Este documento presenta el cálculo de ecuaciones de intensidad para una estación hidrológica usando la fórmula exponencial o americana. Se obtuvieron valores para los coeficientes K, e, f a través de análisis numérico y mínimos cuadrados. La ecuación resultante expresa la intensidad máxima como una función del tiempo de retorno y la duración de la tormenta.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
Hidrología 1
Ecuaciones de Intensidad
Autor: Bryan Wladimir Ramírez Cabrera
Paralelo: “B” 2012 - 2013

2. 1. Introducción.
Ecuaciones de intensidad
Para eliminar la subjetividad que se presenta al interpolar gráficamente en las
curvas Intensidad – Duración – Frecuencia, se acostumbra determinar
expresiones matemáticas que las representen, entre las más conocidas
tenemos:
Formula de Talbot: La expresión desarrollada por talbot en 1904 es la
siguiente:
I = a / (t + b) En donde:
I = Intensidad máxima probable
t = tiempo estimado de duración de la lluvia con intensidad I
a y b = Constantes que dependen de la región y el período de retorno.
Para obtener los valores de los coeficientes a y b es necesario despejar la
ecuación:
a=I*t+I*b
Si en la ecuación se reemplazan las intensidades máximas I y su respectiva
duración t para el Tr en análisis, se obtiene una serie de ecuaciones con dos
incógnitas (a y b). El sistema de ecuaciones se resuelve realizando todas las
combinaciones posibles, obteniéndose una serie de valores de a y b. Los
valores a intervenir en la ecuación general corresponden a la media de los
obtenidos.
Las constantes a y b son estimadas para cada período de retorno por lo que la
metodología debe aplicarse independientemente a la información agrupada
en cada Tr.
Formula de Grisollet: Grisollet llegó a determinar que los logaritmos de la
intensidad y del intervalo de la duración mantienen una relación lineal, que se
expresa mediante la expresión.
En donde: c y d son coeficientes característicos del sector.
Si se aplican logaritmos a la ecuación anteriores obtiene:
Log I = Log c – d * Log t
De esta manera, la ecuación original se transforma en una ecuación lineal
Y = α + β * X en la que:
Y = Log I
α = Log c
β=-d
td
I=c
X = Log t

3. La determinación de los coeficientes c y d se obtienen mediante un análisis de
regresión lineal siendo:
c = antilogaritmo de α
d=-β
El análisis se realiza con la información correspondiente a cada período de
retorno, por lo que en cada estación habrá tantas ecuaciones como períodos
de retorno se consideren.
Formula exponencial o americana.- Expresa las intensidades con la
relación:
Siendo K, e y f coeficientes característicos del entorno donde está ubicada la
estación. Su valoración puede realizarse a través de un análisis numérico o
gráfico.
2. Materiales y métodos.
Para la realización del presente trabajo fue necesaria la utilización de
Microsoft Excel ya que fácilmente los cálculos y las graficas requeridas se las
puede realizar en el mismo.
El trabajo consistió en la realización de los cálculos necesarios para la
obtención de la ecuación de intensidad con la metodología aprendida en
clases y empleando los datos de la frecuencia de una tormenta de la practica
anteriormente realizada.
El método aprendido en clases fue el de la formula exponencial o americana
que consiste en lo siguiente:
Formula exponencial o americana.- Expresa las intensidades con la
relación:
Siendo K, e y f coeficientes característicos del entorno donde está ubicada la
estación. Su valoración puede realizarse a través de un análisis numérico o
gráfico.
Análisis numérico: Si se asume que A = K * Tre reduciéndose la ecuación de
intensidades a:
Al aplicar logaritmos se obtiene
Log A = log K + e * Log Tr
Log I = Log A – f * Log t
De este análisis se concluye que debido a la relación lineal existente entre los
logaritmos denlas variables, si se construyen las curvas I-D-F en papel Log –
Log la gráfica resultante será una línea recta.

4. Se puede apreciar que la ecuación de Grisollet y la fórmula americana, en su
forma reducida, son análogas por lo que puede aplicar el análisis de mínimos
cuadrados para encontrar el valor de los coeficientes.
El proceso de calculo comprende la conformación de un cuadro en el que
Y = Log I y X =Log de t,
Para luego calcular los coeficientes α1 y β1, aplicando los mínimos cuadrados,
( )( ] ( )( )]
( )] ( )
( ] ( )( )]
( )] ( )
para luego determinar el valor de A y f con:
α1 = Log A A = Antilogaritmo de α1
β1 = - f f = - β1
Este procedimiento se aplica a todos los datos agrupados en cada período de
retorno considerado, para que al final el valor de f que interviene en la
ecuación general sea la media de los valores obtenidos.
Con los valores obtenidos de A, para cada uno de los Tr considerados, se
desarrolla la expresión A = K * Tre, que al ser sometida a logaritmos se
convierte en lineal, lo que permite calcular los valores de K y e aplicando
nuevamente los mínimos cuadrados, considerando esta vez
Y = Log A y X = Log Tr;
Obteniendo los valores de α2 y β2, pudiéndose luego calcular el valor de K y e
aplicando:
α2 = Log K K = Antilogaritmo de α2
β2 = e e = β2
Para finalmente reemplazar los valores obtenidos de K, f y e en la forma
general y obtener la expresión de la ecuación de intensidades máximas de la
estación en análisis.
𝑇𝑟 𝑒
𝐼 𝐾
(𝑡 + 𝑐) 𝑓

5. 3. Análisis de resultados.
Los resultados obtenidos como consecuencia de la metodología antes
mencionada son los siguientes:
Resultados
Tr A c f
10 432,879374 4 0,7402355
25 471,8392241 3 0,7305641
50 481,5673155 2 0,7185262
100 533,2897682 2 0,7213898
500 589,0444776 1 0,7092242
2,4 0,72398796
c= 2,4
f= 0,72
K= 361,6
e= 0,08
𝑇𝑟 0,08
𝐼 361,6
(𝑡 + 2,4)0,7
En la cual se comprobo la veracidad de los calculos determinando la intensidad en un
Tr=25 y un tiemo t=30 dando los siguientes resultados:
Comprobacion con Tr=25, t=30
I= 37,7 Dato inicialmente dado
I= 37,641473 Dato obtenido con la formula

6. 4. Conclusiones y Recomendaciones.
 Se obtuvo resultados acorde a lo que se esperaba desde un principio.
 A menor tiempo de duración de la tormenta, mayor es la intensidad.
 La ecuación determinada nos permite obtener intensidades más
precisas.
 La ecuación de intensidades determinada en sólo es útil para el
análisis de esa estación, no se la puede utilizar para otra estación.
 Todas las tormentas presentan diversas características, no se puede
considerar una igual a otras.
 La gráfica en escala logarítmica nos permite analizar de mejor forma
los resultados ya que son líneas rectas; con lo cual se comprueba la
eficiencia del método aplicado.

7. ANEXOS
Cálculos en la hoja de Excel
Cálculos en la hoja de Excel

8. Cálculos en la hoja de Excel
Cálculos en la hoja de Excel

9. Cálculos en la hoja de Excel
Cálculos en la hoja de Excel

10. BIBLIOGRAFIA
 Monsalve (1999), Hidrología en la ingeniería (2da. Edición), Editorial
Escuela Colombiana de Ingeniería.
 Cuaderno de apuntes de Hidrología 1, Ph.D Fernando Oñate V. 2010