ingenieria

1. Computacion Inteligente
Sistemas de Inferencia
fuzzy

2. Sistemas de Inferencia fuzzy
Sistemas Takagi-Sugeno

3. Contenido
El modelo Takagi-Sugeno
Un caso especial: El modelo Singleton
Un caso especial: Salida lineal
Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno dinamicos

4. El modelo Takagi-Sugeno

5. Modelos fuzzy Tipo Sugeno
Combina conjuntos fuzzy en el antecedente
con una funcion crisp en la salida
Reglas de la forma:
donde
• es un vector de parametros.
• Las funciones tienen la misma estructura
( )1 1IF is AND AND is THEN ,i i i i i
n nx A x A y f x θ→ =L
La salida x es crisp
1 , , 'i i i
rθ θ θ =  L
( ),i i
f x θ

6. Consecuente en sistemas fuzzy TS
En general
( ) ( ) ( ) ( )0 1 1, ,i i i i i i i
n ny x f x g x g xθ θ θ θ θ= = + + +L
El consecuente es affine respecto los
parametros (lineal en los parametros)

7. Consecuente en sistemas fuzzy TS
Sistema fuzzy propuesto por Takagi-Sugeno (1985)
( ) 1 1 0,i i i i i
n ny x x xθ θ θ θ= + + +L
El consecuente es affine respecto los
parametros (lineal en los parametros)

8. Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (1985)
Cada regla puede ser considerada como un
modelo affine local.
Los modelos locales son combinados en el
proceso de agregacion para obtener la salida
( ) 0,i i T i
iy x xθ θ θ= + 1 , ,T i i
i nθ θ θ =  L

9. Inferencia en sistemas fuzzy TS
Para la interseccion y la implicacion se utiliza
el operador producto.
La salida es
( ) ( )
1
p
i
i k
k
x xβ µ
=
= ∏
( )
( ) ( )
( )
1
1
,
,
K
i i
i
i
K
i
i
x y x
y x
x
β θ
θ
β
=
=
=
∑
∑

10. 1
Inferencia en sistemas fuzzy TS
indica el peso relativo con que
contribuye la regla i en la salida.
( ) ( ) ( )
1
, ,
K
i i
i
i
y x x y xθ γ θ
=
= ∑
( )
( )
( )
1
i
i K
i
i
x
x
x
β
γ
β
=
=
∑
( )i xγ
Grado de cumplimiento
normalizado

11. 1
Inferencia en sistemas fuzzy TS
Definidos todos los parametros
El algoritmo fuzzy debe implementar la
siguiente funcion crisp
( )
( ) ( )
( )
0
1
1
,
K
T i
i i
i
K
i
i
x x
y x
x
β θ θ
θ
β
=
=
+
=
∑
∑

12. 1
Un caso especial:
El modelo Singleton

13. 1
El modelo singleton: caso especial
La funcion de salida es un valor constante
bi son numeros
reales
cada regla tiene su
propio bi

14. 1
El modelo singleton
Definidos todos los parametros
El algoritmo fuzzy debe implementar la
siguiente funcion crisp
Se puede interpretar como un modelo Mamdani

15. 1
Modelo singleton como Mamdani
Donde los conjuntos fuzzy del consecuente
son singleton
bi son numeros
reales
cada regla tiene su
propio bi
Con el modelo Mamdani se obtiene el mismo resultado

16. 1
Modelo singleton como Mamdani
Los conjuntos fuzzy del consecuente son
singleton
Defuzificacion
COG
bi son numeros
reales
cada regla tiene su
propio bi

17. 1
El modelo singleton es un caso especial de las
expansiones en funciones base
Expansiones en funciones base

18. 1
Interpolacion multilinear ocurre si:
• Funciones de pertenencia de entrada:
trapezoidales o triangulares
• Formando una particion fuzzy
• El conectivo AND es representado por el operador
producto
El modelo singleton: interpolacion

19. 1
Un ejemplo de interpolacion
Mapeo de entrada-salida lineal a trozos resultante

20. 2
El modelo singleton
Definidos todos los parametros, con funciones
de pertenencia Gaussianas en el antecedente
El algoritmo fuzzy debe implementar la
siguiente funcion crisp
2
1 1
2
1 1
1
exp
2
1
exp
2
i
K n j j
i ii j
j
i
K n j j
ii j
j
u c
b
y
u c
σ
σ
= =
= =
  −
 ÷−  ÷ ÷ ÷  =
  −
 ÷−  ÷ ÷ ÷  
∑ ∏
∑ ∏

21. 2
Un caso especial:
Salida lineal

22. 2
modelos Sugeno : salida lineal
Reglas de la forma
La salida es
IF is THENi i
i ix A y a x b→ = +
( ) ( ) ( )
1
K
i i i
i
y x x a x bγ
=
= +∑

23. 2
modelos Sugeno : salida lineal
La salida es
IF is THENi i
i ix A y a x b→ = +
Lineal en los parametros, cuasi-lineal en x
( ) ( ) ( )
1
K
i i i
i
y x x a x bγ
=
= +∑

24. 2
modelos Sugeno : salida lineal
Agrupando terminos
( ) ( ) ( )
1
K
T
i i i
i
y x x a x bγ
=
= +∑

25. 2
modelos Sugeno : salida lineal
La salida es
Los sistemas TS son cuasi-lineales en x

26. 2
Los sistemas TS son cuasi-lineales en x
a(x), b(x) son combinaciones lineales convexas
de los parametros de los consecuentes ai y bi

27. 2
Sistema TS como un mapeo :x θ→

28. 2
Sistema TS como un mapeo
Un modelo TS es un mapeo de un sistema
cuasilinial
• desde el espacio de entrada del antecedente
• a una region convexa (polytope) en el espacio de
los parametros
:x θ→

29. 2
Ejemplo 1: Una sola entrada

30. 3
modelos Sugeno: ejemplo 1
IF x is small THEN Y=4
IF X is medium THEN Y=-0.5X+4
IF X is large THEN Y=X-1
Si “small”, “medium” y “large” son conjuntos
crisp entonces la curva total de entrada-salida
es lineal a trozos
sug1.m

31. 3
modelos Sugeno: ejemplo 1
IF x is small THEN Y=4
IF X is medium THEN Y=-0.5X+4
IF X is large THEN Y=X-1

32. 3
modelos Sugeno: ejemplo 1
IF x is small THEN Y=4
IF X is medium THEN Y=-0.5X+4
IF X is large THEN Y=X-1
Sin embargo, si tenemos funciones de
pertenencia suaves (reglas fuzzy) la curva total
de entrada-salida es suave

33. 3
modelos Sugeno: ejemplo 1
IF x is small THEN Y=4
IF X is medium THEN Y=-0.5X+4
IF X is large THEN Y=X-1

34. 3
Ejemplo 2: Dos entradas

35. 3
modelos Sugeno: ejemplo 2
Dos entradas una salida con 4 reglas
IF X is small AND Y is small THEN z=-x+y+1
IF X is small AND Y is large THEN z=-y+3
IF X is large AND Y is small THEN z=-x+3
IF X is large AND Y is large THEN z=x+y+2
sug2.m

36. 3
modelos Sugeno: ejemplo 2
MFs de los antecedentes

37. 3
modelos Sugeno: ejemplo 2
Superficie total de entrada-salida

38. 3
Construya un modelo Sugeno para el
ejemplo 1 usando el GUI del Toolbox
Fuzzy de Matlab
Ejercicio 1

39. 3
Construya un modelo Sugeno para el
ejemplo 2 usando el GUI del Toolbox
Fuzzy de Matlab
Ejercicio 2

40. 4
Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno
dinamicos

41. 4
Sistemas fuzzy TS dinamicos
Modelado de sistemas dinamicos no lineales
Cada regla representa una aproximacion lineal
del sistema no lineal en un punto de operación
determinado
IF is THENi i i
i
i
x A x B ux A
y C x
•
 = +→ 
=

42. 4
Sistemas fuzzy TS dinamicos
Un sistema TS dinamico es un “scheduling” fuzzy
( ) ( )
1 1
K K
i i i i
i i
x x A x x B uγ γ
•
= =
   
= + ÷  ÷
   
∑ ∑
( ) ( )
1 1
K K
i i i i
i i
y x C x x D uγ γ
= =
   
= + ÷  ÷
   
∑ ∑

43. 4
Fuentes
J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-
Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ.,
Taiwan.
J.-S. Roger Jang and C-T Sung, Neuro-Fuzzy Modeling
and Control. Proceedings of the IEEE, March 1995.
Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course
Lecture Notes (October 2001)
Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control,
2001/2002.

44. 4
Fuentes
R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn,
Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies
for Industrial Applications, 1999
René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995.
Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes,
Universidad de Puerto Rico, 2000
L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control:
Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994

45. 4
Fuentes
Kwang-Hyung Lee, Textbook CS670 Fuzzy Theory,
http://if.kaist.ac.kr/lecture/cs670/textbook/, septiembre
2001
J. Galindo Gómez, Conjuntos y Sistemas Difusos
(Lógica Difusa y Aplicaciones). Departamento de
Lenguajes y Ciencias de la Computación, Universidad
de Málaga, 2002?
Vojislav Kecman, Fuzzy logic basics. Slides
accompanying the MIT Press book: Learning and Soft
Computing. 2001

46. 4
Fuentes
Djamel Bouchaffra, Soft Computing (Lecture Notes).
Oakland University. Fall 2005
K. Ahmad, B. Vrusias, M. Casey, Artificial Intelligence
(Lecture Notes). Center for Knowledge Management.
Department of Computing. University of Surrey.
September 2004