1. Ing. Nadia D. Roman Teoría 1
ELASTICIDAD
Y
PLASTICIDAD
TEORÍA
Teoría de flexión de placas planas
delgadas
Profesora:
Ing. Nadia D. Roman
Departamento de
Ingeniería Civil
2021
07
2. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 1
PLACAS PLANAS
Definición
Cuerpo elástico limitado por dos caras planas y por una superficie cilíndrica,
de directriz cualquiera y generatrices normales a las caras.
Espesor pequeño respecto de las demás dimensiones de la misma, pero no
tanto como para ser tratada como membrana.
3. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 2
PLACAS PLANAS
Hipótesis simplificativas
• El material que las constituye es homogéneo, isótropo y completamente
elástico para las cargas que deba soportar.
• La placa no experimenta variaciones de espesor debido a la
deformación.
• La flecha para un punto cualquiera de la placa es muy pequeña con
respecto al espesor de la misma.
• De cumplirse las anteriores, se puede admitir que el plano medio de la
placa no experimenta deformaciones (ni alargamientos ni
acortamientos) siendo de esta manera una superficie neutra.
• Todo segmento normal al plano medio permanece normal a la superficie
elástica después de la deformación (mantenimiento de secciones planas,
hipótesis de Kirchoff).
• La componente de tensión 𝜎𝑧 es despreciable.
4. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 3
PLACAS PLANAS
Curvaturas
Recuperando el concepto de Flexión, las
curvaturas de las placas serán 𝜌𝑥 y 𝜌𝑦,
según se muestra en la figura.
𝜀𝑥 =
𝑧
𝜌𝑥
[𝟏] 𝜀𝑦 =
𝑧
𝜌𝑦
[𝟐]
5. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 4
PLACAS PLANAS
Tensiones
Si aplicamos la Ley de Hooke:
𝜀𝑥 =
𝜎𝑥 − 𝜇 · (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)
𝐸
=
𝑧
𝜌𝑥
𝜀𝑦 =
𝜎𝑦 − 𝜇 · (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)
𝐸
=
𝑧
𝜌𝑦
𝜀𝑥 =
𝜎𝑥 − 𝜇 · 𝜎𝑦
𝐸
=
𝑧
𝜌𝑥
[𝟑]
𝜀𝑦 =
𝜎𝑦 − 𝜇 · 𝜎𝑥
𝐸
=
𝑧
𝜌𝑦
[𝟒]
6. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 5
PLACAS PLANAS
Tensiones
Si despejamos 𝜎𝑦 de [4]:
𝜎𝑦 =
𝑧 · 𝐸
𝜌𝑦
+ 𝜇 · 𝜎𝑥
Lo reemplazamos en [3]:
𝜎𝑥 =
𝐸 · 𝑧
1 − 𝜇2
· (
1
𝜌𝑥
+
𝜇
𝜌𝑦
) [𝟓]
𝜎𝑦 =
𝐸 · 𝑧
1 − 𝜇2
· (
1
𝜌𝑦
+
𝜇
𝜌𝑥
) [𝟔]
7. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 6
PLACAS PLANAS
Momentos
Si analizamos un punto de la placa:
𝑑𝑚𝑥 = 𝜎𝑥 · 𝑑𝑦 · 𝑑𝑧 · 𝑧
𝑚𝑥 = ∫ 𝜎𝑥 · 𝑑𝑦 · 𝑑𝑧 · 𝑧
ℎ/2
−ℎ/2
𝑚𝑥 = ∫ 𝜎𝑥 · 𝑧 · 𝑑𝑧
ℎ/2
−ℎ/2
𝑚𝑥 =
𝐸
1 − 𝜇2
· (
1
𝜌𝑥
+
𝜇
𝜌𝑦
) ∫ 𝑧2
· 𝑑𝑧
ℎ/2
−ℎ/2
𝑚𝑥 =
𝐸 · 𝐼
1 − 𝜇2
· (
1
𝜌𝑥
+
𝜇
𝜌𝑦
)
8. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 7
PLACAS PLANAS
Momentos
Si analizamos un punto de la placa:
𝑚𝑥 =
𝐸 · ℎ3
12 · (1 − 𝜇2)
· (
1
𝜌𝑥
+
𝜇
𝜌𝑦
)
Análogamente:
𝑚𝑦 =
𝐸 · ℎ3
12 · (1 − 𝜇2)
· (
1
𝜌𝑦
+
𝜇
𝜌𝑥
)
𝑚𝑥 = 𝐷 · (
1
𝜌𝑥
+
𝜇
𝜌𝑦
) [7]
𝑚𝑦 = 𝐷 · (
1
𝜌𝑦
+
𝜇
𝜌𝑥
) [8]
9. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 8
PLACAS CIRCULARES
Ecuación de la elástica
Si coloco un plano de corte normal al plano
de la placa que contenga al centro de la
misma, obtengo la elástica de la placa.
La curvatura va a ser constante para
cualquier plano.
Determinación de la ecuación de la elástica:
Si bien la deformada es un arco de
circunferencia, puede aproximarse al
mismo con una parábola.
10. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 9
PLACAS CIRCULARES
Ecuación de la elástica
Flecha en el centro:
𝑓 =
(2 · 𝑅)2
8 · 𝜌
=
𝑅2
2 · 𝜌
Definimos una sección cualquiera 11′
̅̅̅̅ y
calculamos la distancia 𝑓′
:
𝑓′
=
(2 · 𝑟)2
8 · 𝜌
=
𝑟2
2 · 𝜌
La ecuación de la elástica será:
𝜉 = 𝑓 − 𝑓′
=
𝑅2
2 · 𝜌
−
𝑟2
2 · 𝜌
11. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 10
PLACAS CIRCULARES
Ecuación de la elástica
Analizamos las expresiones generales
encontradas en [7] y [8], considerando
ahora que 𝑚𝑥 = 𝑚𝑦 = 𝑚:
𝑚 =
𝐸 · ℎ3
12 · (1 − 𝜇2)
· (
1
𝜌
+
𝜇
𝜌
)
1
𝜌
=
𝑚 · (1 − 𝜇)
𝐸 · 𝐼
Reemplazando en la ecuación de la elástica:
𝜉 =
𝑚 · (1 − 𝜇)
2 · 𝐸 · 𝐼
· (𝑅2
− 𝑟2)
𝜉 =
𝑚
2 · 𝐷 · (1 + 𝜇)
· (𝑅2
− 𝑟2)
12. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 11
PLACAS CIRCULARES
Momentos
Análogamente a lo visto en [7] y [8], los
momentos para las losas circulares serán:
𝑚𝑟 =
𝐸 · ℎ3
12 · (1 − 𝜇2)
· (
1
𝜌𝑟
+
𝜇
𝜌𝜃
)
𝑚𝜃 =
𝐸 · ℎ3
12 · (1 − 𝜇2)
· (
1
𝜌𝜃
+
𝜇
𝜌𝑟
)
Por tratarse de pequeñas deformaciones:
tan 𝜑 = 𝜑 = −
𝑑𝜉
𝑑𝑟
También se verifica para pequeñas
deformaciones que:
𝑑𝑠 ≅ 𝑑𝑟 = 𝑑𝜑 · 𝜌𝑟 →
𝑑𝜑
𝑑𝑟
=
1
𝜌𝑟
13. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 12
PLACAS CIRCULARES
Momentos
Derivando respecto a r la expresión encontrada
para 𝜑:
𝑑𝜑
𝑑𝑟
= −
𝑑2
𝜉
𝑑𝑟2
=
1
𝜌𝑟
Por deformaciones pequeñas, también puedo
aproximar el seno del ángulo:
sen 𝜑 = 𝜑 =
𝑟
𝜌𝜃
→
1
𝜌𝜃
=
𝜑
𝑟
Reemplazando la expresión del ángulo 𝜑:
1
𝜌𝜃
= −
1
𝑟
·
𝑑𝜉
𝑑𝑟
14. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 13
PLACAS CIRCULARES
Momentos
Reemplazo lo encontrado en las expresiones de
los momentos:
𝑚𝑟 = 𝐷 · (
𝑑𝜑
𝑑𝑟
+ 𝜇 ·
𝜑
𝑟
) = −𝐷 · (
𝑑2
𝜉
𝑑𝑟2
+
𝜇
𝑟
·
𝑑𝜉
𝑑𝑟
)
𝑚𝜃 = 𝐷 · (
𝜑
𝑟
+ 𝜇 ·
𝑑𝜑
𝑑𝑟
) = −𝐷 · (
1
𝑟
·
𝑑𝜉
𝑑𝑟
+ 𝜇 ·
𝑑2
𝜉
𝑑𝑟2
)
15. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 14
PLACAS CIRCULARES CARGADAS SIMÉTRICAMENTE
Momentos en función de las cargas
Los momentos 𝑚𝜃 no varían con la variación del
ángulo 𝜃.
Considerando el espesor unitario, se plantea
sumatoria de momentos:
(𝑚𝑟 + 𝑑𝑚𝑟) · (𝑟 + 𝑑𝑟) · 𝑑𝜃 · ℎ
−𝑚𝑟 · 𝑟 · 𝑑𝜃 · ℎ + 𝑄𝑟 · 𝑑𝑟 · 𝑟 · 𝑑𝜃 · ℎ
−𝑚𝜃 · 𝑑𝜃 · 𝑑𝑟 · ℎ = 0
(𝑚𝑟 + 𝑑𝑚𝑟) · (𝑟 + 𝑑𝑟) · 𝑑𝜃 · ℎ
−𝑚𝑟 · 𝑟 · 𝑑𝜃 · ℎ + 𝑄𝑟 · 𝑑𝑟 · 𝑟 · 𝑑𝜃 · ℎ
−𝑚𝜃 · 𝑑𝜃 · 𝑑𝑟 · ℎ = 0
16. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 15
PLACAS CIRCULARES CARGADAS SIMÉTRICAMENTE
Momentos en función de las cargas
Los momentos 𝑚𝜃 no varían con la variación del
ángulo 𝜃.
Considerando el espesor unitario, se plantea
sumatoria de momentos:
(𝑚𝑟 + 𝑑𝑚𝑟) · (𝑟 + 𝑑𝑟) − 𝑚𝑟 · 𝑟 + 𝑄𝑟 · 𝑑𝑟 · 𝑟
−𝑚𝜃 · 𝑑𝑟 = 0
𝑚𝑟 · 𝑟 + 𝑚𝑟 · 𝑑𝑟 + 𝑑𝑚𝑟 · 𝑟 + 𝑑𝑚𝑟 · 𝑑𝑟 − 𝑚𝑟 · 𝑟
+𝑄𝑟 · 𝑑𝑟 · 𝑟 − 𝑚𝜃 · 𝑑𝑟 = 0
𝑚𝑟 · 𝑟 + 𝑚𝑟 · 𝑑𝑟 + 𝑑𝑚𝑟 · 𝑟 + 𝑑𝑚𝑟 · 𝑑𝑟 − 𝑚𝑟 · 𝑟
+𝑄𝑟 · 𝑑𝑟 · 𝑟 − 𝑚𝜃 · 𝑑𝑟 = 0
17. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 16
PLACAS CIRCULARES CARGADAS SIMÉTRICAMENTE
Momentos en función de las cargas
Los momentos 𝑚𝜃 no varían con la variación del
ángulo 𝜃.
Considerando el espesor unitario, se plantea
sumatoria de momentos:
𝑚𝑟 · 𝑑𝑟 + 𝑑𝑚𝑟 · 𝑟 + 𝑄𝑟 · 𝑑𝑟 · 𝑟 − 𝑚𝜃 · 𝑑𝑟 = 0
𝑚𝑟 · 𝑑𝑟 + 𝑑𝑚𝑟 · 𝑟 ·
𝑑𝑟
𝑑𝑟
+ 𝑄𝑟 · 𝑑𝑟 · 𝑟 − 𝑚𝜃 · 𝑑𝑟 = 0
𝑚𝑟 + 𝑟 ·
𝑑𝑚𝑟
𝑑𝑟
+ 𝑄𝑟 · 𝑟 − 𝑚𝜃 = 0
18. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 17
PLACAS CIRCULARES CARGADAS SIMÉTRICAMENTE
Momentos en función de las cargas
Reemplazando los momentos por las
expresiones encontradas anteriormente:
𝑚𝑟 = 𝐷 · (
𝑑𝜑
𝑑𝑟
+ 𝜇 ·
𝜑
𝑟
) ; 𝑚𝜃 = 𝐷 · (
𝜑
𝑟
+ 𝜇 ·
𝑑𝜑
𝑑𝑟
)
𝑑𝑚𝑟
𝑑𝑟
= 𝐷 · (
𝑑2
𝜑
𝑑𝑟2
− 𝜇 ·
𝜑
𝑟2
+
𝜇
𝑟
·
𝑑𝜑
𝑑𝑟
)
𝐷 · (
𝑑𝜑
𝑑𝑟
+ 𝜇 ·
𝜑
𝑟
) + 𝑟 · 𝐷
· (
𝑑2
𝜑
𝑑𝑟2
− 𝜇 ·
𝜑
𝑟2
+
𝜇
𝑟
·
𝑑𝜑
𝑑𝑟
)
+𝑄𝑟 · 𝑟 − 𝐷 · (
𝜑
𝑟
+ 𝜇 ·
𝑑𝜑
𝑑𝑟
) = 0
43. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 42
PLACA CIRCULAR SIMPLEMENTE APOYADA
Análisis de los diagramas de momento
𝑚𝑟 =
𝑞 · (3 + 𝜇)
16
· (𝑅2
− 𝑟2)
𝑚𝜃 =
𝑞
16
· [𝑅2
· (3 + 𝜇) − 𝑟2
· (1 + 3 · 𝜇)]
Para 𝑟 = 𝑅:
𝑚𝑟 =
𝑞 · (3 + 𝜇)
16
· (𝑅2
− 𝑅2) = 0
𝑚𝜃 =
𝑞
16
· [𝑅2
· (3 + 𝜇) − 𝑅2
· (1 + 3 · 𝜇)] =
𝑞 · 𝑅2
8
· (1 − 𝜇)
𝑚𝜃 = 𝑚 · (1 − 𝜇)
44. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 43
PLACA CIRCULAR SIMPLEMENTE APOYADA
Análisis de los diagramas de momento
𝑚𝑟 =
𝑞 · (3 + 𝜇)
16
· (𝑅2
− 𝑟2)
𝑚𝜃 =
𝑞
16
· [𝑅2
· (3 + 𝜇) − 𝑟2
· (1 + 3 · 𝜇)]
Para r=0:
𝑚𝑟 =
𝑞 · (3 + 𝜇)
16
· (𝑅2
− 02) =
𝑞 · (3 + 𝜇) · 𝑅2
16
= 𝑚 ·
3 + 𝜇
2
𝑚𝜃 =
𝑞
16
· [𝑅2
· (3 + 𝜇) − 02
· (1 + 3 · 𝜇)] =
𝑞 · (3 + 𝜇) · 𝑅2
16
= 𝑚 ·
3 + 𝜇
2
45. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 44
PLACA CIRCULAR SIMPLEMENTE APOYADA
Análisis de los diagramas de momento
52. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 51
PLACA CIRCULAR SIMPLEMENTE APOYADA
Análisis de los diagramas de momento
𝑚𝑟 =
𝑃
4 · 𝜋
· ln (
𝑅
𝑟
) · (1 + 𝜇)
𝑚𝜃 =
𝑃
4 · 𝜋
[ln (
𝑅
𝑟
) · (1 + 𝜇) + (1 − 𝜇)]
Para 𝑟 = 𝑅:
𝑚𝑟 =
𝑃
4 · 𝜋
· ln (
𝑅
𝑅
) · (1 + 𝜇) = 0
𝑚𝜃 =
𝑃
4 · 𝜋
· [ln (
𝑅
𝑅
) · (1 + 𝜇) + (1 − 𝜇)] =
𝑃
4 · 𝜋
· (1 − 𝜇)
53. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 52
PLACA CIRCULAR SIMPLEMENTE APOYADA
Análisis de los diagramas de momento
𝑚𝑟 =
𝑃
4 · 𝜋
· ln (
𝑅
𝑟
) · (1 + 𝜇)
𝑚𝜃 =
𝑃
4 · 𝜋
[ln (
𝑅
𝑟
) · (1 + 𝜇) + (1 − 𝜇)]
Para 𝑟 = 0:
𝑚𝑟 =
𝑃
4 · 𝜋
· ln (
𝑅
0
) · (1 + 𝜇) = ∞
𝑚𝜃 =
𝑃
4 · 𝜋
· [ln (
𝑅
0
) · (1 + 𝜇) + (1 − 𝜇)] = ∞
54. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 53
PLACA CIRCULAR SIMPLEMENTE APOYADA
Análisis de los diagramas de momento
55. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 54
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
56. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 55
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
57. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 56
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Determinación de los desplazamientos
Desplazamientos de un punto de la placa en
un plano (x,y) paralelo al plano medio
𝑢 = 𝑧 · tan 𝜑
𝑣 = 𝑧 · tan 𝜓
Desplazamiento de los puntos según z:
función de la Superficie Deformada
𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Relación entre el giro de la sección y la
función de la deformada
tan 𝜑 = −
𝜕𝑤
𝜕𝑥
tan 𝜓 = −
𝜕𝑤
𝜕𝑦
Campo de desplazamiento
𝑢 = −𝑧 ·
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑣 = −𝑧 ·
𝜕𝑤
𝜕𝑦
58. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 57
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Deformaciones en función de los corrimientos
𝜀𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜀𝑦 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜀𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝛾𝑥𝑦 =
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝛾𝑦𝑧 =
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝛾𝑥𝑧 =
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
Reemplazando los valores de u y v:
𝜀𝑥 = −𝑧 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
𝜀𝑦 = −𝑧 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
𝛾𝑥𝑦 = −2 · 𝑧 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
59. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 58
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Tensiones en función de las deformaciones: Ley de Hooke
𝜀𝑥 =
1
𝐸
· [𝜎𝑥 − 𝜇 · (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)] 𝜀𝑦 =
1
𝐸
· [𝜎𝑦 − 𝜇 · (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)] 𝛾𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
𝐺
𝜎𝑥 =
𝐸
1 − 𝜇2
· (𝜀𝑥 + 𝜇 · 𝜀𝑦) 𝜎𝑦 =
𝐸
1 − 𝜇2
· (𝜀𝑦 + 𝜇 · 𝜀𝑥) 𝜏𝑥𝑦 = 𝐺 · 𝛾𝑥𝑦
Reemplazando las deformaciones específicas por su valor:
𝜎𝑥 = −
𝐸
1 − 𝜇2
· 𝑧 · (
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜇 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
)
𝜎𝑦 = −
𝐸
1 − 𝜇2
· 𝑧 · (
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜇 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
)
𝜏𝑥𝑦 = −2 ·
𝐸
2 · (1 + 𝜇)
· 𝑧 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −
𝐸
1 − 𝜇2
· (1 − 𝜇) · 𝑧 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
60. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 59
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Esfuerzos internos resultantes de las tensiones
𝑑𝑀𝑥 = (𝜎𝑥 · 𝑑𝑧 · 1) · 𝑧
𝑑𝑀𝑦 = (𝑦 · 𝑑𝑧 · 1) · 𝑧
𝑑𝑀𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 · 𝑑𝑧 · 1 · 𝑧
61. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 60
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Esfuerzos internos resultantes de las tensiones
𝑑𝑀𝑥 = (𝜎𝑥 · 𝑑𝑧 · 1) · 𝑧
𝑀𝑥 = ∫ −
𝐸
1 − 𝜇2
· 𝑧 · (
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜇 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
) · 𝑧 · 𝑑𝑧
+ℎ/2
−ℎ/2
𝑀𝑥 = −
𝐸
1 − 𝜇2
· (
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜇 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
) · ∫ 𝑧2
· 𝑑𝑧
+ℎ/2
−ℎ/2
𝑀𝑥 = −
ℎ3
12
·
𝐸
1 − 𝜇2
· (
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜇 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
) = −𝐷 · (
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜇 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
)
62. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 61
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Esfuerzos internos resultantes de las tensiones
𝑑𝑀𝑦 = (𝑦 · 𝑑𝑧 · 1) · 𝑧
𝑀𝑦 = ∫ −
𝐸
1 − 𝜇2
· 𝑧 · (
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜇 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
) · 𝑧 · 𝑑𝑧
+ℎ/2
−ℎ/2
𝑀𝑦 = −
𝐸
1 − 𝜇2
· (
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜇 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
) · ∫ 𝑧2
· 𝑑𝑧
+ℎ/2
−ℎ/2
𝑀𝑦 = −
ℎ3
12
·
𝐸
1 − 𝜇2
· (
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜇 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
) = −𝐷 · (
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜇 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
)
63. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 62
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Esfuerzos internos resultantes de las tensiones
𝑑𝑀𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 · 𝑑𝑧 · 1 · 𝑧
𝑀𝑥𝑦 = ∫ 𝜏𝑥𝑦 · 𝑑𝑧
+ℎ/2
−ℎ/2
= ∫ −
𝐸
1 − 𝜇2
· (1 − 𝜇) · 𝑧 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
· 𝑑𝑧 · 𝑧
+ℎ/2
−ℎ/2
𝑀𝑥𝑦 = −
𝐸
1 − 𝜇2
· (1 − 𝜇) ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
· ∫ 𝑧2
· 𝑑𝑧
+ℎ/2
−ℎ/2
𝑀𝑥𝑦 = −
ℎ3
12
·
𝐸
1 − 𝜇2
· (1 − 𝜇) ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −𝐷 · (1 − 𝜇) ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
64. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 63
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Flexión con carga transversal q(x,y)
65. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 64
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Flexión con carga transversal q(x,y)
Deben existir los esfuerzos de corte para equilibrar a la fuerza transversal q.
Del análisis de las deformaciones compatibles para flexión pura se obtuvo:
𝛾𝑧𝑦 =
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= 0
𝛾𝑧𝑦 =
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 0
𝜏𝑥𝑧 = 0
𝜏𝑦𝑧 = 0
𝑄𝑥 = 0
𝑄𝑦 = 0
No obstante, para los momentos flectores y torsores mantenemos las
expresiones determinadas para flexión pura.
Conclusión: Al incorporar los esfuerzos de corte Qx y Qy, las deformaciones
encontradas en el análisis anterior dejan de ser compatibles, por tanto la
solución para flexión con carga transversal será aproximada.
66. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 65
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Flexión con carga transversal q(x,y)
Para determinar los esfuerzos de corte planteamos las ecuaciones de
equilibrio del elemento de placa de la figura.
Proyectando sobre el plano x-z se tiene:
[(𝑀𝑥 +
𝜕𝑀𝑥
𝜕𝑥
· 𝑑𝑥) − 𝑀𝑥] · 𝑑𝑦 + [(𝑀𝑥𝑦 +
𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑦
· 𝑑𝑦) − 𝑀𝑥𝑦] · 𝑑𝑥 − 𝑄𝑥 · 𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 = 0
𝑄𝑥 =
𝜕𝑀𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑦
𝑄𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
· [−𝐷 · (
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜇 ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑦2
)] +
𝜕
𝜕𝑦
· [−𝐷 · (1 − 𝜇) ·
𝜕2
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
]
𝑄𝑥 = −𝐷 · (
𝜕3
𝑤
𝜕𝑥3
+ 𝜇 ·
𝜕3
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦2
+ (1 − 𝜇) ·
𝜕3
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦2
)
67. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 66
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Flexión con carga transversal q(x,y)
𝑄𝑥 = −𝐷 · (
𝜕3
𝑤
𝜕𝑥3
+
𝜕3
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦2
)
Análogamente, proyectando sobre el plano y-z se obtiene:
𝑄𝑦 =
𝜕𝑀𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑦
= −𝐷 · (
𝜕3
𝑤
𝜕𝑦3
+
𝜕3
𝑤
𝜕𝑦𝜕𝑥2
)
Proyectando sobre el eje z:
[(𝑄𝑥 +
𝜕𝑄𝑥
𝜕𝑥
· 𝑑𝑥) − 𝑄𝑦] · 𝑑𝑦 + [(𝑄𝑦 +
𝜕𝑄𝑦
𝜕𝑦
· 𝑑𝑦) − 𝑄𝑦] · 𝑑𝑥 − 𝑞 · 𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 = 0
−𝑞 =
𝜕𝑄𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑄𝑦
𝜕𝑦
68. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 67
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Flexión con carga transversal q(x,y)
𝑄𝑥 = −𝐷 · (
𝜕3
𝑤
𝜕𝑥3
+
𝜕3
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦2
)
Análogamente, proyectando sobre el plano y-z se obtiene:
𝑄𝑦 =
𝜕𝑀𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑦
= −𝐷 · (
𝜕3
𝑤
𝜕𝑦3
+
𝜕3
𝑤
𝜕𝑦𝜕𝑥2
)
69. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 68
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Ecuación de la elástica
Proyectando sobre el eje z:
[(𝑄𝑥 +
𝜕𝑄𝑥
𝜕𝑥
· 𝑑𝑥) − 𝑄𝑦] · 𝑑𝑦 + [(𝑄𝑦 +
𝜕𝑄𝑦
𝜕𝑦
· 𝑑𝑦) − 𝑄𝑦] · 𝑑𝑥 − 𝑞 · 𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 = 0
−𝑞 =
𝜕𝑄𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑄𝑦
𝜕𝑦
Reemplazando las expresiones de Qx y Qy en función de w:
−𝑞 =
𝜕
𝜕𝑥
· [−𝐷 · (
𝜕3
𝑤
𝜕𝑥3
+
𝜕3
𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦2
)] +
𝜕
𝜕𝑦
· [−𝐷 · (
𝜕3
𝑤
𝜕𝑦3
+
𝜕3
𝑤
𝜕𝑦𝜕𝑥2
)]
𝑞 = 𝐷 · (
𝜕4
𝑤
𝜕𝑥4
+
𝜕4
𝑤
𝜕𝑦4
+ 2 ·
𝜕4
𝑤
𝜕𝑥2𝜕𝑦2
)
70. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 69
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Flexión con carga transversal q(x,y)
∇2
𝑤 =
𝑞
𝐷
Ecuación de Germain-Lagrange.
La solución 𝑤(𝑥, 𝑦) será aquella que cumpla con la ecuación diferencial y las
condiciones de contorno de la placa.
Determinada 𝑤(𝑥, 𝑦) se obtendrán los esfuerzos Mx, My, Mxy, Qx y Qy con las
expresiones halladas en función de ella.
71. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 70
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Momentos alrededor de un punto
El elemento es infinisitésimo para poder suponer que los momentos estén
uniformemente repartidos sobre las tres caras, o sea, para limitar el estudio
al entorno de un punto dado. Sin embargo, consideramos igual a la longitud
de la hipotenusa.
72. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 71
PLACA DE FORMA DIVERSA: FLEXIÓN PURA
Momentos alrededor de un punto
Se conocen Mx, My, Mxy, y se desea
determinar el momento flector Mn y el
momento torsor Mnt.
Planteando el equilibrio a la rotación del
elemento respecto de t y de n:
𝑀𝑛 = 𝑀𝑥 · cos2
𝛼 + 𝑀𝑦 · sen2
𝛼 + 𝑀𝑥𝑦 · sen(2 · 𝛼)
𝑀𝑛𝑡 =
𝑀𝑥 − 𝑀𝑦
2
· sen(2 · 𝛼) − 𝑀𝑥𝑦 · cos(2 · 𝛼)
tan(2 · 𝛼) =
2 · 𝑀𝑥𝑦
𝑀𝑥 − 𝑀𝑦
𝑀𝜉, 𝑀𝜂 =
𝑀𝑥 + 𝑀𝑦
2
± √(𝑀𝑥 − 𝑀𝑦)
2
+ 4 · 𝑀𝑥𝑦
2
73. Elasticidad y Plasticidad
Teoría de flexión de placas planas delgadas
Departamento de Ingeniería Civil
Ing. Nadia D. Roman Teoría 72
BIBLIOGRAFÍA Y APLICACIONES PRÁCTICAS
Bibliografía básica
• Belluzi, O. Ciencias de la Construcción, Aguilar, 1969.
• Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, S. Teoría de las placas planas y curvas,
URMO, 1970.
Aplicaciones Prácticas
• Guías de Trabajos Prácticos Nº 10 y 11.
