El documento trata sobre los límites de funciones de dos variables independientes. Explica el concepto de límite doble y límites iterados de una función de dos variables en un punto, y que si existe el límite doble y los límites parciales, entonces estos límites son iguales. También introduce conceptos como funciones escalares y vectoriales, dominio e imagen, y diferentes tipos de límites como los iterados y direccionales.

1. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL II
Dr. Juan E. Nápoles Valdes

2. Límites de funciones de dos variables independientes.
Límite doble y límites iterados. Relación entre los
mismos. Generalización para funciones de n variables.
Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer:
• El concepto de límite en un punto, de una función de dos variables.
• Relación entre el límite doble y los límites iterados de una función en un punto.
Unidad 2 LIMITES

3. Funciones escalares. Una función real f de n variables es una
regla que asigna a cada n-uplo ordenado de números reales
(x1,x2, …,xn), un único número real y. El dominio de f es el
subconjunto de Rn en el cual está definida la función; es decir
que el dominio de una función de dos variables se representa
como una región del espacio de n dimensiones. El dominio
natural de una función f de dos variables es el conjunto de
todos aquellos puntos del plano para los cuales f(x,y) es un
número real bien definido. La imagen de f es el subconjunto de
R formado por los valores que toma la función f. Escribimos
f:DR2  R.

4. Funciones vectoriales. Son aplicaciones entre espacios
euclídeos, de dimensión mayor o igual que 1. f:XRnY
Rm, x=(x1,x2, …,xn), y=(y1,y2, …,ym) e yj=fj(x1,x2, …,xn),
1≤j≤m.
• n=1, m=1, función real de variable real.
• n>1, m = 1: función real de variable vectorial o función
real de varias variables reales o función escalar de varias
variables.
A las funciones fj, reales de variable vectorial se les
denomina funciones coordenadas. Si n>1, m>1, es una
función vectorial de variable vectorial. X es el dominio de
definición, Y es el conjunto imagen.

5. Sea aD’, f tiene límite en a y su valor es l, lR,
escribiendo lim
𝒙→𝒂
𝑓 𝒙 = 𝑙, si
>0, >0: si x  B*(a,)D, entonces f(x)  B(l,)
El estudio del límite de una función vectorial, se reduce al
estudio de los límites de las m funciones componentes, fm.
http://exa.unne.edu.ar/investigacion/calculo2/public_html/actividad1_archivos/e_book1.htm

8. 1. El límite, si existe, es único.
2. Si una función tiene límite en un punto, entonces está
acotada en una cierta vecindad de ese punto.
3. El límite relativo a un subconjunto.

9. A veces para demostrar que no existe el límite doble, se
recurre al límite relativo a través de determinados
subconjuntos del dominio, dando lugar a los llamados
límites:
• iterados
• radiales o direccionales
• a lo largo de curvas

13. Teorema. Si existe el límite doble de una función f(x,y) en un
punto (a,b), lim
𝑥,𝑦 →(𝑎,𝑏)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿 y existe el límite “parcial”
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑦), entonces lim
𝑦→𝑏
(𝑦) = 𝐿.
≤

15. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
8𝑥2𝑦3
𝑥9 + 𝑦3