Conceptos. Cálculo de determinantes según el orden. Método de Sarrus. Propiedades de los Determinantes.

1. Apuntes de Matemática – 5to. Año Ed. Secundaria.
Departamento de Matemática – Colegio Teodelina
Determinantes.

2. DETERMINANTES…
aulamathema.weebly.com Matemática 5 2
A cada Matriz cuadrada Bm x n se le asocia
un número llamado determinante de B,
de orden n, que se simboliza det(B) o
|B| y se calcula de distintas maneras,
según el orden de la Matriz.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 1.
Sea una matriz B = (b11). El determinante de B será el propio elemento b11
B = (3) → |B| = 3

3. DETERMINANTES…
aulamathema.weebly.com Matemática 5 3
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2.
El factor determinante asociado a la matriz A es el número real obtenido por
la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el
producto de los elementos de la diagonal secundaria.
A =
a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21 a22
= a11 · a22 – a12 · a21
a11 · a22- (a12 · a21)

4. DETERMINANTES…
aulamathema.weebly.com Matemática 5 4
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2.







53
27
A 293.25.7
53
27
|| 





A
218206.310.2
106
32


5. DETERMINANTES…
aulamathema.weebly.com Matemática 5 5
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 3.
E n este caso
u tilizamos u n
p roc eso
p rác tico
d en omin ad o
reg la d e Sarru s .
413
125
312 
13
25
12 
= 16 – 3 + 15 –18 –2 + 20
= 28
10 0 1
6 2 0
2 1 1


10 0
6 2
0 1
 = 20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30
OJ O C O N LO S S I G N O S

6. DETERMINANTES…
aulamathema.weebly.com Matemática 5 6
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN N.
Dada A una matriz cuadrada de orden n, el valor del determinante de A, |A|, es
el resultado de multiplicar los elementos de cualquier fila o columna por sus
respectivos adjuntos y sumando los resultados. Ejemplo:
Al calcular el |A| Se puede desarrollar por los elementos de la
segunda fila, ya que en dicha fila hay un cero, de manera que se
evita calcular uno de los determinantes, como se observa y luego
los determinantes de orden 3 se calculan por Sarrus:
A=
1 3 −2 5
5 0 3 1
2 5 6 3
−1 2 3 2
𝐴 = 5. (−1)2+1
.
3 −2 5
5 6 3
2 3 2
+ 0. (−1)2+2
.
1 −2 5
2 6 3
−1 3 2
+ 3. (−1)2+3
.
1 −3 5
2 5 3
−1 2 2
+ 1. (−1)2+4
.
1 3 −2
2 5 6
−1 2 3
=
= −5 . 36 − 12 + 75 − 60 + 20 − 27 − 3 10 − 9 + 20 + 25 − 12 − 6 + 15 − 18 − 8 − 10 − 18 − 12 =
= -5.32 – 3.28 – 51 = -295

7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
aulamathema.weebly.com Matemática 5 7
1 ) S i u n a m a t r i z t i e n e u n a f i l a o c o l u m n a d e c e ro s ,
s u d e t e r m i n a n t e e s c e ro . E j e m p l o s :
0
000
892
531

0
1605
802
501


8. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
aulamathema.weebly.com Matemática 5 8
2 ) S i u n a m a t r i z t i e n e d o s f i l a s o d o s c o l u m n a s
i g u a l e s , s u d e t e r m i n a n t e e s n u l o . E j e m p l o s :
0
918
0921
2318
0921





9. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
aulamathema.weebly.com Matemática 5 9
3 ) E l d e t e r m i n a n t e d e u n a
m a t r i z e s i g u a l a l d e s u
t ra s p u e s t a . E j e m p l o :
31518
93
52
A
31518
95
32
t
A

10. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
aulamathema.weebly.com Matemática 5 10
4 ) S i p e r m u t a m o s d o s f i l a s o d o s c o l u m n a s d e
u n a m a t r i z , e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z
o b te n i d a e s e l o p u e s t o d e l a m a t r i z o r i g i n a l .
E j e m p l o s :
2 −1 3
5 2 1
3 1 4
= 28
3 −1 2
1 2 5
4 1 3
= −28
p e r m u t o p r i m e ra c o l u m n a p o r t e rc e ra .

11. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
aulamathema.weebly.com Matemática 5 11
5 ) S i m u l t i p l i c a m o s c a d a e l e m e n t o d e u n a f i l a
o c o l u m n a d e u n a m a t r i z p o r u n n ú m e ro, e l
d e te r m i n a n te d e l a m a t r i z o b te n i d a e s i g u a l a l
p ro d u c t o d e e s e n ú m e ro p o r e l d e t e r m i n a n t e
d e l a m a t r i z o r i g i n a l . E j e m p l o :
10|A| 
tsr
zyx
cba
7010.7.7.7.7|| 
tsr
zyx
cba
B
|B |= 7 . |A|

12. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
aulamathema.weebly.com Matemática 5 12
6 ) E l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z t r i a n g u l a r
e s i g u a l a l p ro d u c t o d e l o s e l e m e n t o s d e l a
d i a g o n a l p r i n c i p a l . E j e m p l o s :
427.3.2
797
035
002

602.3.5.2
2000
5300
6850
0872


back up: Matriz triangular superior/inferior: es una matriz donde todos los
elementos por debajo/arriba de la diagonal son ceros;

13. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
aulamathema.weebly.com Matemática 5 13
7 ) S i u n a m a t r i z
t i e n e d o s f i l a s o
d o s c o l u m n a s
p ro p o rc i o n a l e s ,
s u d e t e r m i n a n t e
e s c e ro .
E j e m p l o :
0
4.284
)1.(201
3.293
A
back up: en e s t e c a s o p ro p o rc i o n a l e s … t e rc e ra
c o l u m n a c o n p r i m e ra c o l u m n a p o rq u e :
6 / 3 = 2 - 2 / - 1 = 2 8 / 4 = 2

14. 14aulamathema.weebly.com Matemática 5