1. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA
BASICA
Temas:
RELACIONES Y FUNCIONES
- RELACIONES
- PAR ORDENADO
- DIAGONAL DE UN CONJUNTO
- PRODUCTO CARTESIANO
- FUNCIONES
- FUNCIONES: INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS,
BIYECTIVAS, INVERSAS
- COMPOSICION DE FUNCIONES
- OPERACIONES BINARIAS
- PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
BINARIAS
-
Ing. Widmar Aguilar G., Msc
Octubre 2021
2. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
Conceptos básicos para la aplicación de los ejercicios son:
45. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
27)
' = {9, :, H, S}
} = {(9, 9), (9, :), (:, :), (:, H), (H, H), (9, H), (S, S)}
z = {(9, 9), (9, :), (:, 9), (:, H), (H, :), (H, H), (S, S)}
y = {(9, 9), (9, :), (:, :), (H, H), (H, S), (S, S)}
3 = {(9, 9), (9, :), (:, 9), (:, :), (H, H), (H, S), (S, H), (S, S)}
• = QR‡ˆR ‰N9M ; W = M‰•éLQ‰H9M; T = LQ90M‰L‰N9M
Se tiene en:
} − − − − − • = 1
T ------------- m=1
U -------------- m= 1
Por tanto: m= 3
Se tiene en:
S ------------------ p=1
U ----------------- p=1
Por tanto: p =2
Se tiene en:
R -------------------q=1
T ------------------- q= 1
U ------------------- q=1
q = 3
28)
46. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
y = {( , ) ∈ Œ Œ / ( ) RM W9Q}
a) T es reflexiva?
y = {− −
−−. (0,0), (1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (1,6), (6,1), (2,2), (2,3), (3,2),
(3,4),(4,3),-----------}
Para que sea reflexiva se debe cumplir:
Z= { ------,-1,0,1,2,3,4,5,6, -------|
(1,1) ∉ y
(3,3) ∉ y
y − − − −RM QR‡ˆR ‰N9 − − − − − − − −(X)
b)
Para que sea simétrica debe cumplir:
De:
y = {(1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (1,6), (6,1), (2,2), (2,3), (3,2),
(3,4),(4,3),-----------}
Se puede observar que se cumple:
( , ) ∈ y → ( , ) ∈ y
y − − − −RM M‰•éLQ‰H9 − − − − − −(p)
d) Para ser transitiva se cumple:
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(2,1) ∈ y ∧ (1,4) ∈ y → (2,4) ∉ y
(2,1) ∈ y ∧ (1,6) ∈ y → (2,6) ∉ y
y − − − −RM LQ90M‰L‰N9 − − − − − (X)
29)
' = {W, T, Q}
• = { } ⊂ ' ' / R es simétrica en A}
p = { } ⊂ ' ' / R es reflexiva en A}
a) {(p,q), (q,p)} ⊂ •
AxA ={(p,p),(p,q),(p,r),(q,p),(q,q),)q,r),(r,p),(r,q),(r,r)}
• = { } ⊂ ' ' / R es simétrica en A} , se tiene que:
( , ) ∈ • → ( , ) ∈ •
Sea R={(p,p), (p,q),(q,p)} --------simétrica
} ⊂ ' ' = •
T= {(p,q), (q,p)} → ( , ) ∈ y → ( , ) ∈ y
T -----------simétrica
y ⊂ } ⊂ ' '
y ⊂ •
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Por tanto: {(p,q), (q,p)} ⊂ • − − − − − (p)
B) {(p,r), (r,p)} ∈ •
Como • = } ⊂ ' '
Sea:
• = } ⊂ ' ' = {(p, r), (q, p), (q, q), )q, r), (r, p)}
{(p,r), (r,p)} ∈ •
{(p,r), (r,p)} ∈ • − − − − − −(p)
30)
' ≠ ∅
a) Si R es reflexiva, entonces D(R)= Ran (R )
Como R ----reflexiva:
∀ ∈ ' → ( , ) ∈ }
6(}) = ' }90(}) = '
→ 6(}) = }90(}) − − − − − (p)
b) Si R es simétrica y transitiva, entonces R es reflexiva
Si R ------simétrica------- (x,y) ∈ } → ( , ) ∈ }, ∀( , ) ∈ }
Si R es transitiva:
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Sea A= {a,b,c}
AxA= {(a,a),)a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b).(c,c)}
Una relación R que sea transitiva y simétrica es:
} = {(9, 9), (9, H), (H, 9)}
(:, :) ∉ → } 0I RM QR‡ˆR ‰N9
Si R es simétrica y transitiva, entonces R es reflexiva --------(F)
c) R={(a,a),(a,c),(b,b),(c,c),(c,a),(d,d)} para A= {a,b,c,d} es de
equivalencia.
Para que sea de equivalencia debe cumplir: reflexiva,
simétrica y transitiva.
Se tiene que para: ∀ ∈ ' → ( , ) ∈ '
} − − − − − −QR‡ˆR ‰N9
Si: (9, H) ∈ } → (H, 9) ∈ } , } RM M‰•éLQ‰H9
Para que sea transitiva, debe cumplir:
R={(a,a),(a,c),(b,b),(c,c),(c,a),(d,d)}
(9, H) ∈ } ∧ (H, 9) ∈ } → (9, 9) ∈ } − − − p
} − − − − − LQ90M‰L‰N9
Por tanto:
R={(a,a),(a,c),(b,b),(c,c),(c,a),(d,d)} para A= {a,b,c,d} es de
equivalencia. -----------------------------(V)
31)
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' → + RˆR•R0LIM
a) Si R es reflexiva en A
∀ ∈ ' → ( , ) ∈ }
6(}) = ' }90(}) = '
R es reflexiva en A → 6(}) = }90(}) − − − − − (p)
b) R reflexiva en A → 0(}) ≥ +
0(') = +
R reflexiva en A → 0(}) = 0(') = +
R reflexiva en A → 0(}) ≥ + -----------------(V)
c) R es simétrica en A → } = }∗
De cumplirse:
Como ∀ ( , ) ∈ }, ( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
R ={(x,y) ∈ ' - / ( , ) ∈ }}
}∗
= {(y, x) ∈ - ' / ( , ) ∈ }}
R es simétrica en A → } = }∗
----------------(V)
32)
51. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
Sea ;
A= {1,2,3,4,5,6,-------,n}
(1,1) ∉ z ; (3,3) ∉ z ; (5,5) ∉ z ; … ….
a) Se puede apreciar que S no es reflexiva en N
S es reflexiva en N---------(F)
b) S es simétrica en N
(x,y) ∈ } → RM W9Q
(y,x) ∈ } → RM W9Q
S es simétrica en N ----------------(V)
c) S es transitiva en N
Si se analizar dos pares:
(3,5) ∈ z ∧ (5,1) ∈ z → (3,1) ∉ z (impar)
S es transitiva en N -------------------------(F)
33)
} QRˆ9H‰ó0 R0 '; } ⊂ ' '
A) R es reflexiva → } RM LQ90M‰L‰N9
R es reflexiva
52. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
→ ∀ ∈ ' → ( , ) ∈ }
(9, 9)‘ } ∧ (:, :) ∈ } → ∄ (9, H) ∈ }
R es reflexiva → } RM LQ90M‰L‰N9 − − − − − (X)
b) R es reflexiva → } RM M‰•éLQ‰H9
--simétrica
R es reflexiva
→ ∀ ∈ ' → ( , ) ∈ }
Como ∀( , ) ∈ } → ( , ) ∈ }
R es reflexiva → } RM M‰•éLQ‰H9 ----------------------(V)
c) R reflexiva y simétrica → LQ90M‰L‰N9
Considerando a:
R= {(a,a),(b,b),(c,c) (a,c),(c,a)}
(9, H) ∈ } ∧ (H, 9) ∈ } → (9, 9) ∈ } − − − p
(9, 9) ∈ } ∧ (9, H) ∈ } → (9, H) ∈ } − − − p
R reflexiva y simétrica → LQ90M‰L‰N9 --------------------(V)
34)
' = {1,2,3,4}
} = {(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3, “), ( , ), ( , “), (2,3), (“, ), (3,1)}
R es de equivalencia en A:
75. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
} = {(3,7), (7,3)}
d) R ={(x,y) ∈ 3 3/ x divide a 20}
Ÿ
= + − − − −R0LRQI
} = {(1,1), (1,3), (1,5), (1,7), ),(5,1),(5,3),(5,5),(5,7)}
50)
La intersección de: }90(}) ∩ 6(z) =?
}: ' → - ; z: - → 1
} ⊂ ' - ; z ⊂ - 1
a) (1,2) ∈ } ∧ (2,3) ∈ z → (1,3) ∈ (zI})
(1,4) ∈ } ∧ (4,7) ∈ z → (1,7) ∈ (zI})
(1,4) ∈ } ∧ (4,1) ∈ z → (1,1) ∈ (zI})
(3,4) ∈ } ∧ (4,1) ∈ z → (3,1) ∈ (zI})
(3,4) ∈ } ∧ (4,7) ∈ z → (3,7) ∈ (zI})
zI } = {(1,1), (1,3), (1,7), (3,1), (3,7)}
76. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
b) Ro S=?
La intersección de: }90(z) ∩ 6(}) =?
(1,3) ∈ z ∧ (3,4) ∈ z → (1,4) ∈ (} I z)
(2,3) ∈ z ∧ (3,4) ∈ z → (2,4) ∈ (} I z)
(4,1) ∈ z ∧ (1,2) ∈ z → (4,2) ∈ (} I z)
(4,1) ∈ z ∧ (1,4) ∈ z → (4,4) ∈ (} I z)
} I z = {(1,4), (2,4), (4,2), (4,4)}
51)
A= { ∈ Œ/ ≤ 50 }
‡: ' → Œ / ‡( ) = ( − 1) , ∈ '
Se obtiene que: A={1, 2,3,4,5,6,7}
‡( ) = ( − 1)
‡( ) = ( − 1) = 36
− 1 = ±6
= 7
= −5
→ L‰R0R SIM N9ˆIQRM
La afirmación a) es falsa
c) ‡( + 8) = ‡(− − 8)
( + 8 − 1) = (− − 8 − 1)
( + 7) = (− − 9) = (−( + 9))
+ 14 + 49 = + 18 + 81
−4 = 32
= −8 → ∉ '
77. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
La afirmación c) es falsa
b) ‡72 + ‡(0)] = 4
2 + ‡(0) = 2 + (0 − 1)
2 + ‡(0) = 3
‡72 + ‡(0)] = ‡(3)
‡72 + ‡(0)] = ( − 1)
‡72 + ‡(0)] = (3 − 1)
‡72 + ‡(0)] = 4
La afirmación b) es verdadera
52)
Los diagramas sagitales de R1 y R2 son:
‡: ' → *
a) Como 6(} ) = ' ∶ 9 H9S9 RˆR•R0LI SR SI•‰0‰I
Corresponde un elemento del rango
} RM ‡K0H‰ó0
b) No es función, porque a un elemento del dominio le
corresponde dos imágenes del conjunto de llegada
84. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
= 4 ; (1,4), (2,4), (3,4), (4,4)
} = { (1,4), (2,4), (3,4), (4,4)}
6( } ) = {1,2,3,4}
A cada elemento del conjunto de partida le corresponde un
único elemento del conjunto de llegada.
} = {( , ) ∈ ' / = 4} − − − −RM ‡K0H‰ó0
a) } = {( , ) ∈ ' / + = 6}
' = {1,2,3,4,5}
} = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
A cada elemento del conjunto de partida le
corresponde un elemento en el conjunto de llegada.
} = {( , ) ∈ ' / + = 6} − − − RM ‡K0H‰ó0
d.) }" = {( , ) ∈ ' / < }
138. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
a*e=a → 9 + R − 9R = 9
R − 9R = 0 → R(1 − 9) = 0
R = 0 ó 9 = 1
a* a-1
= e → ‰0NRQMI SR 2:
2 + a-1
- 2a-1
= 0 ; a-1
=2
‰0NRQMI SR 3:
3 + a-1
- 3a-1
= 0 ; a-1
=
De: 2!
∗ 3!
=
= $2 ∗ %
= 2 + − 3
=
§
− 3
=
109)
Se encuentra el inverso de: a y b
e= a
método de L volteada
139. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
9!
= 9 ; :!
= :
De: = 7(S ∗ 9!
)!
∗ :!
]!
= 7(S ∗ 9)!
∗ :]!
= 7(S)!
∗ :]!
; S!
= S
= 7S ∗ :]!
= (H)!
; H!
= H
= H
110)
Se debe recordar que en caso de tablas se debe tener una simetría
respecto a la diagonal trazada en la tabla.
Se verifica la simetría respecto a la diagonal:
a) * es conmutativa ---------------(V)
b) Existe un elemento identidad para * ?
140. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
Se busca la intersección de una fila y columna igual a las entradas:
e= p
Existe un elemento identidad para * ---------(V)
c) Todo elemento de A tiene un inverso respecto a * ?
Se usa el método de la L volteada para verificar la existencia de
los inversos:
Todo elemento de A tiene un inverso respecto a * -----------(V)
d) Si (p*q)*x= s → = Q
De la tabla: p*q= q
→ T ∗ = M
De la tabla se observa que: q*r =s
→ = Q
Si (p*q)*x= s → = Q − − − − − (p)
111)
Sea: 2a+1= t ; a=
·!
: − 2 = K ; : = K + 2
→ L ∗ K = 2 $
·!
% + K + 2 + 1
L ∗ K = L − 1 + K + 3
141. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
L ∗ K = L + K + 2
De: a*e=a
→ 9 + R + 2 = 9
R = −2
De: a*EI=e
-3*EI=-2 → −3 + YÎ + 2 = −2
YÎ = −1
(−3)!
∗ 4 =?
= −1 ∗ 4
= −1 + 4 + 2
(−3)!
∗ 4 = 5
112)
' = {1,2,3,4}
R = 4
Se considera que: a*e=e*a=a
9 ∗ YÎ = R
Como cada elemento es su propio inverso, se tiene:
Se observa que con respecto a la diagonal sus elementos son simétricos:
144. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
114)
' = {W, T, Q, M, L}
(W ∗ ! )!
∗ (L ∗ T! ) = L!
El elemento neutro es:
e= s
Los inversos de: t y q son:
L!
= Q ; T!
= W
De: (W ∗ ! )!
∗ (L ∗ T! ) = L!
→ (W ∗ ! )!
∗ (L ∗ W) = Q ; t*p = q
→ (W ∗ ! )!
∗ (T) = Q
→ (W ∗ ! )!
= L ; WIQTKR L ∗ T = Q
Buscar el elemento cuyo inverso sea igual a t:
Q!
= L
W ∗ !
= Q
De la tabla: !
= W → ∗ !
= M
→ ∗ W = M ; = T
145. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
Se obtiene: x*r
∗ Q = T ∗ Q
= W
115)
En la tabla:
Hallar “n”en:
(3 ∗ 0) ∗ (2 ∗ 0) = (3 ∗ 3) ∗ 0
De la tabla se obtiene: 2*0=2 ; (3*3)=0
→ (3 ∗ 0) ∗ 2 = 0 ∗ 0 ; 0*0= 0
→ (3 ∗ 0) ∗ 2 = 0
Como : 1*2=0 → 3 ∗ 0 = 1
→ 3 ∗ 2 = 1 → 0 = 2
116)
De la definición de %:
( + 2)% ( − 1) = ( + 2) − ( + 2)( − 1)
Desarrollando:
+ 4 + 4 − ( + − 2) = 5
4 + 4 − + 2 = 5
2 = 6
146. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
= 3
117)
' = {0,2,4,6,8}
[( !
∗ 2!
) ∗ (6 ∗ 8)!
]!
= 2
El elemento neutro de la operación es:
de la tabla e= 6
Se obtiene: 6*8 = 8
[( !
∗ 2!
) ∗ 8!
]!
= 2
Los inversos de 2 y 8 son:
2!
= 0 ; 8!
= 4
→ 7( !
∗ 0) ∗ 4]!
= 2
De la tabla se observa que el inverso de 0 es 2,
→ 0!
= 2
→ ( !
∗ 0) ∗ 4 = 0
Como: 2*4=0
→ !
∗ 0 = 2
147. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
Como: 8*0=2 → !
= 8
El inverso de 8 es 4
∗ !
= 6 → ∗ 8 = 6
= 4
118)
Como el neutro toma el máximo valor:
e = 4
Con la informacion del problema se tiene la siguiente tabla”
Se calcula A;
' = 7(3 ∗ 2)!
∗ (4 ∗ 1! )]!
3 ∗ 2 = 4
→ ' = 7(4)!
∗ (4 ∗ 1! )]!
→ ' = 7(4 ∗ (4 ∗ 1)]!
→ ' = 7(4 ∗ (1)]!
→ ' = (4 ∗ 1)!
= 1!
' = 1
148. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
119
R = RˆR•R0LI 0RKLQI
∀ 9, :, H, S, R ∃ ‰0NRQMI
9 ∗ R = R ∗ 9 = 9
Para que sea conmutativa, debe ser simétrica respecto a
su diagonal, para ellos los valores de x, y z son:
x= c ;
z=b=y
El elemento neutro es:
e= c
149. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
Se calcula: {7( ∗ “!
)!
∗ 9]!
∗ }!
De la tabla se observa que el inverso de z es: d
M= {7(: ∗ S)!
∗ 9]!
∗ H}!
M= {7H!
∗ 9]!
∗ H}!
; b*d =c
H!
= H
M= {7H ∗ 9]!
∗ H}!
= {79!
∗ H}!
; H ∗ 9 = 9
9!
= R
Ð = {7R ∗ H}!
= R!
; R!
= 9
Ð = 9
120)
Se debe obtener: (x*d, y*c)
El elemento neutro es : a
e=a
Los inversos de cada elemento se obtienen usando la: L volteada
9!
= 9 ; :!
= R ; H!
= S ; S!
= H ; R!
= :
150. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
De: ∗ = : ; ∗ !
= S
a* b=b a*d = d
b*a= b b*c =d
c*e =b c*b = d
d*d =b d*a =d
e*c =b e*e =d
Se tiene que:
= H ; = R
→ (x ∗ d, y ∗ c) = (H ∗ S, R ∗ H)
H ∗ S = 9 ; R ∗ H = :
→ (x ∗ d, y ∗ c) = (9, :)
121)
De la tabla: 3*5=1 ; 1*4 = 3 ; 3*2=3
De:
£( ∗ ) ∗ 1¤ ∗ (3 ∗ 5) = (1 ∗ 4) ∗ (3 ∗ 2)
£( ∗ ) ∗ 1¤ ∗ 1) = 3 ∗ 3
3 ∗ 3 = 5
151. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
£( ∗ ) ∗ 1¤ ∗ 1) = 5
Como: 5 ∗ 1 = 5 → ( ∗ ) ∗ 1 = 5
→ ( ∗ ) = 5
En la tabla: 3*3=5
→ = 3
122)
Se determina que regla sigue la tabla para poder determinar los valores de
2001 y 2003
Para la primera fila, se observa que las entradas están multiplicadas
por 3:
2∆2001 = 2001 3
2∆2001 = 6003
Para los elementos de la primer columna, se observa que las entradas
están multiplicadas por 2 y restado 1, asi:
2003 ∆1 = 2 2003 − 1
2003 ∆1 = 4006 − 1 = 4005
→ Y = (2003 ∆1) − (2 ∆2001)
→ Y = 4005 − 6003
→ Y = −1998
152. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
123)
La tabla coincidente de filas y columnas es:
De la tabla se obtiene:
3 ⊕ 4 = 3 ; 2 ⊕ 2 = 4
→ (3 ⊕ 4) ⊕ ( ⊕ 4) = 71 ⊕ (2 ⊕ 2)] ⊕ 3
→ 3 ⊕ ( ⊕ 4) = 71 ⊕ 4] ⊕ 3
1 ⊕ 4 = 1
→ 3 ⊕ ( ⊕ 4) = 1 ⊕ 3
1 ⊕ 3 = 4
→ 3 ⊕ ( ⊕ 4) = 4
De la tabla: 3 ⊕ 1 = 4 → ⊕ 4 = 1
De la tabla: 1 ⊕ 4 = 4 → = 1
= 1
124)
153. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
El elemento neutro es:
e= 3
Los inversos de 1,2,3 4 son:
1!
= 1 ; 2!
= 4 ; 3!
= 3 ; 4!
= 2
Además se conoce que: ⊗ !
= R
Por lo que:
0 = ∑ (
"
Ô ⊗ !
+ !
)
= 7( 1 ⊗ 1!
+ 1! ) + ( 2 ⊗ 2!
+ 2! ) + ( 3 ⊗ 3!
+
3! ) + ( 4 ⊗ 4!
+ 4! )]
= 7( R + 1! ) + ( R + 2! ) + ( R + 3! ) + ( R + 4! )]
= 7( 3 + 1) + ( 3 + 4) + ( 3 + 3) + ( 3 + 2)]
= 4 + 7 + 6 + 5
0 = 22
125)
r % s = Q + M
r # s =
(Õ„Ö)
154. MATEMATICA BASICA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
→ = Q + M -
(Õ„Ö)
= ( )!
→ 2Q + 2M − (Q + M) = 2. 2
2Q + 2M − Q − 2QM − M = 16
Q − 2QM + M = 16
(Q − M) = 16
Q − M = 4