funciones III

1. TEMA 21
FUNCIONES III

14. Dfog = x ∈ ℝ/x ∈ Dg ˄ g x ∈ Df
→ x ∈ 0; +∞
→ g x ∈ −3; 5 → −3 < g x < 5
→ −3 < 3x − 2 < 5
→ −
1
3
< x <
7
3
→ −1 < 3x < 7
→ x ∈ −
1
3
;
7
3
⋯ 𝛂
⋯ 𝛃
De 𝛂 ∩ 𝛃 obtenemos el Dfog
∴ Dfog = 0;
7
3
g x ∈ Df
x ∈ Dg

15. Dfog = x ∈ ℝ/x ∈ Dg ˄ g x ∈ Df
→ x ∈ 1; 6 ⋯ 𝛂
→ g(x)∈ 1; 4 → 1 ≤ g(x) ≤ 4
→ 1 ≤ x − 1 2 ≤ 4 1 ≤ x − 1 ≤ 2
→ 1 ≤ x − 1 ≤ 2 ˅ − 2 ≤ x − 1 ≤ −1
→ 2 ≤ x ≤ 3 ˅ − 1 ≤ x ≤ 0
→ x ∈ −1; 0 ∪ 2; 3 ⋯ 𝛃
Piden E = fog a + fog b
E = fog 2 + fog 3
De 𝛂 ∩ 𝛃 obtenemos: 𝐃𝐟𝐨𝐠 = 𝟐; 𝟑
Comparando: a = 2 ˄ b = 3
= f g 2 + f g 3 = f 1 + f 4
= 5 + 7 = 12
x ∈ Dg
g x ∈ Df

16. Dfog = x ∈ ℝ/x ∈ Dg ˄ g x ∈ Df
→ x ≥ 9 ⋯ 𝛂
→ g x ∈ 3;6 → 3 < 1 + x ≤ 6
→ 2 < x ≤ 5
x ∈ Dg
g x ∈ Df
→ 4 < x ≤ 25 ⋯ 𝛃
De 𝛂 ∩ 𝛃 obtenemos: 𝐃𝐟𝐨𝐠 = 𝟗; 𝟐𝟓
Regla de correspondencia:
fog x = f g x
fog x = 1 + x − 2 = x − 1

17. Dfog = x ∈ ℝ/x ∈ Dg ˄ g x ∈ Df
→ x ∈ 1; 4 ⋯ 𝛂
→ g x ∈ −3;2 → −3 < 5 − 3x ≤ 2
→ 3 > 3x − 5 ≥ −2
→
8
3
> x ≥ 1
→ 8 > 3x ≥ 3
→ x ∈ 1;
8
3
Regla de correspondencia:
fog x = f g x = g x
2
− 2 g x + 3
= 5 − 3x 2 − 2 5 − 3x + 3
→ fog x = 3x − 4 2 + 2
Dominio:
⋯ 𝛃
De 𝛂 ∩ 𝛃 obtenemos: 𝐃𝐟𝐨𝐠 = 𝟏;
𝟖
𝟑
Luego la función fog está definida por
fog x = 3x − 4 2
+ 2; x ∈ 1;
8
3
Hallemos su rango:
x ∈ 1;
8
3
→ 1 ≤ x <
8
3
→ 3 ≤ 3x < 8
→ −1 ≤ 3x − 4 < 4 → 0 ≤ 3x − 4 2
< 16
→ 2 ≤ fog x < 18 ∴ Rfog = 2;18
x ∈ Dg
g x ∈ Df

18. Regla de correspondencia:
gof x = g f x = 1 − 2f x
Dgof = x ∈ ℝ/x ∈ Df ˄ f x ∈ Dg
x ∈ Df → x > 0 → x ∈ 0; +∞
f x ∈ Dg → 2x − 2x2
≤ 0 → x2 − x ≥ 0
→ x(x − 1) ≥ 0 → x ∈ −∞; 0 ∪ 1;+∞
De 𝛂 ∩ 𝛃 obtenemos: 𝐃𝐠𝐨𝐟 = 𝟏;+∞
= 1 − 2 2x − 2x2 = 2x − 1 2
Dominio:
Como 𝐃𝐠𝐨𝐟 = 𝟏;+∞ → gof x = 2x − 1
Luego la función gof está definida por
gof x = 2x − 1; x ∈ 1;+∞
⋯ 𝛂
⋯ 𝛃

19. Regla de correspondencia:
fog x = f g x
Dfog = x ∈ ℝ/x ∈ Dg ˄ g x ∈ Df
x ∈ Dg → x ≠ 3
g x ∈ Df →
x + 2
x − 3
≠ 2 → x ≠ 8
De 𝛂 ∩ 𝛃 obtenemos: 𝐃𝐟𝐨𝐠 = ℝ − 𝟑; 𝟖
⋯ 𝛂
⋯ 𝛃
=
x + 2
x − 3
+ 3
x + 2
x − 3
− 2
fog x =
4x − 7
−x + 8
; x ≠ 3; 8

21. Dfog = x ∈ ℝ/x ∈ Dg ˄ g x ∈ Df
x ∈ Dg → x ≥ 0
g x ∈ Df → x < 0
⋯ 𝛂
absurdo en los reales
Dgof = x ∈ ℝ/x ∈ Df ˄ f x ∈ Dg
x ∈ Df → x < 0
f x ∈ Dg → 2x − 1 ≥ 0 → x ≥
1
2
⋯ 𝜷
𝐅
𝐅
Dfof = x ∈ ℝ/x ∈ Df ˄ f x ∈ Df
x ∈ Df
f x ∈ Df
→ x < 0
→ 2x − 1 < 0 → x <
1
2
⋯ 𝛂
⋯ 𝜷
Regla de correspondencia:
fof x = f f x = f 2x − 1
fof x = 4x − 3 ; x <
1
2
𝐅

23. funcion par: f x = f −x
funcion impar: f −x = −f x
I. Verdadero
f −x = −x +
x3
11
−
x5
2
= −f x
II. Verdadero
III. Falso