SSLL-TE--2014-2S

TERCER
Alumnos: ________________________________________________________________________________
Instrucciones
en blanco para trabajar
Escriba sus respuestas
cuadernillo. No olvide escribir su nombre en todas y cada una de las páginas.
AHORA
que se indique lo contrario, debe razonar las respuestas.
cerrado, en el cual los estudiantes pueden utilizar todo el material de consulta que
ha sido proporcionado en
Profesor:
TERCERA EVALUACIÓN
Alumnos: ________________________________________________________________________________
Instrucciones
en blanco para trabajar
Escriba sus respuestas
AHORA. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las co
Estudiante
ESCUELA
Profesor:
A EVALUACIÓN
Alumnos: ________________________________________________________________________________
Instrucciones: El presente
en blanco para trabajarlos
Escriba sus respuestas dire
. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las co
Estudiantes
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC
SCUELA SUPERIOR POLITÉCNIC
SISTEMAS LINEALES
ING. CARLOS SALAZAR LÓPEZ
ING. ALBERTO TAMA FRANCO
Alumnos: ________________________________________________________________________________
presente examen consta de
los. Asegúrese de que no le falta
directamente en los espacios previst
ha sido proporcionado en las clase
Resumen de
Examen
FIEC-ESPOL – 20
SUPERIOR POLITÉCNIC
SISTEMAS LINEALES
Alumnos: ________________________________________________________________________________
examen consta de
. Asegúrese de que no le falta
ctamente en los espacios previst
clases.
Resumen de Calificaciones
Examen Deberes
-------------
-------------
2014 –2S
SUPERIOR POLITÉCNIC
SISTEMAS LINEALES
Alumnos: ________________________________________________________________________________
examen consta de 4 problemas
. Asegúrese de que no le falta
ctamente en los espacios previst
Calificaciones
Deberes
-------------
-------------
SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
( )
( )
Fecha: jueves
Alumnos: ________________________________________________________________________________
problemas y del correspondiente
. Asegúrese de que no le falta ningún problema por resolver
ctamente en los espacios previstos en las páginas de este
. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes leyendas. Salvo
que se indique lo contrario, debe razonar las respuestas. Este es un examen a libro
Lecciones
-------------
-------------
A DEL LITORAL
)
)
jueves 05 de marzo del 2015
Alumnos: ________________________________________________________________________________
y del correspondiente
roblema por resolver
os en las páginas de este
rrespondientes leyendas. Salvo
Este es un examen a libro
Total Tercera
Evaluación
marzo del 2015
Alumnos: ________________________________________________________________________________
y del correspondiente espacio
roblema por resolver.
cuadernillo. No olvide escribir su nombre en todas y cada una de las páginas. HÁGALO
Tercera
Evaluación
espacio
.
HÁGALO

FIEC-ESPOL – 2014 –2S
Primer Tema (30 puntos):
El sistema mostrado en la siguiente figura está siendo analizado en su respuesta de
frecuencia por un grupo de estudiantes de la materia Sistemas Lineales de la ESPOL, se le
ha solicitado su colaboración para luego efectuar la comparación de resultados, debiendo
tomarse en consideración que la señal ( )a t es la versión modulada de la señal de entrada
( )x t , la misma que es la entrada a un filtro ideal pasa banda con una respuesta de
frecuencia ( )1H ω . De igual forma, la señal ( )c t es la versión modulada de la señal de
salida ( )b t del referido filtro, la misma que es a su vez, la excitación a un filtro ideal pasa
bajo con una respuesta de frecuencia ( )2H ω ; pudiendo afirmarse que, la salida ( )y t de
éste último filtro pasa bajo, es la versión distorsionada de la señal de entrada ( )x t .
a) Determinar, esquematizar y etiquetar el espectro de Fourier de la señal ( )a t ; es decir
( )A vsω ω.
b) Determinar, esquematizar y etiquetar el espectro de Fourier de la señal ( )b t ; es decir
( )B vsω ω .
c) Determinar, esquematizar y etiquetar el espectro de Fourier de la señal ( )c t ; es decir
( )C vsω ω .
d) Determinar, esquematizar y etiquetar el espectro de Fourier de la señal ( )y t ; es decir
( )Y vsω ω .
e) Determinar la relación entre las energías de la señal de salida ( )y t a la señal de
entrada ( )x t .
( ) 25
5x t senc t
π
=
50cos t
( )1H ω ( )y t
( )a t
100cos t
( )b t
× × ( )2H ω
( )2H ω
ω
100
1
100−
( )1H ω
ω
50
1
40− 4050−
( )c t
En primer lugar, recordemos las relaciones que fueron demostradas en clases de Sistemas
Lineales (dualidad):
2
2
2 2
2 2 2
t a
b ab senc
a
a at
senc
a
ω
ω
π
    
∆ ↔   
    

    ↔ ∆    ⇐
    
FFFF
FFFF

Comparando la señal de entrada ( )x t con la relación señalada con ⇐, se obtendría lo
siguiente:
( ) 2 25
5
2 2
a at
x t senc t senc
π π
 
= ⇔  
 
5 10
2
a
a= ⇒ =
25
5
20
senc t
ω
π
   
= ∆     
FFFF
ω
( )X ω
1010−
1
0
( ) ( ) 50a t x t cos t=
( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } { }
1
50 50
2
A a t x t cos t x t cos tω
π
= = = ∗F F F FF F F FF F F FF F F F ¨
( ) ( ){ }X x tω = FFFF { } ( ) ( )50 50 50cos t π δ ω δ ω= + + −  FFFF
( )
1
2
A ω
π
= ( )X ω π∗ ( ) ( )50 50δ ω δ ω+ + −  
( ) ( ) ( )
1 1 50 50
50 50
2 2 20 20
A X X
ω ω
ω ω ω
 + −    
= + + − = ∆ + ∆       
    
ω
( )A ω
1/2
040−60− 50− 6040 50
ω
( )1H ω
1
040−60− 50− 6040 50
ω
( )B ω
1/2
040−60− 50− 6040 50

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )1 1 1b t a t h t B b t a t h t A Hω ω ω= ∗ ⇒ = = ∗ =F FF FF FF F
( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } { }
1
100 100
2
C c t b t cos t b t cos tω
π
= = = ∗F F F FF F F FF F F FF F F F ¨
( ) ( ){ }B b tω = FFFF { } ( ) ( )100 100 100cos t π δ ω δ ω= + + −  FFFF
( )
1
2
C ω
π
= ( )B ω π∗ ( ) ( )100 100δ ω δ ω+ + −  
( ) ( ) ( )
1
100 100
2
C B Bω ω ω= + + −  
ω
( )C ω
1/4
0 100 140 15050 60100− 60− 50−150− 140−
ω
( )2H ω
1
0 100 15050100− 50−150−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )2 2 2 2y t c t h t Y c t h t c t h t C Hω ω ω= ∗ ⇒ = ∗ = =F F FF F FF F FF F F
ω
( )Y ω
1/4
0 100 15050 60100− 60− 50−150−
( ) ( )
21
2x t
E X dω ω
π
∞
−∞
= ∫
( )
2 20 10
10 0
1
1 1
2 10 10x t
E d d
ω ω
ω ω
π −
    
= + + − +    
     
∫ ∫
( ) ( )
2 210 10
0 0
1 1
2 1 1
2 10 10x t x t
E d E d
ω ω
ω ω
π π
   
= − + ⇒ = − +   
   
∫ ∫

( )
1010 2 3 2
0 0
1 1
1
100 5 300 10x t
E d
ω
ω
ω ω ω ω
ω ω
π π
=
=
   
= − + = − +   
   
∫
( )
10
3x t
E
π
=
( ) ( )
21
2y t
E Y dω ω
π
∞
−∞
= ∫
( )
2 250 60
60 50
1 3 3
2 40 2 40 2y t
E d d
ω ω
ω ω
π
−
−
    
= + + − +    
     
∫ ∫
( ) ( )
2 260 60
50 50
1 3 1 3
2
2 40 2 40 2y t y t
E d E d
ω ω
ω ω
π π
   
= − + ⇒ = − +   
   
∫ ∫
( )
6060 2 3
2
50 50
1 3 9 1 3 9
1,600 40 4 4,800 80 4y t
E d
ω
ω
ω ω
ω ω ω ω
π π
=
=
   
= − + = − +   
   
∫
( )
5
24y t
E
π
=
( )
( )
( )
( )
5 / 24 1
10 / 3 16
y t y t
x t x t
E E
E E
π
π
= ⇒ =

Segundo Tema (24 puntos):
Para un sistema LTI-CT, cuya respuesta de frecuencia está dada por ( )H ω , se conoce
que su respuesta es ( )y t frente a una excitación desconocida ( )x t , es aquella que se
muestra en la siguiente figura.
a) Determinar la transformada de Fourier de la señal de salida ( )y t ; es decir ( )Y ω .
b) Determinar la transformada de Fourier de la señal de entrada ( )x t ; es decir ( )X ω .
c) Obtener el esquema y etiquetado de la señal de entrada ( )x t .
Nota: 1) No se está solicitando esquematizar los espectros de Fourier; y 2) en la solución
del presente problema, se recomienda utilizar propiedades de la Transformada de Fourier.
A partir del esquema de la señal de salida ( )y t del referido sistema, se obtiene lo
siguiente:
( ) ( ) ( )1 1
1 7
1 7
2 2
t t
y t p t p t rect rect
− −   
= − − − = −   
   
Recordando las propiedades de la Transformada de Fourier:
( )
2
ap t sen aω
ω
↔
FFFF
( ) ( )0
0
j t
x t t e Xω
ω−
− ↔
FFFF
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )1 11 7Y y t Y p t p tω ω= ⇒ = − − −  F FF FF FF F
( ) 72 2j j
Y e sen e senω ω
ω ω ω
ω ω
− −
= −
( ) ( )72 j j
Y sen e eω ω
ω ω
ω
− −
= −
( ) ( )/2
/2 /2j
H e cos jsenπ
ω ω ω π π= = +
( )H j Diferenciadorω ω= ⇒
En otras palabras, y en el dominio de tiempo, la señal de salida puede ser expresada de la
siguiente manera:
( ) /2j
H e π
ω ω=( )x t ( )y t
t
8
1
2
6
0
( )y t

( ) ( ) ( ) ( )
t
d
y t x t x t y d
dt
τ τ
−∞
= ⇒ = ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0
t
X y d X Y Y
j
ω τ τ ω ω π δ ω
ω−∞
 
= ⇒ = + 
 
∫FFFF
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1
0 0 0Y Y Y X Y
jω
ω ω ω
ω=
= ⇒ = ⇒ =
( ) ( ) ( )7 7
2
1 2 2j j j j
X sen e e sen e e
j j
ω ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
− − − − 
= − = −  
( ) ( )7 /2
2
2 j j j
X sen e e eω ω π
ω ω
ω
− − −
= −
Para obtener la señal ( )x t podríamos encontrar muchos caminos posibles; entre ellos: a)
obtener la inversa de la Transformada de Fourier a la expresión anterior, algo que implica
un extremo dominio conceptual de variable compleja, combinado con mucha destreza y
habilidad; y, b) trabajar en el dominio de tiempo continuo, integrando la señal de salida
( )y t ; o lo que es lo mismo y se obtiene el mismo resultado, convolucionándola con la
señal escalón unitario ( )tµ . De esta manera, la señal de salida ( )y t , sería la siguiente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 6 8y t t t t tµ µ µ µ= − − −  − − −  
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
x t y d x t y t tτ τ µ
−∞
= ⇒ = ∗∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 6 8x t t t t t tµ µ µ µ µ= − − − − + − ∗  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 6 6 8 8x t t t t t t t t tµ µ µ µ= − − − − − − + − −
( )y t
t
2 3 41 65
2
4
4−
2−
87
6

Tercer Tema (30 puntos):
Un estudiante de la materia Sistemas Lineales de la ESPOL, ha descubierto que el
esquema del diagrama de bloques, en el dominio de frecuencia compleja, que relaciona la
entrada-salida de un sistema LTI-DT causal, es el siguiente:
Σ
Σ
Σ
4
1.6
0.63
4
1
z−1
z−
( )Y z
( )X z ( )1Y z
Determinar:
a) La función de transferencia ( )H z del mencionado sistema y esquematizar en el plano
complejo los polos y ceros. Comente sobre la estabilidad de este sistema, justificando
su respuesta.
b) La respuesta impulso [ ]h n .
c) La ecuación de diferencia de coeficientes constantes que representa al sistema.
d) La respuesta que se obtendría si la excitación es una sinusoide muestreada de la forma
1,500cos t y con un intervalo de muestreo 0.0015sT =
Σ
Σ
Σ
4
1.6
0.63
4
1
z−1
z−
( )Y z
( )X z ( )1Y z
( )2
1z Y z
( )10.63Y z
( )14zY z
( )14Y z
( )11.6zY z
( )1zY z
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 10.63 1.6 1.6 0.63X z Y z zY z z Y z X z z z Y z − − = ⇒ = − +    
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )1 1 14 4
4 1
Y z
zY z Y z Y z Y z
z
− = ⇒ =
−

Combinando las dos relaciones anteriores, se tiene lo siguiente:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1.6 0.63
4 1
Y z Y z
X z z z H z
z X z
 = − + ⇒ =  −
( ) 2
1
4
1.6 0.63
z
H z
z z
−
=
− +
2
: 1 0
: 1.6 0.63 0
Ceros z
Polos z z
− =

− + =
. 1Ceros z− =
.Polos −
( )( )0.7 0.9 0z z− − =
0.7 0.9z y z= =
En virtud de que todos los polos del
referido sistema se encuentran dentro
del círculo de radio unitario (línea de
traza en rojo), el sistema es
asintóticamente estable y por ende
implica que es BIBO o EASA estable.
××××××××
0.75
[ ]Re z
[ ]Im z
0.25
0.25−
0.75− 0.25− 0.25 0.75
0.75−
Diagrama de polos y ceros
( )
( )( )
( ) 31 21
4
0.7 0.9 0.7 0.9
H z H z CC Cz
z z z z z z z z
−
= ⇒ = + +
− − − −
1
1
4
z
C
z
−
=
( )( )0.7 0.9
z
z z− −
( )
( )( ) 1
0
4 0 1 400
0 0.7 0 0.9 63z
C
=
−
= ⇒ = −
− −
( )
2
1
4
0.7
z
C
z z
−
=
− ( )
( )0.7
0.9
z
z
−
−
( )
( ) 2
0.7
4 0.7 1 60
0.7 0.7 0.9 7
z
C
=
−
= ⇒ =
−
( ) ( )
3
1
4
0.7 0.9
z
C
z z z
−
=
− −
( )0.9z −
( )
( ) 3
0.9
4 0.9 1 20
0.9 0.9 0.7 9
z
C
=
−
= ⇒ = −
−
( ) 1 2 3
0.7 0.9
z z
H z C C C
z z
= + +
− −

( )
400 60 20
63 7 0.7 9 0.9
z z
H z
z z
= − + −
− −
[ ] ( ) [ ]
400 60 20
63 7 0.7 9 0.9
z z
h n H z h n
z z
 
= ⇒ = − + −    − − 
z z
[ ] [ ] ( ) ( ) [ ]
400 60 20
0.7 0.9
63 7 9
n n
h n n nδ µ
 
= − + −  
[ ] [ ] ( ) ( ) [ ]6.3492 8.5714 0.7 2.2222 0.9
n n
h n n nδ µ = − + −
 
Inicialmente se determinó la función de transferencia del sistema en estudio, a partir de la
cual, se procederá a determinar la ecuación de diferencias con coeficientes constantes que
lo representa; es decir:
( )
( )
( )
( )
2
4 1
1.6 0.63
Y z z
H z
X z z z
−
= =
− +
( ) ( ) ( )2
1.6 0.63 4 1Y z z z z X z − + = − 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 1.6 1 0.63 4 1 4y n y n y n x n x n+ − + + = + −
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1.6 1 0.63 2 4 1 4 2y n y n y n x n x n− − + − = − − −
( ) [ ] ( ) [ ]1,500 1,500 2.25
MU
x t cos t x n cos nT x n cos n= → = ⇒ =
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
4 14 1
0.7 0.9 0.7 0.9j
j
j
j j
z e
ez
H z H e
z z e eΩ
Ω
Ω
Ω Ω
=
−−
= ⇒ =
− − − −
( ) ( )
( )( )
4 1
0.7 0.9
j cos jsen
H e
cos jsen cos jsen
Ω Ω + Ω −
=
Ω + Ω − Ω + Ω −
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
4 1
0.7 0.9
j
cos sen
H e
cos sen cos sen
Ω
Ω − + Ω
=
Ω − + Ω Ω − + Ω
( ) 4 2 2
1.49 1.4 1.81 1.8
j cos
H e
cos cos
Ω − Ω
=
− Ω − Ω

( )
( )
( )2.25 2.25
4 2 1 2.25
2.7349
1.49 1.4 2.25 1.81 1.8 2.25
j j
cos
H e H e
cos cos
−
= ⇒ =
− −
( )
1 1 1
1 0.7 0.9
j
H e
sen sen sen
tg tg tg
cos cos cos
θ Ω
− − −Ω Ω Ω
= − −
Ω − Ω − Ω −
( )2.25
1 1 12.25 2.25 2.25
2.25 1 2.25 0.7 2.25 0.9
j
H e
sen sen sen
tg tg tg
cos cos cos
θ − − −
= − −
− − −
( ) ( ) [ ]2.25 2.250.4458 0.5299 0.4709 0.5551j j
H e H e
radθ θ= − + + ⇒ =
[ ] [ ] ( )2.25 2.7349 2.25 0.5551x n cos n y n cos n= ⇒ = +

Cuarto Tema (16 puntos):
Para cada una de las señales indicadas en la Tabla A, determinar su transformada z y su
correspondiente región de convergencia ROC . Los casilleros de la tabla A deberán ser
etiquetados, utilizando para el efecto, las alternativas que se muestran en las Tablas: B (para
la transformada z ) y C (para sus regiones de convergencia ROC ) respectivamente.
Notar que más de una señal podría tener la misma transformada z y/o la misma región de
convergencia ROC .
Tabla A Tabla B Tabla C
[ ]x n ( )X z ROC ( )X z ROC
( ) [ ]0.5
n
nµ 8 B 1 ( )1 1
2 / 1 2z z− −
+ A 0.5z <
( ) [ ]0.5
n
nµ − 3 A 2 ( )1
1/ 1 0.5z−
+ B 0.5z >
( ) [ ]0.5
n
nµ
−
4 D 3 ( )1 1
0.5 / 1 0.5z z− −
− − C 2z <
( ) [ ]0.5
n
nµ
−
− 6 C 4 ( )1
1/ 1 2z−
− D 2z >
5 ( )1 1
0.5 / 1 0.5z z− −
+
( ) [ ]0.5
n
nµ− 2 B 6 ( )1 1
2 / 1 2z z− −
− −
( ) [ ]0.5
n
nµ− − 5 A 7 ( )1
1/ 1 2z−
+
( ) [ ]0.5
n
nµ
−
− 7 D 8 ( )1
1/ 1 0.5z−
−
( ) [ ]0.5
n
nµ
−
− − 1 C 9
Ninguna de los
anteriores
( ) [ ]2
n
nµ 4 D
( ) [ ]2
n
nµ − 6 C
( ) [ ]2
n
nµ
−
8 B
( ) [ ]2
n
nµ
−
− 3 A
( ) [ ]2
n
nµ− 7 D
( ) [ ]2
n
nµ− − 1 C
( ) [ ]2
n
nµ
−
− 2 B
( ) [ ]2
n
nµ
−
− − 5 A

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