MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1. DOMINIO
CIENTÍFICO
Bienvenidos

2. MOVIMIENTO
ARMÓNICO
SIMPLE
DOMINIO CIENTÍFICO
2

3. DEFINICIÓN
El movimiento armónico simple es un
movimiento de vaivén y está descrito en
función del tiempo por una función
armónica (seno o coseno).

4. MOVIMIENTO PERIÓDICO
Es el movimiento que se
repite y sigue la misma
trayectoria en ida y
vuelta.
Ejemplo: El movimiento
del Planeta Tierra
alrededor del Sol.

5. MOVIMIENTO OSCILATORIO O VIBRATORIO
Un movimiento
oscilatorio es cuando
se mueve desde su
origen en el punto
medio y
alternativamente
entre un valor
máximo al mínimo.

6. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
El MAS debe ser oscilatorio y periódico, además debe cumplir:
1. La aceleración siempre señala hacia la posición de equilibrio y su
magnitud es directamente proporcional a la distancia del móvil a la
posición de equilibrio.
2. La oscilación del cuerpo mantiene la misma trayectoria y se
realiza entre límites fijos que equidistan a la posición de equilibrio.
O O A
Posición de equilibrio
Resorte estirado por
una fuerza
Al soltar comienza el MAS
OA A
x=-A x=0 x=A
v=0 vmáx=Aω v=0
a=ω2A a=0 a=-ω2A

7. ESTUDIO CINEMÁTICO DEL MAS
Llamamos movimiento armónico simple al cuerpo cuya posición en
cada instante describe la siguiente ecuación.
𝒙(𝐭) = ±𝑨 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 + 𝝓
x
y
x
Δt
P1
P2
P3
-P3
-P2
-P1
P1 P2 P3
R=A
mov
+A
-A
x
φ
Donde:
𝒙: elongación o posición respecto al
punto de equilibrio [m].
𝑨: amplitud de la elongación máxima
[m].
𝝎 : velocidad angular o frecuencia
angular [rad/s]
𝝓: fase inicial [rad]
La frecuencia angular 𝛚 se expresa como: 𝛚 = 𝟐𝛑𝐟
Donde: f: frecuencia [Hz]
El período (T) es el tiempo en segundos que dura una oscilación: T =
1
f

8. ESTUDIO CINEMÁTICO DE MAS
Otras ecuaciones:
Magnitud Posición Velocidad Aceleración
En función
del tiempo
𝑥 = ±𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 𝑣 = ±𝐴𝜔 cos 𝑤𝑡 + 𝜙 𝑎 = −𝐴𝜔2 sin 𝜔𝑡 + 𝜙
En función
de la
posición
𝑣 = ±𝜔 𝐴2 − 𝑥2 𝑎 = 𝜔2 𝑥

9. ESTUDIO DINÁMICO DE MAS
En el MAS la fuerza recuperadora (Fr) es
directamente proporcional al valor de la
elongación y de sentido opuesto.
𝐹𝑟 = −𝑘𝑥
O
mg
Fr
En el punto de equilibrio (O) la suma de las fuerzas es cero.
Pero la velocidad no los es.
Para el caso del sistema masa-resorte, el período se tiene:
𝑻 = 𝟐𝝅
𝒎
𝒌

10. ESTUDIO DINÁMICO DEL MAS
Por otra parte, la frecuencia es:
𝑓 =
1
𝑇
𝒇 =
𝟏
𝟐𝝅
𝒌
𝒎
De aquí se puede deducir:
𝝎 =
𝒌
𝒎

11. SISTEMA MASA-RESORTE EN SERIE
F
x1
x2
x
k1
k2
La FUERZA que se
aplica a cada resorte
es IGUAL
𝒙 = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐
𝒌 =
𝒌 𝟏 𝒌 𝟐
𝒌 𝟏+𝒌 𝟐

12. SISTEMA MASA-RESORTE EN PARALELO
La deformación que
sufre cada resorte es
IGUAL
F
k2
F1 F2
x
k1
𝑘 = 𝑘1 + 𝑘2

13. SISTEMA PÉNDULO TIERRA
L
L
mg
mg cos θ
mg sin θ
x
𝜃
𝜃
El período es:
𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔

14. EJERCICIOS
1. La ecuación de la posición de una partícula que tiene MAS, en
función del tiempo es: 𝑥 = ±0.75 sin 𝜋𝑡 . Si en el tiempo t=0 pasa por
la posición de equilibrio. La amplitud del movimiento y la frecuencia
angular es:
PASO 1: La ecuación del MAS es:
𝑥 = ±𝐴 sin(𝜔𝑡)
PASO 2: Comparando:
𝑥 = ±0.75 sin(𝜋𝑡)
Entonces:
𝐴 = 0.75 𝑚 𝑦 𝜔 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠

15. EJERCICIOS
2. El movimiento móvil que describe un MAS y viene dada en función
del tiempo, por la expresión:
𝑥 = ±4 sin 2𝜋𝑡 +
𝜋
3
El período y la frecuencia es:
PASO 1: La ecuación del MAS es:
𝒙 = ±𝑨 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 + 𝝓)
PASO 2: Comparando:
𝜔 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
PASO 3: Reemplazando en:
𝑇 =
2𝜋
𝜔
=
2𝜋
2𝜋
𝑇 = 1 𝑠
Entonces
𝑓 =
1
𝑇
=
1
1
𝑓 = 1 𝐻𝑧

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