El documento trata sobre la congruencia de triángulos. Define la congruencia como cuando dos triángulos tienen lados y ángulos respectivos congruentes. Explica los criterios de congruencia como postulados y teoremas que establecen las condiciones para que dos triángulos sean congruentes, como tener dos lados y el ángulo entre ellos, o dos ángulos y el lado entre ellos. Finalmente, presenta problemas resueltos y propuestos relacionados con la congruencia de triángulos.

1. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” GEOMETRÍA
ccesarepublicacolombia.blogspot.com4º
II. LA
CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
Prof. Ccesa
1. DEFINICIÓN
Se dice que un triángulo es congruente
con otro, si sus lados respectivos son
congruentes y sus ángulos respectivos
también lo son.
Ejemplo:
Consideremos los triángulos de la figura.
Dado que estos triángulos tienen lados
respectivamente congruentes, que son:
AB  DF, AC  ED, BC  EF; y que también
tienen ángulos respectivamente
congruentes, es decir:
A  D, C  E, B  F, Entonces
afirmamos: ABC  EDF
2. CRITERIOS DE CONGRUENCIA
Se llaman criterios de congruencia a los
postulados y teoremas que enuncian
cuáles son las condiciones mínimas que
deben reunir dos o más triángulos para
que sean congruentes.
Estos son:
Congruencia de sus ángulos.
Congruencia de sus lados.
Para que dos triángulos sean
congruentes, es suficiente que sólo
algunos lados y/o ángulos sean
congruentes.
Los postulados básicos de congruencia
de triángulos son:
a) POSTULADO L – A – L
Dos triángulos son congruentes si tienen
dos lados y el ángulo comprendido entre
ellos respectivamente congruentes.
* LAL  Significa: Lado-ángulo-lado.
Si:
* BC  QR
* AC  PR
* BCA  QRP
ABC  PQR
b) POSTULADO A – L – A
Dos triángulos son congruentes si tienen
dos ángulos y el lado común a ellos,
respectivamente congruentes.
* ALASignifica: ángulo-lado-ángulo.
Si:
* F  M
* G  N
* FG  MN
FGH  MNP
c) POSTULADO L – L – L
Dos triángulos son congruentes si tienen
sus tres lados, respectivamente
congruentes.
 LLL  Significa: lado-lado-lado.
Si:
* DE  RS
* EF  ST
* DF  RT
DEF  RST
3. TEOREMAS FUINDAMENTALES
Son los siguientes:
a) TEOREMA DE LA BISECTRIZ:
Todo punto perteneciente a la bisectriz
de un ángulo, equidista de los lados de
dicho ángulo.
Además:
b) TEOREMA DE LA MEDIATRIZ:
Todo punto perteneciente a la recta
mediatriz de un segmento equidista de
los extremos de dicho segmento.
c) TEOREMA DE LA BASE MEDIA:
Llamado también “Teorema de los puntos
medios”; si por un punto medio de un
lado se traza una paralela a otro de sus
lados, ésta cortará al tercer lado en su
punto medio y además el segmento
determinado es igual a la mitad de la
longitud del lado al cual es paralelo.
Además
d) TEOREMA DE LA MEDIANA EN EL
TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
En todo triángulo rectángulo la longitud
de la mediana relativa a la hipotenusa es
igual a la mitad de dicha hipotenusa.
NATAL.
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Halla” x”, si AB = NC
A
B
C
E D
F
Q

°°
A
C
P
R
B

° ° ° °
F NG M
H P

D
F
E R
T
S
°
°
P
B
A
O
PA = PB
OA = OB
P
BA PA = PB
B
FE
A C
E F// A C
EF =
2
A C
N
C
B
A
40° 20°
x
E
B
C
A
BE =
2
A C

2. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” GEOMETRÍA
ccesarepublicacolombia.blogspot.com4º
Solución:
 Haciendo trazos auxiliares se llega a
que:
BMA   BCN
Caso: (LAL)
x = 20°
2).- Halla “AB”, si CD =5
Solución:
* Haciendo un trazo auxiliar se llega a
que:
 ACD: Isosceles AB = AD
AB = 5
3).- Calcula “”
Solución:
* Haciendo un trazo auxiliar se llega
 DBC = Isósceles
 = 40°
4).- Del gráfico , calcula “”
Solución:
ABE   BCD (LLL)
 ABE : 6 +  + 2 = 180°
 = 20°
5).- Del gráfico, calcula “”.
Si: MC = 2(BM)
Solución:
* T. Mediatriz
AM = MC = 2n
Trig. Rect. ABM (30° - 60°)
2 = 60°
 = 30°
6).- Del gráfico, calcula “BE”
Solución:
Triángulo. Rect. (53° - 37°)
EL = 8
T. Bisectriz
BE = EL = 8
7).- Calcula “x”.
Solución:
*Por teorema de la bisectriz.
AP = PB
x2
+ 4 = 20
x2
= 16
x = 4
8).- Calcula “x”
Solución:
*Por teorema de la base media:
48/2 = 4x
6 = x

E
A
B
C
2 D
2

EA
B
C
5
2
5
5
D
20°
E
A

D
B
C
40°
20°
20°
E
A

D
B
C
3
3 2

3
3 2

2

B
C
D
E
A
M
Mediatriz
C
A
B
M
C

A
B
2

2n
n
°
°
P
B
A
O
x2
+ 4
20
B
FE
A C
48
4x
B
N
C
A
40° 20°20°
20°
a
a
a
b
X
b
M
2n
10
53°

B C
A
E
10
53°

B C
A
x
E
8
L

3. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” GEOMETRÍA
ccesarepublicacolombia.blogspot.com4º
PROBLEMAS PROPUESTOS
NIVEL I
1).- Calcula “x”.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
2).- Calcula “x”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3).- Halla “”.
a) 20°
b) 40°
c) 30°
d) 50°
e) 80°
4).- Halla “AB”, si NC = 15.
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
5).- Calcula “PB”, si AM = 6 y “L” es
mediatriz de “AB”.
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 9
6).- Calcula “”, si AP = 7, PB = 3 y
AC = 11.
a) 30° b) 60° c) 37°
d) 53° e) 45°
7).- Calcula “x”.
a) 6 b) 2 c) 3
d) 4 e) 7
8).- Calcula “m”, si m + n = 24
a) 6 b) 12 c) 8
d) 7 e) 10
9).- Calcula “AB”, si AC = 12 y LC = 7.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
10).- Calcula “”, si BM es mediana.
a) 15° b) 16° c) 17°
d) 18° e) 19°
11).- Calcula “x”, si BM es mediana.
a) 54° b) 36° c) 45°
d) 15° e) 30°
12).- Calcula “x”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13).- Calcula “BM”.
a) 5 b) 4 c) 3
d) 6,5 e) 7,5
14).- Calcula “OH”, si AB = 16, si:
AM = MC y BO = OM.
a) 12 b) 8 c) 4
d) 2 e) 6
A
16 x2
+ 7
P
B
A
P
B
80° 2
A
B
CM
N

2

A
P
B
L
60°
M
A
B
C
P

14
2x + 1
n
m


L C
B
A
A
B
C
M
4

A
B
CM
x
36°
3x - 3
x + 1
A
B
C
M
5 12
A
B
C
M
H
O
53°
°
°
P
B
A
O
3 +2x
15

4. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” GEOMETRÍA
ccesarepublicacolombia.blogspot.com4º
15).- Calcula “”.
a) 20° b) 40° c) 30°
d) 60° e) 80°
NIVEL I
1).- Calcula “”, si BD=1; DC= 2 y AD:
Bisectriz.
a) 37° b) 45° c) 53°
d) 30° e) 36°
2).- En la Fig, AG = EC, si AF = 2.
Calcula “ED”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3).- Del gráfico, calcula “MN”.
Si CM =10 y AB =12
a) 2 b) 2 2 c) 3 2
d) 4 2 e) 5 2
4).- Calcula “x”
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 40°
e) 50°
5).- Calcula ”BC”, si AB = 8 y CD = 4
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
6).- Calcula “AB” , si CD = 8
a) 3 b) 5 c) 2
d) 4 e) 8
7).- Calcula “x”.
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
8).- En la figura: AG = EC, si AF = 8.
Calcula “ED”.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
9).- Calcula “x”.
a) 15 b) 10 c) 20
d) 25 e) 35
10).- Calcula “AB”, si: CD = 4.
a) 3 b) 5 c) 2
d) 4 e) 6
11).- Calcula “”
a) 45° b) 30° c) 35°
d) 60° e) 37°
12).- Calcula “x”.
a) 8
b) 9
c) 10
d) 15
e) 5
13).- Calcula “MN”, si AC = 20.
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 5
14).- Calcula “HM”, si AB =12.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 12
30°
E
A

D
B
C
A C
D
B

F D
C
E
B
A
G
B
A
D
C
E
A C
B
D

2
10
8x
F D
C
E
B
A
G
20°
20°
x

 
b
a
a + b
x
20
A S
M
C
B
N
A
H
C
M


B
40°
x
40°
A C
B
E
D
2

B
A CE
D
45°
A
C
M
B
N