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Ejercicios Resueltos
Ingenier´ıa
Fundamentos de c´alculo
´Ultima edici´on: 15 de agosto de 2015
Ejercicios: Transformada de Laplace, Parte 1
Calcule las transformadas de Laplace (TL) de las siguientes funciones, usando la definici´on de TL.
i) f(t) =
2
3
3 + 3te−3t
+ 3−3t
,
ii) f(t) =
2
9
t2
e−2t
,
iii) f(t) = e− 2
3 t
,
iv) f(t) =
1
3
e−3t
− 2e−5t
,
v) f(t) =
1
5
−
1
5
e−2t
+
1
4
te−2t
,
vi) f(t) = 2 + 3e−3t
− 4e−4t
,
vii) f(t) = 12e−2×103
t
,
viii) f(t) = 2t − e−0.75t
.

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Soluci´on:
i) f(t) =
2
3
3 + 3te−3t
+ 3−3t
,
f(t) = 2 + 2te−3t
+
2
3
e−3t
,
Aplicamos la TL
F(s) = L 2 + 2te−3t
+
2
3
e−3t
,
= L {2} + L 2te−3t
+ L
2
3
e−3t
,
= 2L {1} + 2L te−3t
+
2
3
L e−3t
,
= 2
∞
0
1 · e−st
dt + 2
∞
0
te−3t
· e−st
dt +
2
3
∞
0
e−3t
· e−st
dt,
= 2
∞
0
e−st
dt
I1
+2
∞
0
te−(s+3)t
dt
I2
+
2
3
∞
0
e−(s+3)t
dt
I3
. (1.1)
Resolveremos estas tres integrales por separado. La primera es directa:
I1 =
∞
0
e−st
dt =
e−st
−s
∞
0
= 0 −
e0
−s
= 0 +
1
s
=
1
s
. (1.2)
Note que al evaluar un exponente negativo en infinito, el resultado tiende a cero.
La siguiente I2 corresponde a una integral por partes1
I2 =
∞
0
te−(s+3)t
dt =
te−(s+3)t
−(s + 3)
∞
0
−
∞
0
e−(s+3)t
−(s + 3)
dt,
[0 − 0] +
1
(s + 3)
·
e−(s+3)t
−(s + 3)
∞
0
,
= −
1
(s + 3)2
· e−(s+3)t
∞
0
,
= −
1
(s + 3)2
· [0 − 1],
=
1
(s + 3)2
. (1.3)
La tercera integral tambi´en es directa:
1Integral por partes:
b
a
u dv = uv|b
a −
b
a
v du
2

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I3 =
∞
0
e−(s+3)t
dt =
e−(s+3)t
−(s + 3)
∞
0
= −
1
(s + 3)
[0 − 1] =
1
s + 3
. (1.4)
Reemplazamos las ecs. (1.2–1.4) en la ec. (1.1), entonces
F(s) = 2
1
s
+ 2
1
(s + 3)2
+
2
3
1
s + 3
,
=
2
s
+
2
(s + 3)2
+
2
3(s + 3)
.
3

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ii) f(t) =
2
9
t2
e−2t
,
Aplicamos la TL
F(s) = L
2
9
t2
e−2t
,
=
2
9
L t2
e−2t
,
=
2
9
∞
0
t2
e−2t
· e−st
dt,
=
2
9
∞
0
t2
e−(s+2)t
dt
I4
, (1.5)
(1.6)
esta integral se resuelve por partes (dos veces), entonces
I4 =
∞
0
t2
e−(s+2)t
dt =
t2
e−(s+2)t
−(s + 2)
∞
0
−
∞
0
e−(s+2)t
−(s + 2)
· 2t dt,
= (0 − 0) +
2
s + 2
∞
0
te−(s+2)t
dt
I5
,
pero
I5 =
∞
0
te−(s+2)t
dt =
te−(s+2)t
−(s + 2)
∞
0
−
∞
0
e−(s+2)t
−(s + 2)
,
= (0 − 0) +
1
s + 2
∞
0
e−(s+2)t
dt,
=
1
s + 2
e−(s+2)t
−(s + 2)
∞
0
,
=
1
s + 2
0 −
1
−(s + 2)
,
=
1
(s + 2)2
,
con esto, podemos obtener I4:
I4 =
2
s + 2
·
1
(s + 2)2
=
2
(s + 2)3
.
Reemplazamos I4 en la ec. (1.5)
F(s) =
2
9
·
2
(s + 2)3
,
=
4
9(s + 2)3
.
4

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iii) f(t) = e− 2
3 t
,
Aplicamos la TL
F(s) = L e− 2
3 t
,
=
∞
0
e− 2
3 t
· e−st
dt,
=
∞
0
e−(s+ 2
3 )t
dt,
=
e−(s+ 2
3 )t
− s + 2
3
∞
0
,
= −
1
s + 2
3
· e−(s+ 2
3 )t
∞
0
,
= −
1
s + 2
3
[0 − 1] ,
=
1
s + 2
3
.
5

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iv) f(t) =
1
3
e−3t
− 2e−5t
,
Aplicamos la TL
F(s) = L
1
3
e−3t
− 2e−5t
,
=
1
3
L e−3t
− 2L e−5t
,
=
1
3
∞
0
e−3t
· e−st
dt − 2
∞
0
e−5t
· e−st
dt,
=
1
3
∞
0
e−(s+3)t
dt
I6
−2
∞
0
e−(s+5)t
dt
I7
. (1.7)
Resolvemos las integrales
I6 =
∞
0
e−(s+3)t
dt =
e−(s+3)t
−(s + 3)
∞
0
=
1
−(s + 3)
[0 − 1] = −
1
s + 3
.
I7 =
∞
0
e−(s+5)t
dt =
e−(s+5)t
−(s + 5)
∞
0
=
1
−(s + 5)
[0 − 1] = −
1
s + 5
.
Reemplazamos I6 y I7 en la ec. (1.7)
F(s) =
1
3
· −
1
s + 3
− 2 · −
1
s + 5
,
= −
1
3(s + 3)
+
2
(s + 5)
.
v) Soluci´on en parte 2 de esta gu´ıa.
vi) Soluci´on en parte 2 de esta gu´ıa.
vii) Soluci´on en parte 2 de esta gu´ıa.
viii) Soluci´on en parte 2 de esta gu´ıa.
6