Este documento presenta los detalles de tres problemas resueltos sobre teoría electromagnética para una evaluación. El primer problema involucra calcular la inductancia mutua entre una lámina conductora y una espira. El segundo trata sobre determinar la resistencia eléctrica de un electrodo hemisférico enterrado en el suelo. El tercer problema calcula el voltaje inducido en una bobina cuadrada que gira en un campo magnético constante.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
ING. JORGE FLORES MACÍAS ( )
ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( )
SEGUNDA EVALUACIÓN Fecha: martes 02 de septiembre del 2014
Alumno: ________________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Estudiante Examen Deberes Lecciones
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
Total Segunda
Evaluación

2. Primer Tema (35%):
Se tiene una lámina conductora de ancho a y longitud infinita; en el mismo plano de la
lámina conductora, y a una distancia a se encuentra una espira rectangular de
dimensiones a×2a , tal como se muestra en la siguiente figura. Calcular la inductancia
mutua entre la lámina y la espira.
Para resolver el presente problema, se procederá,
en primer lugar, a determinar la densidad de flujo
magnético producida por una lámina conductora de
ancho a y longitud infinita, por la que circula una
corriente eléctrica de intensidad I , en puntos de
estudio u observación P localizados a una
distancia b , en el mismo plano de la precitada
lámina, y a lo largo de la recta l que se muestra en
la siguiente figura.
Una vez determinado aquello, se denominará a la
lámina conductora como sistema 1 y a la espira
rectangular como sistema 2; y para obtener la
inductancia mutua entre los dos sistemas, se
aplicará el siguiente flujo:
1 12 12 12 I ® B ®F ® M
2a
= y
a
r = b + − x
haciendo u = b + − x ⇒ du = −dx
=
I du I
μ μ
p p
B = − ∫ = −
P u
a u a
 + 
B −−−−μμμμ
=  
Ing. Alberto Tama Franco
B = , donde:
μ
a
u b
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μ
p
0 ( )
2
di
d P
r
I
di dx
a
2
0 ( )
2
2
I
d P dx
a
a b x
p
=
 
 + − 
 
B
2
( ) 0 0 ln
2 2
u b
u b a
u b a
=
= +
= +
μ
p
( ) ( ) 0 ln
2
z
I a b
P
a b
 
a a
a

3. A continuación, para la determinación del flujo
magnético, se procederá a introducir –en la
expresión de la densidad de flujo magnético- una
variable t en lugar de la distancia b , con lo cual se
tendría lo siguiente:
μ
p
 + 
B −−−−μμμμ
( ) ( ) 0 ln
F = ∫ B × S = ∫ B S
S S
F = ∫  + − 
B(P)
a a a a a a a a μ
p
F =  − − − − − + − 
Ia
a a a μ
p
F = − − + + −
Ia
a a a μ
p
F =  − + 
 × 
Ia a a Ia
μ μ
p p
27 27
F =   ⇒ F =
ln ln
a
 
F F
= ⇒ =
2 12 12
12 12
1 1,
N I I
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=  
0d d cos o
μ
p
  ∫
t a
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2
z
I t a
P
a t
 
12 12 2 12 2
2 2
2
0
12 ln 2
2
t a
t a
I t a
a dt
a t
=
=
 + 
F =  
( )
2
0
12 ln ln
t a
I
t a t dt
μ
p
=
=
{( ) ( ) [ ]}
2
0
12 ln 1 ln 1
t a
t a
I
t a t a t t μ
p
=
=
F = +  + −  − −
I
( ) ( ) ( ) ( ) 0
12 3 ln 3 1 2 ln 2 1 2 ln 2 1 ln 1
[ ] 0
12 3ln 3 3 4ln 2 4 ln 1
0 3 4
12 ln 27 ln16 ln
3
0 0
12 4 12
16 16
2 1
N
M M
I I
= =
0
12
27
ln
16
Ia
M
I
μ
= p
0
12
27
ln
16
a
M μ
p
=
2a
a a
I
a
t
dt
dS = 2a dt

4. Segundo Tema (35%):
Un electrodo hemisférico es enterrado en un suelo parcialmente conductor con
conductividad s , tal como se muestra en la figura. Determinar:
a) (25%) La resistencia eléctrica de este sistema aterrizado.
b) (5%) La intensidad de campo eléctrico en todos los puntos de la superficie terrestre, si
acaso una corriente I fluye del precitado electrodo a tierra.
c) (5%) ¿Qué sucederá si una persona con zapatos no aislantes se acerca a este
electrodo cuando fluye corriente por el mismo? Explique su respuesta.
a
I I
J = ⇒ J =
( ) ( ) 2
r
a I
= ⇒ =
− = = −∫ E × l = −∫ E l
a r a
 
  ∫
= − = − − 
I  
I
=  −  ⇒ =
V V
ps  a ¥ 
ps a
= ⇒ =
D = − ∫ E × l = − ∫ E l
j d d cos
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2
r a r a
A p r
( )
( )
( ) 2
2
r a r a
s ps r
J
E E
180
a a
j j V d d cos o + −
¥ ¥
2
1
2 2
r
I I
V dr
ps r ps r
=
¥ =¥
1 1
2 2
1
2
V
R R
I ps a
Ahora se procederá a determinar la diferencia de potencial entre los dos pies de una
persona, considerando que la distancia entre ambos pies es d .
180
r r
o
r d r d
+ +
r
I
s
J (r )

5. r r
I I
 
  ∫
D = − = −  − 
r 2
r
dr
I  
Id
D j =  −  ⇒ D j
=
r r d r d r
 +  +
ps ps
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1
2 2
r d r d
j
ps ps + +
1 1
2 2 ( )
De acuerdo al enunciado del presente problema, el electrodo hemisférico es enterrado
en un suelo parcialmente conductor; es decir, que el valor de la conductividad eléctrica
s es muy pequeño. Aunado a esto, la distancia –al caminar- entre los dos pies de una
persona, es generalmente inferior a un metro y si la intensidad de la corriente eléctrica
tiene un valor elevado, se puede colegir que, entre los pies de una persona con zapatos no
aislantes, se tendría una diferencia de potencial muy grande e inclusive fatal.

6. Tercer Tema (30%):
Una bobina cuadrada, de lado a y N espiras, se encuentra centrada inicialmente en el plano
y-z y su eje de rotación coincide con el eje z . En la región donde se encuentra la espira
existe un campo magnético constante B=B0 μx . La espira gira con una velocidad n (rpm)
en la dirección f .
a) (15%) Determinar la expresión para el voltaje V(t) inducido en la bobina.
b) (10%) Calcule el voltaje promedio VPROM que genera la bobina en el lapso de tiempo de
 
n rad seg p
= =   ⇒ =
w p p w
t n
= + − = ⇒ =
t t t t
0 0 0
F = ∫ B × S = ∫ B S
d d cos q
S S
F = B ∫ S ⇒ F =
cos q d B a cos q
n
B a cos t p
d d n
F  p 
N N B a cos t
= − = −  
NB a 2
n n
V t sen t V p p
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= × =
n n
 
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t=0 a t=t1.
c) (5%) Determinar la frecuencia f del voltaje inducido en la bobina.
Debido a que existe movimiento relativo entre el
objeto y campo magnético, se induce un voltaje
en la bobina cuadrada; es así que para obtener
el voltaje inducido en la misma, aplicaremos el
siguiente flujograma:
B12 ®F12 ® 2 E
[ ] [ ]
min n
[ ]
[ ]
1
' / /
60 60
n rev seg n rev min
seg
2 ' 2 [ / ]
60 30
Al girar la bobina, el vector diferencial de superficie formará un ángulo q con la densidad
de flujo magnético, dicho ángulo será el desplazamiento angular de la misma, es decir:
( ) 0
0
30
q
p
q q w w q
=
12 12 2 12 2
2 2
2
12 12 2 12 0
2
S
2
12 0
30
F =
12 2
2 2 0
30
dt dt
 
E
( ) 0
[ ]
2
30 30
E = =
w
x
y
z
B

7. t t
1 2 2 1
p p p p
1
0 0
0 30 30 30 30
= =
1 0 1 0
30
n
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t t
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PROM
NB a n n NB a n n
V sen t dt sen t dt
t t
−
∫ ∫
2 1
0
1 0
PROM
t
NB a n
V cos t
t
p
=
=
= −
2
0
1
1
1
30
PROM
NB a n
V cos t
t
 p 
=  − 
 
Finalmente, la frecuencia f del voltaje inducido en la bobina, estará dada por la siguiente
relación:
'
60
f = n ⇒ f =