Conceptos básico sobre funciones

1. funciones
Alvaro M. Naupay Gusukuma
Escuela Talentos
07 de Agosto 2014
Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

2. Funci´on
Definici´on
Dados los conjuntos A, B ⊂ R, una funci´on f es un sub-
conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-
mera componente de f, le corresponde un ´unico elemento
f(x) ∈ B, segunda componente de f.
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3. Funci´on
Definici´on
Dados los conjuntos A, B ⊂ R, una funci´on f es un sub-
conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-
mera componente de f, le corresponde un ´unico elemento
f(x) ∈ B, segunda componente de f.
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4. Funci´on
Definici´on
Dados los conjuntos A, B ⊂ R, una funci´on f es un sub-
conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-
mera componente de f, le corresponde un ´unico elemento
f(x) ∈ B, segunda componente de f.
Notaci´on:
f : A → B
x → f(x)
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5. Funci´on
Definici´on
Dados los conjuntos A, B ⊂ R, una funci´on f es un sub-
conjunto f ⊂ A × B, de tal manera que para x ∈ A, pri-
mera componente de f, le corresponde un ´unico elemento
f(x) ∈ B, segunda componente de f.
Notaci´on:
f : A → B
x → f(x)
f = {(x, f(x)) | x ∈ A}
A se llama conjunto de partida, B se llama conjunto de lle-
gada.
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6. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}
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7. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}
de esto tenemos que
f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4
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8. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}
de esto tenemos que
f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4
no es funci´on.
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9. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}
de esto tenemos que
f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4
no es funci´on.
Hacer su gr´afico y diagrama de venn.
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10. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}
de esto tenemos que
f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4
no es funci´on.
Hacer su gr´afico y diagrama de venn.
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}
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11. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}
de esto tenemos que
f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4
no es funci´on.
Hacer su gr´afico y diagrama de venn.
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}
de esto tenemos que
f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9
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12. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}
de esto tenemos que
f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4
no es funci´on.
Hacer su gr´afico y diagrama de venn.
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}
de esto tenemos que
f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9
si es funci´on.
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13. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}
de esto tenemos que
f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4
no es funci´on.
Hacer su gr´afico y diagrama de venn.
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}
de esto tenemos que
f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9
si es funci´on.
Hacer su gr´afico y diagrama de venn.
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14. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4)}
de esto tenemos que
f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 2; f(1) = 4
no es funci´on.
Hacer su gr´afico y diagrama de venn.
Ejemplo: Sea f ⊂ N × N, definido por
f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}
de esto tenemos que
f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9
si es funci´on.
Hacer su gr´afico y diagrama de venn.
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15. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ Q × Q, definido por
f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2)}
verifique si es funci´on.
Ejemplo: Sea f ⊂ R × R, definido por
f = {(
√
2,
√
3), (
√
5, 1/6), (
√
4,
√
9), (2, 3)}
verifique si es funci´on.
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16. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ Q × Q, definido por
f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2)}
verifique si es funci´on.
Ejemplo: Sea f ⊂ R × R, definido por
f = {(
√
2,
√
3), (
√
5, 1/6), (
√
4,
√
9), (2, 3)}
verifique si es funci´on.
Hacer su gr´afico y diagrama de venn.
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17. Ejemplos
Ejemplo: Sea f ⊂ Q × Q, definido por
f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2)}
verifique si es funci´on.
Ejemplo: Sea f ⊂ R × R, definido por
f = {(
√
2,
√
3), (
√
5, 1/6), (
√
4,
√
9), (2, 3)}
verifique si es funci´on.
Hacer su gr´afico y diagrama de venn.
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18. Dominio y Rango
Sean A, B conjuntos y f : A → B una funci´on,
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19. Dominio y Rango
Sean A, B conjuntos y f : A → B una funci´on,
Dominio
Denotado por Df ⊂ A, es el conjunto de elementos donde la
funci´on est´a (bien) definida.
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20. Dominio y Rango
Sean A, B conjuntos y f : A → B una funci´on,
Dominio
Denotado por Df ⊂ A, es el conjunto de elementos donde la
funci´on est´a (bien) definida.
Rango
Denotado por Rf ⊂ B, es el conjunto de elementos definido
como sigue:
Rf = {f(x) | x ∈ Df }
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21. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on f ⊂ N × N, definido por
f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}
halle el dominio y rango.
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22. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on f ⊂ N × N, definido por
f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}
halle el dominio y rango.
Tenemos que
f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9
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23. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on f ⊂ N × N, definido por
f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}
halle el dominio y rango.
Tenemos que
f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9
luego: Df = {3, 1, 4, 9},
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24. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on f ⊂ N × N, definido por
f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}
halle el dominio y rango.
Tenemos que
f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9
luego: Df = {3, 1, 4, 9},
Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}
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25. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on f ⊂ N × N, definido por
f = {(3, 2), (1, 2), (4, 5), (9, 9)}
halle el dominio y rango.
Tenemos que
f(3) = 2; f(1) = 2; f(4) = 5; f(9) = 9
luego: Df = {3, 1, 4, 9},
Rf = {f(3), f(1), f(4), f(9)} = {2, 2, 5, 9}
es decir
Rf = {2, 5, 9}
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26. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on f ⊂ Q × Q, definido por
f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2), (4, 1/3)}
halle su dominio y rango.
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27. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on f ⊂ Q × Q, definido por
f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2), (4, 1/3)}
halle su dominio y rango.
Ejemplo: Sea la funci´on f ⊂ N × N, definido por
f = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4 ; y = x2
}
hallar su domino y rango.
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28. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on f ⊂ Q × Q, definido por
f = {(1/2, 3), (3, 1/3), (2/5, 5/2), (1, 1/2), (4, 1/3)}
halle su dominio y rango.
Ejemplo: Sea la funci´on f ⊂ N × N, definido por
f = {(x, y) | x = 1, 2, 3, 4 ; y = x2
}
hallar su domino y rango.
Ejemplo: Sea la funci´on f ⊂ N × N, definido por
f = {(x, y) | x = 4, 9, 16, 25 ; y =
√
x}
hallar su dominio y rango.
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29. Regla de correspondencia de una funci´on
Regla de correspondencia
Es aquella expresi´on algebraica que asocia la primera
componente con la segunda componente de una funci´on.
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30. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
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31. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
f(x) = x + 2
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32. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
f(x) = x + 2
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
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33. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
f(x) = x + 2
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
f(x) = x2
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34. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7)}.
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
f(x) = x + 2
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)}
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
f(x) = x2
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35. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 16), (5, 25), (6, 36)}
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
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36. Ejemplos
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 16), (5, 25), (6, 36)}
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
f(x) =
x + 2 ; si x = 1, 2, 3
x2
; si x = 4, 5, 6
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37. Ejemplo
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
Alvaro M. Naupay Gusukuma funciones

38. Ejemplo
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
f(x) = 2, ∀x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
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39. Ejemplo
Ejemplo: Sea la funci´on
f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}
Hallar su regla de correspondencia, dominio, rango y gr´afico.
f(x) = 2, ∀x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
Observaci´on: Este tipo de funciones se les llama de cons-
tantes
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40. Comentario
En la pr´actica, por lo general se da la regla de correspon-
dencia de la funci´on y se pide hallar el conjunto donde dicha
regla de correspondencia est´a bien definido, a este conjun-
to se llama dominio y los valores que toma dicha regla de
correspondencia se llama rango.
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41. Ejemplos
En cada una de las funciones, f : R → R, hallar el dominio
y rango:
1.- f(x) = x + 2
2.- f(x) = x2
3.- f(x) =
1
x
4.- f(x) =
2
x + 3
5.- f(x) =
√
x + 2
6.- f(x) = (x − 3)(x − 2)
7.- f(x) =
√
x2 − x − 6
8.- f(x) = 2x
9.- f(x) = 2x+3
10.- f(x) = log x
11.- f(x) = log x2
12.- f(x) =
√
x − 2
x − 3
13.- f(x) =
x + 2
(x + 2)(x − 5)
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