1. epv3. curso 2009/2010
ies m. ballesteros (utiel)
josé m. latorre

2. circunferencia : línea curva cerrada
en la que todos sus puntos están a
c la misma distancia de uno central al
c que llamamos centro.
radio : línea recta que une el
centro con cualquier punto de la
circunferencia.
diámetro : línea recta queune dos
puntos de la circunferencia pasando
por el centro.
recta secante o cuerda : línea recta
que une dos puntos cualquiera de la
circunferencia y a los que llamamos
puntos de corte, c.
recta tangente : línea recta que
sólo tiene un punto de contacto con
la circunferencia y al que llamamos
punto de tangencia, t.
t
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3. situar un punto a partir de otros dos dados.
c
a a
a
b b
b
d
vamos a situar un punto a una trazar un arco con centro en a trazar otro arco con centro en
distancia dada (r1) del punto a y y radio r1. b y radio r2, donde corta al
a otra (r2) de b. anterior situamos c y d.
p
“si, por definición, 2 puntos
situados sobre la circunferencia
se encuentran a la misma
distancia del centro, la bisectriz o
del ángulo que forman será
también la mediatriz de la cuerda
q
que nos une”.
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4. situar el centro de una circunferencia.
x x x
y y y
o
z
situar dos puntos cualesquiera x e trazar la mediatriz de la cuerda situar un tercer punto, z, unirlo
y sobre la circunferencia y unirlos. con y para trazar otra mediatriz.
el punto de corte será el centro, o.
trazar la circunferencia que pasa por 3 puntos.
x x
x
y y
y
o
z z z
unir los puntos dados x, y, z. trazar las mediatrices hasta que ya sabemos el centro y el radio.
se corten.
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5. definición
figura plana compuesta por 3 segmentos que se unen por sus extremos.
tiene, por tanto, 3 vértices y 3 ángulos que suman 180 grados.
clasificación según sus lados
escaleno
equilátero isósceles
3 lados diferentes
3 lados iguales 2 lados iguales
según sus ángulos
acutángulo
obtusángulo rectángulo
3 ángulos agudos
1 ángulo obtuso 1 ángulo recto
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6. rectas notables
son líneas interiores de los triángulos que cumplen unas determinadas características.
mediatriz
es la mediatriz de cada uno de sus lado. un triángulo tiene, por tanto, hasta 3.
el punto en el que se cortan las tres mediatrices se llama circuncentro
y es el centro de la circunferencia circunscrita.
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7. bisectriz
es la bisectriz de cada uno de los ángulos interiores, también hay 3.
el punto en el que se cortan las tres bisectrices se llama incentro y
es el centro de la circunferencia inscrita.
mediana
es la recta que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
el punto en el que se cortan las tres medianas se llama baricentro
que es el centro de gravedad del triángulo.
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8. altura
es la perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto.
el punto en el que se cortan las tres alturas se llama ortocentro.
ortocentro.
en un triángulo acutángulo se sitúa dentro del triángulo, en el
obtusángulo se sitúa fuera y en el rectángulo coincide con el vértice
del ángulo recto.
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9. construcciones
equilátero. a partir del lado
situar el lado del triángulo trazar dos arcos de radio unir los 3 puntos que
igual al lado y centro en serán vértices del triángulo
cada extremo
equilátero. a partir de la altura
sobre la bisectriz de un ángulo de trazar una perpendicular por el extremo el triángulo equilátero queda
60 grados, medir la altura de la altura que corte los lados comprendido entre los puntos de corte
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10. isósceles. a partir de la base
y la altura
altura (h)
base (b)
h
base (b)
altura (h) b
situar la base y trazar su
mediatriz. desde el punto de unir los extremos de la
corte medimos la altura base y la altura, vértices
del triángulo
isósceles. a partir de los lados iguales
y el ángulo comprendido entre ellos
α 30 grados
una vez situados los 3 vértices, unir
trazar el ángulo dado (30 grados) y
sobre las semirrectas medir los lados
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11. escaleno. a partir de los tres lados
l1
l2 l1
l3
situar uno de los lados, por ejemplo, el más largo: l1
l3
l2
como el punto de corte va a ser el tercer
trazar dos arcos de radio igual a los otros dos vértice, se ha de unir con los otros 2
lados (l2 y l3) y centro en los extremos de l1
escaleno. a partir de un lado
y sus ángulos adyacentes
60 grados
45 grados
sobre el lado construir los ángulos sobre el lado construir los ángulos solicitados
solicitados hasta que se corten
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12. rectángulo.
el triángulo rectángulo tiene algunas particularidades:
-es el único con una medidas determinada: el ángulo recto.
-sus lados tienen nombres concretos: los que forman el ángulo recto
son los catetos y el que los une es la hipotenusa.
se relacionan mediante el teorema de pitágoras
pitágoras.
“el área de un cuadrado que tiene como lado la
hipotenusa es igual a la suma de las áreas de
los dos cuadrados que tienen como lados los hipotenusa
dos catetos” cateto a
hipotenusa ² =cateto a² + cateto b²
cateto b
hipotenusa ²
= cateto a² + cateto b²
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13. conocidos los lados
por el extremo de uno de los medir sobre la perpendicular
lados, trazar una perpendicular. el otro lado y unir.
conocidos un lado y la hipotenusa
por el extremo de uno de los trazar un arco con la hipotenusa, que
lados, trazar una perpendicular. corta la perpendicular y unir.
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14. definición
polígono de 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos que suman 360 grados, pues todo
cuadrilátero puede dividirse en dos triángulos iguales.
rectas notables
polígono de 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos que suman 360 grados, pues todo
cuadrilátero puede dividirse en dos triángulos iguales.
la altura es la perpendicular a la base que pasa por
el vértice más alto. puede coincidir con un lado
las diagonales son las líneas que unen la base es el lado (horizontal) sobre el
dos vértices no consecutivos. si son de que apoya el cuadrilátero. puede haber dos
medidas diferentes las llamaremos bases paralelas. si son diferentes las
diagonal mayor y diagonal menor. llamaremos base mayor y base menor.
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15. clasificación y construcción
paralelogramos:
cuadrado lados paralelos 2 a 2
lados:
lados 4 iguales.
ángulos:
ángulos 4 rectos.
diagonales:
diagonales iguales y perpendiculares.
a partir del lado
situar el lado trazar una perpendicular trazar 2 arcos con centro en unir los vértices
por el extremo los extremos y radio el lado
a partir de la diagonal
trazar un ángulo de 45 sobre la diagonal trazar una perpendicular desde el tercer vértice trazar un
grados, que será la diagonal medir la distancia dada desde el extremo de la diagonal. arco con la medida de la diagonal
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16. rectángulo
lados:
lados iguales 2 a 2.
ángulos:
ángulos 4 rectos.
diagonales:
diagonales iguales.
a partir de la base y la altura
situar la base trazar una perpendicular trazar otra perpendicular unir los vértices
por el extremo por el otro extremo
a partir de la base y la diagonal
base
sobre un arco de 90 desde el extremo, trazar un trazar 2 arcos que se unir los vértices..
grados, medir la base arco de radio igual a la corten, uno con la diagonal y
diagonal que corte al ángulo. el otro con la base.
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17. rombo
lados:
lados 4 iguales
ángulos:
ángulos 2 agudos iguales y 2 obtusos iguales
diagonales:
diagonales diferentes y perpendiculares
a partir de las 2 diagonales
situar una diagonal y poner sobre la mediatriz la unir vértices
trazar su mediatriz distancia de la otra diagonal
a partir del ángulo y un lado
trazar el ángulo dado, en trasladar la medida del lado trazar dos arcos desde los unir los vértices.
este caso 60 grados. sobre las semirrectas. vértices con radio igual al lado.
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18. romboide
lados:
lados iguales 2 a 2
ángulos:
ángulos 2 agudos iguales y 2 obtusos iguales
diagonales:
diagonales diferentes y no perpendiculares
a partir de los lados y 1 diagonal
lado 1
situar un lado y trazar 2 arcos con trazar 2 arcos con centro en los cerrar el romboide
centro en los extremos y radio la extremos de los lados y radio los
diagonal y el otro lado lados correspondientes
a partir de los lados y 1 ángulo
lado 2
construir el ángulo y sobre cada trazar dos arcos desde los cerrar el romboide
semirrecta medir los lados. vértices obtenidos que se cruzan
en el cuarto vértice
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19. no paralelogramos:
trapecio rectángulo lados no paralelos 2 a 2
lados:
lados diferentes
ángulos:
ángulos 2 rectos, 1 agudo y 1 obtuso.
diagonales:
diagonales diferentes y no perpendiculares.
a partir de las bases mayor y menor
base menor
h
situar la base mayor trazar una perpendicular trazar una perpendicular a la
cerrar el trapecio
por un extremo que mida h altura que mida la base menor
trapecio isósceles
lados:
lados 2 iguales y 2 diferentes
ángulos:
ángulos 2 agudos iguales y 2 obtusos iguales
diagonales: iguales y no perpendiculares.
diagonales
a partir de la base mayor, la altura y un lado
diagonal
lado
situar la base mayor trazar 2 arcos desde el
extremo de la base, de radio repetir la operación desde cerrar el trapecio
el lado y la diagonal el otro extremo de la base
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20. trapezoide
lados:
lados los 4 diferentes
ángulos:
ángulos los 4 diferentes
diagonales:
diagonales diferentes.
a partir de los 4 lados y 1 diagonal
lado 1
situar un lado del trapezoide trazar 2 arcos con centro
trazar 2 arcos con centro
en los extremos de a y radio
en los extremos de los lados
la diagonal y otro lado, b
y radio c y d
unir vértices
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21. un polígono inscrito es aquel que tiene sus vértices sobre una circunferencia. cualquier
polígono puede construirse de esta forma, si dividimos la circunferencia en partes iguales.
a continuación, vamos a ver, desde el más sencillo hasta los más complicados, todos los
métodos que se aplican desde el triángulo (3 divisiones) hasta el octógono (8 divisiones).
cuadrado
inscrito
4 divisiones
trazar un diámetro trazar otro diámetro, unir los vértices
perpendicular al primero
octógono
inscrito
8 divisiones
partimos de la construcción dividir los ángulos rectos unir los vértices
del cuadrado en 2 partes iguales
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22. hexágono
inscrito
6 divisiones
hemos de saber que el radio de una aplicar el radio 6 veces unir las divisiones
circunferencia la divide en 6 partes iguales sobre la circunferencia
triángulo
equilátero
inscrito
3 divisiones
unir los vértices adecuados
realizar la misma construcción vamos a necesitar sólo vértices alternos
que para el hexágono
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23. heptágono inscrito
7 divisiones
m
trazar 2 diámetros perpendiculares trazar la mediatriz de un la distancia desde m hasta la aplicar la medida 7 veces y
radio. el punto de corte es m circunferencia va a ser el lado unir
pentágono inscrito
5 divisiones
a a
b m b
partimos de la construcción trazar un arco con centro en m y la distancia desde a hasta b va a aplicar la medida 5
del heptágono radio ma que corta al diámetro en b ser el lado del pentágono veces y unir
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24. método general
n divisiones
1.trazar un diámetro y 4. unir las divisiones
dividirlo en n partes. sobre la circunferencia.
2. trazar 2 arcos con centro en 3. desde los dos puntos de corte,
los extremos del diámetro y radio trazar rectas que pasen por las
toda la longitud del diámetro, divisiones pares del diámetro.
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25. polígonos estrellados
de paso2 y paso3
el paso se refiere al modo de unir los vértices sobre la circunferencia. el modo convencional de
ir uniendo los vértices consecutivos se conoce como paso1. del mismo modo, el paso2 implica unir
vértices alternativamente (uno si, uno no), y el paso3 dejar 2 libres.
heptágono paso1 heptágono paso2 heptágono paso3
pentágono de paso 2 hexágono paso 2, octógono paso 3
y paso 3 el de paso 3 no existe
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