Dossier de Cálculo I y II Para la Carrera de Química Farmaceutica

Universidad Rubén Darío – Sub Sede Estelí
Trabajo de Tesina Para optar al título de:
“Master en Docencia Universitaria Con Énfasis en
Investigación”
Autores:
Lic. Arelys Ninoska Meneses Rayo
Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo
Diseño: Cliffor Jerry Herrera Castrillo
Diciembre, 2018

La realización de este “Dossier de Cálculo I y II” pretende servir como soporte
o apoyo a la metodología del Plan de Estudios de la Carrera de Química
Farmacéutica en búsqueda de nuevas alternativas que mejoren el método
habitual de enseñanza utilizado por los docentes de matemáticas,
relacionando más la asignatura con el perfil que tiene la carrera y hacer esa
relación matemática − química − farmacia, haciendo uso de las
tecnologías, para así lograr clases más atractivas, prácticas y
experimentales.
Este material didáctico vendrá a facilitar al estudiante la comprensión de los
diferentes contenidos impartidos en las clases de cálculo, auxiliándose de
clases experimentales y el uso de recursos tecnológicos, que facilitan los
cálculos numéricos y algebraicos. El dossier sigue paso a paso el programa
analítico de la clase, presentando teoría básica elemental por tema,
acompañada de una serie de ejemplos explicativos que contienen tanto
modelos sencillos como los que involucren un mayor análisis, de igual forma
se presentan variedad de ejercicios para ser desarrollados por los
educandos durante clases prácticas y laboratorios.

1. Cada unidad inicia con una breve introducción a los contenidos,
seguida por el desarrollo del mismo, presentando conceptos,
demostraciones, graficas, ejemplos, uso de softwares matemáticos,
ejercicios y proyectos propuestos.
2. La mayoría de los contenidos extensos, van subdivididos en subtemas,
para facilitar su estudio.
3. Todos los ejemplos se encuentran en color azul, negrito y enumerado de
acuerdo a cada contenido, esto con el fin de facilitar que sean
identificados por el lector.
4. Las definiciones y teoremas van encerrados en recuadros con fondo de
color.
5. Los temas van encerrados en recuadros de color e indicados por medio
de encabezados en negrita y enumerados de acuerdo a cada unidad,
la letra tiene un tamaño considerable para mejor apreciación del
documento.
6. En todo el documento se presentan gráficas para ilustrar algunos
ejemplos que lo ameriten, encerrados en un recuadro y enumerados
por tema.
7. Se incluye una sección de actividades sugeridas al final de cada
contenido, con el fin de que el estudiante practique sus conocimientos,
al final del documento se encuentra las respuestas.
8. Existen varias secciones de tecnología, trabajo grupal, uso de la
calculadora entre otros los cuales son representados por los siguientes
iconos:

Para
estudiantes
Para Docentes
Conocimientos
previos
Experimento de
Inicio
Experimento de
Laboratorio
Experimento
Extra – Clase
Experimento de
Diseño
Recomendaciones
de Seguridad
Uso de la
Tecnología
Ver videos de
YouTube
Trabajo
Individual
Trabajo en Pareja
Trabajo
Colaborativo
Uso de la
Calculadora
Resumen Guías de estudio
Problemas
Resueltos
Ejercicios y
problemas
Utilidad en la
vida real
Curiosidades y
recordar
Estos iconos serán de ayuda para ubicar tanto a docentes como a
estudiantes en el dossier, en las diferentes actividades.

1. Contribuir en el aprendizaje de la clase de Cálculo I y II en la Carrera
de Química Farmacéutica, desarrollando un texto tanto para
docentes y estudiantes, que pueden utilizar durante todo el curso.
2. Brindar un recurso didáctico a docentes de cálculo matemático, con
ejemplo aplicados a la realidad, uso de herramientas tecnológicas,
laboratorios con materiales de fácil acceso.
3. Ayudar a promover el interés, en el conocimiento de conceptos
matemáticos, aplicados a la química farmacéutica.
4. Consolidar conocimientos matemáticos de estudiantes de la carrera
de Química Farmacéutica en Calculo I y II.

DIFERENCIA PRESENCIAL - ENCUENTROS.
Los métodos utilizados en las diferentes modalidades presenciales y
Encuentros serán distintos ya que las horas impartidas en clase no serán las
mismas.
En la modalidad por Encuentros el docente se convierte en facilitador de los
procesos de aprendizaje y el estudiante es gestor de sus propios
conocimientos y aprendizaje a través del autoestudio. En cada encuentro
se facilitará la bibliografía necesaria que los alumnos previamente consulten
dicha bibliografía para los subsiguientes encuentros.
El espacio clase se convierte así en una instancia activa de aprendizaje que
favorece la discusión, la aplicación y la profundización de la materia en un
sentido más amplio.
Para la modalidad por encuentro se trabajará con dos herramientas
necesarias e imprescindibles para el proceso de E-A, el Syllabus por parte del
docente establecerá la distribución de los contenidos en el tiempo que dure
el trimestre, la metodología y los recursos necesarios para impartir la sesión
del encuentro, y en segundo término la guía de estudio, que será de
obligatorio cumplimiento por parte del docente y del estudiante, ésta guía
tendrá los siguientes componentes:
a. Introducción
b. Objetivos
c. Justificación
d. Metas
e. Estructura y contenidos

f. Evaluación
g. Actividades criticas
h. Cuestionarios sobre el tema
i. Glosario de conceptos y principios claves
j. Problemas de aplicación y sugerencias metodológicas
k. Problemas para autoevaluación
En cuanto al proceso enseñanza aprendizaje desarrollaremos la
conferencia, clases prácticas, seminarios, trabajos independientes, etc.,
haremos énfasis en las formas que nos permitan ejercitarlos.

El conocimiento del Cálculo es importante para resolver problemas a través
del análisis, donde se involucran cambios, límites, movimientos, entre otros.
Recordando un poco de Historia, el Cálculo es una disciplina matemática
que surge en el siglo XVII de las investigaciones de Isaac Newton y Gottfried
Wilhelm Leibniz. La mayoría de descubrimientos científicos que han
contribuido a la configuración de civilizaciones en los tres siglos pasados, los
cuales hubiesen sido imposibles sin el uso del Cálculo, y hasta hoy continúan
prestando un servicio a la ciencia, tecnología y en este caso se enfocará en
la química farmacéutica.
En la actualidad hay elementos que pueden contribuir al estudio del
Cálculo, son las computadoras y softwares que pueden realizar varias
manipulaciones numéricas, algebraicas y gráficas, en donde estas pueden
ayudar al estudiante a resolver diferentes problemas de la vida cotidiana.
La asignatura de cálculo I es la introducción de cálculo diferencial, materia
fundamental en la rama de las matemáticas para los estudiantes de
ingeniería y ciencias de la salud.
La estructura general de programa de estudio, radica alrededor del
CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE, resumido en dos capítulos se
ocupa de la definición y determinación de los límites y de la Derivada.

▪ El estudiante debe conocer a profundidad de que se trata el estudio
del cálculo diferencial, esto se tiene a través de saber los conceptos
y teoremas.
▪ El alumno debe aprender la teoría del cálculo Diferencial como
herramienta de trabajo para aplicarlos a los problemas prácticos de
la ingeniería.
▪ Reafirmar y profundizar los conocimientos adquiridos en el curso de
matemáticas básicas.
▪ Crearle al estudiante mayor motivación en el estudio de las
matemáticas avanzadas para mejorar sus habilidades en el uso de
diversas técnicas.
▪ Contribuir en el alumno al razonamiento lógico científico para el
análisis, la interpretación de fenómenos o situaciones que se
presenten y le facilite darles solución a los problemas planteados
relacionados con el quehacer diario.
▪ Desarrollar habilidades, hábitos y destrezas en el alumno, para analizar
e interpretar gráficos de funciones algebraicas y trigonométricas
vinculadas al cálculo.

Contenidos
Contenidos
Contenidos
Bienvenidos (Págs. 1 -4)
▪ Ecuaciones y Funciones
▪ Trigonometría
1.1 Limites de funciones continuas
2.1 Limites de sucesiones
3.1 Limites de funciones trigonométricas
.1.1 Derivada función elevada a una potencia.
2.1 Derivada de producto y cocientes.
3.1 Derivada regla de la cadena.
4.1 Derivada funciones trigonométricas.
5.1 Derivada funciones exponenciales.
6.1 Derivada funciones logarítmicas.
7.1 Derivada orden superior.
8.1 Derivada implícita.
9.1 Grafica de funciones.
10.1 Bosquejo de curvas polinomiales.

1
REPASO Y REVISIÓN DE CONTENIDOS
Ecuaciones y funciones
1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales:
a.
4𝑥−3
2
=
5𝑥+1
3
b.
𝑥−3
2
+ 7 = 𝑥 −
5−𝑥
4
c.
−3(5−𝑥)
10
−
3𝑥
2
= 7 −
5𝑥
3
d.
3(𝑥+1)
2
− 𝑥 =
𝑥−4
3
e.
𝑥+2
2
− 3(𝑥 + 1) =
−5𝑥
2
− 2
2. Determina el conjunto solución 𝑥 ∈ ℝ
a. 9𝑥3
−
4
5
𝑥2
+ 𝑥 − 3 = 68 b. 2𝑥4
− 3𝑥3
+ 5𝑥2
+ 3 = 7
3. Halla el valor de 𝑘 sabiendo que el polinomio
a. 𝑄(𝑥) = −𝑥3
+ 4𝑥2
− 2𝑥 − 𝑘 es múltiplo de 𝑥 − 3
4. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las siguientes
a. 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 4
b. 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 1
c. 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 7
d. 𝑥1 = −11, 𝑥2 = 0
e. 𝑥1 = 𝑥2 = −2
5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
a. {
① 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
② 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = −2
③ 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
b. {
① 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
② 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1
③ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
c. {
① 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
② 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −1
③ 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −5
6. Determina el dominio y recorrido de estas funciones en ℝ
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
b. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 11
c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
d. 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
e. 𝑓(𝑥) =
1
𝑥+1

2
7. Dadas las funciones 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
; 𝑥 ≠ 0 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2. Calcula
a. (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =
b. (𝑓 − 𝑔)(𝑥) =
c. (𝑓. 𝑔)(𝑥) =
d.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
8. Demuestra si la función es biyectiva
𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥−2
; 𝑥 ≠ 2. Si no lo es, redefina su dominio y rango. Finalmente,
calcula la inversa de la función.
9. Halla las asíntotas de las funciones siguientes
a. 𝑓(𝑥) =
15𝑥5+2𝑥−1
2𝑥5+7
b. 𝑓(𝑥) =
𝑥+8
2𝑥3+4
c. 𝑓(𝑥) =
−3𝑥+5
2𝑥+9
d. 𝑓(𝑥) =
3𝑥4+3𝑥−1
2𝑥+9
10.Estudia la continuidad de:
𝑓(𝑥) = {
5 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
𝑥 − 2 𝑠𝑖 3 < 𝑥 ≤ 4
1
𝑥 − 4
𝑠𝑖 𝑥 > 4
Trigonometría
1. Utilice razones trigonométricas para calcular los valores de lados y/o
ángulos que faltan en cada triángulo.

3
2. Comprueba las siguientes identidades.
3. Utilice las fórmulas de suma para encontrar el valor de:
4. Verifique las identidades

4
5. Resuelva los siguientes problemas con triángulos rectángulos.
1) Un bote en el lago Cocibolca, está ubicado a 200
metros en línea horizontal, con el islote B (al Este) y
en el Norte, en línea con el islote A. El ángulo que se
forma desde B hasta el punto A es de 20°. Calcule
la distancia entre los islotes A y B.
2) Encuentra la altura x de la torre de la antigua
catedral de Managua. Suponiendo que se
conocen los ángulos A = 26° B = 35°, la distancia de
200 pie, medidos desde la perpendicular hasta el
observador. Vea la figura.

6
1.1 Límites de Funciones Continuas
Experimento de inicio: “La tira de papel”
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el
cálculo infinitesimal, ya sea el diferencial o el integral, y de manera informal
se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable
independiente tiende a un número determinado o al infinito.
El que la variable independiente se acerque a un determinado valor implica
la posibilidad de que se analice el acercamiento por un lado o por ambos
lados, con lo cual se puede verificar también si se trata de un límite unilateral
o bilateral en su caso.
Objetivo
▪ Comprender que los límites son parte fundamental de nuestra vida
diaria y que podemos encontrarlos muy fácilmente en cualquier lugar
Materiales
Procedimiento
Tira de Papel Tijeras
Regla Lupa
Cuter

7
1. Tomar la tira de papel, medir su longitud y realizar un corte a la mitad.
Nota de Seguridad: Recuerde que el cúter y las tijeras pueden
ocasionar daños a la salud, por lo que se te recomienda la
debida seriedad y cuidado en el uso de estos instrumentos.
2. Realizar el paso anterior cuantas veces sea posible efectuando dicha
actividad con la mayor exactitud posible.
3. Cuando ya no sea posible realizar el corte a la mitad, se hace
mención de que se puede continuar realizando cortes a la mitad con
cantidades cada vez más pequeñas empleando instrumentos de
mayor precisión.
4. Se solicita al estudiante que conteste las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es el valor al que la cantidad de material por recortar se está
acercando?
b. ¿Se pudiera llegar a él?
c. ¿Cuál será el límite al que la cantidad de material se acerca en
cada corte realizado?
Definición de límite de una función
Sea 𝑓 una función definida en cada número de algún intervalo abierto que
contiene a 𝑎, excepto posiblemente en el número 𝑎 mismo. El límite de 𝑓(𝑥)
conforme 𝑥 se aproxima a 𝑎 es 𝐿, lo que se escribe como:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si la siguiente proposición es verdadera:
Dado cualquier 𝜀 > 0, no importa cuán pequeña sea, existe una 𝛿 > 0 tal
que
Si 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

8
Teoremas de limites
Teorema Ejemplo
1
Límite de una función Lineal
Si 𝑚 y 𝑛 son dos constantes cualesquiera, entonces:
lim
𝑥→𝑎
(𝑚𝑥 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑏
lim
𝑥→4
(3𝑥 + 5) = 3(4) + 5
= 12 + 5
= 17
2
Límite de una función Constante
Si 𝑐 es una constante, entonces para cualquier entero
𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐
lim
𝑥→8
3 = 3
3
Límite de una Función Identidad
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
lim
𝑥→7
𝑥 = 7
4
Límite de la suma y diferencia de dos funciones
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝐿 ± 𝑀
lim
𝑥→3
7𝑥 + 3𝑥
lim
𝑥→3
7𝑥 + lim
𝑥→3
3𝑥
= 7(3) + 3(3)
= 405
Límite de la suma y diferencia de 𝒏 funciones
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓1(𝑥) = 𝐿1, lim
𝑥→𝑎
𝑓2(𝑥) = 𝐿2, . . lim
𝑥→𝑎
𝑓𝑛(𝑥) = 𝐿 𝑛
lim
𝑥→𝑎
[𝑓1(𝑥) ± 𝑓2(𝑥) ± ⋯ ± 𝑓𝑛(𝑥)] = 𝐿1 ± 𝐿2 ± ⋯ 𝐿 𝑛
6
Límite del producto de dos Funciones
Si lim
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)] = 𝐿 . 𝑀
lim
𝑥→4
[𝑥(2𝑥 + 1)]
lim
𝑥→4
𝑥 . lim
𝑥→4
2𝑥 + 1
4 . 9 = 36
7
Límite del producto de dos Funciones
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓1(𝑥) = 𝐿1, lim
𝑥→𝑎
𝑓2(𝑥) = 𝐿2, . . lim
𝑥→𝑎
𝑓𝑛(𝑥) = 𝐿 𝑛
lim
𝑥→𝑎
[𝑓1(𝑥) 𝑓2(𝑥) … 𝑓𝑛(𝑥)] = 𝐿1 𝐿2 … 𝐿 𝑛
8
Límite de la n – ésima potencia de una función
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓1(𝑥) = 𝐿 y 𝑛 es cualquier número entero positivo,
entonces:
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)] 𝑛
= 𝐿 𝑛
lim
𝑥→−2
(5𝑥 + 7)4
= [ lim
𝑥→−2
(5𝑥 + 7)]
4
= (−3)4
= 81

9
Teorema Ejemplo
9
Límite del cociente de dos funciones
Si lim
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝑀
𝑆𝑖 𝑀 ≠ 0
lim
𝑥→4
𝑥
−7𝑥 + 1
=
lim
𝑥→4
𝑥
lim
𝑥→4
− 7𝑥 + 1
=
4
−7(4) + 1
=
4
−28 + 1
=
4
−27
= −
4
27
10
Límite de la raíz n – ésima de una función
Si 𝑛 es un número entero positivo y lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
entonces
lim
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛
= √𝐿
𝑛
Con la restricción de que si 𝑛 es par, 𝐿 > 0
lim
𝑥→4
√
𝑥
−7𝑥 + 1
3
= √lim
𝑥→4
3
𝑥
−7𝑥 + 1
= √−
4
27
3
= −
√4
3
3
EJEMPLO 1
Calcule los siguientes límites e indique los teoremas utilizados:
a. lim
𝑥→8
𝑥2
+ 5
b. lim
𝑥→3
(𝑥2
+ 7𝑥 − 5)
c. lim
𝑥→2
√
𝑥3+2𝑥+3
𝑥2+5
d. lim
𝑥→4
√ 𝑥−2
𝑥−4
e. lim
𝑥→5
𝑥2−25
𝑥−5

10
Solución
(a)
lim
𝑥→8
𝑥2
+ 5
= lim
𝑥→8
𝑥2
+ lim
𝑥→8
5 𝑻. 𝟒. 𝑳
= lim
𝑥→8
𝑥 . lim
𝑥→8
𝑥 + lim
𝑥→8
5 𝑻. 𝟔. 𝑳
= 8 . 8 + 5 𝑻. 𝟑. 𝑳 𝑦 𝑻. 𝟐. 𝑳
= 64 + 5
= 69
(b)
lim
𝑥→3
(𝑥2
+ 7𝑥 − 5)
= lim
𝑥→3
𝑥2
+ lim
𝑥→3
7𝑥 − lim
𝑥→3
5 𝑻. 𝟒. 𝑳
= lim
𝑥→3
𝑥 . lim
𝑥→3
𝑥 + lim
𝑥→3
7. lim
𝑥→3
𝑥 − lim
𝑥→3
5 𝑻. 𝟔. 𝑳
= 3 . 3 + 7 . 3 − 5 𝑻. 𝟑. 𝑳 𝑦 𝑻. 𝟐. 𝑳
= 9 + 21 − 5
= 25
(c)
lim
𝑥→2
√
𝑥3 + 2𝑥 + 3
𝑥2 + 5
= √lim
𝑥→2
𝑥3 + 2𝑥 + 3
𝑥2 + 5
𝑻. 𝟏𝟎. 𝑳
= √
lim
𝑥→2
𝑥3 + 2𝑥 + 3
lim
𝑥→2
𝑥2 + 5
𝑻. 𝟗. 𝑳
= √
lim
𝑥→2
𝑥3 + lim
𝑥→2
2𝑥 + lim
𝑥→2
3
lim
𝑥→2
𝑥2 + lim
𝑥→2
5
𝑻. 𝟓. 𝑳

11
= √
(lim
𝑥→2
𝑥)
3
+ lim
𝑥→2
2 . lim
𝑥→2
𝑥 + lim
𝑥→2
3
(lim
𝑥→2
𝑥)
2
+ lim
𝑥→2
5
𝑻. 𝟔. 𝑳 𝑦 𝑻. 𝟖. 𝑳
= √
23 + 2(2) + 3
22 + 5
𝑻. 𝟑. 𝑳 𝑦 𝑻. 𝟐. 𝑳
= √
8 + 4 + 3
4 + 5
= √
15
9
=
√15
3
(d)
lim
𝑥→4
√ 𝑥 − 2
𝑥 − 4
No se puede aplicar el Teorema 9 de Límites al cociente
√ 𝑥−2
𝑥−4
debido a que
lim
𝑥→4
𝑥 − 4 = 0. Para simplificar el cociente se racionaliza el numerador
multiplicando tanto el numerador como el denominador por √ 𝑥 + 2.
√ 𝑥 − 2
𝑥 − 4
.
√ 𝑥 + 2
√ 𝑥 + 2
=
𝑥 − 4
(𝑥 − 4)(√ 𝑥 + 2)
=
1
√ 𝑥 + 2
La solución se expresa de la siguiente manera:
lim
𝑥→4
√ 𝑥 − 2
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
(√ 𝑥 − 2)(√ 𝑥 + 2)
(𝑥 − 4)(√ 𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
𝑥 − 4
(𝑥 − 4)(√ 𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
1
√ 𝑥 + 2
=
lim
𝑥→4
1
lim
𝑥→4
(√ 𝑥 + 2)
𝑻. 𝟗. 𝑳
=
1
lim
𝑥→4
√ 𝑥 + lim
𝑥→4
2
𝑻. 𝟐. 𝑳 𝑦 𝑻. 𝟒. 𝑳
=
1
√lim
𝑥→4
𝑥 + 2
𝑻. 𝟏𝟎. 𝑳 𝑦 𝑻. 𝟐. 𝑳
=
1
√4 + 2
=
1
4

12
(d)
lim
𝑥→5
𝑥2
− 25
𝑥 − 5
No se puede aplicar el Teorema 9 de Límites al cociente
𝑥2−25
𝑥−5
debido a que
lim
𝑥→5
𝑥 − 5 = 0. Para simplificar el cociente se factoriza el numerador y se
realizan las simplificaciones necesarias.
lim
𝑥→5
𝑥2
− 25
𝑥 − 5
= lim
𝑥→5
(𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
𝑥 − 5
lim
𝑥→5
𝑥 + 5
Aplicando Teorema 1
5 + 5
10
Videosde
apoyo
http://youtu.be/o2UTk8bsLS0 Limites | Introducción y
conceptos básicos
http://youtu.be/0iA2sDzEm6Y Limites de una función |
Conceptos básicos
Uso de tecnología
También para el cálculo de limites se pueden utilizar aplicaciones móviles y
software matemáticos, a continuación, se da una presentación de ellos:
WolframAlpha
Es un motor de conocimiento computacional o motor de respuesta
desarrollado por Wolfram Alpha LLC. Es un servicio en línea que responde
preguntas directas directamente al computar la respuesta de “datos
curados” de fuentes externas.

13
Wolfram Alpha también, permite calcular límites, para ello se debe conectar
a la página: http://m.wolframalpha.com/
Aparece lo siguiente:
El cual, es muy fácil calcular los límites y su
gráfica, el único problema que presenta este
sitio es que no da un procedimiento paso a
paso, solo una respuesta, por lo que puede
utilizarse para verificar respuestas.
Ejemplo: si se quiere calcular el limite
lim
𝑥→−2
𝑥3
− 2𝑥 + 1
Se escribe en la entrada: Limit x^3-2x+1, x->-2

14
Photomath
Es una aplicación móvil descrita como una calculadora por cámara, que
utiliza la cámara del teléfono móvil para reconocer patrones matemáticos
y mostrar la solución directamente en la pantalla. Es gratuita y está
disponible para Google Android e IOS. Además, reconoce escritura manual,
y muestra paso a paso el proceso de resolución de la ecuación.
Ejemplo:
Calcular:
lim
𝑥→6
9𝑥 + 6
𝑥2
lim
𝑥→6
9𝑥 + 6
𝑥2
Solución

15
Aplica lo aprendido
Determine el límite y cuando sea apropiado, indique el teorema de
limite que aplico.
a. lim
𝑥→5
15 b. lim
𝑥→7
2𝑥 + 1 c. lim
𝑥→−3
1 + 3𝑥
d. lim
𝑦→−1
𝑦3
− 2𝑦2
e. lim
𝑧→−2
𝑧3
+ 8 f. lim
𝑥→−7
−12
g.
lim
𝑥→7
𝑥2
− 49
𝑥 − 7
h.
lim
𝑥→3 2⁄
4𝑥2
− 9
2𝑥 + 3
i.
lim
𝑥→1 3⁄
3𝑥 − 1
9𝑥2 − 1
j.
lim
ℎ→0
√ℎ + 2 − √2
ℎ
k.
lim
𝑥→−1
√𝑥 + 5 − 2
𝑥 + 1
l.
lim
𝑥→1
√ 𝑥
3
− 1
𝑥 − 1
Experimento: “Figuras inscritas en el circulo
La observación de la naturaleza muestra la existencia de las diferentes
formas de los cuerpos materiales que la componen, las cuales, por
necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir,
construir o desplazarse, llevaron al hombre a hacer uso de las diversas
propiedades de las figuras geométricas, dando lugar al manejo de los
perímetros, áreas y volúmenes.
El patio de tu escuela, una cancha de fútbol, los muebles de una casa o una
tuerca son algunos de los innumerables ejemplos en donde se pueden
apreciar figuras geométricas.
Generalmente, se observa a las figuras geométricas como independientes
entre sí, siendo que la relación que existe entre ellas es mucha. En el caso de
las figuras regulares y el círculo, dicha relación es muy interesante, debido a
que, si se incrementa el número de lados de un polígono regular, va a
significar que se está dividiendo en más partes iguales a los 360º existentes
en un círculo, acercándose cada vez más al círculo.

16
En el presente experimento, se podrá verificar dicha relación y observar la
manera en que las figuras regulares se acercan al círculo conforme
aumentamos su número de lados, con lo que es posible obtener diferentes
perímetros de las figuras inscritas en él.
Objetivo:
▪ Observar la aplicación sencilla de un límite en la geometría plana y
particularmente con las figuras regulares inscritas en el círculo
Metas:
▪ Encontrar la relación existente entre las figuras regulares y el círculo
▪ Comprender que entre más lados tenga una figura, más se va a
acercar al círculo
▪ Conocerá el comportamiento gráfico del perímetro de una figura
conforme se incrementa el número de lados
Materiales
▪ Papel.
▪ Transportador.
▪ Regla.
▪ Compás.
▪ Lápiz
Procedimiento
1. Con la ayuda de un compás, dibuja un círculo con un diámetro de 6
cm.
2. Empleando el transportador y sabiendo que un polígono regular
inscrito en el círculo puede tener n lados posibles, dibuja un triángulo
equilátero y calcula su perímetro. Registra su valor.

17
3. Repite los pasos 1 y 2 dibujando un cuadrado, luego un pentágono,
un hexágono, etc., incrementando el número de lados cuantas veces
sea posible.
4. Con los datos obtenidos, construye una tabla que represente el
perímetro de la figura inscrita con respecto al número de lados. (Ver
Tabla)
N° de Lados Perímetro (mm)
3
Incrementos
de un lado
12
5. Construye la representación gráfica del comportamiento de los
perímetros con respecto al número de lados del polígono regular.
6. Contesta las siguientes preguntas:
7. Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Qué observaste?
b) ¿Existe relación entre el número de lados y el perímetro de las
figuras inscritas?
c) ¿A qué valor se están acercando los perímetros obtenidos
conforme aumentan el número de lados?
d) Sabiendo el valor del radio r del circulo calcula su perímetro ¿Qué
relación encuentras entre el perímetro del circulo y los perímetros
de las figuras inscritas?

18
Juego: Llegar al limite
Observar a lo largo del juego las propiedades de los limites en cada
recuadro y seguir las instrucciones.
Reglas del Juego
1. Pueden jugar dos o tres compañeros. Deben disponer de
dos dados y una ficha de color para cada jugador
2. Al llegar a la casilla correspondiente se tiene que decir el
valor del límite que allí aparece. Si el jugador responde
correctamente se queda en esa casilla con su ficha, en
caso contrario, retrocede tres casillas.
3. Gana el jugador que llegue primero a la meta.

19
Limites laterales
En el caso de una función definida con distintas leyes a ambos lados de un
punto, para calcular el límite en dicho punto se estudia el comportamiento
de la función en cada lado por separado. Para ello se definen los LIMITES
LATERALES.
Definición de limite por la derecha
Sea 𝑓 una función definida en cada número del intervalo abierto (𝑎, 𝑐).
Entonces, el límite de 𝑓(𝑥), conforme 𝑥 tiende a 𝑎 por la derecha, es 𝐿, lo que
se denota por:
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si para cualquier 𝜀 > 0, sin importar que tan pequeña sea, existe una 𝛿 > 0
tal que:
Si 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 Entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
Definición de limite por la izquierda
Sea 𝑓 una función definida en cada número del intervalo abierto (𝑑, 𝑎).
Entonces, el límite de 𝑓(𝑥), conforme 𝑥 tiende a 𝑎 por la derecha, es 𝐿, lo que
se denota por:
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si para cualquier 𝜀 > 0, sin importar que tan pequeña sea, existe una 𝛿 > 0
tal que:
Si 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 Entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
Teorema

20
El lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe y es igual a 𝐿 si y sólo si lim
𝑥→𝑎−
𝑔(𝑥) y lim
𝑥→𝑎+
𝑔(𝑥) existen si son
iguales a
𝐿
Videosde
apoyo
http://youtu.be/Lg9fOAgpkOw Continuidad y Limites
Laterales SECUNDARIA
http://youtu.be/TBVmWJZVoJs Limites Laterales
EJEMPLO 1
Sea 𝑔 la función definida por:
𝑔(𝑥) = {
|𝑥| 𝑆𝑖 𝑥 ≠ 0
2 𝑆𝑖 𝑥 = 0
(a)Dibuje la gráfica de 𝑔
(b)Determine lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) si existe
Solución
(a)
Uso de tecnología
Para graficar la función se puede utilizar el programa Geogebra, pero para
ello hay que tener presente conceptos básicos de gráfica de funciones.

21
(b)
lim
𝑥→0−
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→0−
−𝑥 = 0 lim
𝑥→0+
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→0+
𝑥 = 0
La vida como la conocemos sería imposible sin cambios.
Cambios en la concentración de sustancias en pequeñas
distancias son muy importantes en Bioquímica. Por ejemplo, dos
tercios del ATP producido en las neuronas es consumido por proteínas que
envían cationes a través de la membrana celular al medio extracelular, dis-
minuyendo la concentración de potasio y aumentando la de sodio. El
gradiente de concentración a través de la membrana celular proporciona
la fuerza conductora para la entrada en la célula de agua, glucosa y otros
nutrientes. Otro ejemplo es la diferencia de temperatura entre los animales
de sangre caliente y su entorno, que limita las características de sus cuerpos.
Por ejemplo, las focas suavizan las transferencias de calor entre su cuerpo y
el entorno envolviéndose en capas de grasa y pelo.

23
Continuidad
Una función continua se describe a menudo como aquellas cuya gráfica
puede dibujarse sin despegar el lápiz del papel, estas se ilustran en algunos
ejemplos intuitivos de gráficas de funciones que no son continuas, ósea
discontinuas, en un número 𝑎
Lim f(x) no existe
x → a
y f(a) no está definida
Lim f(x) existe
x → a
Pero f(a) no está definida
Lim f(x) no existe
x → a
Peo f(a) está definida
Lim f(x) existe
x → a
f(a) no está definida, pero Lim
f(x)≠f(a)

24
Continuidad en un número 𝒂
Se dice que una función es continua en un numero 𝑎
i. F(a) esta definida
ii. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe
iii. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en 𝑎, entonces se dice
que la función 𝑓 es discontinua en 𝑎
EJEMPLO 1
Determine si las siguientes situaciones son funciones continuas:
1. Un químico farmacéutico distribuye un producto que se que se vende
por libra (o fracción de libra) cobra C$ 2 por libra si se ordenan 10 o
menos libras. Si se orden más de 10 el químico farmacéutico cobra
C$20 más C$ 1,40 por cada libra que exceda de las 10, por tanto, si se
compran 𝑥 libras por un costo total de 𝐶(𝑥) córdobas, entonces 𝐶(𝑥) =
2𝑥 si 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 y 𝐶(𝑥) = 20 + 1,4(𝑥 − 10) si 10 < 𝑥; esto es:
𝐶(𝑥) = {
2𝑥
1,4𝑥 + 6
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 10
10 < 𝑥
Solución
La gráfica de 𝐶, para la función, 𝐶(𝑥) = 10 = 20 y
lim
𝑥→10−
𝐶(𝑥) = lim
𝑥→10−
2𝑥 = 20
lim
𝑥→10+
𝐶(𝑥) = lim
𝑥→10+
(1,4𝑥 + 6) = 20
Por tanto lim
𝑥→10
𝐶(𝑥) existe y es igual a 𝐶(10). En
consecuencia 𝐶 es continua en 10.

25
EJEMPLO 2
Estudia la continuidad de la función {
𝑥 + 1 ; 𝑥 < 2
2𝑥 − 1 ; 𝑥 ≥ 2
Solución
Tanto para valores menores que dos, como para valores mayores que 2, la
función está definida como una semirrecta, es decir un trozo de una línea
recta (función afín). Luego para estos puntos la función es continua. El único
punto problemático es x = 2, donde tenemos que ver si los límites laterales a
izquierda y derecha deben coincidir con la imagen de la función en 2.
Luego, la función es continua en toda
Estudia la continuidad de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥−7
𝑥3−𝑥2−11𝑥+3
Solución
La función es continua en todo R menos en los valores que se anula el
denominador, si igualamos éste a cero y resolvemos la ecuación
obtendremos los puntos de discontinuidad.
x = −3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también: x=2−√3 y
x=2+√3

26
La función tiene tres puntos de discontinuidad en x=−3, x=2−√3 y x=2+√3
Ejemplos de Aplicación
La dosis d (en mg) de un cierto medicamento que hay que suministrar a niños
menores de 14 años viene dada, en función de su edad t (en años), por la
fórmula siguiente
𝑑 = 𝑓(𝑡) =
𝑡 + 1
24
Solución
La función
𝑡+1
24
tiene perfecto sentido para cualquier valor de t. Sin embargo,
puesto que la variable independiente t representa la edad del niño, no tiene
sentido que sea t ≤ 0. Por otra parte, la fórmula sólo es aplicable hasta los 14
años, luego deber ser t ≤ 14. El dominio de la función es, pues,
{t ∈ R: 0 < t ≤ 14} = (0, 14]

27
Aplica lo aprendido
Calcula los siguientes límites a partir de esta gráfica. En caso de no
existir escribe no
f(8)=
f(4)=

29
1.2 Límites de Sucesiones
Sucesiones
Una sucesión es un conjunto de números dispuestos en cierto orden. Cada
número de la sucesión se identifica con una variable, como 𝑎, que es
asociada con un número natural que indica su posición en la sucesión. Los
números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎2, etcétera, son los términos de la sucesión. Por lo tanto, el
primer término en la sucesión es 𝑎1, el segundo término es 𝑎2, el tercero es 𝑎3,
y así sucesivamente.
La sucesión 3, 7, 11, 15, 19, 23 tiene 𝑎1 = 3, 𝑎2 = 7 𝑎3 = 11, 𝑎4 = 15, 𝑎5 = 19 𝑦 𝑎6 =
23. Esta sucesión tiene 6 términos.
Muchas sucesiones siguen una especie de patrón. El cual suele estar descrito
por el n-ésimo término de la sucesión. Este término 𝑎 𝑛,se denomina término
general de la sucesión. Una sucesión finita tiene un número específico de
términos, por lo que posee un término último. Una sucesión infinita no tiene
último elemento. La notación {𝑎 𝑛} se utiliza a menudo para presentar el n-
ésimo término de una sucesión. Las llaves, { }, indican que se trata de una
sucesión. (Peterson, 2000, pág. 718)
Ejemplo: Encuentre los seis primeros términos de la sucesión 𝑎 𝑛 = 4𝑛 + 1
Solución
𝑎1 = 4(1) + 1 = 5
𝑎2 = 4(2) + 1 = 9
𝑎3 = 4(3) + 1 = 13
𝑎4 = 4(4) + 1 = 17
𝑎5 = 4(5) + 1 = 21
𝑎6 = 4(6) + 1 = 25

30
Sucesiones aritméticas
Se denomina progresión aritmética a una sucesión de números en la que la
diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma. Por lo tanto,
cada término se obtiene sumando una misma cantidad (la diferencia) al
término anterior.
La diferencia entre dos términos consecutivos de la progresión aritmética se
le denomina razón aritmética, la cual se denota con la letra 𝑟 y la
obtenemos mediante la ecuación:
𝑟 = 𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−1
En todas las progresiones aritméticas se puede encontrar una expresión que
permita obtener cualquier término, sabiendo el lugar que ocupa. A esta
expresión se le denomina término general de la progresión aritmética.
Observe
Términos
1 𝑎1
2 𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟
3 𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟
4 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟
… …
n-ésimo 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟
Como puedes ver, resulta fácil encontrar cualquier término de una
progresión aritmética, cuando se conoce un término cualquiera y la
diferencia común o razón.
Ejemplo: Una brigada de salud, en una jornada de vacunación, el primer
día vacunó a 40 niños y el quinto día a 100. ¿A cuántos menores vacunó

31
dicha brigada los otros días, si las cantidades de niños vacunados forman
una progresión geométrica?
Solución
Datos conocidos 𝑎1 = 40 𝑦 𝑎5 =
100
Datos desconocidos 𝑎2, 𝑎3 𝑦 𝑎4
Encontrar la razón
Se tiene que 𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑟 sustituyendo los valores se tiene 100 = 40 + 4𝑟,
despejando se tiene:
100 − 40 = 4𝑟 → 60 = 4𝑟 →
60
4
= 𝑟 → 15 = 𝑟
Por lo tanto
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 → 𝑎2 = 40 + 15 → 𝑎2 = 55
𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟 → 𝑎2 = 40 + (2)15 → 𝑎2 = 70
𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 → 𝑎2 = 40 + (3)15 → 𝑎2 = 85
El segundo día se vacuno a 55 niños, el tercero a 70 y el cuarto día a 85.
Si se desea conocer cuál es la cantidad de niños vacunados se usa la
expresión 𝑆 𝑛 =
𝑛
2
(𝑎1 + 𝑎 𝑛). Es importante comprender que el propósito de
esta expresión general para encontrar la suma de los términos de una
progresión aritmética de 𝑛 términos, es el de facilitar los cálculos.
Ejemplo: Una brigada de salud, en una jornada de vacunación, el primer día
vacunó a 40 niños y el quinto día a 100. ¿A cuántos menores vacunó dicha
brigada durante los cinco días, si las cantidades de niños vacunados forman
una progresión geométrica?
Datos conocidos
𝑛 = 5
𝑎1 = 40
𝑎5 = 100

32
Solución
𝑆 𝑛 =
𝑛
2
(𝑎1 + 𝑎 𝑛)
𝑆5 =
5
2
(40 + 100)
𝑆5 = 350
Durante los 5 días se vacunaron 350 niños.
Sucesiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno
de ellos (salvo el, primero) es igual al anterior multiplicado por un número
constante llamado razón. La razón se denota con la letra 𝑟. La razón
geométrica resulta de dividir dos términos consecutivos de una sucesión
geométrica, sucesor entre antecesor, así:
𝑟 =
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛−1
Resulta muy importante observar el comportamiento en la formación de una
sucesión geométrica porque permitirá descubrir regularidades y obtener
algunas conclusiones valiosas.
𝑎1 =
𝑎2 =
𝑎3 =
𝑎4 =
…
𝑎 𝑛 =
𝑎1
𝑎1 𝑟
𝑎1 𝑟2
𝑎1 𝑟3
…
𝑎1 𝑟 𝑛−1
}
Habrá situaciones donde será necesario calcular la suma de los términos de
una progresión geométrica. Para esto se utiliza la ecuación 𝑆 𝑛 = 𝑎1 ∙
𝑟 𝑛−1
𝑟−1
Ejemplo
Según los habitantes de una comunidad, los padecimientos de las vías
respiratorias superiores en los niños, ha disminuido. En la séptima quincena
solamente se registró un caso. Si la situación mencionada se puede modelar
mediante una progresión geométrica de razón 0,5 ¿Cuántos niños fueron

33
reportados con dichos padecimientos en la primera quincena? ¿Cuál es el
total de niños que ha padecido estos trastornos respiratorios?
Datos conocidos
𝑎7 = 1 𝑟 = 0,5
Solución
Primero se encontrará el primer término de la progresión
𝑎7 = 𝑎1 𝑟6
→ 1 = 𝑎1(0,5)6
→
1
(0,5)6
= 𝑎1 → 64 = 𝑎1
El total de niños está dado por:
𝑆 𝑛 = 𝑎1 ∙
𝑟 𝑛
− 1
𝑟 − 1
𝑆7 = 64 ∙
(0,5)7
− 1
0,5 − 1
→ 𝑆7 = 64 ∙
(−
127
128
)
(−
1
2
)
→ 𝑆7 = 64 ∙
254
128
→ 𝑆7 = 127
En la primera quincena fueron reportados 64 niños. El total de niños que padecieron
estos trastornos respiratorios son 127.
EJEMPLOS
. Dada la sucesión { ...6/25,5/16,4/9,3/4,2, }, halla:
a) Su término general y los términos décimo y vigésimo.
b) A partir de qué término 001,0na
c) ¿Cuál es su límite?
[sol] a) 2
1
n
n +
; 11/100; 21/400; b) n  1001. c) 0
6. Considera las sucesiones: {an} = {1, 7, 13, 19, …} y {bn} = {5, 8, 11, 14, …}
a) Halla el término general de cada una de ellas. ¿Cuánto valen a300 y b35?

34
b) Halla la expresión de la sucesión
n
n
n
b
a
c = . ¿A partir de qué término de  nc los
siguientes valen más de 1,9? Calcula su límite.
[sol] a) 56 −= nan ; 23 += nbn . b)
23
56
+
−
n
n
; n = 30; 2
7. Indica el valor de los siguientes límites:
a) ( )52 −nlím b)
1
6
2
+n
n
lím c)
172
36
2
2
+−
+
nn
nn
lím
d)  nnlím n
5)1( 2
−− e)
n
n
lím
23
5
−
−
f)
72
12
+
+−
n
n
lím
[sol] a) ∞; b) 0; c) 3; d) No existe; e) −1/2; f) −∞

36
-
1.3 Límites de funciones trigonométricas
El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes teoremas, en
los cuales se considera que u = f (x).
1. 

senusen
u
=
→
lim
2. 

coscoslim =
→
u
u
3. 0lim
0
=
→
usen
u
4. 1coslim
0
=
→
u
u
5. 1lim
0
=
→ u
usen
u
Con estos teoremas es posible obtener el límite de funciones trigonométricas. Cuando
la función dada es diferente de la función seno y coseno, primero se aplican
identidades trigonométricas y después el teorema correspondiente.
Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites, se tienen las siguientes:
u
usen
u
cos
tan 
usen
u
u
cos
cot 
u
u
cos
1
sec 
usen
u
1
csc 
Ejemplo 1
Calcular el límite trigonométrico lim
𝑥→0
cos 3𝑥
El argumento de la función es 3x, entonces haciendo u=3x, cuando x→ 0, también 3x→
0, esto es, el lìmite se puede escribir

37
lim
3𝑥→0
cos 3𝑥
Aplicando el teorema lim
𝑢→0
cos 𝑢 = 1 se tiene el valor del límite, esto es:
lim
𝑥→0
cos 3𝑥 = 1
Ejemplo 2: Calcular el valor del siguiente límite lim
𝑥→0
[
2 𝑠𝑒𝑛 8𝑥
𝑥
]
En este tipo de límites se debe multiplicar por la fracción
8
8
para igualar el argumento
con el denominador y aplicar el teorema correspondiente.
lim
𝑥→0
[
𝑥
]=lim
𝑥→0
[
8
8
] [
𝑥
]
Factorizando y efectuando productos.
=lim
𝑥→0
[(2)(8)] [
𝑠𝑒𝑛 8𝑥
8𝑥
]
Aplicando el teorema lim
𝑢→0
𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑢
= 1
= (2) (8) (1)= 16
Resumen: En los límites de funciones trigonométricas directas supondremos
que cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo y
en algunos casos se expresará como una función con ciertas variables.

38
Ejercicios de reforzamiento.
Calcular el valor de los siguientes límites.
1.- lim
𝑥→3
[
𝑠𝑒𝑛(𝑥−3)
3𝑥−9
]
2.- lim
𝑥→0
[
3 sec 𝑥
csc 𝑥
]

40
DERIVADAS
La derivada de una función es una de las herramientas más poderosas en
las matemáticas. En efecto, es indispensable para las investigaciones no elementales
tanto en las ciencias naturales como en las ciencias sociales y las humanidades.
DEFINICIÓN: La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene
como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la
variable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a
cero, esto es:
Derivada de
x
xf
xf
x 

=
→
)(
lim)(
0
También la derivada de una función se expresa como:
Derivada de
x
xfxxf
xf
x 
−+
=
→
)()(
lim)(
0
A efecto de simplificar la notación, es común representar a x mediante la letra h,
con lo cual se tiene:
Derivada de
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0
−+
=
→
NOTACIÓN.
La derivada de una función real de variable real con regla de correspondencia
)(xfy = se denota de las siguientes seis formas:
)(xfDx ,
yDx ,
)(' xf , Y’,
dx
xdf )(
, dx
dy
La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamente representa
la pendiente de las rectas tangentes a la curva en esos puntos. Esto es
)(xfDm xT =

41
Ejemplo 1
Obtener la derivada de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 4𝑥2
+ 2𝑥 − 3
Aplicando la definición de derivada:
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Resulta
= lim
ℎ→0
4(𝑥 + ℎ)2
+ 2(𝑥 + ℎ) − 3 − (4𝑥2
+ 2𝑥 − 3)
ℎ
= lim
ℎ→0
4(𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2) + 2𝑥 + 2ℎ − 3 − 4𝑥2
− 2𝑥 + 3
ℎ
= lim
ℎ→0
4𝑥2
+ 8𝑥ℎ + 4ℎ2
+ 2𝑥 + 2ℎ − 3 − 4𝑥2
− 2𝑥 + 3
ℎ
Simplificando:
= lim
ℎ→0
8𝑥ℎ + 4ℎ2
+ 2ℎ
ℎ
Realizando la división
= lim
ℎ→0
(8𝑥 + 4ℎ + 2)
Finalmente, calculando el límite cuando ℎ → 0 se tiene la derivada de la función
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 8𝑥 + 2
Resumen: La derivada de una función real de variable real continua, se
obtiene como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento
de la variable independiente, cuando el incremento de la variable independiente
tiende a cero.

42
Utilizando la definición, calcular la derivada de las siguientes funciones.
1.- 𝑓(𝑥) = 5 − 2𝑥 + 5𝑥2
2.- 𝑓(𝑥) =
2𝑥
3𝑥+1
Teoremas para el cálculo de derivadas
Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la
derivada de una función real de variable real, es mediante el uso de teoremas, los
cuales se obtienen a partir de la definición.
1.- 0=kDx donde k es un número real (Constante).
2.- 1=xDx
3.- kkxDx = donde k es un número real (Constante).
4.- 1−
= nn
x nxxD donde n  R .
Sí f (x) y g(x) son dos funciones reales de variable real continuas:
Sí f(x) y g(x) son dos funciones continuas, se tienen los siguientes teoremas para el
cálculo de derivadas.
6. Derivada de un producto.
  )()()()()()( xfDxgxgDxfxgxfD xxx +=
7. Derivada de un cociente.
  2
)(
)()()()(
)(
)(
xg
xgDxfxfDxg
xg
xf
D
xx
x
−
=





donde g(x)  0

43
8. Derivada de una función elevada a una potencia.
    )()()( 1
xfDxfnxfD x
nn
x
−
=
Este teorema generalmente se expresa como :
uDunuD x
nn
x
1−
= donde u es una función de x.
Ejemplo 1: Obtenga la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 6𝑥4
+ 5𝑥3
− 7𝑥2
+
8𝑥 − 7
Aplicando los teoremas correspondientes
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝐷𝑥(6𝑥4) + 𝐷𝑥(5𝑥3) − 𝐷𝑥(7𝑥2) + 𝐷𝑥(8𝑥) − 𝐷𝑥(7)
𝐷 𝑥 𝑓(𝑥) = 24𝑥3
+ 15𝑥2
− 14𝑥 + 8
Ejemplo 2: Obtenga la derivada de 𝑓(𝑥) =
3
𝑥5 −
3
2𝑥4 +
7
𝑥3
Transformando la función a la forma de potencia
𝑓(𝑥) = 3𝑥−5
−
3𝑥−4
2
+ 7𝑥−3
Aplicando teoremas y simplificando
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = −15𝑥−6
+
12𝑥−5
2
− 21𝑥−4
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = −
15
𝑥6
+
6
𝑥5
−
21
𝑥4

44
Resumen: para obtener la derivada de una función algebraica de
manera directa se aplican los teoremas respectivos, sin necesidad de desarrollar
la definición de derivada.
Calcular la derivada de las siguientes funciones:
1.- 𝑓(𝑥) = 2𝑥3
− 3√2𝑥 +
7
𝑥2
− 2
2.- 𝑓(𝑥) =
6𝑥4
3𝑥2+2𝑥−3
3.- 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 7)√ 𝑥 + 2
Ideas para Introducir el concepto de derivada partiendo de la definición de
limite
Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥) = 13𝑥 − 6 encuentre f’(4)
Técnica: Esto se lo puede colocar en una tarjeta en la pizarra con forro de
mica para cada ejercicio, ya que siempre se va a realizar el mismo reemplazo
en “x”. Así:

45
Mientras se desarrolla el ejercicio, se mueve la tarjeta para una mejor
comprensión del reemplazo de “x”
Por lo tanto, tenemos:

47
1.1 Derivada de Funciones Elevas a una Potencia
La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la
base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.
𝑓(𝑥) = 𝑢 𝑘
𝑓′(𝑥) = 𝑘𝑢 𝑘−1
𝑢′
Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base
elevada ala exponente menos 1.
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑘
𝑓′(𝑥) = 𝑘𝑥 𝑘−1
Ejemplos
1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3
𝑓′(𝑥) = 3(4𝑥3−1) = 12𝑥2
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥−4
𝑓′(𝑥) = −4𝑥−5
= −
4
𝑥5
3. 𝑓(𝑥) =
1
√ 𝑥
= 𝑥−
1
2
𝑓′(𝑥) = −
1
2
𝑥−
1
2
−1
= −
1
2
𝑥−
3
2 = −
1
2√𝑥3
4. 𝑓(𝑥) =
5
𝑥5
= 5𝑥−5
𝑓′(𝑥) = −25𝑥−6
= −
25
𝑥6

48
Experimento “El Carrito”
En matemáticas y ciencias aplicadas, se denomina pendiente a la inclinación
de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal
considerada.
Objetivo:
▪ Comprobar la razón de cambio de espacio con respecto al tiempo
transcurrido al variar el ángulo de inclinación de la superficie.
Metas:
▪ Comprenderá que, al variar el ángulo de la superficie, la razón de cambio
de espacio con respecto al tiempo se incrementa.
▪ Adquirirá la competencia del uso del cronómetro.
▪ Sabrá que cuando se modifica el valor de la variable independiente, la
variable dependiente también varía.
Materiales:
▪ Un carrito.
▪ Un cronómetro.
▪ Una superficie plana que pueda inclinarse fácilmente.
▪ Un transportador.
▪ Una cinta métrica.
Procedimiento:
1. Colocar el carrito sobre la superficie colocada horizontalmente y observar que
no hay cambio de distancia con respecto al tiempo puesto que el carrito
conserva su posición original.

49
2. Con una inclinación de 10º en la superficie y con el cronometro en ceros, se
coloca el carrito en la parte más alta de la superficie y se suelta verificando con
el cronómetro el tiempo que tardó en recorrer una distancia de 2 m. Registra el
tiempo obtenido.
3. Se repite la operación anterior 3 veces y se promedian los tiempos que tardó
el carrito en recorrer la misma distancia en la superficie inclinada.
4. Con los datos obtenidos, se construye la tabla 10 que muestre el tiempo
necesario para que el carrito recorra los 2 m. (Ver Tabla)
Inclinación (Grados) Tiempo (Segundos)
Velocidad promedio
(m/s)
10
Incrementos
de 100
90
5. Se calculan las razones de cambio promedio aplicando la fórmula:
ΔS/ΔT = (S2–S1) /(T2–T1)
6. El resultado del cociente anterior es la velocidad promedio del carrito en m/s
de acuerdo a la inclinación determinada.
7. Se registra la velocidad promedio en la última columna de la tabla
8. Se desarrollan los pasos del 1 al 7 cambiando el ángulo de inclinación a 20º,
30º y 40º, etc. hasta que el cambio de la velocidad entre una inclinación y otra
sea prácticamente la misma.
9. Se construyen las representaciones gráficas del tiempo transcurrido y la
velocidad promedio con respecto a la inclinación de la superficie.
10. Se pide al estudiante que responda a las siguientes preguntas:
a) ¿Las razones de cambio fueron iguales?

50
b) ¿Por qué son mayores unas que otras?
c) ¿Qué relación hay entre el valor de la pendiente y la velocidad que
adquiere el carrito?
CALCULO DE DERIVADAS
REGLAS BASICAS:
• Derivada de una constante: 0'== yky
• Derivada de xy = : 1'== yxy
• Derivada de la suma (resta): )(')('')()( xgxfyxgxfy ==
• Derivada del producto: ''')()( gfgfyxgxfy +==
• Derivada del cociente: 2
''
'
)(
)(
g
gfgf
y
xg
xf
y
−
==
DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:
• Potencias: 1
' −
== nn
xnyxy
    )(')(')(
1
xfxfnyxfy
nn
==
−
• Raíz cuadrada:
x
yxy
2
1
'==
)('
)(2
1
')( xf
xf
yxfy ==
• Inversa: 2
1
'
1
x
y
x
y
−
==
   22
)(
)('
)('
)(
1
'
)(
1
xf
xf
xf
xf
y
xf
y
−
=
−
==

51
• Exponenciales: xx
eyey == '
)('' )()(
xfeyey xfxf
==
Laayay xx
== '
Laxfayay xfxf
== )('' )()(
• Logaritmos:
x
yLxy
1
'==
 
)(
)('
)('
)(
1
')(
xf
xf
xf
xf
yxfLy ===
Lax
yxy a
11
'log ==
Laxf
xf
xf
Laxf
yxfy a
1
)(
)('
)('
1
)(
1
')(log ===
• Funciones trigonométricas:
xysenxy cos'==
senxyxy −== 'cos
xytgxy 2
sec'==
)(')(cos')( xfxfyxfseny ==
)(')(')(cos xfxfsenyxfy −==
)(')(sec')( 2
xfxfyxftgy ==
• Inversas de las funciones trigonométricas:
2
1
1
'
x
yarcsenxy
−
==

52
2
1
1
'arccos
x
yxy
−
−
==
2
1
1
'
x
yarctgxy
+
==
   22
)(1
)('
)('
)(1
1
')(
xf
xf
xf
xf
yxarcsenfy
−
=
−
==
   22
)(1
)('
)('
)(1
1
')(arccos
xf
xf
xf
xf
yxfy
−
−
=
−
−
==
   22
)(1
)('
)('
)(1
1
')(
xf
xf
xf
xf
yxarctgfy
+
=
+
==

54
2.1 Derivada de Producto y cociente
Derivada de un producto vuxf ·)( = '·'·)(' vuvuxf +=
Derivada de un cociente
v
u
xf =)( 2
'·'·
)('
v
vuvu
xf
−
=
Ejercicio: Calcula la derivada utilizando la derivada del cociente:
1.
Solución:
2.
Solución:
3.
Solución:
DERIVAMESTA Juego didáctico para agilizar el uso de las fórmulas de la derivada
El juego consiste en un tablero de madera con el objetivo de llegar a la meta
avanzando por casillas que representan las chinampas de Xochimilco a lo largo del
camino te encontraras con patos ranas y serpientes, las casillas libres son coloreadas
de azul o rojo, las azules son datos curiosos sobre la región de Xochimilco y las rojas son
castigos directos que también puedes recibir al resolver incorrectamente o no resolver

55
los ejercicios de derivadas presentes en el juego representados por los animales ya
antes mencionados. Cada uno tiene un nivel de dificultad pato-fácil, rana-medio,
serpiente-difícil estos ejercicios vienen incluidos en el juego anotados en 30 tarjetas
color verde.
El juego consta de:
• Tablero:
• Fichas con distintas dificultades y estas van marcadas con figuras de:
Ranas: Patos:

56
Sapientes:
• Tarjetas con datos de Estelí
• Dado.
Tiene una modalidad de juego sencilla y dinámica que permitirá ser jugado con fluidez.
INSTRUCTIVO:
El juego permite un máximo de tres jugadores y un juez que evaluará los resultados y
leerá los “sabias qué”.

57
Mientras se va tirando por turnos el dado, se moverá la trajinera que será la ficha que
representa a cada jugador, el objetivo es llegar hasta la figura del Parque de Estelí
A lo largo del camino te encontraras con patos ranas y serpientes, las cuales van
ligadas con una tarjeta que contiene una derivada que tendrás que resolver.
Las casillas azules son datos curiosos sobre Estelí y las rojas son castigos directos que
también puedes recibir al resolver incorrectamente o no resolver los ejercicios de
derivadas
Experimento “El Tablero”
Dentro de las grandes contribuciones de Gottfried Wilhelm Von Leibniz
(1646-1716), filósofo y matemático alemán, se encuentra su regla para la
derivación de un producto, la cual puede declararse informalmente como:
"La derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la
derivada de la segunda".
En el presente experimento se podrá demostrar de manera práctica la regla del
producto de Leibniz y podrás observar la facilidad con la que podemos encontrar la
nueva área de una superficie cuando cambian las dimensiones de sus lados.
Objetivo:
▪ Demostrar de manera práctica por medio del cambio de las dimensiones de la
superficie de un tablero, la aplicación de la regla del producto.
Metas:
▪ Comprenderá la demostración de una de las fórmulas de derivación.
▪ Aprenderá a aplicar de manera sencilla la regla del producto.
▪ Reforzará sus conocimientos aritméticos previos a la materia.

58
Materiales:
▪ Cartoncillo.
▪ Tijeras.
▪ Regla.
Procedimiento:
1. Se recortan varios rectángulos del cartoncillo, todos con una dimensión de 15
cm. X 25 cm.
Área = Largo X Ancho
2. Se calcula el área de la superficie inicial del rectángulo.
3. Se le realiza un corte de 5 cm. en el ancho del rectángulo y se obtiene la nueva
área tomando en cuenta que la nueva área se va a calcular de la siguiente
manera:
Área = (Largo) (Δ Ancho)
4. Tomando un rectángulo con las dimensiones iniciales, ahora se realiza un corte
de 5 cm. en la longitud del rectángulo, con lo que se puede observar que ahora
la nueva área se puede calcular de la siguiente manera:
5. Si a un tercer rectángulo se le realizan los dos cortes anteriores mencionados en
los pasos 3 y 4, para obtener la nueva área se aplicaría la siguiente fórmula:
Área = (Largo) (Δ Ancho) + (Ancho)(Δ Largo)
6. Se hace mención de que la fórmula que se emplea para obtener la nueva área
es la regla del producto para lo cual se pide al estudiante que realice la
comprobación de dicha aplicación.
7. Se pide al estudiante que conteste las siguientes preguntas:
a. ¿Qué observaste?
b. ¿Pudiste calcular el área con las nuevas dimensiones del tablero?
c. Si aplicas la regla del producto ¿Obtienes el mismo resultado?

61
3.1 Derivada de Regla de la cadena
Al método para derivar funciones compuestas se le conoce como regla
de la cadena. Para poder derivar el primer paso es distinguir entre una
función y una función compuesta, ya que ambas se derivan de diferentes formas.
Sea una función ( ) ( )xfxg = . La función g(x) es una función compuesta ya que está
formada por una función f(x) que se encuentra dentro de otra, la raíz cuadrada. Para
obtener su derivada se puede utilizar la definición de derivada:
( ) ( )
( )  ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) dx
df
xf
h
xfhxf
Lim
xfhxf
Lim
xfhxfh
xfhxf
Lim
xfhxf
xfhxf
h
xfhxf
Lim
h
xfhxf
Limxf
dx
d
h
xghxg
Lim
dx
dg
hh
h
h
h
h
2
1
1
00
0
0
0
0
=
=


 −+








++
=
=
++
−+
=
=
++
++

−+
=
=
−+
=
−+
=
→→
→
→
→
→
Si considero a la función como ( ) ffg = , la derivada
fdf
dg
2
1
= . Por lo tanto, el
resultado del ejemplo anterior se puede escribir como el producto de dos derivadas:
dx
df
df
dg
y dado que la derivada se puede ver como el cociente de dos diferenciales:
dx
dg
dx
df
df
dg
= .

62
En un caso más general, sea ( )( )xfg , esto es, una función compuesta. En el argumento
e la función g hay otra función, f(x). La derivada de g como función de x se escribe
como
dx
dg
. Supongamos que se hace un cambio de variable donde ( )xfu = . La
función ( )( )xfg se puede escribir, entonces, cómo ( )ug y por lo tanto, su derivada es
du
dg
. Dado que u es una función de x se puede derivar:
dx
du
. Por inspección de los
últimos dos términos, se puede ver que si se hace el producto entre ellos:
dx
du
du
dg
dx
dg
=
Dado que los diferenciales du se pueden eliminar.
Regla de la cadena
Si y=f(x) , y=g(x) son ambas derivables, entonces su composición fog=f(g(x)) es
una función derivable y su derivada viene dada por:
(fog)’ = f’(g(x)) . g’(x)
Regla de la cadena en notación de Leibniz
Si y=f(t) , y además t=g(x) son dos funciones diferenciables, entonces:
dx
dt
dt
dy
dx
dy
=
Derivada de la función externa,
evaluada en la interna
Derivada de la función
interna
Multiplicada por

63
Ejemplos:
1. Derive la siguiente función ( )3
xseny =
Derivada Planificación y argumentación al derivar
Derivo:
( ) 23
3.cos' xxy =
Ordenando:
( )32
cos3' xxy =
Antes de derivar:
Estudio las características de la función, para ello me pregunto:
• ¿se puede escribir de otra forma? No
• ¿existen dos o más funciones que al componerlas da esa
función? Sí , ( )xseny = , 3
xy =
• ¿cuál es la externa? ( )xseny =
• ¿cuál es la interna? 3
xy =
Mientras derivo:
Aplico la regla, la cual he enunciado como: “derivo la función
externa manteniendo la interna tal cual y la multiplico por la
derivada de la interna”
• derivo la función externa manteniendo la interna: cos(x3)
• derivada de la interna: 3x2
• multiplico: cos(x3). 3x2
Después de derivar:
• ¿Puedo hacer alguna simplificación? No
• ¿Puedo escribir la función de otra forma? Sí, usando
identidades trigonométricas, dado el enunciado del
ejercicio no es necesario, pues sólo pide derivar.

64
• ¿Está bien derivado? Sí
2. Derive la siguiente función ( )xy 3
cos=
Derivando:
( ) ( )( )1..cos3' 2
xsenxy −=
Ordenando:
( ) ( ).cos3' 2
xsenxy −=
Simplificando:
Una forma (usando
identidad fundamental):
( ) ( ).33' 3
xsenxseny +−=
Otra forma (usando
identidad de ángulo
doble):
( ) ( ).2cos
2
3
' xsenxy −=
Antes de derivar:
Estudio las características de la función, para ello me pregunto:
• ¿se puede escribir de otra forma? Sí , ( )( )3
cos xy =
• ¿existen dos o más funciones que al componerlas da esa
función? Sí , 3
xy = , ( )xy cos=
• ¿cuál es la externa? 3
xy =
• ¿cuál es la interna? ( )xy cos=
Mientras derivo:
Aplico la regla, la cual he enunciado como: “derivo la función
externa manteniendo la interna tal cual y la multiplico por la
derivada de la interna”
• derivo la función externa manteniendo la interna, es decir
derivo la potencia manteniendo la misma base:
( )( ) 13
cos3
−
x
• derivada de la interna, que es el coseno: ( )xsen−

65
• multiplico: ( )( ) 13
cos3
−
x . ( )( )xsen−
• ¿Puedo hacer alguna simplificación? Sí
• ¿Puedo escribir la función de otra forma? Sí, dado el
enunciado del ejercicio no es necesario, en otra situación
seleccionaré la que más me convenga.
3. Derive la siguiente función ( )( )xxseny 2
ln=
Derivando:
( )( )
( )
( ) ( )( )xxxsen
xxsen
xxseny .cos.1.
1
.ln2 +=
Ordenando:
)(
))cos()()).((ln(2
'
xxsen
xxxsenxxsen
y
+
=
Antes de derivar:
Estudio las características de la función, para ello
me pregunto:
• ¿se puede escribir de otra forma? Sí ,
( )( )2
)(ln xxseny =
• ¿existen dos o más funciones que al
componerlas da esa función? Sí , son tres,
2
xy = , ( )xy ln= , ( )xxseny =
• ¿cuál es la externa? 2
xy =
• ¿cuál es la más interna? )(xxseny =

66
Mientras derivo:
Aplico la regla, la cual he enunciado como:
“derivo la función externa manteniendo la
interna tal cual y la multiplico por la derivada de
la interna”
• derivo la función externa manteniendo la
interna: ( )( )( ) 12
ln2
−
xxsen
• derivo la base de la potencia, que es el
neperiano:
( )xxsen
1
• derivo la función más interna, que es el
argumento del neperiano, observo que es
un producto de dos funciones, por lo tanto,
aplico la regla de derivada de una
producto: ( ) ( )xxxsen .cos.1 +
• multiplico: ( )( )( ) 12
ln2
−
xxsen .
( )xxsen
1
.(
( ) ( )xxxsen .cos.1 + )
• ¿Puedo hacer alguna simplificación? No
• ¿Puedo escribir la función de otra forma?
Sí

67
Sugerencias para el profesor
Iniciar con ejemplos en donde el alumno pueda identificar f(x) y g(x), el
profesor resolverá junto con los alumnos algunos ejercicios como los que
se muestran más adelante.
Procedimiento para derivar utilizando la regla de la cadena
1. Identificar u= g(x)
2. Obtener la derivada de f(u)
3. Obtener la derivada g(x)
4. Obtener el producto de las derivadas, es decir, f’(x) g’(x)
5.- Sustituir u por g(x)
Ejemplo
Sea la función ( ) 834
+−= xxxg . Esta es una función compuesta en la que:
( ) uug = ( ) 834
+−= xxxu
La derivada de cada uno de los términos es:
udu
dg
2
1
= 34 3
−= x
dx
du
entonces,
( )34
2
1 3
−





== x
udx
du
du
dg
dx
dg
y dado que ( ) 834
+−= xxxu

68
832
34
4
3
+−
−
=
xx
x
dx
dg
.
Ejemplo
Sea la función ( ) ( )32
24 −= xxg . La función compuesta se puede ver como ( ) 3
uug =
dónde ( ) 24 2
−= xxu . Se quiere demostrar que el resultado obtenido utilizando la regla
de la cadena es el mismo que si se resuelve el cubo. Utilizando la regla de la cadena:
( )( ) ( ) ( )4161624242483 24222
+−=−=== xxxxxxu
dx
du
du
dg
dx
dg
Ahora resolviendo el cubo antes de derivar:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )416162496384384
8489664841246424
2435
2462223232
+−=+−=
−+−=−+−=−=
xxxxxx
dx
dg
xxxxxxxxg
El resultado es el mismo.
Sean dos funciones g=g(u) y u=u(x) para las cuales las derivadas existen.
La función compuesta ( ) ( )( )xugxg = tiene una derivada dada por:
dx
du
du
dg
dx
dg
= .
Si se tiene una función n
ug = donde ( )xuu = , entonces, las derivadas de cada una de
las funciones son 1−
= n
nu
du
dg
y
dx
du
. Así,
dx
du
nu
dx
du
du
dg
dx
dg n 1−
== .
Regla de la potencia para funciones.

69
Sea ( ) ( )xfxg n
= donde g es una función derivable, entonces,
dx
df
nff
dx
d
dx
dg nn 1−
== .
Ejemplo
Derivar las siguientes funciones.
( ) ( ) ( ) ( )778
5324353853 +=+=+ xxx
dx
d
( ) ( ) ( )2123245324 24353
−+−=+− xxxxx
dx
d
( ) ( ) ( )  ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 
( )
( ) ( )
( )
=
+
−++
=
=
+
+−++
=
=
+
+
+−++
=
=
+
+
+
−++
=
=
+
++−++
=
+
+
−
2
3
242
2
3
242
5242
52
42
2
1
2
1
524252
652
560495
652
565205
65
652
565520
65
652
5
65510
65
65565255
65
5
x
xxx
x
xxxx
x
x
xxxx
x
x
x
xxx
x
xxxxx
x
x
dx
d
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( ) 
 
( )( )5 334
23
23
5 334
345
3
345
2
34
65235
2510212
5612
65235
2
65236523
5
2
6523
++−
−−−
=
=+−
++−
=
=++−++−=++−
−
xx
xxx
xx
xx
xx
dx
d
xxxx
dx
d

70
Se pueden proponer otros ejercicios a los estudiantes que involucren raíces, e impliquen
aplicar lo ya aprendido sobre reglas de derivación, es decir, derivada de producto y
cociente de funciones en donde también se use la regla de la cadena. Como los que
se muestran en la tabla.
Cálculo de derivadas
Aplicando la definición, a través del límite, y teniendo en cuenta la regla de la cadena,
se obtienen las derivadas de las siguientes funciones:
TIPO FUNCIÓN DERIVADA
Tipo potencial
a
xy = 1−
= a
axy
a
fy = fafy a
= −
.1
Ejemplos:
• 4
xy = ; 3
4xy =
• 2
x
x
y = ; 2
3
22
1
2
2
1
.
−−
=== xxx
x
x
y ;
xxxxx
xxy 2552
5
2
5
1
2
3
2
3
2
31
.
2
31
.
2
3
2
3
.
2
3
−=−=−=−=−=
−
=
−−
−
• 52
)23( −= xy ; )23(30)23.()23(5 2242
−=−−= xxxxy
• 3 2
3−= xy ; 3
1
2
)3( −= xy ; 3
2
2
1
3
1
2
)3(
3
1
)3(
3
1 −−
−=−= xxy
• 2
)52(
1
+
=
x
y ; 2
)52( −
+= xy ;
3
33
)52(
4
2.)52(2)52.()52(2
+
−
=+−=++−= −−
x
xxxy

71
Tipo raíz cuadrada
xy =
x
y
2
1
=
fy =
f
f
y
2

=
Ejemplo:
• xxy 32
−= ;
xx
x
y
32
32
2
−
−
=
Tipo exponencial
x
ey = x
ey =
f
ey = fey f
= .
x
ay = Laay x
.=
f
ay = Lafay f
.. =
Ejemplos:
• x
ey −
= ; xx
eey −−
−=−= )1.(
• 23 +
= x
ey ; 232323
33.)23.( +++
==+= xxx
eexey
• x
y 2= ; 2.22
Ly x
=
• 12
5 +
= x
y ; 5.525.)1.(5 121 22
LxLxy xx ++
=+=
Tipo logarítmico
Lxy =
x
y
1
=

72
Lfy = f
f
y

=
xy alog=
Lax
y
1
.
1
=
fy alog=
Laf
f
y
1
.

=
Ejemplos:
• )52( 3
xxLy += ;
xx
x
xx
xx
y
52
56
52
)52(
3
2
3
3
+
+
=
+
+
=
• xy 2log= ;
2
1
2
1
.
1
xLLx
y ==
• )14(log3 += xy ;
3).14(
4
3
1
.
14
4
3
1
.
14
)14(
LxLxLx
x
y
+
=
+
=
+
+
=
Tipo seno
senxy = xy cos=
senfy = ffy = .cos

73
Ejemplos:
• )14( −= xseny ; )14cos(4)14).(14cos( −=−−= xxxy
• xseny 3
= ; 3
)( xseny = ; xxsenxsenxseny cos.3).()(3 22
==
• 2
xseny = ; 222
cos2).(cos xxxxy ==
• )22( 32
xxseny += ; 23
])22([ xxseny += ;
)26).(22cos().22sen(2x])22().[22(2 23333
+++=++= xxxxxxsenxxseny
Tipo coseno
xy cos= senxy −=
fy cos= fsenfy −= .
Ejemplos:
• xy 5cos= ; xsenxxseny 55)5.(5 −==
• xy cos= ;
x
xsen
xsen
x
xxseny
22
1
).( −=−=−=
Tipo tangente tgxy =
xtg
x
y 2
2
1
cos
1
+==

74
tgfy =
f
f
y = .
cos
1
2
Ejemplos:
• xtgy 5= ;
x
x
x
y
5cos
5
)5.(
5cos
1
22
==
• xtgy 2
= ; 2
)( xtgy = ;
x
xtg
x
xtgxtgxtgy 22
cos
2
cos
1
.2).(2 ===
Tipo cotangente
ctgxy =
xsen
y 2
1−
=
ctgfy =
f
fsen
y 
−
= .
1
2
Ejemplos:
• 2
xctgy = ; 22
2
22
2
).(
1
xsen
x
x
xsen
y
−
=
−
=
• x
ectgy = ; x
x
x
x
esen
e
e
esen
y 22
).(
1 −
=
−
=
Puntos problemáticos Algunos alumnos confunden las reglas de
derivación del producto con la del cociente, de ser necesario, conviene
volver a explicar y dejar tareas extra, proporcionar asesorías o formar
equipos con alumnos que presenten menos dificultades para que apoyen al resto de
sus compañeros.

75
Actividad # 1: En el siguiente cuadro se presentan ejemplos de funciones y
funciones compuestas, en cada caso identifica la función interna.
Funciones
Funciones
compuestas
¿En cada caso, cuál es la función interna?
x
exf =)(
x
ey 2
=
x
ey cos
=
x
ey −
=
3
2x
ey =
2
)( xxg =
21
)53( +−= −
xxy
( )xtgy 2
=
2
3
3






−
=
x
x
y
x
ey 2
=
( )xsenxh =)(
( )xseny ln=
( )2
xseny =






=
x
seny
1
( )32 −= xseny

76
Aplique lo aprendido
1. Halle la primera derivada de las siguientes funciones. (Nota: observe que no
todas las funciones dependen de “x”, identifique en cada caso la variable
independiente y derive con respecto a ella).
a. ( )6
51 xy −=
b. ( )43
13)( +−= xxxf
c.
5
1
1






+
=
x
y
d. xxy −= 22 2
e. 2
3)( xxxf −=
f. ( ) 221 2
+−−= xxxy
g.
2
41 w
w
z
−
=
h. xy += 1
i.
1
1
)(
+
−
=
x
x
xf
j.
4
3
3
12
1






+
−
=
x
x
y
k. ).ln( x
exy =
l.
xx
ey ln
5.
2
=
m. 




 +
= 2
3
7
ln
x
x
y
n. )3ln(2 3
+= xxy
o.
xe
y
x
+
=
5
p. ( )3
21ln5
4
1 2
xey x
−+=
q.
( )xx
x
y
ln
2
5.
1







+
= 
r. ( )( )32
ln xtgy =
2. Utilizando la regla de derivación para funciones compuestas halle la primera
derivada de las siguientes funciones. (Sugerencia: sustituya en cada caso para
obtener y=f(x) y luego derive)
a.
1
1
+
−
=
u
u
y , xu 2=
b. 32
))(cos1( uy −= ,
x
u
2
=
Técnica que se puede implementar con este contenido
Encontrar la derivada de:
𝑓(𝑥) = (2𝑥2
− 2𝑥 + 3)60

77
Técnica: Para ilustrar cada ejercicio, se utilizará la “Máquina de la Derivada” que
ayudará a conocer el orden para resolver los diversos ejercicios en la aplicación de la
regla de la cadena
Para utilizar la “Máquina de la Derivada”, sé tiene que empezar desde abajo.
En la primera planta se coloca la función (se deberá escribir en una tarjeta):
Se utilizará la letra 𝑢 para llamar a la función, 𝑢 = 2𝑥2
− 2𝑥 + 3 entonces:
𝑦 = 𝑢60
En la siguiente planta colocamos la función que vamos a intercambiar u por así:

78
Se utiliza los mismos teoremas de las derivadas, por lo tanto:
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 60𝑢59
𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4𝑥 − 2
En la tercera planta de la máquina de la derivada, se coloca las derivadas de cada
una:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
,
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 60𝑢59
,4𝑥 − 2
En el 4 piso se unifican las derivadas en la regla de la cadena

79
Sustituyendo, 𝑢 = 2𝑥2
− 2𝑥 + 3 se tiene:
Al final sustituimos u, entonces tenemos
𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 60(2𝑥2
− 2𝑥 + 3)(4𝑥 − 2)
Al final la Máquina de la Derivada queda de la siguiente manera:

81
4.1 Derivada de Funciones trigonométricas
Introducción de la clase:
Introducir el tema y recordar al estudiante las gráficas de funciones
trigonométricas, así como sus diversas características.
Se necesitará el “Tablero de uso múltiple
El profesor completará el primer espacio con la gráfica de la función incluyendo sus
características; luego pedirá a sus alumnos que completen el resto de espacios con las
seis funciones trigonométricas. Para esto pueden ayudarse de la bibliografía
adecuada.
Desarrollo de la clase:
Se exponen a continuación los teoremas para determinar la derivada de las funciones.
Trigonométricas, se explica con un ejemplo para una mejor compresión de cada
teorema:
Teorema 1. Derivadas de Seno y Coseno: Las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 son
diferenciables y, por tanto:
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
xsenxf =)( xxf cos)´´( =
Ejercicio nº 1) Sol:

82
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
xxf cos)( = xsenxf −=)´(
Ejercicio nº 2)
Técnica: Con la ayuda del “Tablero de uso múltiple 2” se puede hacer un juego de
pares con las derivadas de cada función esto puede ser a lo largo de la clase:
Ejemplo:
Teorema 2. Derivadas de Tangente y Cotangente: Las funciones𝑓(𝑥) = tan 𝑥 y 𝑔(𝑥) =
cot 𝑥

83
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple
xtgxf =)(
x
xxtgxf 2
22
cos
1
sec1)´( ==+=
Ejercicio nº 3)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simple
xsenarcxf =)(
2
1
1
)´(
x
xf
−
=
Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: Forma simple
xtgarcxf =)( 2
1
1
)´(
x
xf
+
=
Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) = tan(2𝑥2
+ 3𝑥 − 1)
Considerando u=2𝑥2
+ 3𝑥 − 1 y que la derivada es de la forma 𝐷𝑥 tan 𝑢 =
𝑠𝑒𝑐2
𝑢𝐷𝑥 𝑢, entonces
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥2
+ 3𝑥 − 1)𝐷𝑥(2𝑥2
+ 3𝑥 − 1)

84
Calculando la derivada indicada y reordenando los términos, se tiene la derivada de
la función.
= (4𝑥 + 3)𝑠𝑒𝑐2
(2𝑥2
+ 3𝑥 − 1)
Resumen: Para obtener la derivada directamente de las funciones
trigonométricas se aplican los teoremas respectivos haciendo la consideración
del valor que toma la función u.
Obtenga la derivada de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥) = sec √1 − 3𝑥2
b) 𝑓(𝑥) = 4 tan 7𝑥 − 2 sec 5𝑥2
c) 𝑓(𝑥) =
3𝑥+1
𝑐𝑜𝑠2𝑥3
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.
Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas, se aplican los
siguientes teoremas.
Considerando que, u es una función continua de x, esto es: u = f (x).
1. uD
u
usenarcD xx 2
1
1
−
=
2. uD
u
uarcD xx 2
1
1
cos
−
−=
3. uD
u
uarcD xx 2
1
1
tan
+
=
4. uD
u
uarcD xx 2
1
1
cot
+
−=
5. uD
uu
uarcD xx
1
1
sec 2
−
=

85
6. uD
uu
uarcD xx
1
1
csc 2
−
−=
Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥3
+ 5)
Si u= 2𝑥3
+ 5 y utilizando el teorema 𝐷𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 =
1
√1−𝑢2
𝐷𝑥 𝑢 se tiene
𝐷 𝑥 𝑓(𝑥) =
1
√1 − (2𝑥3 + 5)2
𝐷𝑥(2𝑥3
+ 5)
Derivando la función indicada, se tiene la derivada de la función.
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) =
6𝑥
√1 − (2𝑥3 + 5)2
Resumen: para obtener la derivada de las funciones trigonométricas
inversas se aplican los teoremas correspondientes haciendo las
consideraciones de los valores que toma la función u.
Derive las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥2
+ 5)
b) 𝑓(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛 3𝑥2)(𝑎𝑟𝑐 csc √𝑥 − 1)
c) 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑟𝑐 tan 7𝑥
cot5𝑥

87
5.1 Derivadas de funciones exponenciales
Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los siguientes
teoremas.
Considerando que, u es una función continua de x, esto es, u = f (x).
1. uDaaaD x
uu
x ln= donde a es una constante.
2. uDeeD x
uu
x =
Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 5 𝑥2+2𝑥−5
Considerando u=𝑥2
+ 2𝑥 − 5
Aplicando el teorema 𝐷𝑥 𝑎 𝑢
= 𝑎 𝑢
ln 𝑎 𝐷𝑥 𝑢 , se tiene:
𝐷 𝑥 𝑓(𝑥) = 5 𝑥2+2𝑥−5
ln 5 𝐷𝑥 (𝑥2
+ 2𝑥 − 5)
Calculando la derivada indicada
= 5 𝑥2+2𝑥−5
ln 5(2𝑥 + 2)
Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función:
= (2𝑥 + 2)5 𝑥2+2𝑥−5
ln 5
Ejemplo 2: Calcule la derivada de la función 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
Considerando u= sen 3x
Aplicando el teorema 𝐷𝑥 𝑒 𝑢
= 𝑒 𝑢
𝐷𝑥 𝑢 , se tiene:

88
𝐷𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝐷𝑥(𝑠𝑒𝑛 3𝑥)
Calculando la derivada indicada
𝐷𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
(cos 3𝑥)3
Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función
= 3𝑒 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
cos 3𝑥
Resumen: las funciones exponenciales en las cuales una constante o el
número e son elevadas a una potencia que es una función de la variable
independiente x tienen su derivada, la cual se obtiene mediante la
aplicación de sus respectivas formulas.
Calcule la derivada de las siguientes funciones:
a) ℎ(𝑥) = 42𝑥3+𝑥−1
b) ℎ(𝑥) = 𝑒 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛√3𝑥

90
6.1 Derivadas de funciones logarítmicas
Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los teoremas
siguientes:
Considerando que u es una función continua de x, esto es u = f (x).
1. uDe
u
uD xaax log
1
log =
2. uD
u
uD xx
1
ln =
Ejemplo1: Calcule la derivada de la función 𝑓(𝑥) = log3(5𝑥2
+ 3𝑥 − 4)
Considerando u= 5𝑥2
+ 3𝑥 − 4
Aplicando el teorema 𝐷𝑥 log 𝑎 𝑢 =
1
𝑢
log 𝑎 𝑒 𝐷𝑥 𝑢 se tiene:
1
5𝑥2 + 3𝑥 − 4
log3 𝑒 𝐷𝑥 (5𝑥2
+ 3𝑥 − 4)
Calculando la derivada indicada, se tiene la derivada de la función.
=
10𝑥 + 3
5𝑥2 + 3𝑥 − 4
log3 𝑒
Ejemplo 2: Hallar la derivada de la función 𝑓(𝑥) = ln(cos 3𝑥2
)
Considerando u= cos 3𝑥2
Aplicando el teorema 𝐷𝑥 ln 𝑢 =
1
𝑢
𝐷𝑥 𝑢 y simplificando, se tiene:
1
cos3𝑥2 𝐷𝑥(cos 3𝑥2
), calculando la derivada indicada.
=
1
cos 3𝑥2
(−𝑠𝑒𝑛 3𝑥2
𝐷𝑥(3𝑥2)) = −
6𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥2
cos3𝑥2
=− 6𝑥 𝑡𝑎𝑛3𝑥2
Resumen: las funciones logarítmicas que consideran al logaritmo vulgar y al
logaritmo natural se pueden derivar aplicando los teoremas
correspondientes y considerando los valores que toma la función u.

91
Calcule la derivada de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥) = log3(2𝑥5
+ 7)
b) 𝑓(𝑥) = tan(log 5𝑥4
)
c) 𝑓(𝑥) =
ln(𝑠𝑒𝑛 5𝑥)
cot(2𝑥+3)
Derivación logarítmica
Encontrar la derivada de una expresión que es un producto, un cociente o
una potencia resulta más fácil si se usan logaritmos y sus propiedades para
derivar.
Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función
elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el cálculo
de derivadas.
El método de derivación logarítmica consiste en lo siguiente:
1. Se iguala la función con y.
2. Se aplica el logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad.
3. Se aplican las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión.
4. Se derivan con respecto a la variable independiente ambos lados de la
igualdad.
5. Se despeja Dxy, que es la derivada que se está calculando.
6. Se substituye la función y = f(x) en el segundo miembro de la igualdad.
7. Se efectúan operaciones en el segundo miembro de la igualdad y se realizan las
simplificaciones correspondientes, obteniéndose la derivada de la función dada.
Las propiedades de los logaritmos que se utilizan en este proceso son:
1.- ln AB= ln A+ln B 2.- ln
𝐴
𝐵
= ln 𝐴 − ln 𝐵

92
3.- ln 𝐴 𝑛
= 𝑛 ln 𝐴
Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función 𝑓(𝑥) = (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
Igualando la función con 𝑦
𝑦 = (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
Aplicando el logaritmo natural
ln 𝑦 = ln(4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
Aplicando la propiedad de los logaritmos: ln 𝐴 𝑛
= 𝑛 ln 𝐴
ln 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛 5𝑥) ln(4𝑥2
+ 3)
Derivando con respecto a 𝑥 los dos miembros de la igualdad
1
𝑦
𝐷𝑥 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛 5𝑥)𝐷𝑥 ln(4𝑥2
+ 3) + ln(4𝑥2
+ 3)𝐷𝑥(𝑠𝑒𝑛 5𝑥)
= (𝑠𝑒𝑛 5𝑥)
𝐷𝑥(4𝑥2
+ 3)
4𝑥2 + 3
+ ln(4𝑥2
+ 3) cos 5𝑥 (5)
= (𝑠𝑒𝑛 5𝑥)
8𝑥
4𝑥2 + 3
+ 5 ln(4𝑥2
+ 3) cos 5𝑥
=
8𝑥 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
4𝑥2 + 3
+ 5 ln(4𝑥2
+ 3) cos 5𝑥
Despejando 𝐷𝑥 𝑦
𝐷𝑥 𝑦 = 𝑦 [
4𝑥2 + 3
+ 5 ln(4𝑥2
+ 3) cos 5𝑥]
Sustituyendo 𝑦 = (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
𝐷𝑥(4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
= (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
[
4𝑥2 + 3
+ 5 ln(4𝑥2
+ 3) cos 5𝑥]

93
Efectuando la multiplicación, se tiene la derivada de la función
= (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
4𝑥2 + 3
+ (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
5 ln(4𝑥2
+ 3) cos 5𝑥
Resumen: la derivación logarítmica es un proceso que principalmente se
utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función
aplicando las propiedades de los logaritmos.
Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la derivada de las siguientes
funciones.
a) 𝑓(𝑥) = (7𝑥2
+ 3𝑥)sec8𝑥
b) 𝑓(𝑥) = (𝑎𝑟𝑐 sec 3𝑥) 𝑥2+5𝑥

95
7.1 Derivadas de Orden Superior
A la derivada de una función se llama “la primera derivada de la función”, denotado:
𝑓′
Teniendo en cuenta que la primera derivada es una función, es y se realiza la deriva
por segunda vez, es entonces cuando se le llama “La segunda derivada” o “derivada
de orden 2”, y se denota:
𝑓′′
𝑜 𝑓(2)
Y así sucesivamente, se puede continuar de esta manera para determinar la n-
enésima o derivada de orden “n” de la función, y se denota:
𝑓(𝑛)
𝑜
𝑑 𝑛
𝑦
𝑑𝑥 𝑛

96
Ejemplos
Calcule el valor de “k”, si 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 satisface la siguiente ecuación
diferencial:
𝑓′′(𝑥) − 2𝑓′(𝑥) + 𝑘𝑓(𝑥) = 0
Solución
𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑓′
′(𝑥) = 𝑒 𝑥
(−𝑠𝑒𝑛𝑥)
𝑒 𝑥
(−𝑠𝑒𝑛𝑥) − 2(𝑒 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑘(𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥) = 0
(𝑘 − 1)(𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥) − 2(𝑒 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥) = 0
(𝑘 − 1)(𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥) = 2(𝑒 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑘 − 1 =
2𝑒 𝑥
. 2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑘 − 1 =
2𝑒 𝑥
𝑒 𝑥
.
2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑘 − 1 = 4𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑘 = 4𝑐𝑜𝑡𝑥 + 1
Hallar la su derivada de orden superior:
𝑓(𝑥)=ln√𝑥2
+ 1
HALLAR: 𝒇′′(-1)
f’(x)=𝑥 =
1
√𝑥2+1
.(
1
2√𝑥2+1
). 2𝑥
f’(x)=
𝑥
(𝑥2+1)
f’’(x)= (
𝑥
(𝑥2+1)
)′
f’’(x)=
𝑥(2𝑥)−(𝑥2+1)
(𝑥2+1)2
f’’(x)=
(𝑥2+1)−2𝑥2
(𝑥2+1)2
f’’(x)=
−𝑥2+1
(𝑥2+1)2

97
f’’(x)=
−𝑥2+1
𝑥4+2𝑥2+1
REEMPLAZANDO f’’(-1):
f’’ (-1) =
−(−1)2+1
(−1)4+2(−1)2+1
f’’ (-1)=0/4 =0
Encontrar implícitamente la segunda derivada de:
2𝑥3
− 3𝑦2
= 8
Solución:
Derivados a ambos lados
con respecto a 𝑥;
2𝑥3
− 3𝑦2
= 8
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(2𝑥3
− 3𝑦2
) =
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(8)
6𝑥2
− 6𝑦𝑦′ = 0
𝑥2
− 𝑦𝑦′ = 0
𝑦′
=
𝑥2
𝑦
Donde 𝑦 ≠ 0.
Ahora la segunda
derivada;
𝑦′′
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(
𝑥2
𝑦
)
𝑦′′
=
2𝑥𝑦 − 𝑥2
𝑦′
𝑦2
𝑦′′
=
2𝑥
𝑦
𝑦′′
=
2𝑥
𝑦
−
𝑥2
𝑦2
𝑦′
La primera derivada y la
segunda.
𝑦′′
=
2𝑥
𝑦
−
𝑥2
𝑦2
(
𝑥2
𝑦
)
𝑦′′
=
2𝑥
𝑦
−
𝑥4
𝑦3
Cuando
𝒚 ≠ 𝟎.

99
8.1 Derivadas Implícitas
La mayoría de las funciones que hemos considerado han estado especificadas
mediante una fórmula para f(x). Para tales funciones la derivada se obtiene por
aplicación directa de los teoremas apropiados sobre derivadas.
Una función real de variable real es implícita cuando su regla de correspondencia es
de la forma f (x, y) = 0, esto es, cuando ninguna variable está despejada en términos
de la otra.
La derivada de una función implícita de la forma f (x, y) =0 se puede determinar con
respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y
mediante el proceso denominado derivación implícita.
En el presente texto sólo se describe el procedimiento para obtener mediante
derivación implícita, la derivada con respecto a la variable independiente x, en la cual,
se deriva la regla de correspondencia con respecto a x, teniendo en cuenta que y es
la variable dependiente y que Dxy = y’ es la derivada buscada.
En general, para obtener la derivada implícita con respecto a x de una función
( ) 0, =yxf , se aplica el siguiente procedimiento:
1. Se derivan todos los términos de la función con respecto a x.
2. Se efectúan las operaciones indicadas.
3. Utilizando las propiedades de la igualdad, se transforma la ecuación en otra
equivalente de tal manera que en el primer miembro se tengan los términos que
contengan a y’.
4. Se factoriza y ‘.
5. Se despeja y ‘, que es la derivada que se desea obtener.

100
Ejemplo 1: Derivar implícitamente con respecto a x la función
𝑥2
𝑦2
− 𝑥2
𝑦 − 𝑥 = 3𝑦2
+ 𝑥𝑦
Derivando con respecto
𝐷𝑥(𝑥2
𝑦2) − 𝐷𝑥(𝑥2
𝑦) − 𝐷𝑥(𝑥) = 𝐷𝑥(3𝑦2) + 𝐷𝑥(𝑥𝑦)
Calculando las derivadas que aparecen indicadas
𝑥2
2𝑦𝑦′
+ 2𝑥𝑦2
− (𝑥2
𝑦′
+ 2𝑥𝑦) − 1 = 6𝑦𝑦′
+ 𝑥𝑦′
+ 𝑦
Para despejar y’ primero se aplica la propiedad distributiva y después se agrupan en
el primer miembro lo términos que contienen a la derivada de y
2𝑥2
𝑦𝑦′
− 𝑥2
𝑦′
− 6𝑦𝑦′
− 𝑥𝑦′
= 𝑦 + 1 − 2𝑥𝑦2
+ 2𝑥𝑦
Factorizando la derivada de y
𝑦′(2𝑥2
𝑦 − 𝑥2
− 6𝑦 − 𝑥) = 𝑦 + 1 − 2𝑥𝑦2
+ 2𝑥𝑦
Finalmente, despejando y’ se tiene la derivada de la función con respecto a x, esto es:
𝑦′
=
𝑦 + 1 − 2𝑥𝑦2
+ 2𝑥𝑦
2𝑥2 𝑦 − 𝑥2 − 6𝑦 − 𝑥
Resumen: la derivación implícita se aplica para aquellas funciones que se
presentan de manera implícita es decir que están dadas de la forma f(x,
y)=0

101
Derive con respecto a x las siguientes funciones
a) 3𝑥4
+ 2𝑦3
= 𝑦2
+ cos 𝑥𝑦
b) ln 𝑥𝑦2
= 𝑒 𝑥𝑦
+ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥

103
9.1 Gráfica de funciones
Una función es una relación entre dos variables, x e y.
A cada valor de la x (variable independiente) le corresponde un único valor de y
(variable dependiente). La función se represente gráficamente sobre los ejes
cartesianos.
La primera gráfica corresponde a una función: a cada valor de x le corresponde un
único valor de y.
La segunda gráfica no es de una función: hay valores de x que les corresponde más
de un y.
Ejercicio 1.- ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones? ¿Por
qué?
a) b) c)
Si No Si No Si No
Porque: Porque: Porque:

104
d) e) f)
Si No Si No Si No
Porque: Porque: Porque:
Las funciones describen fenómenos mediante las relaciones entre las variables que
intervienen.
Observando la gráfica de una función podemos comprender cómo evoluciona el
fenómeno que en ella se describe
Ejercicio 2.- Asocia cada gráfica con las situaciones descritas más abajo, y
di en cada caso que representan los ejes de abscisas y los de ordenadas.

105
1) Altura de una pelota que bota al pasar el tiempo…B)
x: el tiempo que transcurre en segundos y: la altura en centímetros que alcanza.
2) Nivel de ruido desde las seis de la mañana hasta las seis de la tarde………………
x:……………………………………………. y:……………………………………
3) Temperaturas mínimas diarias en Segovia a lo largo de un año……………..
x:……………………………………………. y:……………………………………
4) Precio de las bolsas de patatas fritas…………….
x:……………………………………………. y:……………………………………
5) Nivel de agua de un pantano a lo largo de un año…………….
x:……………………………………………. y:……………………………………
6) Distancia a la Tierra de un satélite artificial, al pasar el tiempo……………..
x:……………………………………………. y:……………………………………

106
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
La siguiente gráfica muestra la estatura
media de los varones españoles según su
edad:
a) ¿Cuál es la variable dependiente?
......................... ¿y la independiente?
...............
b) ¿Cuál es la estatura media a los 10 años? .........
c) ¿Cuál es la etapa de vida de crecimiento?
.................................................................
d) ¿A partir de qué edad se disminuye de altura?...............
e) ¿A qué edad la altura es máxima? ..................................
f) ¿Cuál es la altura mínima? ........................
Esta es la gráfica de la evolución
de la temperatura de un
enfermo ingresado en la U.C.I. a
lo largo de un día.
a)¿Hubo algún descenso de temperatura durante la madrugada? ............. ¿Entre
qué horas? .......................................
b)¿A qué hora del día la temperatura fue mínima? ............ ¿Y máxima? ................
c) ¿Qué pasó entre las dos horas? ..............................
d)¿Cuándo tuvo el enfermo la temperatura mínima entre las 0 h y las 12 h?
.................
e) ¿A qué hora entre las 8 y las 16 horas alcanza el enfermo la temperatura máxima?
..............

107
Una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar la variable
independiente x en ese intervalo aumenta también la variable dependiente y
Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable
independiente x en ese intervalo disminuye también la variable dependiente y
Una función y = f(x) tiene un máximo relativo en un punto a de su dominio si el valor de
la función en ese punto, f(a), es mayor que los valores que toma la función en los puntos
próximos a a
Una función y = f(x) tiene un mínimo relativo en un punto a de su dominio si el valor de
la función en ese punto, f(a), es menor que los valores que toma la función en los puntos
próximos a a
Ejercicio. - Una compañía de transporte público recogió en una gráfica la
información que tiene sobre la venta de bonos para viajar en sus líneas.
a) ¿Durante cuánto tiempo se hizo este estudio?
b) ¿En qué momento del año 1999 se vendieron menos bonos?
¿Y en cada uno de los años 2000 y 2001?
c) ¿En qué momento del año 2001 se produce la máxima venta?
¿A qué lo atribuyes?
d) ¿En qué periodos anuales es mayor el crecimiento en la venta de bonos?
¿En qué estación del año es decreciente la venta?

108
Una función y = f(x) se dice periódica de período T cuando toma valores iguales (de
“y”), a medida que “x” toma valores en un cierto intervalo de longitud T.
Una función periódica queda perfectamente determinada conociendo cómo se
comporta en un intervalo de longitud igual a un período (T).
Ejercicio
Los cestos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esta es la
representación gráfica de la función:
tiempo-distancia al suelo de un cesto.
a) ¿Cuánto tarda en dar una vuelta
completa?
b) Observa cual es la altura máxima y cuál es
el radio de la noria
c) ¿Es esta una función periódica? ¿Cuál es el período?
d) Explica cómo calcular la altura a los 130 segundos sin necesidad de continuar la
gráfica
Ejercicio
Mercurio tarda 88 días en completar su órbita alrededor del Sol. Su distancia al Sol oscila
entre 70 y 46 millones de km., según muestra la gráfica tiempo-distancia
a) ¿Es esta función periódica?....... ¿Cuál es el
período?
b) ¿En qué momento la distancia de Mercurio al Sol
es máxima?
c) Desde que inicia la órbita, ¿durante cuánto
tiempo aumenta la distancia al Sol?
d) Completa la gráfica de la distancia de Mercurio al Sol durante 300 días.

109
Una función y = f(x) se dice continua en su dominio cuando su gráfica es de trazo
continuo en el mismo. En caso contrario se dice discontinua.
Las discontinuidades de una función pueden ser debidas a:
• Si la variable independiente “x” toma únicamente valores discretos, la gráfica de
la función consta de una serie de puntos.
• Si la variable “x” toma valores en un intervalo, pero la variable “Y” toma valores
discretos, la función tiene una gráfica: “a saltos”. Decimos entonces que es
discontinua en los “x” en que se producen los saltos.
Ejercicio
Esta es la gráfica del coste de aparcamiento, en un centro comercial, en
función del número de horas que
mantenga el automóvil en el garaje.
a) ¿Es la función: tiempo-coste continua?
b) ¿De qué discontinuidad se trata?
c) Describe mediante una tabla de
valores los costes del aparcamiento en
ese centro comercial.

111
10.1 Bosquejo de Curvas polinomiales

112
Aplicaciones de la derivada primera
El signo de la derivada primera de una función permite conocer los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de la curva asociada a ella. Además, en muchos casos
posibilita la determinación de máximos y mínimos relativos.
Crecimiento y decrecimiento (monotonía)
Caracterización mediante la derivada primera

113
Trazado de gráficas con ayuda de la derivada primera
Dada la función y = f (x) , para dibujarla es útil el siguiente proceso:
1. Determinar los puntos en los que no está definida f (x) .
2. Hallar la derivada f ´(x) .
3. Calcular las soluciones de la ecuación f ´(x) = 0 (puntos singulares).
4. Marcar sobre el eje OX los puntos singulares y aquellos en los que la función no está
definida. Esos puntos dividen al eje OX en varios intervalos.
5. Estudiando el signo de la derivada en cada intervalo anterior, determinar si la función
es creciente o decreciente. (Basta con probar un punto de cada intervalo y ver si f ´(x)
es positiva o negativa.)
6. Deducir (de lo anterior) dónde se dan los máximos y los mínimos, si es el caso.
7. Trazar la gráfica ajustándose a la información obtenida y dando algunos de sus
puntos, entre los correspondientes a los puntos singulares y a los cortes con los ejes de
coordenadas.
Ejemplos

114
Aplicaciones de la derivada segunda
Curvatura: concavidad y convexidad
La concavidad y la convexidad dependen del punto de vista del que mira. Aquí se
mirará siempre desde la parte positiva del eje OY. Por tanto, la concavidad será así: ;
y la convexidad, así: .

116
INTEGRACIÓN
INTEGRAL INDEFINIDA
La integral indefinida ó cálculo de primitivas es, en cierto modo, un proceso
“inverso” al de calcular la derivada de una función. Dada una función f(x) nos
planteamos ¿es f la derivada de alguna función? Y, si lo es, ¿cómo podemos
calcularla?
Dada una función 𝑓, una primitiva arbitraria de esta se denomina generalmente
integral indefinida de 𝑓 y se escribe en la forma ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
La primitiva de esta función también recibe el nombre de antiderivada.
Si 𝜆 es una función tal que 𝜆´𝑥 = 𝑓(𝑥) para 𝑥 en un intervalo 𝐼, entonce la integral
indefinida de 𝑓(𝑥) esta dada por:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜆𝑥 + 𝑐
𝐶 Es cualquier número real y recibe constante de integración.
Ejemplos
Calcule ∫ 4𝑥5
𝑑𝑥
∫ 4𝑥5
𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥5
𝑑𝑥 = 4
𝑥6
6
+ 𝐶 =
2𝑥6
3
+ 𝐶
Esta definición lleva implícito el hecho de que F es derivable en (a, b).
se escribe
Primitiva de una función

117
Integración de la función exponencial de base 𝑒.
Recuerde que
𝑑
𝑑𝑥
𝑒 𝑥
= 𝑒 𝑥
y que
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒 𝑔(𝑥)
] = 𝑒 𝑔(𝑥)
∙ 𝑔´(𝑥)
Luego ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 𝐶 y ∫ 𝑒 𝑔(𝑥)
∙ 𝑔´(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥)
+ 𝐶
Ejemplo
∫ 𝑒2𝑥
𝑑𝑥 en este caso
𝑑
𝑑𝑥
(2𝑥) = 2, por lo que multiplicamos y dividimos por 2 para tener
la integral completa.
∫ 𝑒2𝑥
𝑑𝑥 =
1
2
∫ 2𝑒2𝑥
𝑑𝑥 =
1
2
𝑒2𝑥
+ 𝐶
Integral de la función exponencial de base 𝑎 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1.
Como
𝑑
𝑑𝑥
(𝑎 𝑥) = 𝑎 𝑥
ln 𝑎 entonces:
∫ 𝑎 𝑥
ln 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥
+ 𝐶 y ∫ 𝑎 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑎 𝑥
ln 𝑎
+ 𝐶
Ejemplo
∫ 2 𝑥
𝑑𝑥 =
1
ln 2
∫ 2 𝑥
ln 2 =
2 𝑥
ln 2
+ 𝐶
Integral que da como resultado la función logaritmo natural
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶
Ejemplo
∫
3
𝑥
𝑑𝑥 = 3 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶

118
Integrales de las funciones trigonométricas
Se debe tener muy claro cuál es la derivada de cada una de las funciones
trigonométricas estudiadas.
Daremos a continuación la lista de las fórmulas:
Para la función coseno
∫ 𝑎 cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 sen 𝑢 + 𝐶
Si 𝑢 = 𝑓(𝑥) entonces 𝑑𝑢 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥, por lo que
∫ 𝑎𝑓´(𝑥) cos 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 sen 𝑓(𝑥) + 𝐶
Para la función seno.
∫ sen 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑎 cos 𝑢 + 𝐶
Si 𝑢 = 𝑓(𝑥) entonces 𝑑𝑢 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 por lo que
∫ 𝑎𝑓´(𝑥) sen 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑎 cos 𝑓(𝑥) + 𝐶
Para la función tangente
∫ 𝑎 tan 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 ∫
sen 𝑢
cos 𝑢
𝑑𝑢 = −𝑎 ∫
−sen 𝑢
cos 𝑢
𝑑𝑢 = −𝑎 ln|cos 𝑥| + 𝐶
Valido para {𝑢 ∈ ℝ tal que 𝑢 ≠ 𝜋/2 + 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ}
∫ 𝑎𝑓´(𝑥) tan 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑎 ln|cos 𝑓(𝑥)| + 𝐶

119
Para la función cotangente
∫ 𝑎 cot 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 ∫
cos 𝑢
sen 𝑢
𝑑𝑢 = 𝑎 ln|sen 𝑢| + 𝐶
Valido para {𝑢 ∈ ℝ tal que 𝑢 ≠ 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ}
∫ 𝑎𝑓´(𝑥) cot 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 ln|sen 𝑓(𝑥)| + 𝐶
Para la función secante
∫ 𝑎 sec2
𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 tan 𝑢 + 𝐶
Valido para {𝑢 ∈ ℝ tal que 𝑢 ≠ 𝜋/2 + 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ}
Si 𝑢 = 𝑓(𝑥) entonces 𝑑𝑢 = 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥, por lo que
∫ 𝑎𝑓´(𝑥) sec2[𝑓(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑎 tan 𝑓(𝑥) + 𝐶
Para la función cosecante
∫ 𝑎 csc2
𝑢 𝑑𝑢 = −𝑎 cot 𝑢 + 𝐶
Esta fórmula tiene sentido en {𝑢 ∈ ℝ tal que 𝑢 ≠ 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ}
Si 𝑢 = 𝑓(𝑥) entonces 𝑑𝑢 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 y por tanto
∫ 𝑎𝑓´(𝑥)csc2
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑎 cot 𝑓(𝑥) + 𝐶
Secante por tangente

120
∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶
Esta igualdad es válida para {𝑢 ∈ ℝ tal que 𝑢 ≠ 𝜋/2 + 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ}
Si 𝑢 = 𝑓(𝑥) entonces 𝑑𝑢 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 por lo que
∫ 𝑓´(𝑥) sec[𝑓(𝑥)] tan[𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = sec[𝑓(𝑥)] + 𝐶
Cosecante por cotangente
∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶
Esta igualdad vale para {𝑢 ∈ ℝ tal que 𝑢 ≠ 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ}
∫ 𝑓´(𝑥) csc[𝑓(𝑥)] cot[𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = − csc[𝑓(𝑥)] + 𝐶
Técnicas de integración
Método de sustitución
Si 𝑥 = 𝑔(𝑢) es una función derivable que posee una función inversa 𝑢 = 𝑔−1
(𝑥) también
derivable. Entonces en cualquier intervalo donde 𝑔´(𝑥) ≠ 0 se tiene que:
∫ 𝑓[𝑔(𝑢)]𝑔´(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐻(𝑢) + 𝐶 ⇒ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐻[𝑔−1
(𝑥)] + 𝐶
Ejemplo
∫ 𝑥2
√𝑥 + 4
3
𝑑𝑥
Sea 𝑢3
= 𝑥 + 4, 3𝑢2
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, 𝑥 = 𝑢3
− 4. Sustituyendo:

121
∫ 𝑥2
√𝑥 + 4
3
𝑑𝑥 = ∫(𝑢3
− 4)2 √ 𝑢33
3𝑢2
𝑑𝑢
= ∫(𝑢6
− 8𝑢3
+ 16)𝑢3𝑢2
𝑑𝑢 = ∫(𝑢6
− 8𝑢3
+ 16)3𝑢3
𝑑𝑢 = 3 ∫ 𝑢9
− 8𝑢6
+ 16𝑢3
𝑑𝑢
= 3 [
𝑢10
10
− 8
𝑢7
7
+ 16
𝑢4
4
] + 𝐶
Como 𝑢 = √ 𝑥 + 4
3
, entonces:
3
10
(√𝑥 + 4
3
)
10
−
24
7
(√𝑥 + 4
3
)
7
+ 12(√𝑥 + 4
3
)
4
+ 𝐶
Integración por partes
Esta es otra técnica que se utiliza para expresar una integral en otra expresión que se
puede determinar más fácilmente.
Esta es la fórmula de la integración por partes.
∫ 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥)𝑑𝑥
Usando los diferenciales de las funciones, si 𝑢 = 𝑓(𝑥) entonces 𝑑𝑢 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 y si 𝑣 = 𝑔(𝑥)
entonces 𝑑𝑣 = 𝑔´(𝑥).
Sustituyendo en la igualdad anterior
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Haciendo una elección apropiada de 𝑢 y 𝑑𝑣, la formula anterior expresa la integral
∫ 𝑢 𝑑𝑣 en términos de otra integral ∫ 𝑣 𝑑𝑢, que puede resultar más fácil de integrar.
Si ∫ 𝑣 𝑑𝑢 fuera más complicada que integrar dada, probablemente la selección hecha
no ha sido la más adecuada.

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