Simpson 1/3
 Solución
 La integral analítica es:

0
𝜋
8 + 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 35.1328
 La solución numérica es:
 𝐼 = 𝑏 − 𝑎
𝑓 𝑥0 +4𝑓 𝑥1 +𝑓 𝑥2
3𝑛

9. Regla de Simpson 1/3
 Solución
 Recordemos que 𝑓 𝑥 = 8 + 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 , con 𝑛 = 2
 𝑓 𝑥0 = 𝑓 0 = 8
 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝜋/2 = 8 + 5 1 = 13
 𝑓 𝑥2 = 𝑓 𝜋 = 8

10. Regla de Simpson 1/3
 Solución
 𝐼 = 𝜋 − 0
8+4 13 +8
6
= 35.6048
 𝐸 𝑣 =
35.1328−35.6048
35.1328
100 = 1.3435%