Este documento contiene información sobre una clase de mecánica impartida por el Dr. Miguel Angel Del Valle Diego los martes y jueves de 11:00 a 13:00 hrs. Incluye videos sobre el centro de masa y actividades para que los estudiantes opinen sobre los videos. También cubre temas como momento de una fuerza, momento de torsión, condiciones de equilibrio y cálculo de momentos de fuerzas.

1. Mecánica.
Universidad Madero
Dr. Miguel Angel Del Valle Diego.
2013
Salón C 411 Martes de 11:00 a 13:00 hrs.
Salón C 410 Jueves de 11:00 a 13:00 hrs.

2. Video
Centro de masa.
http://www.youtube.com/watch?v=ouymky631ta
http://www.youtube.com/watch?v=RDQukP3H6p8

3. Actividad
De manera individual plantear en una hoja
escrita a mano una cuartilla completa, tu
opinión sobre los videos que acabas de
ver.
Tiempo : 15 minutos

4. Momento de una fuerza
o momento de torsión.

5. Momento de torsión.
• Momento de una fuerza, momento de torsión,
torque o torca.
• Capacidad que tiene una fuerza para hacer
girar un cuerpo
• Intensidad con que la fuerza, actuando sobre
un cuerpo tiende a comunicarle un
movimiento de rotación.

6. • M= Fr
• Donde:
• M= momento de una fuerza
• F= Valor de la fuerza aplicada
• r = brazo de la palanca

7. A Momento (-)
F = 20 N
M = Fr=(- 20N )* 5 m
= -100 Nm
5m
Momento (+)
A
M = Fr= 20N * 5 m
=100 Nm
F = 20 N
5m

8. A Momento (-)
F = 20 N
M = Fr= (-20N) *
2.5 m = -50 Nm
2.5 m
A
F = 20 N
M = Fr= (-20N) * 0
m=0
2.5 m

9. Consideraciones.
• Momento de una fuerza es positivo cuando su
tendencia es hacer girar a un cuerpo en sentido
contrario a las manecillas del reloj.
• Es negativo cuando la tendencia de la fuerza
aplicada es hacer girar al cuerpo en sentido de
las manecillas del reloj.

10. Momento de una fuerza.
• El momento de una fuerza es una magnitud
vectorial cuya dirección es perpendicular al
plano donde se realiza la rotación del cuerpo y
su sentido dependerá de cómo se realice ésta.
• Las unidades del momento de torsión son las
unidades de fuerza por distancia, por ejemplo
Newton-metro N.m (joule) y libra-pie (lb.ft).

11. • El momento de una fuerza cuando dicha
fuerza es aplicada a un objeto también puede
calcularse con la siguiente ecuación:
• M = F r sen . Ó τ = F r sen .
• Se utiliza el seno del ángulo, puesto que
la componente vertical de la fuerza (Fy) es la
componente por la cual el objeto tiende a
girar.

12. • Primera condición de equilibrio
(traslacional). Un cuerpo se encuentra en
equilibrio traslacional si y solo si la suma
vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es
igual a cero. ΣFx= 0 y ΣFy= 0.
• Segunda condición de equilibrio: para que un
cuerpo esté en equilibrio de rotación, la suma de
los momentos o torcas de las fuerzas que
actúan sobre él respecto a cualquier punto debe
ser igual a cero.
• ΣM = 0. ó Σ τ = 0.

13. • La línea de acción de una fuerza es una línea
imaginaria que se extiende indefinidamente a lo largo
del vector en ambas direcciones. Cuando las líneas de
acción de las fuerzas no se intersectan en un mismo
punto, puede haber rotación respecto a un punto
llamado eje de rotación.
• La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea
de la fuerza se llama brazo de palanca de la fuerza, el
cual determina la eficacia de una fuerza dada para
provocar el movimiento rotacional. Si se ejerce una
fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de
una gran rueda, gradualmente será más fácil hacer girar
la rueda en relación con su centro.

14. • Isaías quiere reparar su bicicleta con la ayuda
de una llave de perico aplicándole una fuerza de
850 Newton y un ángulo de 60° para hacer girar
a la tuerca. Calcular el momento de la fuerza si
la llave mide 35 cm y se aplica en el sentido
contrario a las manecillas del reloj.
850 N
60º
Datos
F = 850 N
 = 60°
r = 35 cm =0.35 m
M=?
M = F r sen 
M = (850 N) (0.35 m) (sen 60°)
M = (850 N) (0.35 m) (0.8660).
M = 257.64 N. m ó 257.64
Joules.

15. Tarea 1:
• Se aplica una fuerza de 50 Newtons sobre la
barra que se muestra en la figura siguiente.
Calcule el momento de la fuerza respecto al
punto A.
• A
5m

16. Tarea 2:
• Se aplica una fuerza de 70 Newtons sobre la
barra que se muestra en la figura siguiente.
Calcule el momento de la fuerza respecto al
punto A.
A
2.5 m 2.5 m
70 N

17. Tarea 3:
• Se aplica una fuerza de 200 Newtons sobre
la barra que se muestra en la figura
siguiente. Calcule el momento de la fuerza
respecto al punto A.
A
5m
200 N

18. MOMENTO DE UNA FUERZA.
MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO
A UN PUNTO.

19. • Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio de traslación, sin
embargo puede estar girando sobre su propio eje debido a 2 o más
fuerzas. Así por ejemplo, la rotación del volante de un automóvil se
debe a la capacidad que tiene cada fuerza para hacerlo girar.
• Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, debe
cumplirse la segunda condición de equilibrio que dice: “para
que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, la suma de los
momentos o torcas de las fuerzas que actúan sobre él respecto
a cualquier punto debe ser igual a cero”. Matemáticamente esta
ley se expresa con la ecuación:
• ΣM=0.
• ΣM= M1 + M2 + M3 + …. Mn = 0.

20. • Cuando se aplica una sola fuerza en forma
perpendicular a un objeto, el momento de torsión o torca
se calcula con la siguiente fórmula:
• M=F.r
• Donde M = momento de torsión o torca en Newton-
metro (Joule).
• F = fuerza aplicada al objeto en Newtons.
• r = brazo de palanca o longitud del punto donde se
aplica la fuerza respecto al punto considerado en
metros.

21. • Cuando la fuerza se aplica con un cierto
ángulo, el momento de torsión se calcula con
la fórmula:
• M = F . r sen θ.
• Donde sen θ, es la componente de la fuerza
que tendería a girar al objeto.

22. • Antes de proceder a resolver problemas en los que se
aplica la primera y segunda condición del equilibrio,
veamos algunos conceptos básicos relacionados con el:
• Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen
una línea de acción común, tal vez exista equilibrio
traslacional pero no necesariamente equilibrio
rotacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a la
derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia
abajo, pero puede seguir girando.

23. • La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se
extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas
direcciones. Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se
intersectan en un mismo punto, puede haber rotación respecto a un
punto llamado eje de rotación.
• La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de la fuerza
se llama brazo de palanca de la fuerza, el cual determina la
eficacia de una fuerza dada para provocar el movimiento rotacional.
Por ejemplo, si se ejerce una fuerza F a distancias cada vez
mayores del centro de una gran rueda, gradualmente será más fácil
hacer girar la rueda en relación con su centro.
• Cuando la fuerza aplicada no tenga brazo de palanca, es decir
que se aplica en el mismo punto considerado, no habrá
momento de torsión.

24. • Por convención, cuando la fuerza
aplicada tiende a girar al cuerpo en el
sentido de las manecillas del reloj, al
momento de torsión se le asigna el signo
negativo, y cuando la fuerza tiende a girar
al objeto en el sentido contrario a las
manecillas del reloj, se le asigna el signo
positivo.

25. PROBLEMAS DE MOMENTO DE UNA
FUERZA RESPECTO A UN PUNTO.
• 1.- Se ejerce una fuerza de 20 Newtons
sobre un cable enrollado alrededor de un
tambor de 120 mm de diámetro. ¿Cuál es el
momento de torsión producido
aproximadamente al centro del tambor, si la
fuerza se aplica en el sentido de las
manecillas del reloj?.

26. F = 20 N

27. • Datos: Fórmula Sustitución
• F = -20 N M = F.r M = -20 N x 0.06 m.
• r = 0.06 m
M = -1.20 N.m = -1.20 Joules
• M=?

28. • 2.- Calcular el momento de torsión de la
siguiente barra, respecto al punto A, si se le
aplica una fuerza de 50 Newtons y el brazo
de palanca es de 5 metros.
A
5m
50 N

29. • Datos Fórmula Sustitución
•M=? M = F . R M = 50 N x 5 m
• F = 50 N M = 250 N . m
•r=5m M = 250 Joules.

30. • 3.- Calcular el momento de torsión aplicado
en el punto A de la viga si se le aplica una
fuerza de 150 N, y su longitud es de 4
metros:
150 N
4m

31. • Datos Fórmula Sustitución.
•M=? M=F.r M = - 150 N x 4 m
• F = - 150 N M = - 600 N . m
•r=4m M = - 600 Joules.

32. • 4. Calcule el momento de torsión en el punto
A de la siguiente viga, si se le aplica una
fuerza de 1000 N en el punto A.
1000 N
A 4m

33. • Datos Fórmula Sustitución.
• M=? M=F.r M = 1000 N x 0.
• F = 1000 N M = 0.
• r=0
• No hay momento de torsión puesto que la
fuerza de 1000 N se aplica en el punto A, por lo
cual no hay brazo de palanca y la fuerza no
tiene la capacidad de hacer girar a la viga,
cuando se aplica en el punto A.

34. • 5.- Isaías quiere reparar su bicicleta con la
ayuda de una llave de perico aplicándole una
fuerza de 850 Newton y un ángulo de 60°
para hacer girar a la tuerca. Calcular el
momento de la fuerza si la llave mide 35 cm
y se aplica en el sentido contrario a las
manecillas del reloj.

35. • Datos
• F = 850 N
•  = 60°
• r = 35 cm = .35 m
• M=?
• M = F. r sen 
• M = (850 N) (0.35 m) (sen 60°)
• M = (850 N) (0.35 m) (0.8660)
• M = 257.64 N. m

36. MOMENTO DE UN PAR
DE FUERZAS.
DEFINICION DEL MOMENTO DE UN
PAR DE FUERZAS.

37. • MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS
• Se dice que dos fuerzas F y -F que tienen
la misma magnitud, líneas de acción
paralelas y sentidos opuestos forman un par.

38. F
-F

39. • Obviamente, la suma de las componentes de las dos
fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin
embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas
con respecto a un punto dado no es cero. Aunque las
dos fuerzas no originarán una traslación del cuerpo
sobre el que están actuando, éstas sí tenderán a
hacerlo rotar.
•
• Representando con rA y rB, respectivamente, a
los vectores de posición de los puntos de aplicación de
F y -F , se encuentra que la suma de los momentos de
las dos fuerzas con respecto a O es.

40. • rA X F + rB X (-F ) = (rA - rB) X F

41. •Definiendo rA - rB = r, donde r es el vector que une los puntos de
aplicación de las dos fuerzas, se concluye que la suma de los
momentos de F y –F, con respecto a O, está representada por el
vector.
M=rXF
El vector M se conoce como el momento del par; se trata de un vector
perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y su magnitud está
dad por
M = rF Sen Ø = Fd
Donde d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F
y –F.

42. • Como el vector r en es independiente de la elección del origen O
de los ejes coordenados, se observa que se obtendría el mismo
resultado si los momentos de F y –F se hubieran calculado con
respecto a un punto O’. Por lo tanto, el momento M de un par es un
vector libre que ser aplicado en cualquier punto.
• A partir de la definición del momento de un par también se
concluye que dos pares, uno constituido por las fuerzas F1 y –F1 y
el otro constituido por las fuerzas F2 y –F2 tendrán momentos
iguales si
• F1d1 = F2d2
• y si los dos pares se encuentran en planos paralelos ( o en el
mismo plano) y tienen el mismo sentido.

43. Referencia
• http://www.itescam.com