Semana 1

1
Centro Preuniversitario de la UNS S-01 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2016-I
TRIGONOMETRÍA
“Ángulo Trigonométrico”
Sistemas de medición angular: Para cualquier
magnitud se necesita una unidad de medida, en
los ángulos esto dependerá de la manera en que
es dividida la circunferencia. Entre los sistemas
más usados tenemos:
Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un
sistema de medida angular cuya unidad
fundamental es el grado sexagesimal que
equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
)``(3600º1
)``(60`1
)`(60º1
)(
360
1
º1
gesimalSegunoSexa
agesimalSegundoSex
gesimalMinutoSexa
esimalGradoSexag
v




Debemos tener en cuenta:
60,
360060
´´´º´´´º
0






 cyb
cb
acbacba
Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´
Sistema Centesimal o francés (C): es un
sistema de medida angular cuya unidad
fundamental es el grado centesimal que equivale
a la 400ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
)(100001
)(1001
)(min1001
)(
400
1
1
tesimalsegundoCen
tesimalSegundoCen
malutoCentesi
simalGradoCente
v
sg
sm
mg
g




Debemos tener en cuenta:
g
cb
ascmb
g
ascmb
g
a 






10000100
b y c < 100
Ejemplo: 28g
30m
27s
= 28g
+ 30m
+ 27s
Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de
medida angular cuya unidad de medida es el radian (1
rad.)
Equivalencias:
Semana Nº 1

-  - 10º
Por ejemplo:
 10º -
La medida de un ángulo en
radianes viene expresado
por:
r



Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
2
Observación: 1 rad = 57º17´45``
1rad > 1º > 1g
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE
MEDIDAS ANGULARES
Realizando la comparación entre los tres
sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad
legamos a la siguiente conclusión:
a
rad
RradCS
g
g

2400º360
º
También una equivalencia de esta última
relación es:

20
;10;9
k
RkCkS



109
CS
 ;

R
S 180
;

R
C 200

109
CS
 ;

R
S 180
;

R
C 200
PROBLEMA S DE CLASE
1. Sabiendo que: x + y + z = 61
Calcular: E = xºy’ + yºz’ + zºx’
A) 61º2’ B) 61º61’ C) 62º2’
D) 62º1’ E) 60º2’
2. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la
igualdad: ´´´. ZYXrad 
32
 ;
Calcular x XZY 5
A) 2 B) 4 C) 20 D) 5 E) 6
3. Halle “C” a partir de la ecuación:
     

6 7
8 5 6 7S C 20
R 4 S C R
9 10
, Siendo “S”,
“C” y “R” lo convencional para un mismo ángulo.
A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 10
4. A partir del gráfico mostrado, determine la
medida del ángulo AOB, si “” toma su mínimo
valor.
A) 52g
B) 30º C)45g
D)45º E) 135º
5. En el CEPUNS se ha creado un nuevo sistema
de medición angular cuya unidad es “un grado C”
(1c). Si el ángulo recto mide 40c. Hallar la suma
de los ángulos internos de un pentágono.
A) 80c B) 160c C) 200c
D) 240c E) 320c
6. Si:
Calcular: a + b + c
A) 9 B)15 C) 18 D) 21 E) 24
  
g o
x 2 x 1 x abc  
OBSERVACIÓN
RELACIÓN DE MINUTOS:
.
5027
mM
 . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES
m: # MINUTOS CENTESIMALES
RELACIÓN DE SEGUNDOS:
.
25081
ba
 .
a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES
b: # SEGUNDOS CENTESIMALES
Sexagesimales Centesimales
# de grados S C
# de minutos 60 S 100 C
# de segundo 3600 S 10000 C
o
AB
C D
    
g
10 ² 10 40  45 9 º

3
7. Se inventan 2 sistemas de medición angular
“x” e “y”, tal que: 25x
< > 50g
, además
80y
< > 90º. Determinar la relación de
conversión entre estos 2 sistemas x/y.
A) 3
8
B) 5
8
C) 7
8
D) 9
8
E) 11
8
8. Dos ángulos cuyas medidas son x e y son tales
que (𝑥 − 1)(𝑦 − 1)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ radianes equivale a (𝑥 +
𝑦) grados sexagesimales, además (180x-180y)
grados sexagesimales equivale a 1980 radianes.
Cuando x e y están en grados centesimales,
entonces
𝑦
𝑥
será igual a:
a)
𝜋
90
b) −10 + 𝜋 c) −10 +
𝜋
90
d)-10 e)
𝜋
10
9. Si las raíces de una ecuación cuadrática :
02
 cbxax , son los números de grados
sexagesimales y centesimales de un ángulo .
Entonces el número de radianes de dicho
ángulo solamente en términos de b y c es:
a)
1
19
1800 






b
c

b) bc19 c)
1
19800
19 






b
c
d)
1
1800
19








c
b
e) 





b
c
19
10. La suma de dos ángulos está dada por la
siguiente igualdad:
     111 baba g
Hallar dichos ángulos en el sistema
sexagesimal si su diferencia es ba
A) 25° y 40° B) 45° y 27° C) 40° y 38°
D) 20° y 45° E) 10° y 25°
11. Si los ángulos congruentes de un triángulo
isósceles miden (6x)g
y (x+4)° , entonces el
complemento de la medida del tercer ángulo en
el sistema radial es a:
a) rad
10

b) rad
5

c) rad
12

d) rad
20

e) rad
8

12. Calcular la medida de un ángulo en radianes
desde “S” y “C” son los números de grados
sexagesimales y centesimales respectivamente
y cumplen:
S = (x + 3) (x - 2)............ (i)
C = (x + 2) (x -1)............ (ii)
A) B)  C) D)  E) 
13. Si se cumple :
 
222
2
222
111
12

























RCS
C
RCS
R
RCS
S
RCS
RCS
R

donde S, C y R son las medidas usuales del mismo
ángulo; entonces R es igual a:
a) rad
120
 b) rad
60
 c) rad
40
 d) rad
30
 e) rad
120
5
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III)
14. Si a y b son dos números reales positivos hallar
el máximo número de radianes de un ángulo que
satisface la siguiente igualdad:
22
22
)()(
)()(
baba
baba
SC



Si: S y C son lo conocido.
a)

380
b)

190
c)

19
d)
190

e)
380

15. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo
ángulo, calcule “R” siendo S y C las raíces de la
ecuación: 3x2 - 19x + 30 = 0
A) B)  C) D)  E) 
16. Si S y C son la medida de un ángulo en los
sistemas sexagesimal y centesimal
respectivamente y cumplen:
... 32
1111
CCCS
Calcular la medida circular de dicho ángulo
A)  B)  C) 
D)  E) 
17. De la figura mostrada:
Calcular: “9-10”
A) 90 B) 180 C) 360 D) 900 E) 1800
18. Determine la medida circular de un ángulo que
verifica:
S
C
ostérn
RRR




















 min""...........
2
1
1
1
1
1
1
1

4
a) rad
n
10
1)( 
b)
10
n
c)
9
n
d)
9
1n
e) 9n
19. Si:

C
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S






Hallar el número de radianes de dicho
Ángulo.
Si: (S y C son lo conocido)
a) 
3600
441
b) 
3600
551
c) 
3600
361
d) 
3600
641
e) 
3600
241
20. Siendo  el número de radianes de un ángulo
positivo, verifica la igualdad:
11.8.3 




Hallar: . Si:   
a)
9
32
b)
64
9
c)
32
9
d)
16
9
e)
9
64
21. Si la medida de dos ángulos es 100g
y su suma
es 3 rad., entonces, las medidas
sexagesimales de dichos ángulos,
respectivamente , son:
a) 315° y 225° b) 325° y 215°
c) 300° y 240° d) 290° y 250°
e) 315° y 235°
(Examen ordinario– UNS 2014 II)
22. Resolver el siguiente sistema:
)2(...SC
)1...(
S4C8,3
S6C2,4
1x
1x
47x 





Siendo S y C los números de grados
sexagesimales y centesimales de un mismo
ángulo en sentido antihorario.
Dar como respuesta la medida del ángulo en el
sistema radial.
A) rad
200
1048 
B) rad
200
9048 ,
C) rad
100
1048 
D) rad
2
9,048 
E) rad
300
1048 
23. Siendo S y C el número de grados
sexagesimales y centesimales de un mismo
ángulo que cumple:
S = x - 1.............. (i)
C = x + 2............ (ii)
Calcular la medida del ángulo en radianes
A) B) C) D) E)
24. Señale la medida circular de un ángulo que
verifique:
  
osmintér"n"
......
2S
1
1
1S
1
1
S
1
1
C
n2





















Siendo S y C lo convencional para un mismo
ángulo.
a)
180
n
b)
200
n
c)
225
n
d)
135
n
e)
315
n
25. Señale la medida circular del ángulo cuyos
números de grados sexagesimales y
centesimales se expresan como:
S = 1 + 3 + 5 + 7 +… ; C = 2 + 4 + 6 + 8 +…
Teniendo ambos igual cantidad de
sumandos:
a) rad
20
3
b) rad
20
7
c) rad
10
9
d) rad
20
9
e) rad
23
5
26. Si la suma de las medidas de dos ángulos en el
sistema radial es
2𝜋
27
𝑟𝑎𝑑. Y su diferencia 5°40’.
Determinar la medida del mayor ángulo en el
sistema centesimal.
a) 11 𝑔
55 𝑚
55 𝑠
b) 10 𝑔
55 𝑚
55 𝑠
c) 10 𝑔
45 𝑚
40 𝑠
d) 11 𝑔
10 𝑚
20 𝑠
e) 9 𝑔
60 𝑚
30 𝑠
10
 3
10
 5
18
 3
20
 2
25


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