Steffi Materia de Matematicas Básica

MATEMÁTICAS BÁSICA II
Porcentajes.
Es la proporción en base 100.
Ejemplo:
9% que de cada 100 unidades recibo 9 tanto por ciento.
0.09 tanto por uno.
Representación del porcentaje (%)
Tanto porciento Tanto por uno
10% 0,40
20% 0,43
30% 0,09
Del porcentaje (%) transformar al tanto por uno:
Porcentaje Tanto por uno
50% 0,50
12% 0,12
160% 1,60
400% 4
6% 0,06
Para realizar esto se divide para 100 y se simplifica el signo del porcentaje.
También podemos decir que recorre la como hacia la izquierda dos espacios.

Del tanto por uno transformar al porcentaje (%):
Tanto por uno Porcentaje
3,24 324%
0,07 7%
0,70 70%
5,32 532%
4,25 425%
Para realizar esta operación se multiplica para y se aumenta el signo del
porcentaje.
También se recorre la coma hacia la derecha dos espacios.
Ejemplos de práctica:
4 ¾% 0,0475
1 1/8% 0,0113
7 ½% 0,075
5 ¼% 0,0525
Como calcular el porcentaje (%).
Podemos calcularle haciendo la regla de 3.
Determine:
Hallar el 10% de 900:
900 100%
X 10% X =
900 𝑥 10%
100%
X = 90

310 100%
X 13% X =
310𝑥 13%
100%
X = 40,3
530 100%
X 19% X =
530 𝑥 19%
100%
X = 100,7
X = 0,20 (750)
X = 150
¿Qué porcentaje de 500 es 60?
500 100%
60 X X =
60 𝑥 100%
500
X = 12%
480 100%
90 X X =
90 𝑥 100%
480
X = 18,75%
600 100%
35 X X =
35 𝑥 100%
600
X = 5,83%
¿De qué cantidad es 60 el 12%?
60 12%
X 100% X =
60 𝑥 100%
12%
X = 500

50 19%
X 100% X =
50 𝑥 100%
19%
X = 263,16
35 14%
X 100% X =
35 𝑥 100%
14%
X = 250
Calcular el porcentaje de quien estudia pasa y de quien no estudia
Quien estudia pasa
Quien no estudia X X =
𝑞𝑢𝑖𝑒𝑛 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎 (𝑝𝑎𝑠𝑎)
𝑞𝑢𝑖𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎
X = no pasa
UTILIDAD
U = P.V - P.C
U = utilidad
P.V = precio de venta
P.C = precio de compra
Ejemplo:
Hallar la utilidad de 1 pantalón cuyo precio de costo es de $35 y desea
vender con una utilidad del 20% sobre el precio de costo.
Datos:
P.C = 35 U = 0.20 (35) 35+7 = $ 42 se vende
P.V = ? U = $ 7
U = 0,20 P.C

Hallar en precio de venta al que se debe marcar 1 vestido si se adquiere en
$170 y desea obtener una utilidad del 40% sobre el precio de venta.
Datos:
P.C = 170 U = P.V – P.C
P.V = ? 0.40P.V = P.V -170
U = 0,40 P.V 170 = P.V – 0,40P.V
170 = 0,60 P.V
170/0,60 = P.V
P.V = $ 283,33
Hallar a qué precio se adquirió 1 rueda que se vendió en $145 con una
utilidad del 15% con el precio de compra.
 Exprese la utilidad en función al precio de venta.
 Exprese la utilidad en función al precio de compra.
Datos:
P.V = 145 U = P.V – P.C
U = 0,15 P.C 0,15 P.C = 145 – P.C
P.C = ? P.C + 0,15 P.C = 145
1,15 P.C = 145
P.C = 145/1,15
P.C = $ 126,09
La utilidad en función al precio de compra.
U = 0,15 (126,09) 126,09 100%
U = 18,91 18,91 X X = 15%
La utilidad en función al precio de venta.
145 100%
18,91 X X = 13%

APLICACIÓN DE PORCENTAJES
Los porcentajes se utilizan generalmente para los pagos de una factura.
Ejemplo:
Hallar el valor de la factura de la venta de una cocina cuyo precio de lista es
$650 sobre el cual se ofrece un descuento del 9% por la venta al contado.
Datos:
P.V = 650 650 100% P.F = P.V – d
D = 9% X 9% X = 58,5 P.F = 650 – 58,5
P.F = ? P.F = $ 591,56
Directo
P.F = P.V ( 1 – d )
P.F = 650 (1- 0,09)
P.F = 650 ( 0,91)
P.F = $ 591,50
Un almacén vende refrigeradoras cuyo precio de lista es de $ 720 y ofrece un
descuento del 17% por la compra al contado. Hallar al valor de la factura.
Datos:
P.V = 720 V.F = P.V (1 – d )
D = 17% V.F = 720 (1 – 0,17)
P.F = ? V.F = 720 ( 0,83)
V.F = $ 597,60

Hallar el valor de la factura de una bicicleta cuyo precio de lista es de $390 y
se ofrece un descuento de 4 ½% por la compra al contado.
Datos:
P.V = 390 P.F = P.V (1- D)
D = 4 ½% P.F = 390 (1 – 0,045)
P.F = ? P.F = 390 (0,955)
P.F = $ 372,45
Hallar el valor de la facture de un electrodoméstico cuyo precio de lista es de
$190 y se aplica un descuento del 3 ¾% y se cobra un impuesto adicional
del 8%.
Datos:
P.V = 190 P.F = P.V (1 - d) (1 + imp.)
D = 3 ¾% P.F = 190 (1 - 0, 0375) (1 + 0, 08)
Imp. = 8% P.F = 190 (0, 9625) (1, 08)
P.F = $ 197, 51
Hallar el valor de la facture de un artículo cuyo precio de lista es $790 se
aplica un descuento del 9 ¼% por la compra al contado y se cobra el
respectivo IVA.
Datos:
P.V = 790 P.F = P.V (1 - d) (1 + IVA)
D = 9 ¼% P.F = 790 (1 - 0,0925) (1 + 0,12)
IVA = 12% P.F = 190 (0,9075) (1,12)
P.F = $ 802,96

Hallar el precio de la factura de un documento cuyo precio de lista es $670 y
se aplica un descuentos especiales del 10% y 7% respectivamente con el
impuesto que rige aquí en el país.
Datos:
P.V = 670 P.F = 670 (1 - 0,10) (1 – 0,07) (1 + 0,12)
D= 10% y 7% P.F = 670 (0,90) (0,93) (1,12)
IVA = 12% P.F = $ 628,08
Hallar el precio de la factura por la compra de 5 radios cuyo precio de lista
individual es de $130 y se aplica descuentos especiales de 3%, 7% y 15%
respectivamente y un impuesto del 6% aparte del impuesto vigente.
Datos:
P.V = 650 P.F = 650 (1-0,03) (1– 0,07) (1–0,15) (1+0,06) (1+0,12)
D = 3%, 7% y 15% P.F = 650 ( 0,97 ) ( 0,93 ) ( 0,85 ) ( 1,06 ) ( 1,12 )
Imp. = 6% P.F = $ 591,71
IVA = 12%
CALCULO DE LA “n” Y CALCULO DE LA “i”
Calcule “i” de las siguientes expresiones:
(1 + i )19 = 3,379942
i = (3, 379942)1/19
i = 6, 6197%
(2 + i)25 +3/4 = ( 7 – 2/3 )2 + 6
(2 + 1)25 = 45,361
i = (45,361)1/25
i = -83, 5157%

( 1 + i )7 + 8 1/3 – 15 = ( 7 + 1/5 )3 + ( ¾ )2 – 8
( 1 + i )7 = 372,4772
i = (372, 4772)1/7
i = 132, 9699%
Calcule “n” de las siguientes expresiones:
( 1 + 3/2 )n = ( 4 + 5/9 )2 – 9 3/7
(2,5)n = 13,9325
n log (2,5) = log ( 13,9325 )
n =
log( 13,9325 )
log( 2,5 )
n = 2,65
( 2 ¼ )2 + 9 1/3 = ( 5 – 2/3 )n
14,3958 = ( 4,33 )n
n log ( 4,33 ) = log ( 14,3958 )
n =
log( 14,3958 )
log(4,33 )
n = 1,8197
PROGRESIONES
Ejemplos:
3, 7, 11, 15, 19, 27… progresión aritmética creciente/ascendente
9, 15, 21, 27, 33, 39… progresión aritmética creciente/ascendente
4, 11, 18, 25, 32, 39, 46… progresión aritmética creciente/ascendente
70, 73, 76, 79, 82, 85, 88… progresión aritmética creciente/ascendente

93, 88, 83, 78, 73… progresión aritmética decreciente/descendente
2, 5/3, 4/3, 1, 2/3, 1/3, 0, -1/3… progresión aritmética decreciente/descendente
Calculo de la diferencia
Seleccionamos dos términos consecutivos de la progresión aritmética y restamos
el segundo menos el primero.
Ejemplos:
7/4, 5/9, -23/36, -11/6, -109/36… progresión aritmética decreciente/descendente
d = 5/9 – 7/4
d = - 43/36
8/3, 9/2, 19/3, 46/6, 10… progresión aritmética creciente/ascendente
d = 9/2 – 8/3
d = 11/6
7/4, 3/5, -11/20, -17/10, -57/20… progresión aritmética decreciente/descendente
d = 3/5 – 7/4
d = - 23/20
Calculo del enésimo término
3, 8, 13, 18, 23…
a1; a1 + d; a1 +2d…
Ejemplo:
29 T = a1 + 28d
= 3 + 28(5)
= 143
112 T = a1 + 111d
= 3 + 111(5)
= 558

an = a1 + ( n – 1 ) d
an = ultimo termino
a1 = primer termino
n = numero de termino
d = diferencia
Calculo de la suma de términos
S = n/2 ( a1 + an )
S = sumatoria
n = numero de termino
a1 = primer termino
an = ultimo termino
Hallar el término 30 y la suma respectiva de la siguiente progresión:
4, 13…
Datos:
a1 = 4 an = a1 + ( n – 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )
n = 30 an = 4 + ( 30 – 1 ) 9 S = 30/2 ( 4 + 265 )
d = 13 – 4 = 9 an = 265 S = 15 ( 269 )
an = ? S = 4035
S = ?

6, 10…
Datos:
a1 = 6 an = a1 + ( n – 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )
n = 23 an = 6 + ( 23 – 1 ) 4 S = 23/2 ( 6+ 95 )
d = 4 an = 94 S = 11,5 ( 100 )
an = ? S = 1150
S = ?
1/2, 3/5…
Datos:
a1 = 1/2 an = a1 + ( n – 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )
n = 24 an = 1/2 + ( 24 – 1 ) 1/10 S = 24/2 ( 1/2 + 2,8 )
d = 1/10 an = 2,8 S = 12 ( 33/10 )
an = ? S = 198/5
S = ?
1/4, 6/5…
Datos:
a1 = 1/4 an = a1 + ( n – 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )
n = 27 an = 1/4 + ( 27 – 1 ) 19/20 S = 27/2 ( 1/4 + 24,95)
d = 19/20 an = 24,95 S = 13,5 ( 269 )
an = ? S = 1701/5
S = ?

Hallar los términos que faltan en la progresión siguiente:
Datos:
a1 = 4 an = a1 + ( n – 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )
n = 30 an = 4 + ( 30 – 1 ) d 420 = 30/2 ( 4 + 4 + 29d )
d = ? an = 4 + 29d 420 = 15 ( 8 + 29d )
an = ? an = 4 + 29(20/29) 420 = 120 +435d
S = 420 an = 24 300 = 435d
300/435 = d
d = 20/29
Hallar los términos que faltan en la progresión siguiente:
Datos:
a1 = ? an = a1 + ( n – 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )
n = ? 21 = a1 + ( n – 1 ) 5 520 = n/2 (a1 + 21)
d = 5 21 = a1 + 5n -5 1040 = n (a1 + 21)
an = 21 26 = a1 + 5n 1040= n (26 – 5n +21)
S = 520 26 – 5n = a1 1040 = n ( 47 – 5n )
1040 = 47n – 5n2
5n2 – 47n + 1040 = 0
𝑛 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑛 =
−(−47) ± √2209 − 4(5)(1040)
2(5)
No existe progresión

Las edades de 4 amigas están en progresión aritmética creciente de modo
que sumado la edad de la primera con la última tenemos 81 y multiplicados
los mismos nos da 1368 determine las edades de las amigas.
a1 + a1 + 3d = 81 a1 (a1 + 3d) = 1368
2 a1 + 3d = 81 a12 + 3 a1d = 1368
d = 81 - 2a1 / 3 a12 + 3 a1 (81 - 2 a1 / 3) = 1368
a12 + 81a1 - 2a12 = 1368
a12 - 81a1 +1368 = 0
𝑎 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎 =
81 ± √6561− 5472
2
a1 = 57
a2 = 24
Calcule 3 números en progresión aritmética que suman 27 siendo las sumas
de sus cuadrados 511/2
a1 – d + a1 + a1 + d = 27 (a1 + d )2 + a12 + (a1 + d )2 = 511/2
3 a1 = 27 ( 9 + d )2 + 81+ ( 9 + d )2 = 511/2
a1 = 9 81 – 18d + d2 81 + 81 + 18d + d2 = 511/2
243 + 2d2 = 511/2
2d2 = 511/2 - 243
2d2 = 25/2
√𝑑2 = √
25
4
d = 5/2

El cuarto numero de una progresión aritmética es 10 y es sexto es 16 escriba
la progresión
a4 = a1 + 3d -10 = -a1 - 3d 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19…
a6 = a1 + 5d 16 = a1 + 5d
6 = // 2d
d = 3
Escriba 3/2 aritméticos entre 3 y 23
Datos:
a1 = 3 an = a1 + ( n – 1 ) d 3, 8, 13, 18, 23…
d = 23 = 3 + (4) d
an = 23 23 = 3 + 4d
n = 5 20 = 4d
d = 5
Evelyn adquiere una computadora y se compromete a pagar el primer mes
$180 el Segundo $195 el tercero $210 y así sucesivamente. Determine el
precio de la computadora si Evelyn lo hizo en 1 año y medio.
Datos:
a1 = 180 S = n/2 ( 2a1 + (n-1) d )
n = 18 S = 9 ( 360 + 255 )
d = 15 S = 5535
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
3, 12, 48, 192…
4, 16, 64, 256, 1024….
16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼….
2, -12, 72, -432, 2592…

Calculo de la razón
Seleccionamos dos elementos consecutivos d la progresión geométrica y se
divide el segundo para el primero.
r = 48/12 r = 2592/-432 r = ¼ / ½
r = 4 r = -6 r = ½
Es progresión geométrica creciente cuando la razón es un número entero
Es progresión geométrica decreciente cuando la razón es una fracción.
Calculo del enésimo o último término y la suma
an = a1 . r n - 1 a1 - a1 . r n
an = último término 1 – r
a1 = primer término
r = razón a1 - an . r
n = número de términos 1 – r
S = sumatoria
Hallar el término 36 y la suma respectiva de la progresión siguiente
3, 15, 75…
Datos
a1 = 3 an = a1 . r n – 1 S =
𝑎1 − 𝑎1 . 𝑟 𝑛
1−𝑟
n = 36 an = 3 . 535 S =
3 − 3 . 536
1−5
r = 5 an = 8,73x1024 S = 1,09x1025
an = ?
S = ?
S =
S =

Hallar el término 40 y la suma respectiva de la progresión siguiente.
7, 18, 112…
Datos
a1 = 7 an = a1 . r n – 1 S =
𝑎1 − 𝑎1 . 𝑟 𝑛
1−𝑟
n = 40 an = 7 . 439 S =
7 − 7 . 440
1−4
r = 4 an = 2,11x1024 S = 2,82x1024
an = ?
S = ?
3, 9/5…
Datos
a1 = 3 an = a1 . r n – 1 S =
𝑎1 − 𝑎1 . 𝑟 𝑛
1−𝑟
n = 25 an = 3 . 3/524 S =
3 − 3 . 3/525
1−3/5
r = 3/5 an = 1,42x10-5 S = 2,99
an = ?
S = ?

4, 12…
Datos
a1 = 4 an = a1 . r n – 1 S =
𝑎1 − 𝑎1 . 𝑟 𝑛
1−𝑟
n = 15 an = 4 . 314 S =
4 − 4 . 315
1−3
r = 3 an = 19131876 S = 28697818
an = ?
S = ?
Hallar los términos que faltan:
Datos
a1 = ? an = a1 . r n – 1 S =
𝑎1 − 𝑎 𝑛 . r
1−𝑟
n = ? 620 = a1 . 4n – 1 1040 =
𝑎1 − 620 .4
1−4
r = 4 620/-640 = 4n – 1 1040 =
𝑎1 − 2480
−3
an = 620 31/-32 = 4n – 1 -3120 = 𝑎1 − 2480
S = 1040 log(31/-32) = (n – 1) log 4 𝑎1 = -2480 + 3120
𝑎1 = -640

Datos
a1 = 5 an = a1 . r n – 1 S =
𝑎1 − 𝑎 𝑛 . r
1−𝑟
n = 7 240 = 5 . r6 S =
5 − 240 .1,90
1−1,90
r = ? r =√48
6
S = 501, 11
an = 240 r = 1,90
S = ?
Datos
a1 = 10 an = a1 . r n – 1 S =
𝑎1 − 𝑎1 . 𝑟 𝑛
1−𝑟
n = 9 an = 10 . r8 200 =
10 − 10 . 𝑟9
1−𝑟
r = ? 200 – 200r = 10 – 10r9
an = ? 200 – 10 = - 10r9 + 200r
S = 200 190 = 10r ( r8 + 20)
19r -1 = r8 + 20
18r7 = 20
r7 = 20/18

Aplicaciones
Cierta maquina tenía un valor actual de $ 25000 al final de cada año se deprecia
un 15%, se desea calcular su valor después de 6 años de uso.
Datos:
C = 25000 a1 = C (1 – d)
d = 0,15 a1 = 25000(0,85)
n = 6 a1 = 21250
a1 = 21250 an = a1 . r n – 1
r = 0,85 an = 21250 (0,85) 5
n = 6 an = $ 9428,74
an = ?
Una persona adquiere una máquina en $35000 y sufre una depreciación
mensual del 9% del costo que tenía al principio del mes. Hallar el valor de la
máquina después de 4 años de uso.
Datos:
C = 35000 a1 = C (1 – d)
d = 0,09 a1 = 35000(0,91)
n = 48 a1 = 31850
a1 = 31850 an = a1 . r n – 1
r = 0,91 an = 31850 (0,91) 47
n = 48 an = $ 378,49
an = ?

Progresiones armónicas
Son el inverso de la progresión aritmética.
5, 8, 11, 14, 17, 20… progresión aritmética
1/5, 1/8, 1/11, 1/14, 1/17, 1/20… progresión armónica
an = a1 + ( n – 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )
Se hace 1 sobre y se transforma a progresión armónica
Ejemplo
Hallar el termino 30 y la suma de los primeros términos de la progresión
siguiente.
1/2 , 1/7… progresión armónica
2, 7… se transforma a progresión aritmética
Datos
a1 = 2 an = a1 + ( n – 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )
n = 30 an = 2 +(29)5 S = 15 (2 + 147)
d = 5 an = 147 S = 2235
an = ? an = 1/147 S = 1/2235 progresión armónica
S = ?

Hallar el termino 18 y la suma de los primeros términos de la progresión
siguiente.
3, 6, 9… progresión aritmética
Datos
a1 = 3 an = a1 + ( n – 1 ) d S = n/2 ( a1 + an )
n = 18 an = 3 +(17) 3 S = 9 (3 + 54)
d = 3 an = 54 S = 513
an = ? an = 1/54 S = 1/513 progresión armónica
S = ?
Interés simple
La Institución financiera recibe tasa pasiva
Los usuarios pagan tasa activa
Cuando la persona realiza préstamos es una tasa pasiva
Cuando la persona deposita, invierte es una tasa activa
Generalmente la tasa del interés está dado t = I/C este es a un año.
Ejemplo:
Hallar la tasa de interés que genera un capital de $650 si su interés es $30.
Datos
I = 30 i =
𝐼
𝐶
C = 650 i =
30
650
i = ? i = 4,61%
Interés

Hallar la tasa de interés que genera un capital de $950 si su interés es $170.
Datos
I = 170 i =
𝐼
𝐶
C = 950 i =
170
950
i = ? i = 17,895%
El interés simple se calcula con la siguiente formula:
I = C . i . t
I = interés simple
C = capital
i = tasa de interés
t = tiempo
Hallar el interés que genera un capital de $1950 colocados a una tasa de
interés del 19% durante 3 años
Datos
C = 1950 I = C . i . t
i = 0,19 I = 1950 . 0,19 . 3
t = 3 I = 111,5
I = ?
interés del 6 3/4% durante 1 año y medio
Datos
C = 23230 I = C . i . t
i = 0,0675 I = 23230 . 0,0675 . 1.5
t = 1,5 I = 2352,04

interés del 6 4/5% durante 9 meses
Datos
C = 2870 I = C . i . t
i = 0,068 I = 2870 . 0,068 . 9/12
t = 9 meses I = 146,37
I = ?
interés del 13 1/4% durante 17 meses
Datos
C = 15690 I = C . i . t
i = 0,1325 I = 15690 . 0,1325 . 17/12
t = 17meses I = 2945,14
I = ?
interés del 8% durante 1/4 de año
Datos
C = 17615 I = C . i . t
i = 0,08 I = 17615 . 0,08 . 3/12
t = 3 meses I = 352,3
I = ?
interés del 2% durante 120 días
Datos
C = 300 I = C . i . t
i = 0,02 I = 300 . 0,02 . 120/365
t = 120 días I = 1,97

Tipos de interés simple
 Interés simple exacto
 Interés simple ordinario
Interés simple exacto.- cuando realizamos el año calendario es decir (365-366
días)
Interés simple ordinario.- cuando se usa el año comercial es decir (360 días)
Calculo del tiempo
1. Tiempo exacto
2. Tiempo aproximado
Hay que restar la fecha final con la fecha inicial.
Ejemplo.
Hallar el tiempo transcurrido desde el 5 de mayo del 2013 hasta el 1 de marzo
del año siguiente en forma exacta y en forma aproximada.
Tiempo aproximado Tiempo exacto
a m d 60
2014 03 01 -125
2013 05 05 -65
+365
2013 15 01 pido un año 300 días
2013 05 05
El tiempo exacto va hacer siempre
2013 14 31 pido un mes mayor al tiempo aproximado
2013 05 05
// 09 26
T.A = 9(30) +26
T.A = 296 días

Hallar el tiempo transcurrido desde el 20 de abril del 2002 hasta el 25 de
febrero del 2004 en forma exacta y en forma aproximada.
a m d 56
2004 02 25 -110
2002 04 20 -54
+730
2003 14 25 pido un año 676 días
2002 04 20
1 10 05
T.A = 360 +10(30) + 5
T.A = 665 días
Hallar el tiempo transcurrido desde el 17 de agosto del 2003 hasta el 10 de
marzo del 2004 en forma exacta y en forma aproximada.
a m d 69
2004 03 10 -229
2003 08 17 +366
206 días
2003 15 10 pido un año
2003 08 17
2003 14 40 pido un mes
2003 08 17
// 6 23
T.A = 203 días

Hallar el interés simple de un capital de $ 970 colocados con un tasa del 9%
durante el 6 de mayo del 2013 hasta el 5 de abril del 2014 en sus 4 formas.
2013 15 35 95 ISE con T.A
2013 05 06 -126 I = 970 (0,09) (329/365)
// 10 29 +365 I = 78,69
T.A = 329 días T.E = 334 días ISE con T.E
I = 970 (0,09) (334/365)
ISO con T.A I = 79,89
I = 970 (0,09) (339/360)
I = 79,78
ISO con T.E
I = 970 (0,09) (334/360)
I = 80,99
Hallar el interés simple de un capital de $ 12510 colocados con un tasa del
7 ¾% durante el 6 de agosto del 2011 hasta el 23 de noviembre del 2013 en
sus 4 formas.
2013 11 23 327 ISE con T.A
2011 08 06 -218 I = 12510 (0,0775) (828/365)
2 3 17 +731 I = 2199,36
I = 12510 (0,0775) (840/365)
I = 12510 (0,0775) (828/360)
I = 2229,91
ISO con T.E
I = 12510 (0,0775) (840/360) cobra la institución financiera
I = 2262,23

Calcular el interés que gana un capital de $7000 con una tasa de interés de 3
½% anual desde el 27 de febrero hasta el 3 de diciembre del mismo año.
11 33 ISE con T.A
02 27 337 I = 7000 (0,035) (276/365)
9 6 -58 I = 185,26
I = 7000 (0,035) (279/365)
I = 7000 (0,035) (276/360)
I = 187,83
ISO con T.E
I = 7000 (0,035) (279/360)
I = 189,88
Hallar el interés simple de un capital de $6800 colocados con un tasa del 5%
desde el 30 de septiembre 2007 hasta el 1 de abril del 2014 del siguiente año.
2007 15 31 91 ISE con T.A
2007 09 30 -273 I = 6800 (0,05) (182/365)
// 6 1 +366 I = 169,53
I = 6800 (0,05) (184/365)
I = 6800 (0,05) (182/360)
I = 171,89
ISO con T.E
I = 6800 (0,05) (184/360)
I = 173,78

Monto simple
M = C + I M = C ( 1 + i . t ) i = I/C I = C.i.t
1 año = 360 días = 2 semestres = 4 trimestres = 2.4 quimestres
Hallar el monto de un capital de $3700 colocados con una tasa del 5% anual
a 11 meses.
Datos
C = 3700 M = C ( 1 + i . t )
i = 0,05 M = 3700 (1 + 0,05(11/12))
t = 11 meses M = 3869,58
Hallar el monto de un capital de $4800 colocados con una tasa del 2,7%
mensual desde el 10 de abril hasta el 23 de diciembre del mismo año.
Datos
C = 3700 M = C ( 1 + i . t )
i = 0,05 M = 4800 (1 + 0,027(257/30))
t = 357 M = 5910,24
-100
257 días
Hallar el monto de un capital de $6900 colocados con una tasa del 11%
semestral desde el 10 de agosto hasta el 29 de noviembre del mismo año.
Datos
C = 6900 M = C ( 1 + i . t )
i = 0,11 M = 6900 (1 + 0,11(111/180))
t = 333 M = 7368,05
-222
111 días

trimestral desde el 6 de agosto del 2002 hasta el 3 de febrero del siguiente
año.
Datos
C = 7000 M = C ( 1 + i . t )
i = 0,17 M = 7000 (1 + 0,17(181/80))
t = 34 M = 9393,22
-218
365
181 días
desde el 15 de marzo hasta el 3 de noviembre del siguiente año.
Datos
C = 13000 M = C ( 1 + i . t )
i = 0,19 M = 13000 (1 + 0,19(598/360))
t = 307 M = 17102,94
-74
365
598 días
Hallar el monto de un capital de $12800 colocados con una tasa del 0,25%
diario desde el 3 de mayo hasta el 1 de diciembre del mismo año.
Datos
C = 12800 M = C ( 1 + i . t )
i = 0,0025 M = 12800 (1 + 0,0025(212))
t = 335 M = 19584
-123
212 días

Calculo del capital
También se lo conoce como valor presente, valor actual.
C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
Grafica de tiempo y valores.
Valor presente
Valor Valor al
Valor nominal vencimiento
Tiempo fecha de fecha de
Suscripción vencimiento
Fecha de negociación
Ejemplo:
Determine el valor actual al día d hoy de un documento de $350 que vence en
200 días plazo considerando una tasa de interés del 7%.
336,90 350
0 200
1
C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
C =
350
1+0,07 (
200
360
)
C = 336,90
Monto

En el ejercicio anterior calcule el valor presente 40 días antes de su
vencimiento.
336,90 350
0 160 -40 200
C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
C =
350
1+0,07 (
40
360
)
C = 347,30
Hallar el valor presente de un documento de $2800 suscrito en 7 de abril con
una tasa del 1% mensual hasta el 7 de octubre del mismo año, el 15 de julio
del mismo año considerando una tasa de interés del 17%
2800 2970,80
7/abril 15/julio 7/octubre
97 196 280
t) 280 M = C ( 1 + i . t ) C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
- 97 M = 2800 (1 + 0,01(183/30)) C =
2970,80
1+0,17 (
84
360
)
183 días M = 2970,80 C = 2857,45
t) 280
-146
84 días

El 13 de febrero se firma un documento $5100 con vencimiento en 230 días
plazo con una tasa del 20% trimestral calcule el valor actual, el 5 de junio del
mismo año considerando una tasa de interés del 16% semestral.
i = 0,20 trimestral
5100 7706,67
13/febrero 5/junio 1/octubre
44 156 274
i = 0,16 semestral
M = C ( 1 + i . t ) t) 274 C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
M = 5100 (1 + 0,20(230/90)) -156 C =
7706,67
1+0,16(
118
180
)
M = 7706,67 118 días C = 6975,06
Un documento de $9300 se firma el 13 de noviembre del 2007 con una tasa
de interés del 1% mensual desde su suscripción, el documento vence el 5 de
marzo del siguiente año determine el valor actual de ese documento el 2 de
febrero si se aplica una tasa del 9% semestral.
i = 0,01 mensual
9300 9650,30
13/noviembre/2007 2/febrero 5/marzo
317 33 64
i = 0,09 semestral
t ) 64 M = C ( 1 + i . t ) t) 64 C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
-317 M = 9300 (1 + 0,01 (111/30)) -33 C =
9650,30
1+0,09(
31
180
)
366 M = 9650,30 31 días C = 9503,00
113 días

Un documento de $8600 se firma el 5 de junio para meses plazo con una
tasa 3% mensual determine el valor actual, el 12 de octubre con una tasa del
9% semestral
i = 0,03 mensual
8600 10406
5/junio 12/octubre 5/enero
156 285 5
i = 0,09 semestral
M = C ( 1 + i . t ) t) 5 C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
M = 8600 (1 + 0,03(7)) -285 C =
10406
1+0,09(
85
180
)
M = 10406 365 C = 9981,77
85 días
Un documento de $5800 se suscribe el 7 de enero con una tasa del 14% a 7
meses plazo hallar el valor actual a 3 meses antes de su vencimiento si la
tasa es del 20% trimestral.
i = 0,14 anual
5800 6273,66
7/enero 3 meses antes 5/enero
7 219
i = 0,20 trimestral
M = C ( 1 + i . t ) t) 188 C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
M = 5800 (1 + 0,14(7/12)) -127 C =
6273,66
1+0,20(1)
M = 6273,66 61 días C = 5228,05

Hallar el valor actual de un documento firmado por $20000 con una tasa del
15% semestral desde el 11 de noviembre del 2007 hasta el 23 de febrero del
siguiente año, el 4 de enero de 1908 con una tasa del 22% trimestral.
i = 0,15 semestral
20000 21750
11/noviembre/2007 4/enero 23/febrero
315 4 54
i = 0,22 trimestral
t ) 54 M = C ( 1 + i . t ) t) 54 C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
-315 M = 20000(1 + 0,15 (105/180)) - 4 C =
21750
1+0,22(
50
90
)
366 M = 21750 50 días C = 19381,19
105 días
Calculo de la tasa de interés
i =
𝐼
𝐶 . 𝑡
cuando no se conoce el monto i =
𝑀−𝐶
𝐶 . 𝑡
cuando se conoce el monto
Hallar la tasa de interés de un documento de $3800 que genera un interés de
$ 60 en 170 días.
Datos
C = 3800 i =
𝐼
𝐶 . 𝑡
I = 60 i =
60
3800 (
170
360
)
t = 170 días i = 3,34%

Determine a que tasa de interés mensual se debe colocar un capital de $9500
para obtener el triple en 280 días.
Datos
C = 9500 i =
𝑀−𝐶
𝐶 . 𝑡
t = 280 días i =
28500 − 9500
9500 (
280
30
)
M = 28500 i = 21,4286%
Hallar a que tasa de interés trimestral se debe colocar un capital de $12500
para que produzca $17100 desde el 4 de noviembre del 2007 hasta el 20 de
marzo del 2010.
Datos
C = 12500 i =
𝑀−𝐶
𝐶 . 𝑡
M = 17100 i =
17100 − 12500
12500 (
867
90
)
t = 79 i = 3,82010%
-308
+1096
867 días
Hallar a que tasa de interés semestral se debe colocar un capital de $2000
para que produzca ¾ veces más colocados desde 7 de octubre hasta el 30 de
diciembre del mismo año.
Datos
C = 2000 i =
𝑀−𝐶
𝐶 . 𝑡
M = 3500 i =
3500 − 2000
2000 (
84
180
)
t = 364 – 280 = 84 días i = 160, 7143%

Hallar a que tasa a la que se debe colocar un capital de $15000 para que
produzca $22000 durante 11 meses.
Datos
C = 15000 i =
𝑀−𝐶
𝐶 . 𝑡
M = 22000 i =
22000 − 15000
15000 (
11
12
)
t = 11 meses i = 50, 9191%
Hallar a que tasa de interés semestral se debe colocar un capital de $8000
para que me genere $11300 durante 7 meses.
Datos
C = 8000 i =
𝑀−𝐶
𝐶 . 𝑡
M = 11300 i =
11300 − 8000
8000 (
7
6
)
t = 7 meses i = 35, 3571%
Calculo del tiempo
t =
𝐼
𝐶 . 𝑖
cuando no se conoce el monto t =
𝑀−𝐶
𝐶 . 𝑖
cuando se conoce el monto
Hallar en que tiempo un capital de $ 7200 produce un interés de $ 350 con
una tasa del 9%.
t =
𝐼
𝐶 . 𝑖
t =
350
7200(0,09)
t = 0, 5401 años
t = 194 días
t = 6 meses, 14 días, 11horas.

En qué tiempo un capital de $ 6400 se convirtió en $ 13800 con una tasa del
15% semestral.
t =
𝑀−𝐶
𝐶 . 𝑖
t =
13800−6400
6400(0,15)
t = 7,70 semestres
t = 1388 días
t = 4 meses, 7 días, 2 horas.
En qué tiempo un capital de $ 2200 se convierte en $ 3000 con una tasa del
3% mensual.
t =
𝑀−𝐶
𝐶 . 𝑖
t =
3000−2200
2200(0,03)
t = 4 meses, 3 días, 15 horas.
t = 364 días
Interés de saldos deudores
En muchas instituciones y casas comerciales que operan con crédito utilizando
mecanismos para calcular el interés sobre saldos deudores es decir sobre saldos
que quedan después de reducir cada cuota que se paga.
Existen 2 métodos que son:
 Acumulación de interés ( método lagarto)
 Acumulación de intereses sobre saldos deudores.

Ejemplos:
Una cooperativa de ahorro y crédito otorga un préstamo por $ 8000 a 13
meses plazo con una tasa del 3% mensual determine el valor de la cuota fija
que se debe pagar por los 2 métodos.
Método lagarto. Método de Saldos Deudores.
M = C (1 + i . t) VCSI =
𝐂
# 𝐜𝐮𝐨𝐭𝐚𝐬
I1 = C . i . t
M = 8000 (1 + 0,03(13)) VCSI =
8000
13
I1 = 8000(0,03)(1)
M = 11120 VCSI = 615,38 I1 = 240
VCF =
𝐌
C1 = VCSI + I1 I2 = C . i . t
VCF =
11120
13
C1 = 615,38 + 240 I2 = 7384,42 (0,03)(1)
VCF = 855,38 C1 = 855,38 I2 = 221,53
I = M – C C2 = VCSI + I2 U = a1 + (n – 1) d
I = 11120 – 8000 C2 = 615,38 + 221,53 U = 855,38 + 12 (-18,47)
I = 3120 C2 = 836,91 U = 633,74
S = n/2 (a1 + U) CFM = S/# cuotas
S = 13/2 (855,38 + 633,74) CFM = 9679,28/13
S = 9679,28 CFM = 744,56
CFM = a1 + U / 2 I = S - C
CFM = 855,38 + 633,74 / 2 I = 9679,28 - 8000
CFM = 744,56 I = 1679,28
i = I / C . t i = 1679,28 / 8000(13) i = 1,6151%

Una empresa comercial vende autos cuyo precio es de $17000 con una
entrada del 30% y el saldo a 4 años plazo con una tasa del 19%. Determine el
valor de la cuota fija mensual que se debe cancelar por los dos métodos.
C = 17000(0,70) VCSI =
𝐂
I1 = C . i . t
C = 11900 VCSI =
11900
48
I1 = 11900(0,19)(1/12)
VCSI = 247,92 I1 = 188,42
M = C (1 + i . t) C1 = VCSI + I1 I2 = C . i . t
M = 11900 (1 + 0,19(4)) C1 = 247,92 + 188,42 I2 = 11652,08 (0,19)(1/12)
M = 20944 C1 = 436,34 I2 = 184,49
VCF =
𝐌
C2 = VCSI + I2 U = a1 + (n – 1) d
VCF =
20944
4
C2 = 615,38 + 184,49 U = 436,34 + 47 (-3,93)
VCF = 436,33 C2 = 432,41 U = 251,63
I = M – C S = n/2 (a1 + U) CFM = S / # cuotas
I = 20944 – 11900 S = 48/2 (436,34 + 251,63) CFM = 16511,52/48
I = 9044 S = 16511,52 CFM = 343,99
CFM = a1 + U / 2 I = S - C
CFM = 436,34 251,63 / 2 I = 16511,52 - 11900
CFM = 343,99 I = 4611,28
i = I / C . t i = 4611,28/ 11900(4) i = 9,687%

Una persona adquiere una casa en $ 35000 da como entrada el 18% y el resto
se compromete a cancelar en 5 años 6 meses con una tasa del 21%.
Determine el valor de la cuota mensual por los dos métodos.
C = 35000(0,82) VCSI =
𝐂
I1 = C . i . t
C = 28700 VCSI =
28700
66
I1 = 28700 (0,21)(1/12)
VCSI = 434,85 I1 = 502,25
M = C (1 + i . t) C1 = VCSI + I1 I2 = C . i . t
M = 28700(1+0,21(5,5)) C1 = 434,85 + 502,25 I2 = 28700 (0,21)(1/12)
M = 61848,5 C1 = 937,1 I2 = 494,64
VCF =
𝐌
C2 = VCSI + I2 U = a1 + (n – 1) d
VCF =
61848 ,5
66
C2 = 434,85 + 494,64 U = 937,1+ 65 (-7,61)
VCF = 937,10 C2 = 929,49 U = 442,45
I = M – C S = n/2 (a1 + U) CFM = S / # cuotas
I = 61848,5 – 28700 S = 66/2 (937,1+ 442,45) CFM = 45525,16 /66
I = 33148,5 S = 45525,16 CFM = 689,78
I = S - C i = I / C . t
I = 45525,16 - 28700 i = 16825,15/ 28700(66)
I = 16825,15 i = 0,8882%

DESCUENTO SIMPLE O RACIONAL
Dr = M – C
Hallar el descuento racional de un documento de $5700 firmado el 20 de abril
a 4 meses plazo, si se descuenta el 12 de julio del mismo año con una tasa
del 11%.
5700 5700
20/abril 12/julio 20/agosto
110 193 232
i = 0,11
t ) 232 C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
Dr = M – C I = C . I . t
-193 C =
5700
1+0,11(
39
360
)
- 4 Dr = 5700 - 5632,87 I = 67,13
39 días C = 5632,87 Dr = 67,13
Determine el descuento racional de un pagare de $9300 firmado el 11 de
mayo a 270 días plazo con una tasa del 15% trimestral, si se descuenta el 5
de enero del siguiente año con una tasa del 1% mensual.
i = 0,15 trimestral
9300 13485
11/mayo 5/enero 5/febrero
131 5 t)31 días 36
i = 0,01mensual
M =C(1+i . t) C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
Dr = M – C
M = 9300(1+0,15(270/90) C =
13485
1+0,01(
31
30
)
- 4 Dr = 13485-13347,08
M = 13485 C = 13347,08 Dr = 67,13

Un comerciante firma el 5 de agosto del 2007 un pagare por $ 5700 a 235 días
plazo con una tasa del 9%, determine el descuento racional 20 días antes de
su vencimiento con una tasa del 22% semestral.
i = 0,19
5700 6406,96
5/agosto 20 días antes 28/marzo
217 i = 0,22 87
M =C(1+i . t) C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
Dr = M – C
M = 5700(1+0,19(235/360) C =
6406,96
1+0,22(
20
180
)
- 4 Dr = 6406,96 - 6254,08
M = 6406,96 C = 6254,08 Dr = 152,88
DESCUENTO BANCARIO O BURSÁTIL
Db = M . d . t Cb = M ( 1 – d . t ) tasa de descuento
Db = descuento bancario o bursátil
M = monto
d = tasa de descuento
t = tiempo
Hallar el descuento bancario de un capital de $8300 firmado el 6 de marzo a
210 días plazo si se descuenta el 5 de junio del mismo año con una tasa del
11%.
8300 8300
6/marzo 5/junio 2/octubre
65 156 275
Db = M . d . t
Db = 8300(0,11)(119/360)
Db = 301,80

Determine el valor efectivo que recibe una persona que realiza un descuento
de un pagare por $3900 firmado el 15 de mayo a 190 días plazo con una tasa
del 18% si se descuenta el 4 de julio del mismo año al 20%.
i = 0,17
3900 4249,92
15/mayo 4/julio 21/noviembre
135 185 325
d = 0,20
t = 140
M =C(1+i . t) Db = M . d . t
M = 3900(1+0,17(190/360)) Db = 4249,92(0,20)(140/360)
M = 4249,92 Db = 330,55
C = M – Db Cb = M (1-d.t)
C = 4249,92 - 330,55 Cb = 4249,92( 1 – 0,20 (140/360))
C = 3919,37 Cb = 3919,37
Una persona solicita un préstamo en un banco por $9500 a 200 días plazo,
determine el valor efectivo si se aplica el descuento del 13%
Cb = M (1-d.t) Db = M . d . t
Cb = 9500(1-0,13(200/360)) Db = 9500(0,13)(200/360)
Cb = 8813,89 Db = 686,11
Cuanto debe solicitar una persona en un banco para recibir $5600 que
pagaremos en 13 días plazo con una tasa de descuento del 5%
M =
𝐶
1−𝑑 . 𝑡
M =
5600
1−0,05 (
130
360
)
M = 57022,97

ANÁLISIS ENTRE LA TASA DE INTERÉS (i) Y LA TASA DE DESCUENTO (d)
1) La tasa de interés ( i ) utilizamos en el descuento racional o matemático y
aplicamos sobre el capital
2) La tasa de descuento ( d ) aplicamos en el descuento bancario y se aplica
generalmente en el monto
Encuentre el descuento bancario o bursátil y el descuento matemático o
simple de un pagare de $7300 a 205 días plazo si se descuenta 70 días antes
de su vencimiento con una tasa del 1,5% mensual.
Descuento bancario Descuento simple
Cb = M(1 - i . t) C =
𝑀
1+ 𝑖 . 𝑡
Cb = 7300(1 – 0,015(205/30)) C =
7300
1+0,015(
205
30
)
Cb = 6551,75 C = 6621,32
Db = M – C D = M - C
Db = 6551,75 – 7300 D = 7300 – 6621,32
Db = 748,25 D = 678,68
Db = M . i . t I = C .i .t
Db = 7300(0,015)(205/30) I = 6621,32(0,015)(205/30)
Db = 748,25 I = 678,68
La relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento podemos hallarla
así.
i =
𝑑
1− 𝑑 . 𝑡
d =
𝑖
1 + 𝑖 . 𝑡

Ejemplo:
A que tasa de interés equivale a una tasa de descuento del 20% durante 8
días
i =
𝑑
1− 𝑑 . 𝑡
i =
0,20
1− 0,20(
8
360
)
i = 20,9302%
A que tasa de interés equivale a una tasa de descuento del 9% durante 3
meses
i =
𝑑
1− 𝑑 . 𝑡
i =
0,09
1− 0,09(
3
12
)
i = 9,2071%
A que tasa de descuento equivale una tasa de interés de 20,93% durante 80
días
d =
𝑖
1 + 𝑖 . 𝑡
d =
0,2093
1 + 0.2093 (
80
360
)
d = 19,9997%
A que tasa de descuento equivale una tasa de interés de 25% durante 140
días
d =
𝑖
1 + 𝑖 . 𝑡
d =
0,25
1 + 0.25 (
140
360
)
d = 22,7848%

Una persona realiza un descuento de un pagare suscrito a 220 días plazo por
$3800, 70 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 7%
ese mismo día el Banco del Pacífico redescuento ese documento en el
Banco Central con una tasa del 3%, determine cuanto recibe la persona y
cuanto el banco.
Persona Banco
Cb = M (1 – d . t) Cb = M (1 – i . t)
Cb = 3800 (1 – 0,07 ( 70/360)) Cb = 3800 ( 1 – 0,03(70/360))
Cb = 3748,28 Cb = 3777,83
ECUACIONES DE VALOR
Se utiliza para resolver problemas de matemáticas financiera donde se repasa un
conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento por una o varias
fechas de vencimiento por uno o varios valores previo acuerdo en re-deudas se
aplica en:
1) Remplazar un conjunto de obligaciones o deudas por un solo valor.
2) Comparar ofertas para compra o venta.
3) Calcular el monto de una serie de depósitos a corto plazo.
4) Calcular el capital de una serie de depósitos a corto plazo.
M1 M2 M3 X C1 C2 C3
t1 t2 t3 F. F t4 t5 t6
E O
M = C(1 + i .t) C C C =
𝑀
1+𝑖 . 𝑡
M =
𝐶
1−𝑑 . 𝑡
H A C = M ( 1 – d . t)
A L

Una empresa tiene las siguientes obligaciones: $15000 a 60 días pazo,
$20000 a 120 días pazo, $20000 a 190 días plazo, $30000 a 240 días pazo,
$25000 a 320 días pazo. La empresa desea reemplazar todas estas
obligaciones considerando una tasa del 7% por un solo pago a los 340 días
plazo.
i = 0,07
15000 20000 20000 30000 25000 X
60 120 190 240 320 340
F.F
t1 = 280 X = M1 + M2 + M3 + M4 + M5
t2 = 220 X = 15000(1 + 0,07(280/360)) + 20000(1 + 0,07(220/360)) + 20000(1+
t3 = 150 0,07(130/360)) + 30000(1 + 0,07(100/360)) +25000(1 + 0,07 (20/
t4 = 100 360))
t5 = 20 X = 112936,11
En el problema anterior determine el valor del pago único si se realiza el día
de hoy.
X 15000 20000 20000 30000 25000
0 60 120 190 240 320
X = C1 + C2 + C3 + C4 + C5
𝑋 =
15000
(1 + 0,07 (
60
360
))
+
20000
(1 + 0,07(
120
360
))
+
20000
(1 + 0,07(
190
360
))
+
30000
(1 + 0,07 (
240
360
))
+
25000
(1 + 0,07(
320
360
))
X = 105856,41

En el primer problema calcule el valor si lo hacemos en dos pagos iguales a
los 100 y 260 días plazo considérese como fecha focal los 260 días.
15000 X 20000 20000 30000 X 25000
60 100 120 190 240 260 320
F.F
X = M1 - M2 + M3 + M4 + M5 + C1
X = 15000(1+0,07(260/360)) – x (1+0,07(160/360)) + 20000(1+0,07(140/360)) +
20000(1+0,07(70/360)) + 30000(1+0,07(20/360)) +
25000
(1+0,07(
60
360
))
X = 111228,36 – 1,031x
X + 1,031x = 111228,36
2,031x = 111228,36
X =
111228,36
2,031
X = 54765,32
Una persona debe $1500 a 90 días plazo con una tasa del 13% semestral
$2800 a 170 días plazo con una tasa del 17% trimestral, $4000 a 215 días
plazo con una tasa del 11%. La persona saldar sus deudas por un solo pago
a los 200 días con una tasa de descuento del 2% mensual.
M1 = 1500(1 + 0,13(90/180))
M1 = 1597,50
M2 = 2800(1 + 0,17(170/90))
M2 = 3699,11
M3 = 4000(1 + 0,11(215/360))
M3 = 4262,78

1597,50 3699,11 X 4262,78
90 170 200 215
d = 0,02 mensual F.F
X = M1 - M2 + C1
X =
1597,50
1−0,02 (
110
30
)
+
3699,11
1−0,02 (1)
+ 4262,78 (1 – 0,02(13/30))
X = 9718,68
El propietario de un terreno recibe 3 ofertas la primera $2000 al contado y
$2000 a un año plazo, la segunda $1500 al contado y dos letras de $1300
cada uno a 4 y 7 meses plazo, la tercera $2000 al contado una letra de $800 a
4 meses plazo y otra $1700 a 6 meses plazo. ¿Cuál de las ofertas sugiere
usted para la venta de ese terreno si se recarga el 3% mensual?
Primera Oferta Segunda Oferta
2000 2000 1500 1300 1300
0 12m 0 4 7 m
X = 2000 +
2000
1+0,03 (12)
X = 1500 +
1300
1+0,03 (4)
+
1300
1+0,03 (7)
X = 3470,59 X = 3735,1º
Tercera Oferta
2000 800 1700
0 4 6 m
X = 2000 +
800
1+0,03 (4)
+
1700
1+0,03 (6)
X = 4154,96
Se sugiere la tercera oferta.

Una persona realiza depósitos de $70 mensuales durante 4 meses en un
banco que reconoce el 1,5% mensual. Determine el monto que acumula al
final de los 4 meses.
i = 0,015 X
70 70 70 70
1 2 3 4
F.F
X = 70(1+0,015(3)) + 70(1+0,015(2)) + 70(1+0,015(1)) + 70
X = 286,30
En el problema anterior calcule el monto si la tasa de interés se liquida en
forma anticipada teniendo en cuenta que los intereses serán liquidados en
forma anticipada.
70 70 70 70 X
0 1 2 3 4
F.F
X = 70(1+0,015(4)) + 70(1+0,015(3)) + 70(1+0,015(2)) + 70(1+0,015(1))
X = 290,50
Hallar el cálculo del valor original de la deuda de una persona que realiza
una serie de 5 pagos mensuales de $350 para cancelar dicha deuda con una
tasa de interés del 2% mensual.
i = 0,02 mensual
X 350 350 350 350 350
0 1 2 3 4 5
F.F
X =
350
1+0,02 (1)
+
350
1+0,02 (2)
+
350
1+0,02 (3)
+
350
1+0,02 (4)
+
350
1+0,02 (5)
X = 1652,12

En el problema anterior determine el valor de la deuda original si la tasa de
interés y los meses se cobra por anticipado.
350 350 350 350 350
0 1 2 3 4
F.F
X = 350 +
350
1+0,02 (1)
+
350
1+0,02 (2)
+
350
1+0,02 (3)
+
350
1+0,02 (4)
X = 1683,94
CUENTAS DE AHORRO
Semestral
Enero – Junio Julio – Diciembre
1 – 181 182 – 365
La propietaria de una cuenta de ahorro realiza las siguientes transacciones
el 7 de enero deposita $1500 para abrir la cuenta, el 13 de febrero deposita
$800, el 15 de marzo retira $600, el 4 de abril deposita $200, el 4 de junio
retira $650, si la cuneta de ahorro gana una tasa de interés del 12%.
Determine el saldo al primer semestre.
Depósitos
I1 = 1500(0,12)(174/360) I2 = 800(0,12)(137/360) I3 =200(0,12)(87/360)
I1 = 87 I2 = 36,53 I3 = 5,80
Deposita
A favor
Retiro
En contra

Retiros
I1 = 600(0,12)(107/360) I2 = 650(0,12)(26/360)
I1 = 21,40 I2 = 5,63
Interés a favor Interés en contra
IA = I1 + I2 + I3 IC = I1 + I2
IA = 87 + 36,53 + 5,80 IC = 21,46 + 5,63
IA = 129,32 IC = 27,03
Interés liquido
IL = IA – IC
IL = 129,32 – 27,03
IL = 102,30
Capital Monto
C = 1500 + 800 + 200 – 600 – 650 M = 1250 + 102,30
C = 1250 M = 1352,30 al 30 de junio
FECHA DEPOSITO RETIRO SALDO INTERES
+
INTERES
-
07 – 01 1500 1500 87
13 – 02 800 2300 36,53
15 – 03 600 1700 21,40
04 – 04 200 1900 5,80
04 – 06 650 1250 5,63
162,30 102,30
Al mes de
junio
1352,30 129,33 27,03

La propietaria de una cuenta de ahorro realiza las siguientes transacciones
el 3 de enero deposita $1000 para abrir la cuenta, el 5 de febrero deposita
$800, el 4 de marzo retira $650, el 6 de abril retira $200, el 10 de mayo
deposita $800, el 7 de junio retira $900. Si la cuenta de ahorro gana una tasa
de interés del 5%. Determine el saldo al primer semestre.
Depósitos Retiro
I1 = 1000(0,05)(178/360) I1 = 650(0,05)(118/360)
I1 = 24,72 I1 = 10,65
I2 = 800(0,05)(145/360) I2 = 200(0,05)(85/360)
I2 = 16,11 I2 = 2,36
I3 = 800(0,05)(51/360) I3 =900(0,05)(23/360)
I3 = 5,67 I3 = 2,88
Interés a favor Interés en contra
IA = I1 + I2 + I3 IC = I1 + I2 + I3
IA = 24,72 + 16,11 + 5,67 IC = 10,65 + 2,36 + 2,88
IA = 46,56 IC = 15,89
Interés liquido
IL = IA – IC
IL = 46,56 – 15,89
IL = 30,61
Capital a favor Capital en contra
CA = 1000 + 800 + 800 CC = 650 + 200 + 900
CA = 2600 CC = 1750

Capital Liquido Monto Liquido
CL = CA – CC ML = CL + IL
CL = 2600 – 1750 ML = 850 + 30,61
CL = 850 ML = 880,61 al 30 de junio
+
INTERES
-
03 – 01 1000 1000 24,72
05 – 02 800 1800 16,11
04 – 03 650 1150 10,65
06 – 04 200 950 2,36
10 – 05 800 1750 5,67
07 - 06 900 850 2,88
30 - 06 30,61 880,61 46,50 15,89
Una persona posee una cuenta de ahorro en una institución financiera que
posee un saldo de $2800 el 30 de junio y realiza las siguientes
transacciones: el 4 de julio retira $650, el 9 de agosto deposita $600, el 20 de
septiembre retira $350, el 9 de octubre deposita $800, el 3 de noviembre
retira $200, el 20 de diciembre retira $100, si la tasa de interés del 7% liquida
la cuenta semestralmente en el segundo semestre.
+
INTERES
-
30 – 06 2800 100,18
04 – 07 650 2150 22,75
09 – 08 600 2750 16,80
20 – 09 350 2400 6,94
09 – 10 800 3200 12,91
03 – 11 200 3000 2,26
20 - 12 100 2900 0,21
31 - 12 97,73 2997,33 129,89 32,16

Mayra posee una cuenta de ahorro y ha realizado las siguientes
transacciones, el 10 de enero abre la cuenta con $1500, el 4 de febrero
deposita $600, el 9 de marzo retira $800, el 10 de abril deposita $400, el 4 de
junio retira$300, el 2 de julio retira $100, el 15 de agosto deposita $700, el 4
de septiembre retira $300, el 10 de noviembre deposita $700, el 24 de
diciembre retira $400. Determine el saldo al 31 de diciembre si se considera
una tasa del 6 % para el primer semestre y una tasa del 4% para el segundo
semestre, la cuenta se liquida semestralmente.
+
INTERES
-
10 – 01 1500 1500 42,75
04 – 02 600 2100 14,60
09 – 03 800 1300 15,07
10 – 04 400 1700 5,40
04 – 06 300 1400 1,30
30 – 06 46,38 1446,38 62,75 16,37
30 – 06 1446,38 29,57
02 – 07 100 1346,38 2,02
15 – 08 700 2046,38 10,37
04 – 09 300 1746,38 3,93
10 – 11 700 2046,38 3,97
31 – 12 38,01 2084,38 44,27 6,26
INTERES COMPUESTO
La diferencia entre el interés simple y el interés compuesto es que el interés
simple se calcula una sola vez y se utiliza corto plazo y el interés compuesto se
utiliza a largo plazo.
Ejercicio
Determine el monto simple y el interés simple; el monto compuesto y el
interés compuesto de un capital de $4000 con una tasa del 13% durante 5
periodos.
Monto e interés simple. Monto e interés compuesto
M = 4000(1+0,13(5)) Para el primer año o periodo
M = 6600 M1 = 4000(1+0,13(1))
M1 = 4520

I = 6600 – 4000 Para el segundo año o periodo
I = 2600 M2 = 4520 (1+0,13(1))
M2 = 5107,60
Para el tercer año o periodo
M3 = 5107,60 (1+0,13(1))
M3 = 5771,59
Para el cuarto año o periodo
M4 = 5771,59 (1+0,13(1))
M4 = 6521,89
Para el quinto año o periodo
M5 = 6521,89 (1+0,13(1))
M5 = 7369,74
I = 7369,74 – 4000
I = 3369,74
Variables que intervienen en el interés compuesto (i) tasa de interés efectiva.
𝒊 =
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜
𝒊 =
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
𝑚
n = (meses que tiene la capitalización en un año) t n = m . t
Ejercicios
Determine el número de periodos de convertibilidad (m) y la tasa de interés
(i) durante 9 años con una tasa del 22% convertible semestralmente.
𝒊 =
𝐼
𝑚
n = m . t
𝒊 =
0,22
2
n = 2 (9)
i = 11% n = 18 semestres

Determine “n” e “i” de un capital colocado a interés compuesto durante 11
años con una tasa del 17% capitalizable trimestralmente.
𝒊 =
𝐼
𝑚
n = m . t
𝒊 =
0,17
4
n = 4 (11)
i = 4,25% n = 44 trimestres
años con una tasa del 19% capitalizable bimensualmente.
𝒊 =
𝐼
𝑚
n = m . t
𝒊 =
0,19
6
n = 6 (17)
i = 1,66% n = 102 bimestres
años con una tasa del 11% compuesto quimestralmente.
𝒊 =
𝐼
𝑚
n = m . t
𝒊 =
0,11
2,4
n = 2,4 (19)
i = 4,583% n = 45,6 quimestres
MONTO COMPUESTO
M = C (1+i)n M = c (1 +
𝑗
𝑚
)m . t

Ejercicios
Una empresa obtiene un préstamo de $20000 a 9 años plazo con una tasa del
15% convertible semestralmente. Determine el monto y el interés compuesto
Datos M = c (1 +
𝑗
𝑚
)m . t
I = M – C
C = 20000 M = 20000 (1 +
0,15
2
)2 . 9
I = 73516,08 – 20000
j = 0,15 M = 20000 ( 1 + 0,075)18 I = 53516,08
m = 2 M = 73516,08
t = 9
Una empresa obtiene un préstamo de $50000 a 15 años plazo con una tasa
del 22% convertible trimestralmente. Determine el monto y el interés
compuesto
Datos M = c (1 +
𝑗
𝑚
)m . t
I = M – C
C = 50000 M = 50000 (1 +
0,22
4
)4 . 15
I = 1241988,52– 50000
j = 0,22 M = 50000 ( 1 + 0,055)60 I = 1191988,52
m = 4 M = 1241988,52
t = 15
Andrea obtiene un préstamo de $35000 a 20 años plazo para construir su
casa con una tasa del 14% compuesto bimensualmente. Determine el monto
y el interés que paga.
Datos M = c (1 +
𝑗
𝑚
)m . t
I = M – C
C = 35000 M = 35000 (1 +
0,14
6
)6 .20
I = 555168,66 – 35000
j = 0,14 M = 50000 ( 1 + 0,0232)120 I = 520168,66
m = 6 M = 555168,66
t = 20

Monto con convertibilidad
Monto compuesto con una tasa de interés en forma instantánea o continua
M = C . e j . t
e = 2,7182
Calcule el monto de un capital de $40000 a interés compuesto durante 20
años y 9 meses si la tasa de interés es:
a) 7% efectiva
M = 40000 ( 1 + 0,07 )20,75
M = 162844,61
b) 7% convertible semestralmente
M = 40000 ( 1 + 0,035 )41,5
M = 166757,17
c) 7% capitalizable quimestralmente
M = 40000 ( 1 + 0,02917 )49,80
M = 167462,85
d) 7% compuesto cuatrimestralmente
M = 40000 ( 1 + 0,0233 )62,25
M = 167781,91
e) 7% convertible trimestralmente
M = 40000 ( 1 + 0,0175 )83
M = 168817,19
f) 7% capitalizable bimensualmente
M = 40000 ( 1 + 0,0116 )124,5
M = 169381,14

g) 7% compuesto mensualmente
M = 40000 ( 1 + 0,00583 )240,75
M = 162126,42
h) 7% compuesto diariamente
M = 40000 ( 1 + 0,000194 )7570
M = 173697,80
i) 7% con capitalización continua
M = C . e j . t
M = 40000 ( 2,7182 )( 0,07 . 20,75)
M = 170943,95
MONTO COMPUESTO CON PERIODOS DE CONVERTIBILIDAD
FRACCIONARIA
Cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de convertibilidad se
presenta el caso de los periodos de capitalización fraccionaria.
Ejercicios
El tiempo de pago de una deuda es de 4 años y 9 meses, la tasa de interés es
del 14% compuesto semestralmente.
i = 0,14 / 2 n =
4 ( 12 ) + 9
6
i = 0,07 n =
57
6
n = 9
1
2
En 5 años y 3 meses con una tasa quimestralmente
n =
5 ( 12 ) + 3
5
n =
63
5
n = 12
3
5

En 5 años y 7 meses con una tasa cuatrimestralmente
n =
5 ( 12 ) + 7
4
n =
67
4
n = 16
3
4
En 9 años y 1 meses con una tasa trimestralmente
n =
9 ( 12 ) + 1
3
n =
109
3
n = 36
1
3
En 8 años y 9 meses con una tasa bimensualmente
n =
8 ( 12 ) + 9
2
n =
105
2
n = 52
1
2
PARA RESOLVER ESTE TIPO DE PROBLEMAS EXISTE DOS MÉTODOS
 Método matemático
 Método comercial
Método matemático.- es donde se utiliza la calculadora con el valor exacto Ej:
105
2
Método Comercial.- es este método es donde la parte entera trabaja con el
interés compuesto y la fraccionaria con la fórmula del interés simple.
Ejercicios

Determine el monto de una deuda $4800 a interés compuesto durante 7 años
y 8 meses plazo con una tasa del 15% convertible semestralmente.
n =
7 ( 12 ) + 8
6
i =
0,15
2
n =
92
6
i = 0,075
n = 15
1
3
Método matemático Método comercial
M = 4800 ( 1,075 )92/6 M = 4800 ( 1,075 )15 ( 1 + 0,075(
1
3
))
M = 14549,15 M = 15557,68
Determine el monto por los dos métodos de un capital de $9000 a 9 años y 7
meses plazo con una tasa del 12% compuesto quimestralmente.
n =
9 ( 12 ) + 7
5
i =
0,12
2,4
n =
115
5
i = 0,05
n = 23
Método matemático
M = 9000 ( 1,05 )115/5
M = 27643,71
Determine el monto por los dos métodos de un capital de $12000 a 8 años y
6 meses plazo con una tasa del 8% compuesto cuatrimestralmente.
n =
8 ( 12 ) + 6
4
i =
0,08
3
n =
102
4
i = 0,0266
n = 25
1
2

M = 12000 ( 1,0266 )102/4 M = 12000 ( 1,0266 )25 ( 1 + 0,0266(
1
2
))
M = 23437,01 M = 23439,63
Determine el monto por los dos métodos de un capital de $4800 a 15 años y
2 meses plazo con una tasa del 9% compuesto quimestralmente.
n =
15 ( 12 ) + 2
5
i =
0,09
2,4
n =
182
5
i = 0,0375
n = 36
2
5
M = 4800 ( 1,0375 )182/5 M = 4800 ( 1,0375 )36 ( 1 + 0,0375(
2
5
))
M = 18331,93 M = 18334,92
TASAS EQUIVALENTES
Tasa nominal ( j )
Es aquella que se convierte varias veces en el año.
Tasa efectiva ( i )
Es aquella que actúa una sola vez en el año.
Dos tasas anuales, el interés con diferentes periodos de convertibilidad son
equivalentes si se produce el mismo interés compuesto al final de un año.
Ejercicios
En el cálculo del monto siempre el método comercial es
mayor que el método matemático.

Hallar el monto de un capital de $100 al 18% convertible mensualmente.
M = 100 ( 1 + 0,015 )12
M = 119,56
Hallar el monto compuesto de un capital de $100 con una tasa efectiva del
19,5618%.
M = 100 ( 1 + 0,195618 )1
M = 119,56
A que tasa efectiva equivale una tasa nominal del 15% compuesta
trimestralmente.
i = ( 1+
𝑗
𝑚
)m – 1
i = ( 1+
0,15
4
)4 – 1
i = 15,865%
A que tasa efectiva equivale una tasa nominal del 13% compuesta
bimensualmente.
i = ( 1+
𝑗
𝑚
)m – 1
i = ( 1+
0,13
6
)6 – 1
i = 13,7248%
1 + i = ( 1+
𝑗
𝑚
)m
i = ( 1+
𝑗
𝑚
)m – 1
j = m ( √1 + 𝑖
𝑚
– 1 )

A que tasa nominal convertible trimestralmente equivale una tasa efectiva
del 17%
j = 4 ((1 + 0,17)1/4 – 1 )
j = 16,0125%
A que tasa nominal convertible quimestralmente equivale una tasa efectiva
del 16%
j = 2,4 ((1 + 0,16)1/2,4 – 1 )
j = 15,3105%
ALTERNAVIVAS DE INVERSIÓN
Gabriela desea invertir $50000 durante 4 años y tiene las siguientes ofertas:
a) Una tasa de interés de 4 ¼% efectiva.
i = 4 ¼
i = 4,25%
b) Una tasa del 4% capitalizable semestralmente.
i = ( 1 + 0,04/2 )2 – 1
i = 4,04%
c) Una tasa del 4,2% compuesta trimestralmente
i = ( 1 + 0,042/4 )4 – 1
i = 4,266%
d) Una tasa del 4% convertible mensualmente
i = ( 1 + 0,04/12 )12 – 1
i = 4,074%
¿Cuál de estas tasas le conviene?
Le conviene la oferta “c”

CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS ANTICIPADA
Es aquella que nos permite pagar o cobrar los intereses por adelantado.
1 + i = ( 1 -
𝑑
𝑚
)-m 1 + i = ( 1 +
𝑗
𝑚
)m
Ejercicios
A que tasa de interés efectiva anticipada es igual a una tasa anticipada del
20% convertible semestralmente.
1 + i = ( 1 -
𝑑
𝑚
)-m
i = ( 1 -
0,20
2
)-2 – 1
i = 23,4567%
A que tasa de interés anticipada anual convertible trimestralmente es
equivalente a una tasa efectiva anticipada del 15%.
d = m ( 1 – ( 1 + i )-1/m)
d = 4 ( 1 – ( 1 + 0,15 )-1/4)
d = 13,7348%
A que tasa anticipada convertible mensualmente es equivalente a una tasa
efectiva anticipada del 17%.
d = m ( 1 – ( 1 + i )-1/m)
d = 12 ( 1 – ( 1 + 0,17 )-1/12)
d = 15,5981%
A que tasa de interés efectiva anticipada es equivalente a una tasa
anticipada del 21% compuesto quimestralmente.
1 + i = ( 1 -
𝑑
𝑚
)-m
i = ( 1 -
0,21
2,4
)-2,4 – 1
i = 24,5779%

CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA
M = C ( 1 + i )n i = √
𝑀
𝐶
𝑛
– 1
A que tasa efectiva se convierte un capital de $300 en $750 durante 4 años.
i = √
𝑀
𝐶
𝑛
– 1
i = √
750
300
4
– 1
i = (
750
300
)1/4
– 1
i = 25,7433%
A que tasa anual capitalizable trimestralmente se convierte un capital de
$600 en $1500 durante 7 años. Determine su tasa de interés efectiva.
𝑗
𝑚
= (
𝑀
𝐶
)1/m . t
– 1 1 + i = ( 1 +
𝑗
𝑚
)m
𝑗
4
= (
1500
600
)1/28
– 1 i = ( 1 +
0,133064
4
)4 -1
𝑗
4
= 3,3266% i = 13,9852%
j = 13,3064%
A que tasa anual convertible quimestralmente se convierte un capital de
$750 en $3250 durante 4,5 años. Determine su tasa anual efectiva
equivalente.
𝑗
𝑚
= (
𝑀
𝐶
)1/m . t
– 1 1 + i = ( 1 +
𝑗
𝑚
)m
𝑗
2
= (
3250
750
)1/9
– 1 i = ( 1 +
0,353899
2
)2 -1
j = 35,3899% i = 38,5210%

A que tasa anual capitalizable trimestralmente un capital de $4000 se
convierte en ¾ veces más durante 5 años. Determine la tasa efectiva
equivalente.
𝑗
𝑚
= (
𝑀
𝐶
)1/m . t
– 1 1 + i = ( 1 +
𝑗
𝑚
)m
𝑗
4
= (
7000
4000
)1/20
– 1 i = ( 1 +
0,113503
4
)4 -1
j = 11,3503% i = 11,8426%
A que tasa anual convertible bimensualmente se convierte un capital de $900
en $4700 durante 6 años y 10 meses. Determine su tasa anual efectiva
equivalente.
𝑗
𝑚
= (
𝑀
𝐶
)1/m . t
– 1 1 + i = ( 1 +
𝑗
𝑚
)m
𝑗
6
= (
4700
900
)1/41
– 1 i = ( 1 +
0,246833
6
)6 -1
j = 24,6833% i = 27,3655%
CALCULO DEL TIEMPO O PERIODOS EN INTERÉS COMPUESTO
n =
𝑙𝑜𝑔. (
𝑀
𝐶
)
𝑙𝑜𝑔. ( 1+𝑖 )
con tasa efectiva m . t =
𝑙𝑜𝑔. (
𝑀
𝐶
)
𝑙𝑜𝑔. ( 1+
𝑗
𝑚
)
sin tasa efectiva
t =
𝑚 . 𝑙𝑜𝑔. (
𝑀
𝐶
)
𝑙𝑜𝑔. ( 1+
𝑗
𝑚
)
Ejercicios
En qué tiempo un capital de $1000 se convierte en $1800 con una tasa del
12% efectiva.
n =
𝑙𝑜𝑔. (
𝑀
𝐶
)
𝑙𝑜𝑔. ( 1+𝑖 )
n =
𝑙𝑜𝑔. (
1800
1000
)
𝑙𝑜𝑔. ( 1+0,12 )
n = 5,1865 años t = 5 años, 2 meses, 7 días

En qué tiempo un capital de $8300 se convertirá en $16500 con una tasa del
5% convertible quimestralmente.
m . t =
𝑙𝑜𝑔. (
𝑀
𝐶
)
𝑙𝑜𝑔. ( 1+
𝑗
𝑚
)
2,4 . t =
𝑙𝑜𝑔. (
16500
8300
)
𝑙𝑜𝑔. ( 1+
0,05
2,4
)
2,4 . t = 33,3286
t = 13,8869 años
t = 13 años, 10 meses, 19 días
En qué tiempo un capital de $800 se duplicara con una tasa del 16%
capitalizable semestralmente.
m . t =
𝑙𝑜𝑔. (
𝑀
𝐶
)
𝑙𝑜𝑔. ( 1+
𝑗
𝑚
)
2 . t =
𝑙𝑜𝑔. (
16000
800
)
𝑙𝑜𝑔. ( 1+
0,16
2
)
t = 4,5032 años
t = 4 años, 6 meses, 1 día
En qué tiempo un capital de $4800 se convertirá en $13000 con una tasa del
25% compuesta cuatrimestralmente.
n =
𝑙𝑜𝑔. (
𝑀
𝐶
)
𝑙𝑜𝑔. ( 1+
𝑗
𝑚
)
n =
𝑙𝑜𝑔. (
13000
4800
)
𝑙𝑜𝑔. ( 1+
0,25
3
)
n = 4,1507 años
t = 4 años, 1 meses, 24 días

CALCULO DEL CAPITAL
C =
𝑀
( 1+𝑖 ) 𝑛
C =
𝑀
( 1+
𝑗
𝑚
) 𝑚 . 𝑡
Ejercicios
Determine el valor actual de un pagare cuyo valor al vencimiento después de
5 años es $7500 considerando una tasa del 9% capitalizable semestralmente.
C =
𝑀
( 1+
𝑗
𝑚
) 𝑚 . 𝑡
C =
7500
( 1+
0,09
2
)2 . 5
C =
7500
( 1+0,045 )10
C = 4829,46
Determine el valor actual de un documento cuyo monto es $6300 durante 5
años y 9 meses con una tasa del 12% compuesta trimestralmente.
C =
𝑀
( 1+
𝑗
𝑚
) 𝑚 . 𝑡
C =
6300
( 1+
0,12
4
)23
C = 3192,16
Doménica firma un documento cuyo valor nominal es 7100 a 8 años plazo
con una tasa del 8% convertible semestralmente desde su suscripción, si se
vende 2 años antes de su vencimiento con una tasa del 9% compuesto
cuatrimestralmente. Determine el valor actual del documento.
i = 0,04
7100 13298,17
0 t = 2a 8ª
i = 0,03
M = 7100(1,04)16
M = 13298,17

C =
𝑀
( 1+
𝑗
𝑚
) 𝑚 . 𝑡
C =
13298,17
( 1,03 )6
C = 11137
Determine el valor actual de un documento cuyo valor nominal es $100 a 7
años con una tasa del 5% convertible semestralmente desde su suscripción
si se vende 2 años antes de la fecha de vencimiento considerando una tasa
del 11% compuesto trimestralmente.
i = 0,025
5100
0 t = 2a 8ª
i = 0,0275
n= 8
M = 5100(1,025)14
M = 7206,17
C =
𝑀
( 1+
𝑗
𝑚
) 𝑚 . 𝑡
C =
7206,17
( 1,0275 )8
C = 5800.29
Después de 2 años de la fecha de suscripción se negocia un documento de
$300 con vencimiento en 5 años con una tasa del 16% convertible
trimestralmente desde su suscripción determine el valor actual con las
siguientes alternativas
i = 0,053 n= 15
360
0 2a 5ª
t = 3

M = 300(1,053)15
M = 650, 95
a) Tasa del 4% convertible semestralmente
i= 0.02
n= 6
C =
𝑀
( 1+𝑖 ) 𝑛
C =
650.95
( 1,02 )6
C = 578.02
b) Tasa del 7% convertible trimestralmente
i= 0.0425
n= 12
C =
𝑀
( 1+𝑖 ) 𝑛
C =
650 .95
( 1,0425 )12
C = 395.03
c) Tasa del 2% efectiva
i= 0.02
n= 3
C =
𝑀
( 1+𝑖 ) 𝑛
C =
650.95
( 1,02 )3
C = 613.40

Un documento de $4000 con vencimiento en 7 años se negocia después de 3
años desde sus suscripción con una tasa del 19% convertible
semestralmente desde la suscripción para vender este documento se tiene
las siguientes alternativas
i = 0,095 n= 14
4000
0 3a 7ª
t = 4a
M = 4000(1,095)14
M = 14251, 40
a) Tasa del 16% convertible trimestralmente
i= 0.04
n= 16
C =
𝑀
( 1+𝑖 ) 𝑛
C =
14251.40
( 1,04 )16
C = 7608.94
b) Tasa del 19% capitalizable semestralmente
i= 0.095
n= 8
C =
𝑀
( 1+𝑖 ) 𝑛
C =
14251 .40
( 1,095 )8
C = 6895.16
c) Tasa del 23% efectiva
i= 0.23
n= 4

C =
𝑀
( 1+𝑖 ) 𝑛
C =
14251.40
( 1,23 )4
C = 6226.40
VALOR ACTUAL CON TIEMPO FRACCIONARIO
Existen 2 métodos que son la forma matemática o exacta donde se utiliza solo el
interés compuesto y la forma práctica o comercial la parte entera interés
compuesto y la fracción la parte fraccionaria
EJERCICIOS
Hallar el valor actual de un documento que al final de 7 años es $5200
calcúlese después de haber transcurrido 3 años y 4 meses considerando un
tasa del 20% quimestralmente
5200
0 3ª4m 7ª
i = 0,083
n =
3(12)+8
5
t = 3ª8m
n =
44
5
n= 8
4
5
FORMA MATEMÁTICA
C= 5200(1.083) (-44/5)
C= 2577.94
FORMA COMERCIAL
C= 5200(1.083) (-8) (1+0.083(4/5))-1
C= 2576.65
El día de hoy se firma un pagare de $9000 para 7 años 9 meses con una tasa
efectiva del 11% compuesto quimestralmente. Halle el valor de este

documento después de 4 años y 7 meses con una tasa del 17% convertible
bimensualmente
i= 0.0458 20700.80
0 7a9m
M= 9000(1.0458) (93/5) i = 0,028
M= 20700.80 t= 3ª2m
n =
3(12)+2
2
n =
38
2
n=19
FORMA MATEMÁTICA
C= 2070.80(1.028) (-19)
C= 12249.49
ECUACIONES DE VALOR
M X C
F.F
𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊) 𝒏
𝑪 = 𝑴(𝟏 + 𝒊)−𝒏
EJERCICIOS
Una empresa tiene las siguientes obligaciones $9000 aún año plazo $13000 a 18
meses plazo $18000 a 2 años plazo $21000 a 2 años y 6 meses palazo la
empresa desea reemplazar todas sus deudas el día de hoy determine el valor del
pago considerando una tasa de interés del 13% convertible semestralmente.

9000 13000 18000 21000
12m 18m 24m 30m
𝑋 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + 𝐶4
𝑋 = 9000(1,065)−2
+ 13000(1,065)−3
+ 18000(1,065)−4
+ 21000(1,065)−5
𝑋 = 48016,28//
En el problema anterior determine el valor de pago si se realiza a los 38 meses
con una tasa del 15% convertible quimestralmente.
9000 13000 18000 21000
12m 18m 24m 30m
𝑖 = 0,15 ÷ 2.4
𝑖 = 0,0625//
𝑋 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀4
𝑋 = 9000(1,065)
(
26
5
)
+ 13000(1,065)
(
20
5
)
+ 18000(1,065)
(
14
5
)
+ 21000(1,065)
(
8
5
)
𝑋 = 73372,16//
En el problema a determine el valor de pago si se realiza a 20 meses con una tasa
del 13% compuesto cuatrimestralmente.
9000 13000 18000 21000
12m 18m F.F 24m 30m
𝑋 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝐶3 + 𝐶4

𝑋 = 9000(1,043)(2)
+ 13000(1,043)
(
1
2
)
+ 18000(1,043)(−1)
+ 21000(1,043)(−25)
𝑋 = 59227,14//
En el problema 1 determine el valor del pago igual si se realiza 2 pagos iguales si
se realiza a los 15 y 27 meses plazo con una tasa del 23% compuesto
trimestralmente.
9000 x 13000 18000 x 21000
12m 15m 18m 24m 27m 30m
𝑋 = 𝑀1 + 𝑀3 + 𝑀4 + 𝐶1 − 𝑀2
X = 9000(1,0575)(5)
+ 13000(1,0575)(3)
+ 18000(1,0575)(1)
+ 21000(1,0575)(−1)
−
X(1,0575)(4)
𝑋 = 60169,74 − 1,2506𝑋
2,2506𝑋 = 66109,74
𝑋 =
66169,74
2,2506
𝑋 = 29400,93//
TIEMPO EQUIVALENTE
Es el tiempo de vencimiento promedio de 20t deudas.
𝑇𝐸 =
𝑀1∗𝑡1+𝑀2∗𝑡3…….𝑀 𝑁 ∗𝑡 𝑛
𝑀1 +𝑀2+𝑀3
EJERCICIOS
Hallar el tiempo equivalente de las siguientes obligaciones:
$500 a 1 año $300 a 2 años y medio $800 a 3 años y 3 meses y $1500 a 4 años 9
meses plazo.
𝑇𝐸 =
500 (1)+300(3,5)+800(3,25)+1500(4,75)
500+300+800+1500
𝑇𝐸 = 3,54 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑇𝐸 = 3𝑎 6𝑚 14𝑑//
Una persona tiene las siguientes obligaciones $600 a 3 años plazo con una tasa
del 12% convertible semestralmente, $6000 a 6 años y 2 meses con una tasa del
2% mensual, $9000 a 8 años 5 meses con una tasa del 6% efectiva desde su
suscripción la empresa desea reemplazar todas sus deudas por un solo pago con
el tiempo equivalente de los vencimientos determine el valor de dicho pago si se
considera una tasa del 13% compuesto semestralmente.
𝑀1 = 600(1,06)6
= 851,11//
𝑀2 = 1500(1,0375)8
= 2909,89//
𝑀3 = 6000(1,0016)74
= 6753,53//
𝑀4 = 9000(1,06)
101
12 = 14697,16//
𝑇𝐸 =
851 ,11(6)+2909,89(9)+6753,53 (
74
6
)+14697 ,16(166
5
)
851 ,11+2909,89+6753 ,53+14697 ,16
𝑇𝐸 = 14,36 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠//
ANUALIDADES ANTICIPADAS
𝑀 = 𝑅(1 + 𝑖)[
(1+𝑖) 𝑛
−1
𝑖
] 𝐶 = 𝑅 + 𝑅 [
1+(1+𝑖)−𝑛+1
𝑖
]
Una persona deposita al principio de cada trimestre $900 con una tasa de interés
del 14% convertible trimestralmente ¿Cuánto abra acumulado después de 5 años
y 9 meses?
𝑀 = 900(1 + 0,035)[
(1+0,035)23
−1
0,035
]
𝑀 = 3202,55//
Una persona realiza pagos al principio de cada mes por un valor de $120 con una
tasa del 18% compuesta mensualmente cuanto abra pagado de capital en 3 años
8 meses.
𝐶 = 120 + 120[
1−(1+0,015)−43
0 ,015
]
𝐶 = 3902,55//

AMORTIZACIONES
𝑹 =
𝑪∗𝒊
[ 𝟏−(𝟏+𝒊)−𝒏]
EJERCICIO
Una persona consigue un préstamo de $5000 con una tasa del 12% convertible
semestralmente el cual será amortizado mediante pagos iguales cada 6 meses
durante 5 años realice la respectiva tasa de amortización.
R =
5000 (0,06)
[1−(1,06)−10]
𝑅 = 679,34//
Periodo Capital inicial interés cuota Capital final
1 5000 300 679,34 379.34
2 4620,66 277,24 679,34 402,10
3 4218,55 253,11 679,34 426,23
4 3792,32 227,54 679,34 451,80
5 3340,51 200,43 679,34 478,91
6 2861,60 171,69 679,34 507,64
7 2353,95 141,23 679,34 538,10
8 1815,84 108,95 679,34 570,38
9 1245,45 74,72 679,34 604,61
10 640.84 38,45 679,34 640,89
1793,36 6793,40 5000

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