El maravilloso teorema de Thales. consecuencias, aplicaciones, ejercicios

1. PROPORCIONALIDAD DE
SEGMETOS
Teorema de Thales

2. REVISIÓN DE PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA
• Razón: es el cociente entre dos números. Donde el primero de los números se llama
“antecedente” y el segundo “consecuente”
• Ejemplo: la razón ente 3,6 y 1,2 es 3,6
1,2
= 3
3,6 → 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
1,2 → 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
3 → 𝑟𝑎𝑧ó𝑛
• Proporción: es la igualdad de dos razones:
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
donde
• Ejemplo: Razón 1,25 𝑦 2,5 =
1,25
2,5
=
1
2
y Razón 3/2 𝑦 3/4 =
3
2
3
4
=
1
2
entonces 1,25 2,5
3
2
𝑦
3
4
forman proporción
1,25
2,5
=
3
2
3
4
de extremo 1,25 𝑦
3
4
y medios 2,5 y
3
2
• Propiedad fundamental: en toda proporción el producto de los extremo es igual al
producto de los medios: “Si
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
entonce 𝑎 . 𝑑 = 𝑏 . 𝑐 “
• Ejemplo:
12
8
=
15
20
entonces 12 . 20 = 8 . 15
𝒂 y 𝒅 se denominan “extremos”
𝒃 y 𝒄 se denominan “medios”

3. TEOREMA DE THALES
• “Si tres o más paralela son intersectadas por dos transversales, la
razón entre dos segmentos cualesquiera de la primera transversal es
igual a la razón entre los segmentos correspondientes de la segunda
transversal.”
Hipótesis q||r||s
t y t’ transversales
correspondencia
𝐴𝐵 → 𝐹𝐺
𝐵𝐶 → 𝐺𝐻
𝐴𝐶 → 𝐹𝐻
Tesis
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝐹𝐺
𝐺𝐻
𝑜
𝐴𝐶
𝐴𝐵
=
𝐻𝐺
𝐹𝐺
TEOREMA DE THALES

4. Observar el gráfico y Completa las proporciones
Aplicación del “TEOREMA DE THALES”
...
...

bc
ae
uv
st

...
...
...
...

ce
bd
...
...

cd
ab
tv
bd ...
...

tv
ad ...
.....

...
... rt
ce

𝑟𝑣
𝑠𝑡
𝑏𝑐
𝑑𝑒
𝑟𝑠
𝑡𝑢
𝑡𝑣
𝑎𝑐𝑟𝑢
𝑐𝑑
𝑠𝑢
𝑐𝑒
𝑠𝑢
𝑡𝑣

5. Ejercicios: calcular el valor de x
M||N||P
cmqr
xpq
cmbc
cmab
6
4
3




cm
x
cm
cm
64
3

qr
pq
bc
ab

Ejercicios
xcmcmcm .46.3 
xcm5,1 
x
cm
cmcm
4
6.3

3𝑐𝑚 4𝑐𝑚
𝑥
6𝑐𝑚
Propiedad
fundamental
Despejar
Calcular
Reemplazar
por los datos

6. 2𝑥 + 1𝑐𝑚
Ejercicio de aplicación del teorema de Thales
Teniendo en cuenta los datos, plantear la proporción adecuada y calcula el valor de
x y la medida de los segmentos intervinientes.
DATOS: A||B||C
cmxef
cmde
cmxbc
cmab
45
5,4
12
5,1




=
=
1,5𝑐𝑚
4,5𝑐𝑚
5𝑥 + 4𝑐𝑚 5𝑥 + 4𝑐𝑚
𝑒𝑓
4,5𝑐𝑚
𝑎𝑏 𝑑𝑒
2𝑥 + 1𝑐𝑚
1,5𝑐𝑚
𝑏𝑐 = 2.1𝑐𝑚 + 1𝑐𝑚
1,5 5𝑥 + 4 = 2𝑥 + 1 . 4,5
7,5𝑥 + 6 = 9𝑥 + 4,5
6 − 4,5 = 9𝑥 − 7,5𝑥
1,5 = 1,5𝑥
1,5: 1,5 = 𝑥
1 = 𝑥
𝑏𝑐
𝑒𝑓 = 5.1cm + 4cm
𝑏𝑐 = 3𝑐𝑚
𝑒𝑓 = 9cm

7. Corolario del teorema de Thales
Si a un triángulo le trazamos una paralela a uno de los lados, esta corta a los otros dos lados
o a sus prolongaciones, determinando segmentos proporcionales.
Hipótesis: abc triángulo 𝐴𝐶||𝑃𝑄
Tesis:
𝐴𝑃
𝑃𝐵
=
𝐶𝑄
𝑄𝐵
𝐴𝐵
𝐴𝑃
=
𝐶𝐵
𝐶𝑄
se dice que esta propiedad es consecuencia del teorema de
Thales ya que con solo supone que la tercer paralela se
ubica en el vértice opuesto
Ejemplo: En la figura AE // CB. Determinar
la medida de DB si AD = 20 cm, AC = 6 cm.
y ED = 18 cm. Elige la respuesta correcta
a) 9 cm b) 11 cm c) 12,6 cm
d) 54 cm e) Ninguna de las anteriores
C
DA
B
E 𝐴𝐷
𝐴𝐶
=
𝐸𝐷
𝐸𝐵
𝐸𝐵 =
6𝑐𝑚 . 18𝑐𝑚
20𝑐𝑚
→ 𝐸𝐵 = 5,4cm
20𝑐𝑚
6𝑐𝑚
=
18𝑐𝑚
𝐸𝐵
𝟐𝟎𝒄𝒎
𝟔𝒄𝒎
𝑫𝑩 = 18𝑐𝑚 − 5,4cm → 𝑫𝑩 = 12,6𝑐𝑚
𝟏𝟖𝒄𝒎
𝑬𝑩

8. Problemas
40m +30m + 20m = 90m
120m
40𝑚
90𝑚
=
𝒙
120𝑚
30𝑚
90𝑚
=
𝒙
120𝑚
20𝑚
90𝑚
=
𝒙
120𝑚
𝑥 =
40𝑚. 120𝑚
90𝑚 𝑥 =
30𝑚. 120𝑚
90𝑚
𝑥 =
20𝑚. 120𝑚
90𝑚
𝑥 = 57,33𝑚 𝑥 = 40m 𝑥 = 26,66m