ALGEBRA

1. ÁLGEBRA LINEAL Y
ECUACIONES DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
E.D.L. homogéneas y no
homogéneas con
coeficientes constantes.

2. OBJETIVOS
 Reconocer el sistema fundamental de soluciones de
una ecuación diferencial homogénea de orden 𝑛
 Resolver ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas y no homogéneas con coeficientes
constantes y coeficientes variables.
 Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas aplicativos del contexto real

4. Ecuación Diferencial Lineal (E.D.L) de
orden 𝑛
Recordemos que una E.D. es lineal si tiene la siguiente forma:
𝒂 𝒏 𝒙
𝒅 𝒏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙
𝒅 𝒏−𝟏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂 𝟏 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒂 𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒉(𝒙)
donde
• 𝒂𝒊 ∶ 𝑰 → ℝ ; 𝒊 = 𝟏; 𝟐; ⋯ ; 𝒏 y 𝒉; 𝑰 → ℝ son funciones continuas
definidas en un intervalo 𝑰 ⊂ ℝ
• 𝒂 𝒏 no es idénticamente nula en 𝐼
Si 𝒉 𝑥 = 0, ∀𝒙 ∈ 𝑰 la E.D anterior es llamada homogénea de
orden 𝑛, caso contrario se llama no homogénea.
Si todas las funciones 𝒂𝒊 son constantes, la E.D anterior es
llamada lineal con coeficientes constantes de orden 𝑛.
Si 𝒂 𝒏 𝑥 ≠ 0, ∀𝒙 ∈ 𝑰 la E.D anterior es llamada normal.

5. Teorema de existencia y unicidad
El problema de valor inicial
𝒂 𝒏 𝒙
𝒅 𝒏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙
𝒅 𝒏−𝟏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂 𝟏 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒂 𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒉(𝒙)
𝒚 𝒙 𝟎 = 𝒚 𝟎
𝒚′ 𝒙 𝟎 = 𝒚 𝟏
⋮
𝒚 𝒏−𝟏 𝒙 𝟎 = 𝒚 𝒏−𝟏
Donde
• 𝒂𝒊 ∶ 𝑰 → ℝ ; 𝒊 = 𝟏; 𝟐; ⋯ ; 𝒏 y 𝒉; 𝑰 → ℝ son funciones continuas
definidas en un intervalo 𝑰 ⊂ ℝ
• 𝒂 𝒏 𝒙 ≠ 𝟎; ∀ 𝒙 ∈ 𝑰 (es decir que la E.D.L. es normal en 𝐼)
• 𝒙 𝟎 ∈ 𝑰 ; 𝒚𝒊 ∈ ℝ, 𝒊 = 𝟎; 𝟏; ⋯ ; 𝒏 − 𝟏 son arbitrarios
Tiene una solución única en el intervalo 𝐼

6. EjemploEjemplo 1
Sea la E.D.L (que no es normal en ℝ)
𝒙𝒚′ + 𝒚 = 𝟎
Analice la existencia y unicidad de la solución cuya gráfica
pasa por el punto (𝟏; 𝟏)
Solución
De inmediato se observa que una solución es la función nula.
Al resolver la ecuación lineal de primer grado obtenemos como
soluciones: 𝒚 =
𝑪
𝒙
; 𝒙 ≠ 𝟎
Podemos formular las dos soluciones siguientes:
Primera solución 𝝍 𝟏: ℝ → ℝ
𝝍 𝟏 𝒙 =
𝟎 , 𝒙 ≤ 𝟎
𝟏
𝒙
, 𝒙 > 𝟎

7. EjemploEjemplo 1
Segunda solución 𝝍 𝟐: ℝ → ℝ
𝝍 𝟐 𝒙 =
𝟏
𝒙
, 𝒙 ≠ 𝟎
𝟎 , 𝒙 = 𝟎
Así observamos que no tenemos unicidad en el problema de valor
inicial dado.

8. Operador diferencial lineal de orden 𝑛
Para poder usar argumentos del Álgebra Lineal definimos el
operador diferencial lineal de orden 𝒏 en el intervalo 𝐼, como la
transformación lineal 𝑳: 𝓒 𝒏 𝑰 → 𝓒(𝑰) que tiene la forma
𝑳 = 𝒂 𝒏(𝒙)𝑫 𝒏
+ 𝒂 𝒏−𝟏(𝒙)𝑫 𝒏−𝟏
+ ⋯ + 𝒂 𝟏(𝒙)𝑫 + 𝒂 𝟎(𝒙)
Donde
• 𝒂𝒊 ∶ 𝑰 → ℝ ; 𝒊 = 𝟏; 𝟐; ⋯ ; 𝒏 son funciones continuas definidas
en un intervalo 𝑰 ⊂ ℝ
• 𝒂 𝒏 no es idénticamente nula en 𝐼
Por ejemplo un operador de este tipo es
𝑳 = 𝟐𝑫 𝟐
+ 𝒙 𝟐
+ 𝟏 𝑫 − 𝟐
que al aplicarlo a una función 𝒇: ℝ → ℝ se obtiene:
𝑳𝒇 𝒙 = 𝟐
𝒅 𝟐
𝒇
𝒅𝒙 𝟐
+ 𝒙 𝟐 + 𝟏
𝒅𝒇
𝒅𝒙
− 𝟐𝒇(𝒙)

9. EjemploEjemplo 1
Determine el orden del operador
𝑳 = 𝒙 + 𝒙 𝑫 𝟐
− 𝒙 + 𝟏𝑫 + 𝒍𝒏 (𝒙 + 𝟏)
Solución
Observemos que el orden de este operador depende del intervalo
donde estén definidas las funciones involucradas
𝑳 es de orden 2 en el intervalo 𝑰 =] − 𝟏; 𝟏[
𝑳 es de orden 1 en el intervalo 𝑰 =] − 𝟏; 𝟎[

10. EjemploEjemplo 2
Dados los operadores 𝑳 𝟏 = 𝒙𝑫 + 𝟐 y 𝑳 𝟐 = 𝟐𝒙𝑫 + 𝟏, determine
el operador producto (composición de 𝑳 𝟏 y 𝑳 𝟐)
Solución
El operador producto lo hallamos componiendo ambos operadores
𝑳 𝟏 𝑳 𝟐(𝒚) = 𝒙𝑫 + 𝟐 𝟐𝒙𝑫 + 𝟏 (𝒚)
Sea 𝒚: ℝ → ℝ una función con derivada continua cualquiera,
entonces tenemos:
= 𝒙𝑫 + 𝟐 𝟐𝒙𝒚′ + 𝒚
= 𝒙𝑫 𝟐𝒙𝒚′ + 𝒚 + 𝟐(𝟐𝒙𝒚′ + 𝒚)
= 𝒙 𝟐𝒚′ + 𝟐𝒙𝒚′′ + 𝒚′ + 𝟒𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚
= 𝟐𝒙𝒚′ + 𝟐𝒙 𝟐 𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + 𝟒𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚
= 𝟐𝒙 𝟐
𝒚′′
+ 𝟕𝒙𝒚′
+ 𝟐𝒚
= (𝟐𝒙𝑫 𝟐
+ 𝟕𝒙𝑫 + 𝟐)(𝒚)
Luego 𝒙𝑫 + 𝟐 𝟐𝒙𝑫 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝑫 𝟐 + 𝟕𝒙𝑫 + 𝟐

11. Operador diferencial lineal de orden 𝑛
De este modo una E.D.L. de orden 𝒏 se puede escribir como
𝑳𝒚 = 𝒂 𝒏(𝒙)𝑫 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏(𝒙)𝑫 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂 𝟏(𝒙)𝑫 + 𝒂 𝟎(𝒙) = 𝒉(𝒙)
donde
• 𝑳: Es un operador diferencial lineal del orden 𝒏 en un
intervalo 𝑰
• 𝒉: 𝑰 → ℝ: función continua en 𝐼

12. Conjunto de soluciones de una E.D.L.
homogénea de orden 𝒏
Caso homogéneo
Desde que una E.D.L homogénea de orden 𝑛 se puede escribir
como
𝑳𝒚 = 𝟎
entonces su conjunto de soluciones es el núcleo de 𝑳 y por lo
tanto es un subespacio vectorial de 𝓒 ℝ , es decir
𝝍: ℝ → ℝ 𝝍 𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 ∗ = 𝑲𝒆𝒓(𝑳)
()
Más aun el siguiente teorema garantiza que este subespacio
vectorial (conjunto de todas las soluciones) tiene dimensión 𝑛
cuando la E.D.L. es normal y homogénea.

13. TEOREMA: dimensión del espacio de
soluciones para el caso homogéneo
Sea la E.D.L. normal y homogénea definida en un intervalo 𝐼
𝒂 𝒏 𝒙
𝒅 𝒏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙
𝒅 𝒏−𝟏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂 𝟏 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒂 𝟎 𝒙 𝒚 = 𝟎
Entonces el conjunto de todas sus soluciones, es decir el
núcleo de L, es un subespacio vectorial de dimensión 𝑛
Esto implica que si hallamos 𝑛 soluciones
𝒚 𝟏 ; 𝒚 𝟐 ; ⋯ ; 𝒚 𝒏
que son Linealmente Independientes, entonces toda
solución de (*) se expresa como una combinación lineal de
éstas, es decir
𝒚 𝒉 = 𝜶 𝟏 𝒚 𝟏 + 𝜶 𝟐 𝒚 𝟐 + ⋯ + 𝜶 𝒏 𝒚_𝒏
donde 𝜶𝒊 ∈ ℝ son constantes reales.
()

14. TEOREMA: Conjunto de soluciones para
el caso no homogéneo
Sea la E.D.L. definida en un intervalo 𝐼
𝒂 𝒏 𝒙
𝒅 𝒏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙
𝒅 𝒏−𝟏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂 𝟏 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒂 𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒉(𝒙)
donde
• 𝒂𝒊 ∶ 𝑰 → ℝ ; 𝒊 = 𝟏; 𝟐; ⋯ ; 𝒏 y 𝒉; 𝑰 → ℝ son funciones continuas
definidas en un intervalo 𝑰 ⊂ ℝ
• 𝒂 𝒏 no es idénticamente nula en 𝐼
Si 𝝍 𝒑: 𝑰 → ℝ es una solución cualquiera de (**), entonces el
conjunto solución de (**) es:
𝝍 + 𝝍 𝒑 𝝍: 𝑰 → ℝ 𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐡𝐨𝐦𝐨𝐠é𝐧𝐞𝐚 𝐚𝐬𝐨𝐜𝐢𝐚𝐝𝐚
( )

15. TEOREMA: Conjunto de soluciones para
el caso no homogéneo
Esto implica que si la E.D.L. (**) es normal en 𝐼 (es decir
𝒂 𝒏 𝒙 ≠ 𝟎; ∀𝒙 ∈ 𝑰) entonces la solución general de (**) es
𝒚 = 𝒚 𝒉 + 𝒚 𝒑 = 𝜶 𝟏 𝒚 𝟏 + 𝜶 𝟐 𝒚 𝟐 + ⋯ + 𝜶 𝒏 𝒚 𝒏 + 𝒚 𝒑
donde
𝒚 𝒑: 𝑰 → ℝ: es una solución particular de (**)
𝒚 𝟏; 𝒚 𝟐; ⋯ ; 𝒚 𝒏: son 𝑛 soluciones Linealmente Independientes
de la homogénea asociada.

17. E.D.L. homogénea con coeficientes
constantes
Sea la E.D.L. homogénea con coeficientes constantes
𝒂 𝒏
𝒅 𝒏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏
𝒅 𝒏−𝟏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂 𝟏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒂 𝟎 𝒚 = 𝟎
donde 𝒂𝒊 ∈ ℝ; 𝒊 = 𝟎; 𝟏; ⋯ ; 𝒏 y 𝒂 𝒏 ≠ 𝟎
Sabemos que el espacio de soluciones de esta E.D.L. es de
dimensión 𝒏. Así que debemos hallar un conjunto de 𝒏
soluciones Linealmente Independiente, llamado sistema
fundamental de soluciones.
()

18. E.D.L. homogénea con coeficientes
constantes
Procedimiento de solución
1.- Se hallan las raíces de la ecuación característica de (*)
𝒂 𝒏 𝝀 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝝀 𝒏−𝟏 + ⋯ + a 𝟏 𝝀 + 𝒂 𝟎 = 𝟎
(estas raíces pueden ser reales o complejas)
2.- Para cada raíz, se hallan soluciones de acuerdo a los
siguientes casos:
CASO 1 (Raíz real de multiplicidad 1)
Si 𝝀 ∈ ℝ es una raíz de multiplicidad 1, entonces una solución
es:
𝒚 = 𝒆 𝝀𝒙

19. E.D.L. homogénea con coeficientes
constantes
CASO 2 (Raíz real de multiplicidad 𝑟 > 1)
Si 𝝀 ∈ ℝ es una raíz de multiplicidad 𝒓 > 𝟏, entonces se tienen
𝒓 soluciones de la forma:
𝒚 𝟏 = 𝒆 𝝀𝒙 ; 𝒚 𝟐 = 𝒙𝒆 𝝀𝒙 ; 𝒚 𝟑 = 𝒙 𝟐 𝒆 𝝀𝒙 ; ⋯ ; 𝒚 𝒓 = 𝒙 𝒓−𝟏 𝒆 𝝀𝒙
CASO 3 (Raíz compleja de multiplicidad 𝟏)
Si 𝝀 = 𝜶 + 𝒊 𝜷 es una raíz de multiplicidad 𝟏, entonces su
conjugada también lo es y por lo tanto tenemos dos
soluciones de la forma:
𝒚 𝟏 = 𝒆 𝜶𝒙
𝒄𝒐𝒔 (𝜷𝒙) ; 𝒚 𝟐 = 𝒆 𝜶𝒙
𝒔𝒆𝒏(𝜷𝒙)

20. E.D.L. homogénea con coeficientes
constantes
CASO 4 (Raíz compleja de multiplicidad 𝑟 > 1)
Si 𝝀 = 𝜶 + 𝒊 𝜷 es una raíz de multiplicidad 𝒓 > 𝟏, entonces su
conjugada también lo es y por lo tanto tenemos 𝟐𝒓 soluciones
de la forma:
𝒚 𝟏 = 𝒆 𝜶𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 ; 𝒚 𝟑 = 𝒙𝒆 𝜶𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝜷𝒙) ⋯ 𝒚 𝟐𝒓−𝟏 = 𝒙 𝒓−𝟏 𝒆 𝜶𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝜷𝒙)
𝒚 𝟐 = 𝒆 𝜶𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝜷𝒙 ; 𝒚 𝟒 = 𝒙𝒆 𝜶𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝜷𝒙) ⋯ 𝒚 𝟐𝒓 = 𝒙 𝒓−𝟏 𝒆 𝜶𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝜷𝒙)
3.- El sistema fundamental de soluciones (base del espacio de
soluciones de *) está formado por las 𝒏 funciones
𝝍 𝟏; 𝝍 𝟐; ⋯ ; 𝝍 𝒏
halladas en el paso anterior. Y la solución general de (*) es:
𝒚 𝒉 = 𝜶 𝟏 𝝍 𝟏 + 𝜶 𝟐 𝝍 𝟐 + ⋯ + 𝜶 𝒏 𝝍 𝒏
donde 𝜶𝒊 ∈ ℝ son constantes reales.

21. EjemploEjemplo 1
Determine la solución general de las siguientes E.D.
a.- 𝟐𝒚′′′
+ 𝟓𝒚′′
+ 𝒚′
+ 𝟑𝒚 = 𝟎
b.- 𝒚(𝒊𝒗)
− 𝒚′′′
− 𝟔𝒚′′ = 𝟎
c.- 𝒚′′′
+ 𝒚′′
+ 𝒚′ = 𝟎
d.-
𝒅 𝟑 𝒖
𝒅𝒕 𝟑 +
𝒅 𝟐 𝒖
𝒅𝒕 𝟐 − 𝟐𝒖 = 𝟎
e.- 𝒚(𝟒)
− 𝟐𝒚′′
+ 𝒚 = 𝟎
Solución

22. Ejercicio 1
Resuelva las siguientes E.D.L
a.- 𝑫 𝟐
+ 𝑫
𝟐
𝒚 = 𝟎
b.- 𝑫 𝟐
+ 𝒂 𝟐 𝟐
𝒚 = 𝑫 + 𝒂 𝒚 donde 𝒂 es una constante real
positiva.
c.- 𝟐𝑫 − 𝟏 𝟐𝑫 𝟐 − 𝟐 𝟐𝑫 + 𝟏 𝒚 = 𝟎
Solución

23. Ejercicio 2
Resuelva los siguientes P.V.I.
a.- 𝒚′′′ + 𝟏𝟐𝒚′′ + 𝟑𝟔𝒚′ = 𝟎; 𝒚 𝟎 = 𝟎, 𝒚′ 𝟎 = 𝟏, 𝒚′′ 𝟎 = −𝟕
b.- 𝒚′′
+ 𝟐𝒚′
+ 𝟐𝒚 = 𝟎; 𝒚 𝟎 = 𝟏, 𝒚′
𝝅 = 𝟏
Solución

24. Ejercicio 3
Dos raíces de la ecuación característica de una E.D.L
homogénea con coeficientes constantes son:
𝒎 𝟏 = −
𝟏
𝟐
; 𝒎 𝟐 = 𝟑 + 𝒊
Halle dicha ecuación diferencial
Solución

25. Ejercicio 4
En cada caso halle la ecuación diferencial lineal homogénea,
dadas algunas funciones que forman su sistema fundamental
de soluciones
a.- 𝒚 𝟏 = 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ; 𝒚 𝟐 = 𝒙𝒆−𝒙; 𝒚 𝟑 = 𝟏
b.- 𝒚 𝟏 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 ; 𝒚 𝟐 = 𝒆 𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 ; 𝒚 𝟑 = 𝒆 𝒙
; 𝒚 𝟒 = 𝒙𝒆−𝒙
𝒔𝒆𝒏( 𝟐𝒙)
Solución

27. E.D.L. no homogénea con coeficientes
constantes
Sea la E.D.L. no homogénea con coeficientes constantes
𝒂 𝒏
𝒅 𝒏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏
𝒅 𝒏−𝟏 𝒚
𝒅𝒙 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂 𝟏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒂 𝟎 𝒚 = 𝒉(𝒙)
donde
• 𝒂𝒊 ∈ ℝ; 𝒊 = 𝟎; 𝟏; ⋯ ; 𝒏 con 𝒂 𝒏 ≠ 𝟎
• 𝒉: 𝑰 → ℝ es una función continua en el intervalo 𝐼
Sabemos que la solución general de (*) se puede expresar
como
𝒚 = 𝒚 𝒉 + 𝒚 𝒑
donde 𝒚 𝒉 es la solución general de la E.D.L. homogénea
asociada y 𝒚 𝒑 es una solución particular de (*)
()

28. E.D.L. no homogénea con coeficientes
constantes
Procedimiento de solución
1.- Se hallan la solución general de la E.D.L. homogénea
asociada a (*)
𝒚 𝒉 = 𝒄 𝟏 𝒚 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒚 𝟐 + ⋯ + 𝒄 𝒏 𝒚 𝒏
2.- Se halla una solución particular 𝒚 𝒑 de (*) usando el método
de coeficientes indeterminados
3.- La solución general de (*) será:
𝒚 = 𝒚 𝒉 + 𝒚 𝒑

29. Método de coeficientes indeterminados
para hallar 𝑦𝑝
Éste método permite calcular una solución particular 𝒚 𝒑 de la
E.D.L. (*) para el caso particular en el que 𝒉: 𝑰 → ℝ tiene
cualquiera de las siguientes formas
• 𝒉 𝒙 = 𝑷 𝒏(𝒙): función polinomial
• 𝒉 𝒙 = 𝒆 𝒂𝒙: función exponencial
• 𝒉 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙): función seno
• 𝒉 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒙): función coseno
• 𝒉 𝒙 : suma y productos finitos de las funciones
anteriores.
El método consiste en
1.- Proponer una solución particular 𝒚 𝒑 según la forma de la
función 𝒉
2.- Reemplazar 𝒚 𝒑 en la E.D.L. y hallar los coeficientes.

30. Método de coeficientes indeterminados
para hallar 𝑦𝑝
CASO 1: ℎ(𝑥) = polinomio de grado 𝑛 ∈ ℕ ∪ 𝟎
Si 𝒓 = 𝟎 no es raíz del polinomio característico de (*) entonces
la solución particular 𝒚 𝒑 es de la forma:
𝒚 𝒑 = Polinomio de grado 𝑛
Si 𝒓 = 𝟎 es una raíz de multiplicidad 𝑘 del polinomio
característico de (*) entonces la solución particular 𝒚 𝒑 es de la
forma:
𝒚 𝒑 = 𝒙 𝒌( Polinomio de grado 𝑛)

31. EjemploEjemplo 1
Determine la solución general de las siguientes ecuaciones
a.- 𝒚′′
− 𝒚′ − 𝟔𝒚 = 𝒙 + 𝟏
b.- 𝒚′′
− 𝟕𝒚′
= (𝒙 − 𝟏) 𝟐
Solución

32. Método de coeficientes indeterminados
para hallar 𝑦𝑝
CASO 2: ℎ 𝑥 = 𝒆 𝒂𝒙
(Polinomio de grado 𝑛 ∈ ℕ ∪ 𝟎 )
Si 𝒓 = 𝒂 no es raíz del polinomio característico de (*) entonces
la solución particular 𝒚 𝒑 es de la forma:
𝒚 𝒑 = 𝒆 𝒂𝒙( Polinomio de grado 𝑛 )
Si 𝒓 = 𝒂 es una raíz de multiplicidad 𝑘 del polinomio
característico de (*) entonces la solución particular 𝒚 𝒑 es de la
forma:
𝒚 𝒑 = 𝒙 𝒌 𝒆 𝒂𝒙( Polinomio de grado 𝑛)

33. EjemploEjemplo 1
Determine la solución general de las siguientes ecuaciones
a.- 𝒚′′
− 𝒚′ − 𝟔𝒚 = 𝒆 𝟓𝒙
b.- 𝒚′′
− 𝟔𝒚′
+ 𝟖𝒚 = 𝒙𝒆 𝟐𝒙
Solución

34. Método de coeficientes indeterminados
para hallar 𝑦𝑝
CASO 3: ℎ 𝑥 = 𝒆 𝒂𝒙
𝑷 𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒃𝒙 + 𝑸 𝒎 𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙) donde
𝑃𝑛(𝑥) y 𝑄 𝑚(𝑥) son polinomios de grados 𝑛 ∈ ℕ ∪ 0 y 𝑚 ∈ ℕ ∪ 0
respectivamente
Si 𝒓 = 𝒂 + 𝒊𝒃 no es raíz del polinomio característico de (*)
entonces la solución particular 𝒚 𝒑 es de la forma:
𝒚 𝒑 = 𝒆 𝒂𝒙
𝑷 𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒃𝒙 + 𝑸 𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙)
donde 𝑷 𝒔(𝒙) y 𝑸 𝒔(𝒙) son polinomios de grado 𝒔 = 𝒎𝒂𝒙 𝒏; 𝒎
Si 𝒓 = 𝒂 + 𝒊𝒃 es raíz de multiplicidad 𝒌 del polinomio
característico de (*) entonces la solución particular 𝒚 𝒑 es de la
forma:
𝒚 𝒑 = 𝒙 𝒌 𝒆 𝒂𝒙 𝑷 𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒃𝒙 + 𝑸 𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙)
donde 𝑷 𝒔(𝒙) y 𝑸 𝒔(𝒙) son polinomios de grado 𝒔 = 𝒎𝒂𝒙 𝒏; 𝒎

35. EjemploEjemplo 1
Determine la solución general de las siguientes ecuaciones
a.- 𝒚′′
− 𝒚′
+ 𝟗𝒚 = 𝟐𝟓𝒆 𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙
b.- 𝒚′′
+ 𝒚′
− 𝟔𝒚 = −𝟓𝟎𝒔𝒆𝒏𝒙
Solución

36. Método de coeficientes indeterminados
para hallar 𝑦𝑝
CASO 4: ℎ 𝑥 = suma algebraica de los casos anteriores.
En este caso la solución particular 𝒚 𝒑 también será una suma
algebraica de las soluciones particulares correspondientes a
los casos 1,2 y 3.

37. EjemploEjemplo 1
Determine la solución general de las siguientes ecuaciones
a.- 𝒚′′
+ 𝟔𝒚′
+ 𝟖𝒚 = 𝟑𝒆 𝟓𝒙
+ 𝒙 𝟐
+ 𝟏
b.- 𝒚′′
− 𝟐𝒚′
− 𝟑𝒚 = 𝒙𝒆 𝟑𝒙
+ 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
Solución

38. Bibliografía
2. Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicaciones-
José V. Becerril Espinoza y David Elizarraraz Matrtínez
3. Calculus - James Stewart
1.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado-
Dennis G. Zill
4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime Escobar A.