Objetivo 2 de Matemática II para la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA.

1. Capitulo II
Matemática II
Objetivo 2. Calcular límites cuando x tiende a infinito, cuando f (x)
tiende a infinito o límites de las formas indeterminadas: 0
0
, ¥
¥
, ¥-¥ y 1¥ .
Ejercicio 1
Calcular:
4
+ -
x x
5 14
lim
x 2
® x
-
Solución
Justificación:
Expresión Matemática Operación realizada
+ - = + - =
( )
4
5 14 4 5 4 14
lim
2 4 2
4 5 2 14 4 10 14
2 2 0
14 14
0
0
0
x
x x
® x
- -
+ - + - = =
-
- =
Primero se evalúa el límite para saber
a que forma indeterminada nos
enfrentamos
4
+ -
x x
5 14
lim
x 2
® x
-
Límite original
La conjugada del denominador es: x + 2 (conjugar es cambiar de signo)
4
 x + 5 x - 14   x
+ 2

 -       + 
lim
i
x ® x 2 x
2
Se multiplica por la conjugada tanto en
el numerador como en el denominador
para no alterar el ejercicio, es decir,
2
1
2
x
x
+ =
+
, y al multiplicar por 1, no se
altera el ejercicio original
( )( )
 x + 5 x - 14 x
+ 2
  
 - +   
lim
4 ( )( )
® x x
2 2 x
La multiplicación de fracciones es
lineal, es decir: a c a c
= i
i
b d b i
d
( )( 2
)
( )( )
2 2 2
2 2
x 14
x
x
(( ) ( ) )
lim
4
14
4 2 2
1
5
5
li
5 4
2
m
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
®
®
 + - +    =  - +   
 
 + - + + i - i

 
 - 
 
En el numerador se aplica la
propiedad distributiva y en el
denominador el producto de la suma
por su diferencia, es decir:
( )( ) 2 2 a -b a + b = a -b

2. ( )
 + 2
 x x x - x + x +  x
- 
 ( - )
  
 
4
5 14 2 10 28
lim
x ® x
4
Resultado de ejecutar las operaciones
anteriores
 x x + 5 x - 14 x + 2 x + 10 x
- 28

  -  
lim
x 4
4 ( )
® x
Se aplicó:
( )2
x x = x = x
 x x + 7 x - 4 x
- 28

  -  
lim
x 4
4 ( )
® x
Se efectúo la suma algebraica de
términos semejantes
x x
x x
7 4 28
lim
x 4
4 ( x
)
®
 + - - 
   - 
Se destaco los elementos que
extraeré como factor común
( ) ( )
 x - 4 + x
- 4

 
  -  
lim
7
x
4 ( x
)
®
x 4
Se extrajo como factor común 2
elementos, a saber:
a) x x - 4 x = x (x - 4)
b) 7x - 28 = 7x - 7i4 = 7(x - 4)
( 4 ) 7 ( 4
)
x x
lim
x 4
4 ( x
)
x
®
 - + - 
 
 -   
Se destaco el elemento que extraeré
como factor común
( 4 )( x
7
)
lim
x 4
4 ( x
)
x
®
 -
+   
 - 
 
Se extrajo como factor común 1
elemento, a saber:
a) x (x - 4) + 7(x - 4) = (x - 4)( x + 7)
( )( )
4 ( )
7
l m
4
i
4
x
x
x
x
®
 -
+   
 -

 
Ahora observa los elementos
semejantes que se pueden simplificar,
tanto en el numerador como en el
denominador, los destaque en rojo
( )
4
4
lim
x
x
®
- ( x
+
7
)
( x
-
4
)
( ) 4
lim x
7
x
®
 
  =  
 
+
Se aplica la simplificación de los
términos semejantes.
( ) 4
lim x
7 4 7 2 7 9
x
®
+ = + = + =
Se evalúa de nuevo el límite para
conocer si se elimino la forma
indeterminada
Respuesta:
4
+ - =
x x
5 14
lim 9
x ® x
2
-
Ejercicio 2
Calcular:

3. lim
x
x
®¥ + +
Solución
x x x
Justificación:
Expresión Matemática Operación realizada
lim
x
x
x x x
®¥
= ¥
+ + ¥+ ¥ + ¥
= ¥ = ¥ =
¥+¥ +¥ ¥+¥
¥
¥
Primero se evalúa el límite para saber
a que forma indeterminada nos
enfrentamos
lim
x
x
®¥ + +
x x x
Límite original
En este tipo de formas indeterminadas se acostumbra dividir entre el término
de mayor exponente
= =
lim lim
x
+ + + +
1
®¥ ®¥
x x
=
lim lim
®¥ ®¥
+ + + +
x x
x
x
x
x x x x x x
x
x
x x x x x x
x x x x
Se procedió a dividir tal como indique,
toma en cuenta la aplicación de las
siguientes propiedades aplicadas de
los radicales, a saber:
a) x
x =
x x
+ = +
b) x x x x
x x
c) Se aplico la propiedad de la suma
de fracciones, que indica lo siguiente:
cuando tenemos el mismo
denominador sumamos los
numeradores y se deja el mismo
denominador, es decir:
+ = + , esto se aplico en el
a b a b
c c c
denominador:
+ + = + + x
x x x x x
x x x

4. 1 1
=
lim lim
®¥ ®¥
+ + + +
x x
x x x x
x x x
= =
®¥ ®¥
x x
x
x x
+ + + +
2
1 1
1 1
lim lim
1
1 1 1 1
Se aplicaron las siguientes
operaciones:
x
x
=
a) 1
b) Se aplicó de nuevo lo explicado en
el punto “c” del paso inmediato
anterior acerca de las fracciones de
igual denominador:
+ = +
x x x
x
x
x x
c) Se aplicó la propiedad de los
radicales acerca de introducir un
elemento en un radical, es decir:
n
x x
y y
= n
, en nuestro caso particular
n
fue:
2
x
x
x
x
=
d) Se simplifico en la ultima igualdad
obtenida en el denominador, a saber:
x
2 x
1
x
=
1 1
lim
1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 0 1 1 1 2
x
x
®¥
=
+ + + +
¥
= = =
+ + +
Se evalúa de nuevo el límite para
conocer si se elimino la forma
indeterminada. Recuerda:
a) 1
= 0
¥
x
Respuesta: 1
lim
x 2
x x x
®¥
=
+ +
Ejercicio 3
Determinar
2
tg x
2
lim
x
0 2
® x
si es que existe.
Solución
Justificación:

5. Expresión Matemática Operación realizada
2 2 ( )
2 tg x 2 tg
0 2 0 0
lim
x ® 0 x
2 0 2
0 0
= = =
Primero se evalúa el límite para saber
a que forma indeterminada nos
enfrentamos
2
2
lim
x
tg x
0 2
® x
Límite original
En este caso haremos uso del límite especial o notable
lim 1
x
0
senx
® x
= . Para ello
descompondremos la función tangente así:
senx
cos
tgx
x
=
2 2
2 2
tg x sen x
= Se aplicó
lim lim
x x cos
0 2 0 2 2
® x ® x x
senx
cos
tgx
x
=
2
2 2
sen x sen
x
lim i lim i
lim
2 2
® ® ®
os cos
x x x
2
c
lim l
2
2
0 2 0 0
2
im
cos
i
x x
0 0
x
x x
sen
x
x
x
x
® ®
  =  
 
  =   =
 
Se descompuso en multiplicación de
fracciones, porque nos conviene tener
la estructura senx
x
para aplicar el límite
notable antes nombrado:
2 2
2 sen x 2
se
x cos cos
x x
2 2 2
2
n x
x
= i
También se aplicó la propiedad de
potenciación:
n n
a a
b n
b
  =  
 
, en:
2 2
  =  
 
sen x sen
x
2
x
x
2 2 2
( ) 2
i 1
= i1 = 2i1 = 2
cos 0 1
Sustituyendo para evaluar y obtener el
valor del límite. Recuerda que en este
paso se aplica:
a)
lim 1
x
0
senx
® x
=
b) cos 0 =1
Respuesta:
2
tg x
2
lim 2
x
0 2
® x
=
Ejercicio 4
Determinar
-
1
2
ln ( ) 2
lim
x
x
e sen sen x sen x
p senx
®
 -  .

6. Solución
Justificación: Primero sustituimos el valor de
p , para identificar a que
2
forma indeterminada nos enfrentamos:
-
2 1
1
2
ln ( ) 2
ln ( ) 2 2 2
lim
2
x
x
e sen sen sen
e sen sen x sen x
senx
sen
p
p
p p
p
-
®
       -     -      = =
p p   -    2
       -        = =  -  = =  
ln e sen
2
2 2
p ( ) ( )
( ) [ ]( )
p p 1
p
2 2
0 0 0 0
sen
p p
1 1 2 2
NOTA 1: En este límite puedes tomar en cuenta lo siguiente:
ln ln (1) x e = x e = x = x , acá se aplico la propiedad de la función logaritmo:
ln ln b a = b a
NOTA 2: También puedes aplicar lo siguiente: 1 sen(sen x) x - = . Cuando
tenemos una función trigonométrica y su inversa, esta se anula y queda el
argumento, es decir, se cumplen las siguientes propiedades:
1
-
=
=
=
sen sen x x
-
1
-
1
-
1
-
1
1
( )
cos(cos x )
x
( )
cot (cot )
sec(sec )
cos (cos )
tg tg x x
=
g g x x
=
x x
-
=
ec ec x x
En este caso no se generó ninguna forma indeterminada, por lo tanto:
Respuesta:
-
1
2
x
ln ( ) 2
lim 0
x
e sen sen x sen x
p senx
®
 -  =
Ejercicio 5
Usando las propiedades de límites paso a paso, calcular el siguiente
límite:
( )
lim ln 3cos 2 senx
x
2
e x
®p
 + 
Si es que existe.
Solución

7. Justificación: Primero sustituimos el valor de
p , para identificar a que
2
forma indeterminada nos enfrentamos:
p
( ) 2 ( )
 p 
  =
 
lim ln 3cos 2 ln 3cos 2 ln 3cos 2
2
2 2
sen
senx
x
e x e sen e
p
p p
®
   
 +  = +   =   +
    2
(1)(1) + 3cos (p ) =1+ 3(-1) =1- 3 = -2
En este caso no se generó ninguna forma indeterminada, por lo tanto:
Respuesta: ( )
lim ln 3cos 2 2 senx
x
2
e x
®p
 +  = -
Ejercicio 6
Verifica que:
 + 1
   =
 
Solución
lim 1 1
2
x
x®¥ x
Justificación: Primero sustituimos el valor de
p , para identificar a que
2
forma indeterminada nos enfrentamos:
x
1 1 1
( ) 2 2
lim 1 1 1 1 0 1
x x
¥ ¥
¥ ¥
®¥
       +  =  +  =  +  = + =    ¥   ¥ 
En esta forma indeterminada se hace uso de la igualdad:
( ) ( )
g ( x ) = ® ( ) g ( x ) =
lim g ( x ) f ( x
) 1
f x f x e ®
lim ( ) 1 lim ( ) x x
0
x x x x
0 0
-
¥
® ®
1
= + y g(x) = x se tendría:
En nuestro caso particular: f (x) 1
2
x
     + -   
   
x 1 1 lim x 1 1 lim
x
lim x 2 2
1
2
lim 1
x x x
x x
x
e e e
x
®¥ ®¥ ®¥
®¥
   +  = = =
 
 
 1
  1   1

 2
 = lim
     x
 e x ®¥
 x  = e  ¥  = e 0 = 1 .
Camino alternativo u otra forma de resolver este ejercicio
 + 1
  
 
En el límite lim 1
2
x
x®¥ x
se aplica la siguiente propiedad: lnW e =W , así:
 1    +   + 1
 
   
   +  = =
 
ln 1 lim ln 1
2 2
1
lim 1 lim
2
x x
x
x
x x
x x
e e
x
®¥
®¥ ®¥
Por la propiedad de logaritmo: ln ( ) ln ( )
y
x = y x , se tiene:

8. x
 1    +   + 1
 = 
   
lim ln 1 lim ln 1
2 2
x x
x
e x e x ®¥ ®¥
Ahora:

 = 1 = 1
=  ®  + 1   + 1  1
    +
   
u x
( ) 2 2 0
lim ln 1 lim ln 1 lim ln 1
x u
®¥ ®¥ 2
®
x x u
0
x
x x u
e e x u e
 x ®¥⇒ u
®
Este último límite es de la forma 0
0
, observa:
0
+ u
= + = = , entonces podemos aplicar L’hopital, así:
ln(1 ) ln(1 0) ln(1) 0
lim
u 0 0 0
® u
( )
( ) ( ) ( )
+ + + = = = = = =
u u u u
u u u
® ® ® ®
u u u u
0 0 0 0
0
+
ln(1 )
lim
0
1
ln(1 ) ln(1 ) ' 1 2 2 0 0 lim lim lim lim 0
' 1 1 1 0 1
2
u
u
: 1 u
u
recuerda que e e ®
+ +
= =
i
También pudieras pensar en no hacer el cambio de variable
 = = 
 ®¥⇒ ®
1 1
2
0
u x
x u
x u
y dejar el límite como:
 + 1
  
 2

lim x
ln 1
x
e x ®¥
Si sustituyes y evalúas obtendrías en el límite:
 + 1     = ¥  + 1
  = ¥ ( + ) = ¥ ( ) = ¥  2   ¥ 2

lim x
ln 1 ln 1 ln 1 0 ln 1 0
x
®¥ x
i
Pero esta forma indeterminada se puede llevar a 0
0
ó ¥
¥
para poder
aplicar L’hopital, así:
2
2
1
ln 1
1
lim ln 1 lim
x x 1
x
x
x
x
®¥ ®¥
   + 
     +  =
 
Y si sustituyes en éste límite obtendrías:
1 1
ln 1 ln 1
2 2 ( ) ( )
ln 1 0 ln 1 0
x
lim
x 1 1 0 0 0
x
®¥
     +   +  +    ¥  = = = =
¥
Ahora si puedes aplicar L’hopital:

9. ( )
'
2 3
' 2 2
2 2 3 2 2 2
'
®¥ ®¥ ®¥ ®¥ ®¥
x x x x x
2 2 2
2
1 2
1
1 1 1 1 2
ln 1 ln 1 1
1
lim lim lim lim lim
1 1 1 1 1
2
lim
x
x x
x x
x x x x x x
x x x x x
x
®¥
   +  -
 
         +  -  +    +    +    +           = = = = =
  - - -  
 
2
- ( ) -
x 3 + ( +
)
2 2 2 2
x x x x x
1 1 2 2
= = =
lim lim lim
=
- 1 x ®¥ - 1 x ®¥ ( 2
+ 1 )
x
®¥
x ( 2 ) 2
2 2
x x
x x
2
lim
x
+ +
x ®¥ x
1 x 1
Este ultimo límite es de la forma ¥
¥
2 x
2
porque 2 2
lim
x ®¥ x
1 1
= ¥ = ¥
+ ¥ + ¥
Por lo que podemos aplicar de nuevo L’hopital:
( )
2 x 2 x
' 2 2
= = =
lim lim lim lim
x 1 x 1 ' x 2 x
2 ( 2 )
+ + 2
®¥ x ®¥ x ®¥ x ®¥
1 1
= = =
lim 0
x x®¥ x
¥
 + 1

®¥     = =
lim ln 1
2
x
ex x recuerda que e e
0 : 1
Como ves un límite puede tener múltiples formas válidas de resolverlos.
 + 1
   =
 
Ejercicio 7
Respuesta: Se verificó: 2
x
lim 1 1
x®¥ x
Sea g :ℝ®ℝ , la función definida por g(x) = [x] .
a. Representa gráficamente a la función g en el intervalo [-2, 2].
b. Calcula el límite de la función g , cuando x tiende a 0 x =1 por la izquierda.
c. Calcula el límite de la función g , cuando x tiende a 0 x =1 por la derecha.
d. ¿Existe el límite de la función g , cuando x tiende a 0 x =1? Explique.
Solución
Justificación:
a) Para hacer la representación gráfica de la función dada, primero
debemos conocer la función parte entera, denotada en este caso
como [x] , y que se define así:
[x] = n®n £ x < n +1 ; nÎℤ

10. Tomemos valores arbitrarios para n , tomando en cuenta que nos piden
graficar solo en el intervalo [-2, 2] así:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
= - ® - £ < -
= - ® - £ <
= ® £ <
= ® £ <
x x
x x
x x
x x
2 2 1
1 1 0
0 0 1
1 1 2
Ahora procedemos a graficar, obteniendo:
b) Para calcular el límite de g(x) cuando x se acerca a 1 por la
izquierda, observamos la gráfica en el punto 1:

11. Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 1 por la izquierda
y vamos hacia la gráfica (línea roja) y observamos que la imagen tiende a 0,
por lo tanto:
lim g ( x
) 0
x
1
® -
=
c) Para calcular el límite de g(x) cuando x se acerca a 1 por la
derecha, observamos la gráfica en el punto 1:

12. Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 1 por la derecha y
vamos hacia la gráfica (línea roja) y se observa que la imagen tiende a 1, por lo
tanto:
lim g ( x
) 1
x
1
® +
=
d) No existe el límite
lim g ( x
)
x
1
®
ya que los límites laterales calculados en
los apartados “b” y “c” son diferentes.
Respuesta:
a) La grafica de g es:

13. b)
lim g ( x
) 0
x
1
® -
=
c)
lim g ( x
) 1
x
1
® +
=
d) El
lim g ( x
)
x
1
®
no existe.
Ejercicio 8
Calcular
+ 3
-
-
8
x
7 3
lim
x 8
® x
.
Solución
Justificación:
Expresión Matemática Operación realizada
+ 3 - + 3
= - =
- -
8
7 3 7 8 3
lim
8 8 8
7 2 3 9 3 3 3 0
0 0 0 0
x
x
® x
+ - = - = - =
Primero se evalúa el límite para
saber a que forma indeterminada
nos enfrentamos
+ 3
-
-
8
x
7 3
lim
x 8
® x
Límite original
En este caso se puede multiplicar por la conjugada del numerador 3 7 + x - 3
que es 3 7 + x + 3

14. 3
7 7
3 3
( )
( )( 7
+
)
( )( )
( )( )
8
2
2
3
8
3
8 3
3
8 3
3
3
3
3
3
3
lim
8
x
lim
8
7 9
x
lim
8 7 3
2
7
7
x
im
8 7 3
l
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
®
®
®
®
  + -     +
+   =   -   +
+    
 
 +
- 
  =
 - + 
 
 
 + -    =
 - + + 
 
 
 - 


- + + 


Se multiplica por la conjugada
tanto en el numerador como en
el denominador para no alterar el
+ + =
+ +
ejercicio, es decir, 3
7 3
3
1
x
x
7 3
,
y al multiplicar por 1, no se altera
el ejercicio original
3
( )( )
8 3
3
( )( 3
) ( )( )
( )( )
2
lim
8 7 3
8 2 2 2
8 8 7 8 3 0 7 2 3
0 0
0 9 3 0
x
x
x x
®
 
 -    =
 - + + 
 
- = - =
- + + + +
=
+
Ahora sustituimos de nuevo el
valor 8, para saber si se eliminó
la forma indeterminada 0
0
3
2
( )( )
lim
8 3
8 7 3
x
x
x x
®
 
 - 
 
 - + + 
 
Como aun permanece la forma
indeterminada 0
0
hay que
ejecutar otra acción matemática
En este caso podemos racionalizar el numerador, ya que existe en el
numerador la expresión 3 x - 2, recordando la fórmula del factor racionalizante:
(3 3 )(3 2 3 3 2 ) a - b a + ab + b = a -b
En nuestro caso particular, tenemos: 3 x - 2, sabiendo que 3 8 = 2 , sustituimos el
2 por 3 8 para que la expresión 3 x - 2 en el numerador tome la estructura
3 3 x - 8 que es semejante a 3 3 a - b , de manera que podemos identificar
claramente a y b , en fin:
( )( )
( )( )
- b + b + b = -b
- + + = -
3 3 3 2 3 3 2
a a a a
3 x 3 8 3 x 2 3 x 8 3 8 2 x
8
NOTA: Puedes escribir el factor racionalizante así: (3 3 )(3 2 3 3 2 ) x - 8 x + 8x + 8 ,

15. porque: x8 = 8x , apliquemos pues ésta explicación del factor racionalizante:
3
2
( )( )
lim
8 3
8 7 3
3 3
8
( )( )
lim
8 3
8 7 3
x
x
x
x x
x
x x
®
®
 
 -    =
 - + + 
 
 
 - 
 
 - + + 
 
Se aplicó:
3 3 3 x - 2 = x - 8
3 3
( )( )
( 3 2 3 3 2
)
8 3 3 2 3 3 2
8
x
x x
( )( )( )
8 3 3 2 3 3 2
li
8 8
8 8
8
m
8 7 3
li
8
m
8 7 3 8
x
x
x x
x
x
x
x x
x x
®
®
     -   + +      =  - + +   + +     
 
 -    =
 - + + + + 
 
Se multiplica por el factor
racionalizante 3 2 3 3 2 x + 8x + 8
tanto en el numerador como en
el denominador para no alterar el
ejercicio, es decir,
+ + =
+ +
3 2 3 3 2
8 8
x x
x x
3 2 3 3 2
1
8 8
, y al multiplicar
por 1, no se altera el ejercicio
original
8
8
lim
x
x
®
-
(x -8) ( 7 3 3 )( 3 2 3 8 3 8
2
)
)( 1
( )
lim
8 3 3 2 3 3 2
7 3 8 8
x
x x x
x x x
®
 
 
  =
 + + + + 
 
 
 
 
 + + + + 
 
Se destaco los elementos
semejantes obtenidos depuse de
aplicar el factor racionalizante y
se simplificaron
 
 1

  =
 + + + + 
 
 
  =  + + + +   
 
  = =  + + +  +  
( 7 3 8 3 )( 3 8 2 3 8 ( 8 ) 3 8
2
)
1
( 7 2 3 )( 3 64 3 64 3
64
)
1 1
( 9 3 )( 4 4 4 ) ( 3 3 )( 12
)
1 1
( 6 )( 12 )
=
72
Evaluando de nuevo, se tiene
Respuesta:
+ 3
- =
-
8
7 x
3 1
lim
x ® x
8 72
Ejercicio 9

16. Calcular
0
+
ln( 1)
lim
x
x
® x
Solución
Justificación: Primero sustituimos el valor de 0 , para identificar a que
forma indeterminada nos enfrentamos:
0
x
+ = + = =
ln( 1) ln(0 1) ln(1) 0
lim
x 0 0 0
® x
En este caso conviene, aprovechando las propiedades de la función
logaritmo hacer lo siguiente:
+  1   1
 = + =  +  =  + 
ln( x
1) 1
lim lim ln( x 1) lim ln( x 1) x ln lim( x
1) x
x x x x
® x ® x ® ®
   
0 0 0 0
Y si evaluamos en esta última expresión se tiene:
1 1
lim( 1) x (0 1) 0
1
x
0
x ¥
®
+ = + =
En esta forma indeterminada podemos hacer uso de la igualdad utilizada
en el ejercicio 6, es decir:
( ) ( )
g ( x ) = ® ( ) g ( x ) =
lim g ( x ) f ( x
) 1
f x f x e ®
lim ( ) 1 lim ( ) x x
0
x x x x
0 0
-
¥
® ®
En este caso:
     
 +  =   =   =
     
 
  = = = =
 
1 1 1 1 lim ( 1 1) lim ( ) lim
+ -
ln lim( 1) ln ln ln x x x
0 0 0
0
x x
x x x x
x
x e e e ® ® ®
®
( x ) ( lim1
0 ) ( ) ( )
1 ln ex® ln e ln e 1
Respuesta:
0
x
+ =
ln( 1)
lim 1
x
® x
Ejercicio 10
Calcular
2
x
- + -
1 3 2
1
-
lim
x 2 2
® x x x
Solución
Justificación: Primero sustituimos el valor de 1, para identificar a que
forma indeterminada nos enfrentamos:
- = - = = =
1 1 1 0 0 0
x
lim
x 2 2 1 1 2 1 2 0 2 2 0 0 0
( )
2 2
- + - - + - + - +
1 3 2 3 2
® x x x
En este caso, como estamos en presencia de 2 polinomios procedemos
a factorizar cada uno de ellos:
Polinomio numerador

17. 2 ( )( ) x -1 = x -1 x +1
Polinomio denominador
3 2 x - x + 2x - 2
Para factorizar este polinomio aplicamos Ruffini, así:
Observa que una raíz obligada es 1 porque es el valor al cual tiende el
límite que anuló el denominador cuando evaluamos y obtuvimos la forma
indeterminada 0
0
. ESTO NOS DA EL SIGUIENTE TIP’S: CUANDO
TENGAMOS POLINOMIOS Y TENGAMOS QUE APLICAR RUFFINI,
SIEMPRE COMENZAMOS POR EL VALOR AL CUAL TIENDE EL LÍMITE.
Luego dentro del procedimiento de Ruffini obtenemos los valores
1 0 2 , que como se sabe este es un polinomio de grado 2, que se
escribe, en este caso: 2 x + 2 , entonces la factorización del denominador
quedaría:
3 2 2 x - x + 2x - 2 = (x -1)(x + 2)
Sustituyendo ambas factorizaciones en el límite, se tiene:
2
- - + - = =
x x x x
1 ( 1)( 1) ( 1)
lim lim lim
x 2 2 x ( 1)( 2) x
- + - - +
1 3 2 1 2 1
® x x x ® x x ®
( 1)
( 1)
x
x
+
= + = + =
( 1) (1 1) 2
lim
x
+ + +
- x 2 ® 1 x
2 2
( 2) x ( 2) (1 2) 3
Respuesta:
2
x
- + -
1 3 2
- =
1 2
lim
x ® x x 2 x
2 3
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

18. editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Calcule el límite dado, lim ( x 2 - 5 x + 6
-
x
) x
®¥
Ejercicio 2
Calcule
2
 - 3

   + 
lim
1
x
x
x
®¥ x
Ejercicio 3
Calcula
 x
3
- 
   - 
3 2
27
lim
x ® x
9
Ejercicio 4
Calcula el límite
4 + 3
+
+ +
3 x 2 x
1
lim
x ®¥ x 2
5 x
20
Ejercicio 5
Calcular
 
 - 
 
 - 
 
®p p
4
1
lim
4
x
tgx
x
Ejercicio 6
Usando conjugadas resuelva
0
x
+ 1 -
1
+ -
Ejercicio 7
lim
x 4 2
® x
Calcular
2
5
lim
1
x
x
x
x
+
®¥
 + 
   + 
Ejercicio 8

19. Sea f : (0,¥)®ℝ una función tal que: lim ( )
t
f t
®¥
= ¥. Calcula los siguientes
límites:
a. lim(2 ( ) 1)
t
f t
®¥
2
t
+
+ b. ( 3
)
1
lim
t 2 1 ( )
+ -
®¥ t t f t
lím
t®+¥
Ejercicio 9
Calcular el límite ( ) ( )
+ 2
-
- +
x x
2 5 i 3 7 i
2
( ) ( )
x®¥ 2 x 2
x
lim
6 5 i 3 5 i
2
Ejercicio 10
Sea f : (-¥,0)®ℝ , una función tal que la recta de ecuación y = 3x + 2 es una
asíntota de la función f . A continuación hacemos varias afirmaciones en
relación a la función f . Indica con una V o una F en el espacio
correspondiente según que la afirmación sea verdadera o falsa
respectivamente.
a. f ( x
)
lim 3
x
®-¥ x
= _____
b. f ( x
)
lim 2
x
®-¥ x
= _____
c. lim ( ( ) 3 ) 2
x
f x x
®-¥
- = _____