Funciones r eales

Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
1
4. FUNCIONES REALES
4.1 FUNCION CONSTANTE
En matemáticase llamafunciónconstante aaquellafunciónmatemáticaque toma el mismo valor
para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma:
donde a es la constante.
Si 𝑐 es una constante real, la función 𝑓:ℝ ⟶ ℝ definida por:
𝑓(𝑥) = 𝑐
Figura 4.1. Gráfica de la función constante, para 𝑐 = 4 𝑦 𝑐 = −4
𝑓(𝑥) = 4 y 𝑓(𝑥) = −4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
X
Y
Notemos que:
I. 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑓 = ℝ
II. 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑓 = { 𝑐}

2
Ejemplo Nº26:
a. Sea 𝑓:ℝ ⟶ ℝdefinida por 𝑓( 𝑥) = −
1
2
. Luego su representación gráfica es:
Figura 4.2. Grafica de la función
𝑓( 𝑥) = −
1
2
-2 2
-2
2
x
y
b. Sea 𝑓:ℝ ⟶ ℝ una función definida por 𝑓(𝑥) = 3. Luego, su representación gráfica es:
Figura 4.3. Representación Gráfica de
𝑓(𝑥) = 3
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Notemos que:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑒𝑐 𝑓 = {−
1
2
}
Notemos que:
𝑅𝑒𝑐𝑓 = {3}

3
FUNCIÓN CERO: (Caso particular de la función Constante 𝐜 = 𝟎)
Sea 𝑓:ℝ ⟶ ℝ una función. Se llama Función Cero a aquella función definida por 𝑓(𝑥) = 0, y su
representación gráfica es la siguiente:
Figura 4.4. Representación Grafica de la Función cero.
𝑓(𝑥) = 0
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Notemos que:
I. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
II. 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = {0}

4
4.2 FUNCION IDENTIDAD
En matemáticasunafunción identidad es una función matemática, de un conjunto Ma sí mismo,
que devuelve su propio argumento.
Sea 𝑓:ℝ ⟶ ℝ unafunción.Se llamaFunciónidentidadaaquellafunción definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥, y
su representación gráfica es la siguiente:
Figura 4.5. Representación Gráfica de la Función Identidad.
𝑓(𝑥) = 𝑥
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Notemos que:
II. 𝑅𝑒𝑐𝑓 = ℝ

5
4.3 FUNCION VALOR ABSOLUTO
En matemática, el valor absoluto o módulode un número real es su valor numérico sin tener en
cuentasu signo,seaeste positivo(+) onegativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y
de -3.
El valorabsolutoestárelacionadoconlas nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes
contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede
generalizarseamuchosotrosobjetosmatemáticos,comosonloscuaterniones,anillosordenados,
cuerpos o espacios vectoriales.
Sea 𝑓:ℝ ⟶ ℝ 𝑜
+ unafunción.La función valorabsolutoesaquellafuncióndefinidapor 𝑓(𝑥) = | 𝑥| ,
tal que | 𝑥| = {
𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
. Su representación gráfica es la siguiente:
Figura 4.6. Representación grafica de la función valor absoluto.
𝑓(𝑥) = | 𝑥|
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Notemos que:
II. 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = [0, ∞) 𝑜 ℝ0
+

6
4.4 FUNCION EXPONENCIAL
Sea 𝑓(𝑥) = 2 𝑥, es una función real, esta es una función es una expresión cuya base es 2, y cuyo
exponente es la variable independiente 𝑥.
Veamos el comportamiento de esta función en el grafico.
Figura 4.6. Gráfico de la Función
𝑓(𝑥) = 2 𝑥
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
X
Y
En general una función real de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 de base real 𝑎 > 0; distinta de 1, es
llamada Función Exponencial.
Notemos que:
II. 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ+

7
Para graficar la función exponencial bastará con construir la tabla de valores.
a. Figura 4.7. Gráfica de la Función Exponencial
𝑦 = 2 𝑥
b. Figura 4.8. Gráfica de la Función Exponencial
𝑦 = −(2 𝑥)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
y
𝑥 𝑦
−4 0,0625
−2 0,25
0 1
2 4
4 16
𝑥 𝑦
−4 −0.0625
−2 −0,25
0 −1
2 −4
4 −16
Si comparamos la gráfica de 𝑦 = 2 𝑥 con 𝑦 = −(2 𝑥), son funciones reflejas con respecto al eje 𝑥.
Además,𝑓(𝑥) = 2 𝑥 es una función creciente mientras
𝑓( 𝑥) = −(2 𝑥) es una función decreciente.
Ahora bien, comparamos la gráfica de 𝑓( 𝑥) = 2 𝑥, 𝑔( 𝑥) = 3 𝑥,ℎ( 𝑥) = 5 𝑥, 𝑡( 𝑥) = 15 𝑥, podemos
notar que a medida que la base 𝑎 crece, su grafica tiende a estar mas cerrada con el eje y.

8
Figura 4.9. Comparación de las graficas de las funciones.
𝑓( 𝑥) = 2 𝑥, 𝑔( 𝑥) = 3 𝑥,ℎ( 𝑥) = 5 𝑥, 𝑡( 𝑥) = 15 𝑥,
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y

9
Gráfico de la función exponencial 𝑦 = 𝑎 𝑥, con 0 < 𝑎 < 1.
Ejemplo Nº 27:
Figura 4.10. Comparación gráfica de las funciones
𝑓( 𝑥) = (
1
2
)
𝑥
𝑦 𝑓(𝑥) = (
1
3
)
𝑥
-2 2
-2
2
X
Y
𝑥 𝑦
−2 4
−1 2
0 1
1 0,5
2 0,25
𝑥 𝑦
−2 9
−1 3
0 1
1 0, 3̅
2 0, 1̅

10
Podemos concluir lo siguiente.
A. Si 𝑎 > 1, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
1. La gráfica asociada a la Función Exponencial intersecta al eje (𝑦) en el punto (0,1).
2. Siempre es una función creciente, es decir, a medida que los valores de 𝑥 son grandes los
valores que toma y son grandes.
B. En general, si 0 < 𝑎 < 1, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
1. La gráfica asociada a la Función Exponencial intersecta al eje (𝑦) en el punto (0,1).
2. Siempre es una función decreciente, es decir, a medida que los valores de 𝑥 son grandes los
valores que toma y son más cercanos a cero, pero nunca cero.
C. En general, para 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 se concluye:
1. El dominio de dicha función, 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 son todos los números reales.
2. El recorrido de dicha función, 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 son todos los números reales positivos.
𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ+
3. Si 𝑎 > 1, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 es creciente.
4. Si 0 < 𝑎 < 1, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 es decreciente. Analicemos que ocurre con 𝑎 = 1.
Luego 𝑓(𝑥) = 1 𝑥. Recordemos, por las propiedades de las potencias 1 𝑥 = 1 ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
Entonces 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 = 1 ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

11
Figura 4.11. Gráfica de la Función Exponencial, como caso particular.
𝑓(𝑥) = 1 𝑥
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
𝑥 𝑦
−2 1
−1 1
0 1
1 1
2 1
Por lo tanto, si 𝑎 = 1, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 = 1. Así, se trata de una función constante.

12
CASOS ESPECIALES DE FUNCIONES EXPONENCIALES
Dentro del estudio de las funciones exponenciales existen dos casos de suma importancia,
aquellas funciones que tienen como base los números 𝑒 𝑦 10.
a. FUNCION EXPONENCIAL DE BASE 𝒆
Si 𝑎 = 𝑒, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑒 = 2,7182818)
Esta función,posee lasmismascaracterísticasque una función exponencial cuya base 𝑎 es mayor
a 1 (𝑎 > 1). Observemos su gráfica:
Figura 4.12. Gráfica del caso particular de la función
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
𝑥 𝑦
-2 0,05
-1 0,13
0 1
1 2,72

13
b. FUNCION EXPONENCIAL DE BASE 10
Si 𝑎 = 10, entonces 𝑓(𝑥) = 10 𝑥. Esta función, posee las mismas características que una función
exponencial cuya base 𝑎 es mayor a 1 (𝑎 > 1). Observemos su gráfica:
Figura 4.13. Gráfica del caso particular de la función
𝑓(𝑥) = 10 𝑥.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
.
𝑥 𝑦
-1 1/100
0 1
1 10

14
4.6 APLICACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL
La funciónexponencial ayuda en la resolución de problemas matemáticos de situaciones reales.
Observemos algunos casos:
A. Aplicación a problemas físicos:
Segúnunaleyfísica referidaal enfriamientode uncuerpo, la temperatura final 𝑓(𝑡)de un objeto,
transcurrido 𝑡 minutos, está dada por la igualdad.
𝑓(𝑡) = 𝐴 − ( 𝐵 − 𝐴)10−𝑘·𝑡
Donde,
𝐴 es la temperatura del medio en que se encuentra el objeto.
𝐵 es la temperatura inicial del cuerpo.
𝐾es la constante de enfriamiento.
Si consideramosuncaso hipotético, donde tenemos una temperatura inicial de cuerpo de 70℃ y
una constante de enfriamiento de
1
3
y es ubicado en un medio de 30℃ de temperatura. ¿Qué
temperatura tendrá transcurridos 7 segundos?
Reemplazando los valores en la fórmula:
𝑓(𝑡) = 30 − (70 − 30) · 10−
1
3
·7
𝑓(𝑡) = 30 − 40 · 10−
7
3
𝑓(𝑡) = 29,81℃
B. Aplicación a un problema de biología.
Un cultivo de bacterias experimenta un crecimiento dado por la relación
𝑁𝑡 = 𝑁0 · 𝑒 𝑅·𝑡
Donde:
𝑁𝑡 es la población inicial de bacterias que tienen la capacidad de reproducirse.
𝑁𝑡+1 es la población de bacterias producidas en un tiempo determinado.

15
𝑅 es el índice de crecimiento poblacional por bacteria.
𝑡 es el tiempo de cultivo.
Consideremosuncultivoconunapoblacióninicial de 100 bacteriasconcapacidad de reproducirse
y con un índice de crecimiento poblacional final de bacterias después de 10hrs.
Reemplazando los valores de la fórmula:
𝑁𝑡+1 = 100 · 𝑒8·10
𝑁𝑡+1 = 100 · 5,540622384 · 1034
𝑁𝑡+1 = 5,54062 · 1036 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠

16
4.3 FUNCION LOGARITMO
La función logaritmo, es la función inversa de la función exponencial, es decir, si 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥,
entonces su inversa es 𝑓( 𝑥) = log 𝑎 𝑥.
Para poder estudiar la función logaritmo analizaremos su gráfica.
Si 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒙 con 𝒃 > 1
Figura 4.13. Comparación de las gráficas de las funciones
𝑓(𝑥) = log2 𝑥 y 𝑓(𝑥) = log3 𝑥
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y

17
𝑥 𝑦
1/2 -1
1 0
2 1
𝑥 𝑦
1/3 -1
1 0
3 1
En general, si su base 𝑏 es mayor a 1 (1, 0) ocurre que:
i. La gráfica asociada a dicha función intersecta al eje 𝑥 en el punto (1, 0).
ii. La función es creciente para todo valor real de 𝑥.
Si 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒙 con 𝟎 < 𝒃 < 1
Figura 4.14. Comparación de las gráficas de las funciones
𝑓( 𝑥) = log1
2
𝑥 𝑦 𝑓( 𝑥) = log1
3
𝑥
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y

18
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
1/2 1 1/3 1
1 0 1 0
2 -1 3 -1
En general, si su base 𝑏 varía entre 0 𝑦 1 (0 < 𝑏 < 1) ocurre que:
i. La gráfica asociada a dicha función intersecta al eje 𝑥 en el punto (1, 0).
ii. La función es decreciente para todo valor real de 𝑥.
Además, en ambos casos se cumple:
a) El dominio es el conjunto de los números reales positivos
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ+
b) El recorrido es el conjunto es el conjunto de los números reales
𝑅𝑒𝑐𝑓 = ℝ
c) Si 𝑏 > 1, la función es creciente.
d) SI 0 < 𝑏 < 1, la función es decreciente.

19
4.6 CASOS PARTICULARES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO
Dentro del estudio de las funciones logaritmos existen dos casos de suma importancia, aquellas
funciones que tienen como base los números 𝑒 𝑦 10.
a. Si 𝒃 = 𝒆
Si 𝑏 = 𝑒, entonces 𝑓(𝑥) = log 𝑒 𝑥 = ln 𝑥. Que se lee logaritmo natural de 𝑥. Observemos su
gráfica:
Figura 4.15. Grafica de la función
𝑓(𝑥) = log 𝑒 𝑥 = ln 𝑥.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
. 𝑥 𝑦
1/2 -0,69
1 1
2 0,69

20
b. Si 𝒃 = 𝟏𝟎
Si 𝑏 = 10, entonces 𝑓(𝑥) = log10 𝑥 = log 𝑥. Observemos su gráfica:
Figura 4.16. Gráfica de la función.
𝑓(𝑥) = log10 𝑥 = log 𝑥.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
.
𝑥 𝑦
0,5 -0,30
1 0
2 0,30

21
4.7 Función Logarítmica Inversa de la Función Exponencial
Sea 𝑦 = 𝑏 𝑥, una función exponencial, determinemos la función inversa de 𝑦 despejando la
variable 𝑥.
Sabemos que si 𝑦 = 𝑏 𝑥, entonces:
𝑥 = log 𝑏 𝑦
Luego, intercambiamos los pares (𝑥, 𝑦) por los (𝑦, 𝑥) de la función en la expresión 𝑥 = log 𝑏 𝑦 ,
tenemos:
𝑦 = log 𝑏 𝑥
Observemos sus gráficas
Figura 4.17. Gráfica de la función
𝑦= 𝑏 𝑥 ∧ 𝑦 = log 𝑏 𝑥, Si 𝑏 > 0,
(𝑏 = 3)
Figura 4.18. Gráfica de la función
𝑦 = 𝑏 𝑥 ∧ 𝑦 = log 𝑏 𝑥, Si 0 < 𝑏 < 1
(𝑏 = 1/2)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
, Si
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
En general, podemos observar que:

22
a) Son simétricas con respecto a la bisectriz de los cuadrantes I y III.
b) 𝐷𝑜𝑚 (log 𝑏 𝑥) = 𝑅𝑒𝑐(𝑏 𝑥)
c) 𝑅𝑒𝑐 (log 𝑏 𝑥) = 𝐷𝑜𝑚(𝑏 𝑥)

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