Tema Probabilidad

PROBABILIDAD
TEMA 13 Nivel: 4ºESO
Curso: 2019/2020
Profesor: Alberto Gómez Muñoz

ÍNDICE DEL TEMA 13: PROBABILIDAD
1. Azar y determinismo
2. Probabilidad de sucesos
3. Tipos de sucesos. Probabilidad de
experimentos compuestos
4. Leyes de De Morgan
5. Probabilidad condicionada
6. Probabilidad total y Teorema de Bayes

Tema 13: PROBABILIDAD. Curso 2019/2020
TIPOS DE EXPERIMENTOS
Determinista: podemos predecir el resultado antes de realizarlo
Aleatorio: repetimos varias veces el mismo experimentos en iguales
condiciones y NO somos capaces de saber lo que vamos a obtener
(estimación/posibles soluciones)
Ej: Tiramos un dado en caída libre: sabemos el tiempo de vuelo exacto
Ej: No sabemos predecir el número que va a quedar en su cara superior (número
entre 1 y 6)
ALGUNOS CONCEPTOS
• ESPACIO MUESTRAL (E): conjunto formado por todos los resultados
posibles. (El área de trabajo donde nos movemos)
• SUCESOS (A,B,C,…): cualquier subconjunto (trozo) de E.
E
A
B
C

ELEMENTAL
COMPUESTO
IMPOSIBLE
SEGURO
CONTRARIO
O
COMPLEMENTARIO
Representa un único resultado posible
Formado por varios sucesos elementales
No puede ocurrir nunca
Ocurre siempre, coincide con E
Engloba todos los sucesos elementales que NO forman parte
de un suceso
⌀
Recordatorio:
∪  unión
∩  intersección
Cumplen que:
𝑨 ∪ 𝑨 = 𝑬
𝑨 ∩ 𝑨 = ∅𝐴
E
A 𝑨
TIPOS DE SUCESOS
Se indican
entre llaves { }

OPERACIONES BÁSICAS CON SUCESOS
UNIÓN INTERSECCIÓN DIFERENCIA
E E E
BA BA A B
𝑨 ∪ 𝑩 𝑨 ∩ 𝑩 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 ∩ 𝑩
“Ocurre A, ocurre B u
ocurren los dos a la vez”
“Ocurren los sucesos
A y B a la vez”
“Ocurre A y NO
sucede B”
COMPATIBILIDAD
DE
SUCESOS
COMPATIBLES: si A y B tienen algún elemento en común
INCOMPATIBLES: si A y B NO tienen algún elemento en común
𝑨 ∩ 𝑩 ≠ ∅
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅
E
BA
E
BA
BA BA BA

OPERACIONES BÁSICAS CON SUCESOSEJEMPLO
C
X
X
C
X
C
C
X
C
X
C
X
C
X
1ª 2ª 3ª
EXPERIMENTO: “LANZAR TRES
VECES SEGUIDAS UNA MONEDA”
CCC
CCX
CXC
CXX
XCC
XCX
XXC
XXX
Se consideran los sucesos:
• A = “Sacar más cruces que caras”
• B = “Sacar un número impar de caras”
• C = “Sacar un número par de caras
𝑨 ∪ 𝑩 =
𝑨 ∩ 𝑩 =
𝑨 − 𝑩 =
¿ 𝑨 𝒚 𝑩?
¿ 𝑩 𝒚 𝑪?

¿Por qué cuando tiramos un dado cúbico decimos que tenemos
𝟏
𝟔
de probabilidad de obtener un 2?
ANÁLISIS PROBABILÍSTICO
La probabilidad de un suceso A: 𝑷 𝑨 es el valor de la frecuencia relativa de 𝑨 al
repetir el experimento infinitas veces
PROPIEDADES DE
LA PROBABILIDAD
ASOCIADA A UN
EXPERIMENTO
ALEATORIO
𝟎 ≤ 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏
𝑷 ∅ = 𝟎
𝑷(𝑬) = 𝟏
SUCESOS EQUIPROBABLES
Todos los sucesos elementales de un
experimento aleatorio tienen la misma
probabilidad de ocurrir
EJEMPLO: dado cúbico no trucado

Si los sucesos que estamos teniendo en cuenta son equiprobables, entonces
se cumple que la probabilidad de un suceso A será:
𝑃 𝐴 =
𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
De Jean-Baptiste Paulin Guérin -
http://www.photo.rmn.fr/, Dominio público,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?c
urid=11128007
(1749-1827)
Pierre-Simon Laplace
REGLA DE LAPLACE
EJEMPLO
Se considera el experimento de lanzar un dado cúbico. Teniendo en
cuenta los sucesos:
• A=“obtener un número par”
• B=“obtener un número primo”
Calcula P(A) y P(B)
𝑃 𝐴 =
3
6
=
1
2
𝐸 = {1,2,3,4,5,6}
𝑃 𝐵 =
4
6
=
2
3

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS
depende de la compatibilidad de los sucesosCOMPATIBLES INCOMPATIBLES
E
BA
E
BA
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵
PROBABILIDAD DEL SUCESO CONTRARIO
E
A 𝑨 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴

EJEMPLO
Se lanzan un dado blanco y otro rojo y se consideran los sucesos:
• A = “la suma de los puntos es 6”
• B = “sacar los mismos puntos en los dos dados”
• C = sacar más de 3 en el dado rojo”
Calcula las probabilidades de los sucesos:
a) A, B y C
b) 𝐵
c) 𝐴 ∩ 𝐵 𝑦 𝐴 ∪ 𝐶
d) 𝐴 ∩ 𝐵

3. Tipos de sucesos. Probabilidad de experimentos compuestos
Si se realizan dos experimentos simples sucesivos EXPERIMENTO COMPUESTO
TIPOS DE
SUCESOS EN
EXPERIMENTOS
COMPUESTOS
• DEPENDIENTES: cuando la realización del segundo está condicionada por la
realización del primero  𝐴2/𝐴1
• INDEPENDIENTES: cuando la realización del segundo no está condicionada
por la realización del primero.
*EJEMPLO*
Se extraen dos cartas sucesiva de una baraja de 40 naipes.
¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea un as?
¿Y de que lo sea la segunda?
𝑃 𝐴1 =
4
40
=
1
10
Si hay devolución
Si NO hay devolución
𝑃 𝐴2 =
4
40
=
1
10
𝑃 𝐴2/𝐴1 =
3
39
=
1
13

3. Tipos de sucesos. Probabilidad de experimentos compuestos
PROBABILIDAD DE LOS EXPERIMENTOS COMPUESTOS
LA PROBABILIDAD ASOCIADAA UN EXPERIMENTO COMPUESTO ES EL PRODUCTO DE LAS
PROBABILIDADES DE LOS SUCESOS SIMPLES QUE LO COMPONEN
C
C1
1
2
4
3
6
5
1
2
4
3
6
5
X
C3
C2
C4
C6
C5
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Se considera el experimento de
lanzar una moneda y tirar un
dado:
1
2
1
6
1
2
1
6
Calcula la probabilidad del suceso
A = “sacar cruz y un número par”
Por la regla de Laplace: 𝑃 𝐴 =
3
12
=
1
4
𝑃 𝐴 =
1
2
·
3
6
=
3
12
=
1
4

4. Leyes de De Morgan
Augustus De Morgan
(1806-1871)
De Sophia Elizabeth De Morgan -
Memoir of Augustus De Morgan,
Dominio público,
https://commons.wikimedia.org/w/ind
ex.php?curid=4722207
E
BA
Se cumple por tanto en todo el área,
excepto en la intersección
E
BA Se cumple por tanto en todo el área
de fuera de la unión

5. Probabilidad condicionada
Si A y B son dos sucesos de un
experimento y B no es el suceso
imposible, la probabilidad de A
condicionado por B será:
𝑃 𝐴/𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
Regla de la multiplicación
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 · 𝑃(𝐴/𝐵)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 · 𝑃(𝐵/𝐴)
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN:
TABLAS DE CONTINGENCIA
En una bolsa hay 5 bolas grandes y 4 pequeñas. Se sabe que 6 son blancas y 3
negras y que 3 de las bolas grandes son blancas.
Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca y pequeña?
BLANCAS NEGRAS TOTAL
GRANDES 3 2 5
PEQUEÑAS 3 1 4
TOTAL 6 3 9
Nos están pidiendo la intersección 𝑃 𝐵 ∩ 𝑃 =
3
9
=
1
3
Si se sabe que ha salido una bola grande, ¿cuál es la probabilidad de que sea negra?
Es un suceso condicionado 𝑃 𝑁/𝐺 =
𝑃(𝑁 ∩ 𝐺)
𝑃(𝐺)
=
2
5

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
E
𝐴1
𝐴2
𝐴3
𝐵
𝐸 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
¿ 𝑃 𝐵 ?
De la definición de la probabilidad condicionada aplicada a nuestro caso:
𝑃 𝐵/𝐴1 =
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴1)
𝑃(𝐴1)
𝑃 𝐵 ∩ 𝐴1 = 𝑃 𝐵/𝐴1 · 𝑃(𝐴1)
Por lo tanto:
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴1 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴2 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴3
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵/𝐴1 · 𝑃(𝐴1) + 𝑃 𝐵/𝐴2 · 𝑃(𝐴2)+𝑃 𝐵/𝐴3 · 𝑃(𝐴3)
FÓRMULA DE LA PROBABILIDAD TOTAL PARA TRES SUCESOS:
FÓRMULA DE LA PROBABILIDAD TOTAL PARA n SUCESOS: 𝑃 𝐵 =
𝑖=1
𝑛
𝑃 𝐵/𝐴𝑖 · 𝑃(𝐴𝑖)

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Una industria fabrica dos tipos de tornillos A y B. La empresa produce al día 600 de los tornillos tipo A y 800 del
tipo B. El 4% de los tornillos del tipo A y el 5% de los del tipo B salen defectuosos.
Si se selecciona un tornillo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?
A
B
D
𝐷
D
𝐷
600
1400
=
3
7
800
1400
=
4
7
4
100
=
1
25
96
100
=
24
25
5
100
=
1
20
95
100
=
19
20
𝑃 𝐷 = 𝑃 𝐴 · 𝑃 𝐷/𝐴 + 𝑃 𝐵 · 𝑃 𝐷/𝐵
𝑃 𝐷 =
3
7
·
24
25
+
4
7
·
19
20
𝑃 𝐷 =
167
175
𝑃 𝐷 = 0,954
Aplicamos el teorema de la probabilidad total:

TEOREMA DE BAYES
Thomas Bayes
(1702-1761)
De Desconocido - [2][3], Dominio público,
https://commons.wikimedia.org/w/index.p
hp?curid=14532025
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵/𝐴1 · 𝑃(𝐴1) + 𝑃 𝐵/𝐴2 · 𝑃(𝐴2)+𝑃 𝐵/𝐴3 · 𝑃(𝐴3)
Prob. total
𝑃 𝐴1/𝐵 =
𝑃(𝐴1 ∩ 𝐵)
𝑃 𝐵/𝐴1 · 𝑃(𝐴1) + 𝑃 𝐵/𝐴2 · 𝑃(𝐴2)+𝑃 𝐵/𝐴3 · 𝑃(𝐴3)
Introducimos en la definición de probabilidad condicionada la probabilidad total:
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴1) 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴1 = 𝑃 𝐵/𝐴1 · 𝑃(𝐴1)
𝑃 𝐴1/𝐵 =
𝑃(𝐴1) · 𝑃(𝐵/𝐴1)
𝑃 𝐵/𝐴1 · 𝑃(𝐴1) + 𝑃 𝐵/𝐴2 · 𝑃(𝐴2)+𝑃 𝐵/𝐴3 · 𝑃(𝐴3)
FÓRMULA DEL TEOREMA DE BAYES PARA TRES SUCESOS
FÓRMULA DEL TEOREMA DE BAYES
PARA n SUCESOS: 𝑃 𝐴𝑖/𝐵 =
𝑃 𝐴1 · 𝑃(𝐵/𝐴𝑖)
𝑗=1
𝑛
𝑃(𝐴 𝑗) · 𝑃(𝐵/𝐴𝑗)

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES
Una industria fabrica dos tipos de tornillos A y B. La empresa produce al día 600 de los tornillos tipo A y 800 del
tipo B. El 4% de los tornillos del tipo A y el 5% de los del tipo B salen defectuosos.
Si se selecciona un tornillo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?
Sabiendo que el tornillo no es defectuoso, ¿Qué probabilidad hay de que sea un tornillo tipo A?
A
B
D
𝐷
D
𝐷
3
7
4
7
1
25
24
25
1
20
19
20
𝑃 𝐷 = 0,954
Es tipo de Bayes
𝑃 𝐴/ 𝐷 =
𝑃(𝐴) · 𝑃( 𝐷/𝐴)
𝑃 𝐷/𝐴 · 𝑃(𝐴) + 𝑃 𝐷/𝐵 · 𝑃(𝐵)
𝑃 𝐴/ 𝐷 =
3
7
·
24
25
3
7
·
24
25
+
4
7
·
19
20
=
72
175
167
175
=
72
167
𝑃 𝐴/ 𝐷 = 0,43

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