Probabilidad y Estadistica

1. CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
Por: Cristian Velandia Mc.Sc

2. Antiderivada de una Función
Integrales Indefinidas
Integrales Definidas
Sólidos de Revolución
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

3. OBJETIVOS
El objetivo principal de este curso es llevarte a conocer
“el mundo de la aleatoriedad, de la inferencia y de la
predicción”, Proporcionáremos unas bases sólidas del
calculo de probabilidades, con el fin de desarrollar tu
capacidad de expresión utilizando el lenguaje
probabilístico y matemático.
Desarrollaremos practicas que le permitirán discernir aquellas situaciones en las
que es posible y necesario un análisis probabilístico comprendiendo la utilidad y
límites de la estadística como herramienta auxiliar en situaciones concretas de la
vida real.
Finalizado el taller de Probabilidad, serás capaz de
describir y analizar datos, aplicar el calculo de
probabilidades, e inferir conclusiones confiables.
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

4. Introducción
Un ingeniero del servicio meteorológico, basándose
en datos sobre las condiciones atmosféricas que
recibió hasta las 20 horas de hoy dice
“la probabilidad de que llueva mañana es alta”
Un Jugador de ruleta juega a que sale “1ª
docena”, ¿cuál es la probabilidad de
que gane?
Elijo un hombre adulto al azar en la ciudad
de Bogotá, ¿cuál es la probabilidad de
que mida mas de 1,75 ?
Dentro de mi grupo de amigos, ¿habrá al
menos dos que cumplan el mismo día?
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

5. Introducción
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
La probabilidad está muy ligada a los juegos de azar y
por esta razón, la teoría de la probabilidad se popularizo
como un área muy importante de las matemáticas.
Inicialmente esta rama de las matemáticas estudiaba
únicamente la aleatoriedad en los juegos; Hasta que
Blaise Pascal la aplicó a otras áreas como la genética, la
psicología y la economía.
En nuestra cotidianidad, la probabilidad se ha convertido en
un método muy efectivo para describir con exactitud valores
de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos,
biológicos o físicos, y sirve como una herramienta muy
potente para relacionar y analizar dichos datos.
El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha sobrepasado el alcance de las aplicaciones de
la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando
determinadas distribuciones probabilísticas. La probabilidad es útil para comprobar la
fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos
necesarios en un determinado estudio estadístico.

6. TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

7. El azar : Una casualidad, un caso fortuito.
En ocasiones el azar significa “sin orden”.
La idea de Probabilidad está íntimamente
ligada a la idea de azar y nos ayuda a
comprender nuestras posibilidades de
ganar un juego de azar o analizar las
encuestas.
Iniciaremos nuestro estudio de cálculo de
probabilidades, definiendo algunos conceptos
que durante el curso serán importantes y hacen
parte de nuestro vocabulario en el desarrollo de
nuestro trabajo:
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

8. Espacio de resultados o Espacio Muestral: Llamaremos
espacio muestral a un conjunto que contiene a todos los
resultados posibles de un experimento, y lo representaremos
con la letra (S). Observemos algunos ejemplos:
Cuando lanzamos un dado, decimos
que el espacio muestral son todos las
posibles respuestas a esa acción
S={ 1,2,3,4,5,6}
Cuando lanzamos una moneda, decimos
que el espacio muestral son todos las
posibles respuestas a esa acción
S={ Cara, Sello }
S siempre es mayor o igual a cero. S ≥ 0
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

9. Sucesos o Eventos: La teoría de probabilidad llama a un
“suceso” o “evento” cualquier subconjunto de S. En ocasiones
nos interesa estudiar un resultado específicamente.
Observemos:
Ejemplo 1: Al lanzar un dado, nos interesa
saber si obtendremos los números pares.
El evento se representaría como
A = { 2,4,6 }
Numero de eventos posibles = 3 de 6
Ejemplo 2: Al escoger una carta al azar de
la baraja de Póker, nos interesa saber si
obtendremos el AS de corazones. El evento
se representaría como
B = { 1 }
Numero de eventos posibles = 1 de 52
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

10. Las Probabilidad: Es la rama de la matemática cuyo estudio son
experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que
puedes conocer todos los resultados posibles, pero no es posible tener
certeza de cuál será en particular el resultado del experimento
La medición o cuantificación de la probabilidad es asignado por un
valor en una escala de 0 a 1, o dada en porcentaje.
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

11. Imposible Poco Probable Probable Muy Probable Seguro
0% 25% 50% 75% 100%
La medición de la probabilidad se puede dar de manera
cuantitativa (porcentaje) o cualitativa con valores asignados en
una escala de 0% (evento imposible) a 100% (evento seguro).
Obtener un
número
decimal en
un dado
convencional
.
Obtene
r cara
al
lanzar
al aire
una
moned
a
Obtener
vapor si se
calienta
agua a 100
grados
Celsius a
nivel del
mar.
Responder
al azar una
pregunta de
respuesta
múltiple con
4 opciones
Tomar un
corazón, un
diamante o
un trébol en
la baraja de
póker
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

12. Ejemplo Aplicación de probabilidad
Aplicando los conceptos anteriormente desarrollados, representemos
los resultados de manera numérica y grafica. Recuerda que:
En la siguiente escena simulamos una ruleta con 8 sectores; 1 amarillo, 2 rojos,
2 verdes y 3 azules. Calcula la probabilidad de obtener cada uno de los sectores.
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

13. Solución
P (Amarillo)
P (Rojo)
P (Azul)
=
1
8
= 0,125 X 100 = 12,5 %
=
2
8
= 0,25 X 100 = 25 %P (Verde)
=
3
8
= 0,375 X 100 = 37,5 %
=
2
8
= 0,25 X 100 = 25 %
Representación Gráfica
Casos favorables amarillos 1
Casos posibles 8.
Casos favorables Verdes 2
Casos posibles 8.
Casos favorables Azules 3
Casos posibles 8.
Casos favorables Rojos 2
Casos posibles 8.
100 %
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

14. Ejemplo Practico 2
Tomemos algunos esferas al azar
y ubiquémoslas en la base …
4 esferas verdes
3 esferas moradas
2 esferas naranja
1 esferas roja
10 esferas
Bolsa de reciclable
Base
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

15. Bolsa de reciclable
Desarrollo de Practica
Introduzcamos las esferas en la bolsa reciclable y calculemos la
probabilidad de extraer cada esfera ….
P (Verde)
P (Rojo)
P (Naranja)
=
4
10
= 0,4 X 100 = 40 %
=
3
10
= 0,3 X 100 = 30 %P (Morado)
=
2
10
= 0,2 X 100 = 20 %
=
1
10
= 0,1 X 100 = 10 %
100 %
Calculemos la
probabilidad de
cada una de las
esferas :
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

16. Actividad
Desarrolla la siguiente ejercicio. Para ello cuentas con 2 minutos. En una
clase hay 28 niñas y 12 niños. Llevan gafas 8 chicas y 10 chicos.
Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea
chico y NO lleve gafas?
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

17. Actividad
Ahora desarrollemos juntos el ejercicio propuesto. Nos
dicen que en una clase hay 28 niñas y 12 niños.
Llevan gafas 8 chicas y 10 chicos. Elegido un
estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que sea chico y NO lleve gafas?
Niños Niñas Total
Con Gafas 10 8 18
Sin Gafas 2 20 22
Total 12 28 40
Observemos algunas probabilidades
P (Chico sin gafas) =
2
40
= 0,05 X 100 = 5 %
Representemos los datos en una tabla
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

18. Las medidas de tendencia central se dividen en dos grupos:
Las Medidas de Posición que son valores
numéricos que te permiten generar
una medida de tendencia o bien
fragmentar una cantidad de datos. Las
medidas de posición más usuales son
la media o promedio, la mediana, la
moda, los cuartiles y percentiles.
Las Medidas de Dispersión te permiten
retratar la distancia de los valores de una
variable a un cierto valor central o te
permiten identificar la concentración de los
datos en un cierto sector del recorrido de la
variable. Las más usuales son la desvíación
estándar y la varianza.
Medidas de Tendencia Central
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

19. Media y Mediana
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
La media o también llamada media
aritmética es el promedio de todos los
datos obtenidos. Es fácil de calcular: se
suman todos los datos , luego se divide el
resultado por cuantos números hay.
Ejemplo: las notas obtenidas en matemáticas
el año pasado fueron:
5, 6, 4, 7, 8, 4, 6
7,5
7
40
7
6487465


2,. Dividimos por la cantidad de
datos que hay.
1. Sumamos todos los
datos.
La mediana es el valor medio o el dato de la
mitad en un conjunto de números. Para encontrar
la mediana coloca los números que te han dado
en orden y encuentra el dato del medio.
Ejemplo: Los pesos, en kilogramos, de 7
jugadores de un equipo de fútbol son:
72, 65, 71, 56, 59, 63, 72
1º. Ordenamos los datos:
56, 59, 63, 65, 71, 72, 72
2º. El dato que queda en el centro es 65.
La mediana vale 65.
Caso: Si el número de datos fuese par, la mediana
es la media aritmética de los dos valores centrales.
Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72:
la mediana es:
64
2
6563

 La mediana vale 64.

20. Moda
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
La moda, es aquel dato de la variable que más se repite; es
decir, aquel valor con una frecuencia mayor.
Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos
que se reflejan en la tabla:
Ejemplo.
La moda es 41.
Nº de calzado 38 39 40 41 42 43 44 45
Nº de personas 16 21 30 35 29 18 10 7
El número de zapato más vendido,
el dato con mayor frecuencia
absoluta, es el 41.
Lo compran 35 personas

21. Medidas de Dispersión
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Hay dos principales medidas de Dispersión:
La Desviación Estándar es una medida de
dispersión, que nos indica cuánto pueden
alejarse los valores o datos respecto al
promedio (media). Es decir a desviación
estándar (σ) mide cuánto se separan los
datos del promedio:
La varianza que es el cuadrado de la
desviación estándar (σ2) se define así: Es la
media de las diferencias con la media
elevadas al cuadrado.
Para comprender y construir el concepto de la varianza y la
desviación estandar observa el siguiente ejemplo:

22. Medidas de Dispersión
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
8 cms.
A continuación puedes observar que hay 9 rectángulos cuya altura es
de 8 centímetros (y todos tienen la misma base).
¿Existe alguna variación respecto de su altura entre estos rectángulos?
¿Cuál es el promedio de la altura de estos rectángulos?
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
9
=
72
9
= 8

23. TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Ahora observa la siguiente situación. El quinto rectángulo y el octavo rectángulo en un acto de
rebeldía cambiaron su altura. El quinto rectángulo, ahora de color rojo, mide 10 centímetros, y
el octavo rectángulo, de color azul, mide 6 centímetros?
¿Cuál es el nuevo promedio de estos 9 rectángulos?
8 + 8 + 8 + 8 + 10 + 8 + 8 + 6 + 8
9
=
72
9
= 8
... ¡el mismo promedio! Pero... ¿ha habido variación?
8 cms.
10 cms
6 cms
El rectángulo rojo tiene +2 centímetros sobre el
promedio, y el rectángulo azul tiene –2 centímetros
bajo el promedio. Los otros rectángulos tienen cero
diferencia respecto del promedio.
Si sumamos estas diferencias de la altura
respecto del promedio, tenemos
0 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 – 2 + 0 = 0
Este valor nos parece indicar que ¡no ha habido
variabilidad! Y sin embargo, ante nuestros ojos,
sabemos que hay variación.

24. TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
8 cms.
10 cms
6 cms
Una forma de eliminar los signos menos de aquellas
diferencias que sean negativas, esto es de aquellos
mediciones que estén bajo el promedio, es elevar al
cuadrado todas las diferencias, y luego sumar...
02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 = 8
Y este resultado repartirlo entre todos los
rectángulos, es decir lo dividimos por el
número de rectángulos que es 9
02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 =
9 9
8
= 0,89
Se dice entonces que la varianza fue de 0,89
Observemos que las unidades involucradas en el
cálculo de la varianza están al cuadrado. En rigor
la varianza es de 0,89 centímetros cuadrados.
La raíz cuadrada de la varianza se llama
desviación estándar

0,89  0,943
Que la desviación estándar haya sido de 0,943
significa que en promedio la altura de los
rectángulos variaron (ya sea aumentando, ya sea
disminuyendo) en 0,943 centímetros.
Es claro que esta situación es “en promedio”, puesto
que sabemos que los causantes de la variación
fueron los rectángulos quinto y octavo. Esta
variación hace repartir la “culpa” a todos los demás
rectángulos que se “portaron bien”.
La desviación estándar mide la dispersión de los
datos respecto del promedio

25. Actividad Medidas de Dispersión
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de las alturas de los rectángulos?
En primer lugar debes calcular el promedio
8 cms.
10 cms
6 cms
4 cms
8 cms. 8 cms. 8 cms.
7 cms.
8 cms.
8 + 4 + 8 + 8 + 10 + 8 + 7 + 6 + 8
9
= 7,44
Luego debemos calcular la varianza

26. Actividad Medidas de Dispersión
TALLER – PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Restamos cada uno de los datos con el promedio obtenido:
0,562 + (-3,44)2 + 0,562 + 0,562 + 2,562 + 0,562 + (-0,44)2 + (-1,44)2 + 0,562
9
22,2224
9
=
= 2,469Este es el valor de la varianza
Elevas los valores obtenidos al cuadrado, los sumas y por último lo divides por el número de datos:
Desviación Estándar 2,469 1,57
Lo que significa que, en promedio, los rectángulos se desviaron más o
menos (más arriba o más abajo) en 1,57 centímetros.