Este documento explica los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones, incluyendo: (1) la definición de un sistema de ecuaciones, (2) los tipos de sistemas (compatible e incompatible), y (3) métodos para resolver sistemas como la eliminación de incógnitas.

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Se llama sistema de ecuaciones o sistema de
ecuaciones simultáneas al conjunto de dos o más
ecuaciones que se verifican para un mismo valor de
la o las incógnitas.
Ejemplo:
Las ecuaciones: 3x + y = 7 5x – 2y = 8 forman un
sistema, que se verifican simultáneamente cuando
x=2 y = 1. En consecuencia el sistema formado es:
3x + y =7 ……………….. (1)
0
5x – 2y = 8 ……………….. (2)

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Son los valores que toma las incógnitas para que
simultáneamente verifiquen todas las ecuaciones dadas
3x + y =7 ……………….. (1)
Ejemplo:
Para el sistema dado anteriormente 0
5x – 2y = 8 ……………….. (2)
La solución será: x = 2 y = 1, es decir (2;1)

4. Definición:
Dos sistema de ecuaciones son
equivalentes si presentando
formas diferentes, tienen el
mismo conjunto solución.
Ejemplo: 3x + y = 7 ………. (1) x + y = 3 ………. (1)
Los sistemas 0 y 0
5x – 2y = 8 ….….. (2) x–y=1 ….….. (2)
Son equivalentes, pues para ambos sistemas el conjunto solución es: CS = { (2;1) }
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5. Teoremas de transformación de un Sistema de
Ecuaciones
I) Si en un sistema reemplazamos una de sus ecuaciones por otra que resulta de
sumar o restar miembro a miembro dos o más ecuaciones, obtenemos un sistema
equivalente al original
Ejemplo: 3x - 2y = 7 ………. (1)
Transformar el sistema: 0
2x + 5y = 2 ….….. (2)
Sumamos (1) + (2) miembro a miembro y obtenemos: 5x + 3y = 9 (*)
5x + 3y = 9 ………. (1)
Sustituyendo en (1), se tiene el sistema equivalente: 0
2x + 5y = 2 ….….. (2)
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6. II) Si en un sistema reemplazamos una de sus ecuaciones por otra que resulte de
multiplicar o dividir miembro a miembro dos o más las ecuaciones del
sistema, obtenemos un sistema equivalente al original.
Ejemplo:
Transformemos el sistema anterior multiplicando sus dos ecuaciones:
(3x – 2y) . (2x + 5y) = 7 . 2 (*)
3x - 2y =7 ... (1)
Luego sustituyendo en (2); se obtiene el sistema equivalente: 0
(3x – 2y)(2x + 5y) = 14 ... (2)
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7. A. Sistema Compatible
Es aquel sistema de ecuaciones que presenta
solución matemática, que a su vez puede ser:
Ejemplo:
I) Determinado.- Cuando su x + y + z = 5 ………. (1)
conjunto solución tiene un
El sistema 0 x – y + z = 3 ………. (2)
numero finito de elementos. x + 2y - z = 0 ….….. (3)
Sólo se verifica cuando: x = 1, y = 1 z = 3, es decir su solución será:
(1; 1; 3). Como presenta una solución (1 = número finito) se dirá que dicho
sistema es Compatible y Determinado.
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8. II) Indeterminado.- Cuando su
conjunto solución presenta infinitos
Ejemplo: x + 3y = 6 ………. (1)
elementos. 0
El sistema
2x + 6y = 12 ….….. (2)
Es Compatible e Indeterminado, asimismo se observa que estas dos
ecuaciones se reducen a una sola, de donde se obtiene:
x 6
y
3
x 0 3 6 …
CS = { (0; 2); (3; 1), (6; 0), ………}
y 2 1 0 …
Fácilmente se evidencia que el sistema presenta infinitas soluciones.
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9. Con la finalidad de eliminar la incógnita “y”, multiplicamos a la segunda ecuación por
3, para luego sumar la ecuación obtenida con la ecuación (1):
Con la segunda ecuación: 2x – y = -3
Multiplicando por 3 conseguimos una ecuación: 6x – 3y = -9 …….. (3)
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (3) conseguimos:
1
x
(x + 3y) + (6x- 3y) = 10 + (-9)  7x =1  7 …………. (4)
1 1
3y 10 3y 10
Finalmente reemplazando (4) en (1) tenemos: 7 7
69 23 1 23
3y y CS ;
7 7 7 7
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B. Sistema Incompatible:
Es aquel sistema de ecuaciones que no presenta solución,
su conjunto solución es el vacio.
Ejemplo: 3 x + 2y = 7 ………. (1)
0
El sistema
6x + 4y = 1 ….….. (2)
Es incompatible, pues no existe x y alguno que verifique
simultáneamente a las ecuaciones dadas, en tal caso se dice que el sistema
no tiene solución, luego:
CS = { } o CS=

11. Consiste en multiplicar a una de las
ecuaciones del sistema (o a veces a
más de una) por un factor nulo para Ejemplo: x + 3y = 10 ………. (1)
0
luego sumarla o restarla con otra Resolver
ecuación, con la finalidad de eliminar 2x - y = -3 ….….. (2)
una o mas incógnitas, de este modo se
logra obtener una nueva ecuación de
las otras ecuaciones del sistema para
así calcular el valor de la otra
incógnita.
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OBSERVACION:
Existen otros métodos para resolver sistemas lineales como
por ejemplo: El uso de los determinantes o el uso de las
matrices