Ecuaciones diferenciales

1. UNIVERSIDAD POLITECNICA
SALESIANA
INGENIERIA AMBIENTAL
MATEMATICAS
INTEGRANTE:
JESSICA MORALES
ECUACIONES
DIFERENCIALES

2. ÍNDICE
UNIDAD 1
UNIDAD 1
Introducción a las ecuaciones diferenciales
Clasificación
Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición
Soluciones explicitas e implícitas
Familia de soluciones
Solución particular – problemas con PVI
Campo de dirección

3. UNIDAD 2
Ecuaciones de variables separables
Factor de integración
Variación de la constante
Ecuaciones diferenciales exactas
Ecuaciones homogéneas
Ecuación de Bernoulli
Ecuación de Riccati
Aplicaciones de EDO de 1° orden

4. UNIDAD 3
Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias
Funciones linealmente independientes y dependientes. Wronskiano
Teorema de existencia y unicidad
Problemas con valor inicial
Principio de superposición
Reducción de orden
Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes
Principio de superposición: Ec. No Homogéneas
Ec. No Homogéneas con coeficientes constantes
Coeficientes indeterminados: Método de Superposición

5. UNIDAD 1: INTRODUCCION A LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES

6. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
Incluye expresiones que involucran a una función matemática
incógnita y sus derivadas
La notación (´) prima se usa para denotar el numero de la
derivada usada hasta tres prima (´´´) de ahí en adelante se
utiliza notación numérica. Es la derivada de Y con respecto a X
Y´ = 2xy
+1
Y´=
dy/dx

7. CLASIFICACION
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS (EDO): presentan
una sola variable dependiente e
independiente. El termino
“ordinaria” se usa en respecto a
mas de una variable
independiente.
ECUACIONES DERIVADAS
PARCIALES (EDP): presenta dos o
mas variables dependientes.
Contiene una función
multivariable y sus derivadas, se
utilizan para problemas que
involucran funciones de varias
variables.

8. CLASIFICACION
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: es lineal cuando sus
soluciones pueden obtenerse de combinaciones lineales de otras
soluciones.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas solo interviene la
variable independiente
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la
ecuación.
Lineal No
Lineal

9. ORDEN DE LA ECUACION
Se llama orden de la ecuación
al exponente de la derivada de
mayor orden. Se dice que una
ecuación es lineal si tiene la
forma , es decir:
GRADO DE LA ECUACION
Es la potencia de la derivada
de mayor orden que aparece
en la ecuación, siempre y
cuando la ecuación este en
forma polifónica, de no ser así
se considera que no tiene
grado.

10. SOLUCION DE UNA ECUACION
DIFERENCIAL LINEAL
Es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible
de escribir la ecuación es de la siguiente forma:
O usando otra notación frecuente:

11. INTERVALO DE DEFINICION
Una función y = Ø(x) es una solución de una ecuación diferencial de
orden “n” en un intervalo I continuo, si sus “n” derivadas existen en el
intervalo I y al reemplazar en la EDO se obtiene una identidad.
Resolver:
TERVALOS

12. SOLUCIONES EXPLICITAS E
IMPLÍCITAS
Una función Ø(x) es tal que al
sustituirlo en la ED la satisface,
entonces Ø(X) es una solución
implícita para toda x que permite
a I (intervalo de la función
solución)
Sol. explicita

13. Una solución que contiene una constante arbitraria representa un
conjunto G (x,y,c) = 0 llamado familia de soluciones
UNIPARAMETRICAS.
Cuando resolvermos una EDO de orden “n” buscamos una familia de
soluciones n-PARAMETRICAS.
FORMA GENERAL EDO Orden “n” solución G( x,y,C1,C2,…,Cn) =0
Forma general EDO Orden 1 dy/dx = f(x,y) solución G(x,y,C1) =0 familia sol.
UnIparamétrica

14. FAMILIA DE SOLUCIONES
Solución Particular
Se fija cualquier punto P(Xo, Yo)
por donde debe pasar
necesariamente la solución de la
ecuación diferencial, existe un
único valor de C, y por lo tanto
de la curva integral que satisface
la ecuación, este recibirá el
nombre de solución particular de
la ecuación en em plunto P(Xo,
Yo) que recibe el nombre de la
condición inicial.
Problemas de
Valores Iniciales
Se encuentra la solución
particular y(x) que cumple ciertas
condiciones dadas.

15. RESOLVER:

16. CAMPO DE DIRECCION
Es un bosquejo con pequeños segmentos de recta trazados en un
sistema de coordenadas cartesianas xy donde se muestra el
comportamiento de la pendiente que le corresponde a la curva
solución.

17. ECUACION LINEAL DE PRIMER
ORDEN
Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser
de la forma:
Donde y son funciones continuas en un intervalo . La
solución de esta ecuación viene dada por:

18. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN
“N”
Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de
primer orden podemos definir una ecuación diferencial de orden n
como:
Donde la derivada mayor que aparece es de orden nésimo.

19. Vamos a presuponer que para todo x, de modo que
estudiaremos las ecuaciones
diferenciales lineales de la forma:
La ecuación diferencial anterior es homogénea si .
En caso contrario se dice que es completa o no homogénea

20. UNIDAD 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

21. ECUACIONES DE VARIABLES
SEPARABLES
Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más
simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la
física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a
problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer
orden.

23. FACTOR INTEGRANTE
Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente
inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud
exige un balance en la forma de la ecuación diferencial, balance
que se destruye bajo pequeñas modificaciones, por ejemplo, la
siguiente ecuación diferencial:

24. RESOLVER:

25. VARIACION DE LA CONSTANTE
Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial
de segundo orden
a2(x)y”+a1(x)y’+a0(x)y= g(x)
Se empieza por escribir la ecuación en la forma estándar
Y”+P(x)y’ + Q(x)y=f(x)
Se deriva dos veces yp(x) y se sustituye en la ecuación diferencial, obteniendo
una ecuación que liga.
Se resuelve ese sistema, encontrando las expresiones.
Se integran esas expresiones para hallar c1(x) y c2(x) y determinar yp(x)
Este método es mas general que el coeficientes indeterminados.

28. ECUACIONES DIFERENCIALES
EXACTAS
Una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial
ordinaria de primer orden que presenta la forma:

29. RESOLVE
R:

30. ECUACIONES DIFERENCIALES
HOMOGENEAS
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio
de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables
separadas, como el ejemplo anterior.

31. RESOLVER
:

32. ECUACION DIFERENCIAL DE
BERNOULLI
Ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial
ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta
ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por
Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de
primer orden, mediante la sustitución
que se caracteriza por adoptar la forma:

33. METODO DE SOLUCION
•Lo primero que debemos
hacer es revisar si la
ecuación cumple con la
forma ordinaria
Si la ecuación cumple con la forma básica,
ahora debemos sacar los valores siguientes:
Sacar el valor de
w:

34. Expresamos la solución de términos de la
diferencia
Factor integrante
NOTA. Para sacar el factor integrante se
considera el valor de p(x) en la expresión
diferencial.
W= 1/u ∫ 𝑢 𝑞 𝑥 𝑑𝑥
Donde:
u es el factor integrante.
q(x) seria igual al valor que tiene
f(x)

36. tenemos nuestra ecuación resuelta
solo nos queda sustituir w por el valor que teníamos al principio el
de w=y-³
La respuesta

37. ECUACIÓN DIFERENCIAL
ORDINARIA DE RICATTI
La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no
lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII
por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin
de analizar la hidrodinámica.

39. APLICACIONES DE EDO DE 1°
ORDEN
La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas
exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres
vivos desde los microorganismos mas elementales hasta la misma
humanidad sorprende a la imaginación.

40. UNIDAD 3: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN

41. ECUACIONES LINEALES DE
SEGUNDO ORDEN
Recordemos que las ecuaciones lineales de segundo orden tienen la
siguiente forma:
Una ecuación diferencial de segundo orden es de forma 𝑦´´ + 𝑎𝑦´ +
𝑏𝑦 = 𝑓(𝑥)
Si f(x)=0 se llama ecuación homogénea como por ejemplo 𝑦´´ + 3𝑦´ +
4𝑦 = 0
Si f(x)≠0 se llama ec. no homogénea como por ejemplo 𝑦´´ + 6𝑦´ +

42. FUNCIONES LINEALMENTE
INDEPENDIENTES Y
DEPENDIENTES. WRONSKIANO
Se dice que las funciones Y1,Y2,… … … Yn
Son linealmente independientes si la única solución de la ecuación
𝐶1𝑌1 + 𝐶2𝑌2 + ⋯ 𝐶𝑛𝑌𝑛 = 0 donde C1=C2=…Cn=0
En caso contrario las funciones son linealmente dependientes

43. WRONSKIANO
El Wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de
funciones es linealmente independiente en un intervalo dado:
Si el wronskiano es distinto de cero entonces las funciones asociadas
son linealmente independientes.
Si un conjunto de funciones es linealmente dependiente, esto implica
obligatoriamente que el wronskiano corresponde a cero.

44. TEOREMA DE EXISTENCIA Y
UNICIDAD
Sean an(x), a n-1(x), …, a1(x),a0(x) y g(x) funciones continuas en un
intervalo I entonces existe una solución y(x). Y aun(x) no es igual a 0
en todo intervalo I

45. PROBLEMAS CON VALORES
INICIALES

46. ECUACIONES DIFERENCIALES
HOMOGENEAS
ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN “n”-NO HOMOGENEAS
EDO HOMOGENEA: HOMOGENEA ASOCIADA
Resolver la ED Homogénea ayuda a resolver la ED no Homogénea
Una ED Homogénea tiene siempre la solución trivial (y=0)

47. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

48. REDUCCION DE ORDEN
En matemáticas, la reducción de orden es una técnica utilizada para
resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se
utiliza cuando la primera de dos soluciones (y1) es conocida y se
busca la segunda (y2)
Si y1 es sol. Particular de 1. entonces se puede
definir otra sol. Particular, linealmente
independiente y2, como
yc=C1y1+ C2y2
sol. general

49. ECUACIONES HOMOGÉNEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES
a1, i=1,2,…,n son
constantes
Se puede analizar 3 casos de este
discriminante

50. RAICES REALES DIFERENTES
(∆>0)
RAICES REALES IGUALES (∆=0)
Sol. General 𝑦 = 𝐶1𝑒 𝑚1𝑥 +
𝐶2𝑒 𝑚2𝑥
Sol. General 𝑦 = 𝐶1𝑒 𝑚1𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒 𝑚1𝑥
RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS (∆<0)
Sol. General 𝑦 = 𝑒 𝐴𝑥(𝐶1 ∗ cos β𝑥 + 𝐶2 ∗
𝑠𝑒𝑛 β𝑥 )

51. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN:
EC. NO HOMOGÉNEAS

52. EC. NO HOMOGENEAS
CON COEFICINETES
CONSTANTES
Encontrar Yc (resolver homogénea
asociada)
Encontrar una solución particular
Yp método de coeficientes
indeterminantes.
Yg=Yc+Yp
COEFICIENTES
INDETERMINADOS: MÉTODO
DE SUPERPOSICION
ai constantes
i=1,2,3,…,n

53. MÉTODO DE COEFICIENTES
INDETERMINADOS
OPERADOR
DIFERENCIALES
SUPERPOSICION
METODO DEL
ANULADOR

54. COEFICIENTES INDETERMINANTES:
METODO DEL ANULADOR

55. Usar el método del anulador para determinar la forma de una solución
particular de
1 𝑦′′
− 𝑦 = 𝑒−2𝑥
sin 𝑥
La función 𝑔 𝑥 = 𝑒−2𝑥 sin 𝑥 es anulada por el operador
𝐴 ≔ 𝐷 + 2 2 + 12 = 𝐷2 + 4𝐷 + 5
Si aplicamos 𝐴 a ambos lados de (1), obtenemos
𝐴 𝑦′′
− 𝑦 = 𝐴 𝑒−2𝑥
sin 𝑥
2 𝐷2 + 4𝐷 + 𝐷 𝐷2 − 1 𝑦 = 0
Ahora, la ecuación auxiliar asociada con (2) es
𝑟2
+ 4𝑟 + 5 𝑟 − 1 𝑟 + 1

56. Que tiene raíces 1, −1, −2 + 𝑖, −2 − 𝑖 . Por lo tanto, una solución general
de (2) es
3 𝑦 𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑒−𝑥
+ 𝑐3 𝑒−2𝑥
cos 𝑥 + 𝑐4 𝑒−2𝑥
sin 𝑥
Una solución general de la ecuación homogénea correspondiente 𝑦′′
−
𝑦 = 0 es 𝑦ℎ 𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥, de modo que una solución particular de
(1) tiene la forma
𝑦𝑝 𝑥 = 𝑐3 𝑒−2𝑥 cos 𝑥 + 𝑐4 𝑒−2𝑥 sin 𝑥

57. MÉTODO DE VARIACIÓN DE
PARÁMETROS

58. Ej: y" - 4y' + 4y = (x + 1)e2X
m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 = 0
m=2
m=2
Identificamos y1 = e2x y y2 = xe2x
La solución complementaria yc :
yc = c1e2x + c2xe2x
  x
xxx
xx
xx
e
exee
xee
xeeW 4
222
22
22
22
, 


  x
xxx
x
xex
exeex
xe
W 4
222
2
1 1
2)1(
0



 
  x
xx
x
ex
exe
e
W 2
22
2
2 1
12
0




59. 23
23
1
xx
u  x
x
u 
2
2
2
  xx
e
xex
u x
x


 2
4
4
'
1
1   1
1
4
4
'
2 

 x
e
ex
u x
x
dxxxduu   2'
1
dxxduu   1'
2
pc yyy 
xxx
p e
xx
xex
x
e
xx
y 2
23
2
2
2
23
26223 


















)()()()( 2211 xyxuxyxuyp 
xxx
e
xx
xececy 2
23
2
2
2
1
26 







60. BIBLIOGRAFÍA
•Ecuaciones diferenciales de orden superior Variación de los
parámetros. Tomado el 12 de Noviembre del 2009 Disponible en:
http://ucua.ujaen.es/jquesada/Descargas/MatematicasII/P06EDO.pdf
•Coeficientes indeterminados método anulador by Gerson Villa
Gonzalez-issu
• ZILL, Denis. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado,
Edición 8. Editor Cengage Learning Editores, 2006. pag 167-171.