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1. Tecnicatura Superior en Desarrollo de Software Prof. Cesar Garau
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Matemática
Apunte Teórico:
Lógica de Predicado
Docente: César Adrián Garau

2. Tecnicatura Superior en Desarrollo de Software Prof. Cesar Garau
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Lógica de Predicados
Funciones proposicionales. Cuantificadores.
El símbolo )(xP es la representación de un predicado o propiedad relativo al objeto indeterminado x,
perteneciente a cierto universo o conjunto.
Función Proposicional en una variable x es toda oración en la que figura x como sujeto u objeto directo, la
cual se convierte en proposición para cada especialización de x.
 Por ejemplo. imparesxnumeroelxP :)(
Se presentan también funciones proposicionales con dos o más variables.
 Por ejemplo. yadividexyxP :),(
A partir de una función proposicional se pueden obtener proposiciones de dos maneras:
1) Especializando la variable: asignando un valor a la variable
Fijado un marco de referencia, al especializar las variables de una función proposicional usando cualquier
elemento de ese dominio, se obtiene una proposición.
Ejemplos: En el conjunto de los números enteros:
 Dada la función proposicional: imparesxnumeroelxP :)(
imparesnumeroelP 5:)5( . Resulta   15:)5( imparesnumeroelPV
imparesnumeroelP 2:)2( . Resulta   05:)2( imparesnumeroelPV
 b) yadividexyxP :),( .
142:)14,2( adivideP . Resulta   1142:)14,2( adividePV
143:)14,3( adivideP . Resulta   0143:)14,3( adividePV
2) Usando cuantificadores:
A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso
llamado de cuantificación. Asociados a la variable x, introducimos los símbolos:
 :x (para todo x se verifica)
 /x (existe x tal que)
Llamados cuantificadores universal y existencial respectivamente.
Elegido un conjunto como marco de referencia y anteponiendo estas expresiones a una función proposicional,
se obtiene una proposición, que es verdadera:
- Mediante el cuantificador universal, si P(x) es verdadera para cada x del universo del discurso.
- Mediante el cuantificador existencial, cuando existe al menos un elemento para el cual P(x) es verdadera.
Ejemplos: En el conjunto de números naturales:
a) imparesxnumeroelxP :)(
 La proposición imparesxNx : . Es una proposición que es falsa, pues hay números enteros que
no son impares, pero la proposición: imparesxNx : es verdadera, pues hay números enteros
que son impares.

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b) yadividexyxP :),(
 La proposición: yadividexyx /, es Verdadera, ya que para cada número natural se puede
encontrar otro (por lo menos uno) al cual el primero divida.
 Pero la proposición: yadividexyx /, es falsa, porque no es cierto que tomando dos números
cualesquiera siempre el primero divide al segundo (por ejemplo, tomando x = 2; y = 5, porque no es
cierto que 2 divide a 5.
Negación de proposiciones cuantificadas
 La negación de una función proposicional cuantificada universalmente es la proposición que se obtiene
cambiando el cuantificador por el existencial, y negando la función proposicional.
  )(/)(: xPxxPx 
Observar que ello es así porque negar que P se cumpla para todos los elementos de cierto conjunto, equivale
a afirmar que no se cumple por lo menos para uno.
 La negación de una función proposicional cuantificada existencialmente es la proposición que se
obtiene cambiando el cuantificador por el universal y negando la función proposicional.
  )(/)(: xPxxPx 
Observar que ello es así porque negar que P se cumpla por lo menos para un elemento de cierto conjunto,
equivale a afirmar que no se cumple para ninguno.
 Silogismos categóricos
Se llama silogismo a un razonamiento deductivo que posee dos premisas y una conclusión. Todo silogismo
tiene 3 términos que se identifican por su ubicación.
Término mayor: Es el que figura en el predicado de la conclusión y se simboliza con la letra P. Determina la
premisa mayor, que por este motivo se ubica primera.
Término menor: Aquel que es sujeto en la conclusión y se simboliza con la letra S. Determina la premisa
menor, que se ubica segunda.
Termino medio: Es aquel que no aparece en la conclusión, sino en las dos premisas y se simboliza con la
letra M.
Formas de un silogismo
Según sea la conclusión, el silogismo puede ser de una de estas cuatro formas:
A: Todo S es P.
E: Ningún S es P.
I: Algún S es P.
O: Algún S no es P.

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Figuras de un silogismo
A su vez, según sean las premisas, el silogismo responde a una de las siguientes figuras:
Figura Premisa 1 Premisa 2 Conclusión
1 M - P S - M
S - P
2 P - M S - M
3 M - P M - S
4 P - M M - S
Combinando formas y figuras, pueden construirse 64 silogismos distintos.
Distribución
La distribución señala el alcance de los términos de cada proposición. Una proposición distribuye un término
cuando hace referencia a todos los integrantes de la clase a la que hace referencia dicho término.
Entonces:
A: Todo S es P. Distribuye el sujeto.
E: Ningún S es P. Distribuye el sujeto y el predicado.
I: Algún S es P. No distribuye nada.
O: Algún S no es P. Distribuye el predicado.
Reglas para determinar la validez de un silogismo:
1) Si la conclusión es una negación, una de las premisas debe ser una negación, y recíprocamente.
2) El término medio debe ser distribuido en, por lo menos, una premisa.
3) Si un término es distribuido en la conclusión, entonces, debe ser distribuido en una premisa.
4) Al menos una premisa debe ser afirmativa.
5) Si una premisa es particular (cuantificada existencialmente), la conclusión debe ser particular.
6) Si ambas premisas son particulares, entonces no hay conclusiones validas.