Dinamica de Sistemas

1. CAPITULO VI
Fase II: Formulación
Ing. Ramiro Bernal Martínez

2. La fase de Formulación tiene las siguientes sub fases:
1) CONVERSION DEL DIAGRAMA CAUSAL A DIAGRAMA Y
ECUACIONES FLUJO-NIVEL (DIAGRAMA DE FORRESTER)
Una vez realizado el diagrama causal del modelo, se pasa a esta etapa
que es la conversión del mismo a diagramas de flujo nivel (diagramas de
Forrester), es partir de acá que el modelador hace uso de herramientas
de simulación dinámica (Ithink, Vensim, Powersim).
El diagrama flujo-nivel que es característico de la DS, es una traducción
del diagrama causal a una terminología que facilita la escritura de las
ecuaciones. Básicamente consiste en la clasificación de los elementos
del sistema

3. ELEMENTOS DEL DIAGRAMA FLUJO-NIVEL
A) NIVEL (STOCK)
Una variable de nivel es un símbolo genérico para cualquier cosa que
acumula o drena. Los niveles son aquellos elementos que describen en
cada instante la situación del modelo, presentan una cierta estabilidad
en el tiempo y varían solo en función de otros elementos
denominados “flujos”. Los niveles se representa por un rectángulo.
Ejemplos de variables de nivel pueden ser: la población, el numero de
inventario que se tiene de cierto producto, la cantidad producida de
cierto articulo, la cantidad de dinero que se tiene en el banco, el numero
de personal de una empresa, etc.

4. B) FLUJO
Una variable de flujo es la tasa de cambio de un nivel. Los flujos son
elementos que pueden definirse como funciones temporales. Puede
decirse que recogen las acciones resultantes de las decisiones tomadas
en el sistema, determinando las variaciones de los niveles. Las “nubes”
dentro el diagrama de flujos son niveles de contenido inagotable. Se la
representa de la siguiente manera:
Para los anteriores ejemplos de variables de nivel, podemos mencionar
sus correspondientes flujos: nacimientos (población); la cantidad a
ordenar del producto digamos por mes (el numero de inventario que se
tiene de cierto producto); la cantidad que se produce del articulo
digamos mensualmente (la cantidad producida de cierto articulo); el
monto de dinero que se gana por el interés anualmente (la cantidad de
dinero que se tiene en el banco); la cantidad de personas que se

5. C) CONVERTIDOR O VARIABLE AUXILIAR
Un convertidor o variable auxiliar se usa para tomar datos de entrada y
manipular o convertir esa entrada en alguna señal de salida. Estos
convertidores son “variables auxiliares” y “constantes”, que son
parámetros y permiten una visualización mejor de los aspectos que
condicionan el comportamiento de los flujos. Se la representa de la
siguiente manera:
Continuando con los ejemplos tenemos los siguientes para
convertidores: tasa nacimiento (población, nacimientos); tasa de
producción mensual (la cantidad producida de cierto articulo, la cantidad
que se produce del articulo por mes); la tasa de interés (la cantidad de
dinero que se tiene en el banco, el monto de dinero que se gana por el
interés anualmente), etc.

6. D) CONECTOR
Un conector es una flecha que permite el paso de información o de
magnitudes físicas entre convertidores y convertidores; niveles y
convertidores; niveles y flujos y convertidores y flujos.
Los conectores no toman valores numéricos, sirven para reflejar
la relación causal y transmitir información. Se la representa de la
siguiente manera:

7. D) REPRESENTACION MATEMATICA DE UN MODELO DS
La estructura matemática de un modelo de DS es un sistema de
ecuaciones diferenciales (o en diferencia). Pero en lugar de escribir
directamente la ecuaciones diferenciales se escriben ecuaciones para
cada uno de los elementos vistos anteriormente, es decir para los
niveles para los flujo o tasas y los convertidores.

9. Ejemplo:
FASE 1 : DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
La malaria falciparum es una de las enfermedades que mas azota al oriente
boliviano, la población en general de estas áreas orientales esta propensa a
enfermarse de este mal, la cual se convierte en la población en riesgo de
enfermar malaria falciparum, adicionalmente las migraciones a estas
regiones también incrementan esta población en riesgo, el proceso de
transmisión es el siguiente: el mosquito no infectado pica a una persona
infectada y se infecta y este a su vez infecta a una persona no infectada,
luego para enfermar malaria la persona deberá ser picada por un mosquito
infectado y se deberá tener una tasa de exposición a la picadura del
mosquito, las personas enfermas deben ser diagnosticadas y tratadas para
convertirse en curados los cuales quedan inmunes a la malaria, pero se
tiene una restricción en la capacidad máxima de tratamiento,
adicionalmente el Ministerio de Salud combate este mal mediante el
rociado de viviendas, y para el monitoreo de la enfermedad se tiene un
indicador el cual es el IPA (Índice Parasitario Anual) que es la división de
enfermos malaria falciparum entre la población en riesgo de enfermar

10. Ejemplo:
FASE 2 : CONCEPTUALIZACION
2.1) PROPÓSITO DEL MODELO:
 Estimar el numero de enfermos con malaria falcíparum.
 Estimar el numero de tratamientos necesarios para controlar la
enfermedad.
 Esta información podría ser útil a las autoridades de salud para
desarrollar planes de acción y programas de inmunización.
2.2) FRONTERA DEL MODELO:
El modelo esta desarrollado para analizar el comportamiento de la
malaria en las zona del oriente boliviano y maneja los parámetros de
esta región, sin embargo el mismo se podría adecuar para otros países
tomando en cuenta las características de los mismos

11. Para el ejemplo de ilustración se tiene los siguientes elementos o
variables del modelo:
 Enfermos malaria falcíparum
 Curados malaria falciparum
 Población total
 Población área endémica falciparum
 Migración a zonas falciparum
 Naciendo
 Muriendo
 Enfermando falciparum
 Diagnosticando y tratando enfermos falciparum
 Índice parasitario anual falciparum (IPA)
 Población potencial con riesgo de enfermar falciparum
 Capacidad máxima tratamiento falciparum
 Fracción expuesta zonas falciparum
 Tasas migración zonas falciparum
 Tasa exposición picadura mosquito
 Probabilidad mosquito infectado con falciparum
 Disminución por rociado exposición picadura mosquito

12. 1.3) MODOS DE REFERENCIA
A continuación se detalla los modos de referencia históricos en
forma gráfica de algunas de las variables más importantes del
modelo como ser: la población del área endémica y el numero de
enfermos:

13. 0
5000
10000
15000
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
Enfermos Modo Referencia Enfermos
Falciparum
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
Habitantes
Año
Modo Referencia Poblacion Area
Endemica
0
10
20
30
40
50
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
IPA
Año
Modo Referencia Índice Parasitario
Anual (IPA)

14. 1.4) DIAGRAMA CAUSAL

15. 2. FORMULACION
2.1. CONVERTIR DIAGRAMA CAUSAL A DIAGRAMAS Y ECUACIONES
FLUJO NIVEL (DIAGRAMA FORRESTER)

16. 2. FORMULACION
Una vez definido que tipo de variables son los elementos del sistema se
pasa a representar el modelo mediante el diagrama d flujo-nivel, para
nuestro ejemplo tenemos:

17. 2. FORMULACION
Una vez definido el diagrama flujo-nivel se procede a estimar y
seleccionar valores de parámetros (calibrado).

18. FASE III: PRUEBA
3.1. SIMULAR EL MODELO Y PROBAR LAS HIPOTESIS DINAMICAS
Una vez construido el modelo mediante un software de simulación (en
este caso el ithink), se procede a simular el mismo y probar las hipótesis
dinámicas, se puede visualizar los resultados gráficamente y
tabularmente. Así para nuestro ejemplo, suponiendo los siguientes
valores iniciales:
 Capacidad máxima de tratamiento de 1.000 enfermos
 Enfermos con malaria falciparum inicial de 776
 Tasa exposición picadura mosquito 0.82
 Tasa migración a zonas falciparum 0.0001
 Fracción expuesta falciparum 0.04
Se puede analizar el comportamiento de las siguientes variables del
modelo:
 Numero de enfermos malaria
 Numero de pacientes curados
 Enfermando falciparum
 Diagnosticando y tratando falciparum

20. 3. PRUEBA
3.1. SIMULAR EL MODELO Y PROBAR LAS HIPOTESIS DINAMICAS
Se puede indicar de acuerdo a los resultados que arroja el modelo que:
 El numero de enfermos que en al año 2001 (inicial) era de 788 pasaría
a ser el año 2007 igual a 184
 Los enfermos totales curados hasta el 2007 seria igual a 2.234
 El IPA inicial para el 2001 seria igual a 2,35 por 1.000 habitantes
pasaría a 0,49 por 1.000 habitantes.
3.2. PROBAR LAS SUPOCIONES DEL MODELO
En esta fase se pasa a probar las suposiciones hechas para el modelo,
cambiándolas o modificándolas y observar que sucede con los resultados
del modelo, analizar si los resultados son coherentes, etc.

21. Para nuestro ejemplo podemos probar las siguientes suposiciones:
Aumentar la tasa de migración de 0.0001 a 0.001, cuyos resultados serian
los siguientes:
 El numero de enfermos para el año 2007 seria de 203
 El numero de pacientes curados hasta el año 2007 seria de 2.317
 El IPA seria igual a 0,53 por 1.000 hab.
Aumentar el numero inicial de enfermos con malaria falciparum de 788 a
1.000, cuyos resultados serian los siguientes:
 El numero de enfermos para el año 2007 seria de 234
 El numero de pacientes curados hasta el año 2007 seria de 2.860
 El IPA seria igual a 0,63 por 1.000 hab
De esta manera se puede continuar haciendo cambios en las
suposiciones del modelo para observar que es lo que sucedería con los
resultados del mismo.

22. 3.3 PROBAR EL COMPORTAMIENTO DEL MODELO Y SU
SENSITIVIDAD A PERTURBACIONES (ANALISIS DE SENSIBILIDAD).
Con el análisis de sensibilidad se estudia como varían las variables
endógenas ante variaciones pequeñas de los parámetros. En la practica
se hacen variaciones en los parámetros entre 1% y 10% y se observa el
incremento porcentual en la variable endógena, si la variación de esta es
pequeña entonces se concluye que la misma no es sensible ante ese
parámetro pero si es alta si es sensible.
Cuando se encuentre que una variable es muy sensible a un
parámetro habrá de ponerle espacial cuidado en el calibrado de este