Este documento describe los ángulos de Euler, que son tres ángulos que pueden ser usados para especificar la orientación de un sistema de ejes móvil con respecto a otro sistema de ejes fijo. Explica que cualquier rotación puede ser descrita usando tres ángulos de rotación, y define las tres rotaciones asociadas con los ángulos de Euler φ, θ, y ψ. También muestra cómo se pueden descomponer las matrices de rotación para encontrar los valores de los ángulos de Euler.

1. Ángulos de Euler
Ángel M. Carreras
MATH 5800
Tópicos en Álgebra Abstracta
Prof. Álvaro Lecompte

2. Rotaciones de Euler
• Precesión
– Cambio de la dirección del eje
alrededor del cual gira un objeto.
• Nutación
– Movimiento en el eje de
rotación.
• Rotación
– Movimiento en el cual dado un
punto cualquiera en un objeto
este permanece equidistante a
un punto fijo.

3. Ángulos de Euler
• Teorema de rotación de Euler
– Cualquier rotación puede ser descrita utilizando
tres ángulos.
• Si las rotaciones son escritas en términos de
matrices de rotación D, C y B, entonces una
rotación general A puede ser escrita como
A = BCD
• Los tres ángulos que dan las matrices de
rotación son llamados ángulos de Euler.

4. • Los ángulos de Euler
constituyen un
conjunto de tres
coordenadas
angulares que sirven
para especificar la
orientación de un
sistema de referencia
de ejes ortogonales,
normalmente móvil,
respecto a otro
sistema de referencia
de ejes ortogonales
normalmente fijos.

5. Ángulos de Euler
• Las rotaciones dadas por los ángulos de Euler
(, , ), son:
1. La primera rotación es por un ángulo  a través
del eje de z utilizando D.
2. La segunda rotación es por un ángulo   [0, π]
sobre el que era originalmente el eje de x
utilizando C.
3. La tercera rotación es por un ángulo  sobre el
que era originalmente el eje de z utilizando B.

6. Ángulos de Euler
• Los componentes de rotación están dados
por:
cos   sin  0 1 0 0 
D   sin  cos 
 0  , C  0 cos 
   sin  

 0
 0 1 0 sin 
 cos   
cos   sin  0
B   sin  cos 
 0

 0
 0 1

Mathematica

7. Ángulos de Euler
Así que ahora podemos encontrar a A = BCD
a11 = cos(f) cos(j) - cos(q) sin(f) sin(j)
a12 = -cos(j) sin(f) - cos(q) cos(f) sin(j)
a13 = sin(q) sin(j)
a21 = cos(q) cos(j) sin(f) + cos(f) sin(j)
a22 = cos(q) cos(f) cos(j) - sin(f) sin(j)
a23 = -cos(j) sin(q)
a31 = sin(q) sin(f)
a32 = cos(f) sin(q)
a33 = cos(q)

8. Ángulos de Euler
• ¿Cómo descomponer la matriz de rotaciones A
para encontrar los ángulos de Euler?
 a31 
  arctan  
 a32 
 a 
  arctan  13 
  a23 
  arctan  a33 
Esto se puede hacer solamente si sabemos como están definidos ,  y .

9. Aplicaciones
• Euler Angles for Space Shuttle